2023-2024学年山东省济南市市中区育秀中学八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年山东省济南市市中区育秀中学八年级（下）期中数学试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知，下列不等式变形不正确的是( )
A. B. C. D.
2.多项式的公因式是( )
A. B. C. D.
3.在数轴上表示不等式的解集，正确的是( )
A. B.
C. D.
4.在平行四边形中，，则等于( )
A. B. C. D.
5.如图，直线与直线相交于点，则关于的不等式的解集是( )
A.
B.
C.
D.
6.如图，在四边形中，已知，添加一个条件，可使四边形是平行四边形．下列错误的是( )
A. B.
C. D.
7.下列因式分解正确的是( )
A. B.
C. D.
8.▱中，，是两条对角线，如果添如一个条件，可推出▱是菱形，那么这个条件可以是( )
A. B. C. D.
9.如图，四边形中，点、、、分别是线段、、、的中点，则四边形的周长( )
A. 只与、的长有关B. 只与、的长有关
C. 只与、的长有关D. 与四边形各边的长都有关．
10.如图，已知菱形的边长为，点是对角线上的一动点，且，则的最小值是( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.分解因式： ______．
12.如图，在菱形中，对角线，，则菱形的面积是______．
13.禁令标志是交通标志中的一种，是对车辆加以禁止或限制的标志，如禁止通行、禁止停车、禁止左转弯、禁止鸣喇叭、限制速度、限制重量等如图，该禁令标志的内角和是______．
14.如图，在平行四边形中，，，，的周长是______．
15.不等式组的解集是，那么的取值范围是______．
16.如图，菱形中，，，点在对角线上，连接，，点为直线上一动点连接，以、为邻边构造平行四边形，连接则的最小值为______．
三、解答题：本题共10小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
解不等式组，并写出它的所有整数解．
18.本小题分
如图，在▱中，点，是对角线上的两点，且，连接，求证：．
19.本小题分
已知：如图，在菱形中，、分别在边、上，且，求证：．
20.本小题分
因式分解：
；
．
21.本小题分
因式分解：
．
．
22.本小题分
通过对函数的学习，我们积累了研究函数的经验，以下是探究函数的部分过程，请按要求完成下列各题：
表中的值为______， ______．
在坐标系中画出该函数图象；
结合图象，可知不等式的解集是______．
23.本小题分
期中考试后，某班班主任对在期中考试中取得优异成绩的同学进行表彰她到商场购买了甲、乙两种笔记本作为奖品，购买甲种笔记本本，乙种笔记本本，共花费元，已知购买一本甲种笔记本比购买一本乙种笔记本多花费元．
求购买一本甲种、一本乙种笔记本各需多少元？
两种笔记本均受到了获奖同学的喜爱，班主任决定在期末考试后再次购买两种笔记本共本，正好赶上商场对商品价格进行调整，甲种笔记本售价比上一次购买时降价元，乙种笔记本按上一次购买时售价的折出售如果班主任此次购买甲、乙两种笔记本的总费用不超过元，求至多需要购买多少本甲种笔记本？
24.本小题分
【阅读材料】
配方法是数学中一种重要的思想方法它是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方或几个完全平方式的和的方法这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决些问题．
用配方法分解因式
例：分解因式．
解：．
用配方法求值
例：已知，求的值．
解：原方程可化为：，即．
，，
，，
．
用配方法确定范围
例：，利用配方法求的最小值．
解：．
，
当时，有最小值．
请根据上述材料解决下列问题；
如果是一个完全平方式，则括号内的常数应为( )______．
已知，当 ______， ______时，有最小值，最小值是______．
已知，，试比较，的大小．
25.本小题分
在平面直角坐标系中，直线为常数的图象与轴交于点，点的坐标为．
若直线经过点，求点坐标．
过点作轴的垂线交函数为常数的图象于点，以、、、为顶点构造四边形．
当四边形为平行四边形时，求的值；
设，当点在四边形的内部时，直接写出的取值范围．
26.本小题分
用四根一样长的木棍搭成菱形，是线段上的动点点不与点和点重合，在射线上取一点，连接，，使．
操作探究一

如图，调整菱形，使，当点在菱形外时，在射线上取一点，使，连接，则 ______， ______．
操作探究二
如图，调整菱形，使，当点在菱形外时，在射线上取一点，使，连接，探索与的数量关系，并说明理由．
拓展迁移
在菱形中，，若点在直线上，点在射线上，且当时，请直接写出的长．
答案和解析
1.【答案】
解：、根据不等式性质，不等式两边都加可得，原变形正确，故此选项不符合题意；
B、根据不等式性质，不等式两边都乘以可得，原变形正确，故此选项不符合题意；
C、根据不等式性质，不等式两边都乘以可得，原变形不正确，故此选项符合题意；
D、根据不等式性质，不等式两边都乘以可得，再在不等号两边同时减得，原变形正确，故此选项不符合题意．
故选：．
根据不等式基本性质逐一判断即可．
本题考查了不等式的性质．解题的关键是掌握不等式的性质：不等式两边加或减同一个数或式子，不等号的方向不变；不等式两边乘或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘或除以同一个负数，不等号的方向改变．
