2023年山东省济南市市中区育英中学中考数学三模试卷（含解析）

2023年山东省济南市市中区育英中学中考数学三模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的绝对值是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  如图是由几个小正方体组成的几何体，它的左视图是(    )

A.
B.
C.
D.

3.  年月日，李克强总理在政府工作报告中指出，我国脱贫攻坚成果举世瞩目，万农村贫困人口实现脱贫．万，用科学记数法将表示为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  如图，，，，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

5.  下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

6.  下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  两数，在数轴上的对应点如图所示，则下列各式子正确的是(    )
 

A.  B.  C.  D.

8.  如图显示了用计算机模拟随机抛掷一枚硬币的某次实验的结果

下面有三个推断：
当抛掷次数是时，计算机记录“正面向上”的次数是，所以“正面向上”的概率是；
随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是；
若再次用计算机模拟此实验，则当抛掷次数为时，“正