2.【答案】
解：由题意，公因式是各项系数的最大公因数与各项相同字母的最低次幂的积，
多项式的公因式是．
故选：．
依据题意，根据公因式的概念逐项进行判断即可得解．
本题主要考查了公因式的概念，解题中要能根据概念准确找出系数的最大公因式和各项相同字母的最低次幂是关键．
3.【答案】
解：，
，
，
在数轴上表示为，
故选：．
先求出不等式的解集，再在数轴上表示出来即可．
本题考查了解一元一次不等式和在数轴上表示不等式的解集，能求出不等式的解集是解此题的关键．
4.【答案】
解：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
．
故选：．
由在▱中，若，根据平行四边形的性质，可求得的度数，又由平行线的性质，求得答案．
此题考查了平行四边形的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．
5.【答案】
解：直线过点，
，
，
，
如图所示：关于的不等式的解是：．
故选：．
利用求得点的坐标，然后直接利用图象得出答案．
此题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数与一元一次不等式，正确数形结合分析是解题关键．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了平行四边形的判定定理，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．根据平行四边形的判定定理得出即可．
【解答】
解：，，
根据平行四边形的判定定理“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”，此选项不符合题意；
B.添加条件不能使四边形是平行四边形，此选项符合题意；
C.，，
根据平行四边形的判定定理“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，此选项不符合题意；
D.，
，
，
根据平行四边形的判定定理“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”，此选项不符合题意；
故选B．
7.【答案】
解：，故选项A分解错误；
B.，故选项B分解正确；
C.，故选项C分解错误；
D.，故选项D分解错误；
故选：．
分解每个多项式，根据分解结果得结论．
本题考查了整式的因式分解，掌握因式分解的提公因式法、公式法是解决本题的关键．
8.【答案】
解：对角线互相垂直的平行四边形是菱形，
当时，▱是菱形．
故选：．
根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可解答．
本题综合考查了菱形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握菱形的判定方法，菱形的判定：四条边都相等的四边形是菱形菱形．对角线互相垂直的平行四边形是菱形菱形．一组邻边相等的平行四边形是菱形菱形．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查三角形的中位线定理．三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．根据三角形的中位线定理解答即可．
【解答】
解：点、、、分别是线段、、、的中点，
，，，，
四边形的周长．
故选B．
10.【答案】
解：如图，过点作于点，交于点，连接，
菱形中，，
，，
是等边三角形，
，
，
，
，
根据垂线段最短，此时最短，即最小，
菱形的边长为，
，
．
的最小值是．
故选：．
过点作于点，交于点，连接，根据垂线段最短，此时最短，即最小，根据菱形性质和等边三角形的性质即可求出的长，进而可得结论．
本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握菱形的性质，等边三角形的判定与性质．
11.【答案】
解：．
故答案为：．
利用平方差公式分解即可求得答案．
此题考查了平方差公式分解因式的知识．题目比较简单，解题需细心．
12.【答案】
解：菱形的面积，
故答案为：．
由菱形的面积公式可求解．
本题考查了菱形的性质，掌握菱形的面积公式是本题的关键．
13.【答案】
解：该禁令标志是八边形，而八边形的内角和为，
所以该禁令标志的内角和为．
故答案为：．
根据多边形内角和的计算方法进行计算即可．
本题考查多边形的内角与外角，掌握多边形的内角和的计算方法是正确解答的关键．
14.【答案】
解：四边形是平行四边形
，，
的周长
故答案为
根据平行四边形的性质可得，，，即可求的周长．
本题考查了平行四边形的性质，熟练运用平行四边形的性质解决问题是本题的关键．
15.【答案】
解：，
解不等式得：，
解不等式得：，
不等式组的解集是，
，
故答案为：．
按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．
16.【答案】
解：过作，作于，交于，作于，作于，
四边形是菱形，
，，，
，
，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
令，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
的最小值是．
故答案为：．
过作，作于，交于，作于，作于，由直角三角形的性质求出，令，得到，因此，求出的值，得到的值，即可求出的值，由，即可解决问题．
本题考查菱形的性质，平行四边形的性质，直角三角形的性质，关键是通过作辅助线，构造直角三角形，由直角三角形的性质求出的长，由，即可求出的最小值．
17.【答案】解：解不等式得，
解不等式得，，
不等式组的解集为．
不等式组的整数解为，，．
【解析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可得出答案．
本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的法则是解答此题的关键．
18.【答案】证明：在▱中，，，
，
在和中，
，
≌，
，
．
【解析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的性质及平行线的判定，关键是正确证明≌．
根据平行四边形的对边相等可得，对边平行可得，再根据两直线平行，内错角相等可得，然后利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得，进而得到．
19.【答案】证明：四边形是菱形，
，，
，
，
在和中，
，
≌，
．
【解析】由“”可证≌，可得．
本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，灵活运用菱形的性质是本题的关键．
20.【答案】解：原式
；
原式
．
【解析】提公因式后利用平方差公式因式分解即可；
提公因式后利用完全平方公式因式分解即可．
本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
21.【答案】解：原式

；
原式
．
【解析】利用提公因式法因式分解即可；
利用平方差公式因式分解即可．
本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
22.【答案】 或 或
解：，
当时：，
；
故答案为：．
结合表格，画出函数图象如下：
由图象可知：不等式的解集是或．
故答案为：或．
将代入函数解析式，进行求解即可；
描点，连线，画出函数图象即可；
利用图象法求出不等式的解集即可．
本题考查一次函数综合应用．熟练掌握列表，描点，连线画函数图象，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键．
23.【答案】解：设购买一本甲种笔记本需元，一本乙种笔记本需元，
根据题意得：，
解得：．
答：购买一本甲种笔记本需元，一本乙种笔记本需元；
设需要购买本甲种笔记本，则购买本乙种笔记本，
根据题意得：，
解得：，
的最大值为．
答：至多需要购买本甲种笔记本．
【解析】设购买一本甲种笔记本需元，一本乙种笔记本需元，根据“购买甲种笔记本本，乙种笔记本本，共花费元，购买一本甲种笔记本比购买一本乙种笔记本多花费元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设需要购买本甲种笔记本，则购买本乙种笔记本，利用总价单价数量，结合总价不超过元，可列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
24.【答案】
解：
；
故答案为：；
，
，，
，，
当，时，有最小值，最小值是；
故答案为：，，；
，
．
根据配方法分解答即可；
把配方，根据非负数的性质得到，的值，根据函数的最值即可得到结论；
根据配方法即可得到结论．
本题考查了因式分解的应用，熟练掌握配方法是解题的关键．
25.【答案】解：将点代入直线表达式得：，
解得：，
则函数的表达式为：，
则点；
过点作轴的垂线交函数为常数的图象于点，则点坐标为，
点的坐标为，
点在点上方．．
以、、、为顶点构造四边形为平行四边形，
，
，
或；
设直线的解析式为，把点的坐标为代入，
得，
解得：，
则，
当时，代入直线的解析式得：，
代入直线解析式，
得．
设，当点在四边形的内部时，
则，
解得：且．
【解析】将点代入直线表达式得：，即可求解；
以、、、为顶点构造四边形为平行四边形，则，即，即可求解；
用表示的解析式，分别求出当横坐标为时，直线、上对应点的纵坐标，在四边形的内部，构造不等式组求解即可．
本题是一次函数的综合问题，涉及到平行四边形的性质和待定系数法，解答关键是应用数形结合思想解答问题
26.【答案】
解：四边形是正方形，
，，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
，，
，，
故答案为：，；
，理由如下：
四边形是菱形，，
，，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
，
，
，
如图，作交于，则，，
在中，，，
，
，
；
当时，点和点重合，
如图，当点在线段的延长线时，过点作于点，
设，
，，
为等腰直角三角形，
，
四边形是菱形，，，，
，，
由菱形的对称性及可得，
在中，，，
，
，
，
，
；
如图，当点在的延长线上时，过点作交的延长线于点，
设，同可得：，，
，
，
，
综上所述，的长度为或．
证明≌得到，，从而得到，推出为等腰直角三角形，最后根据等腰直角三角形的性质即可得到答案；
证明≌得到，，从而得到，作交于，则，，根据含角的性质及勾股定理得出，从而得到；
当时，点和点重合，再分两种情况：当点在线段的延长线时，过点作于点；当点在的延长线上时，过点作交的延长线于点；利用等腰直角三角形的性质以及锐角三角形函数进行计算即可得到答案．
本题主要考查了三角形全等的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、菱形的性质、正方形的性质、锐角三角函数、含角的直角三角形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键．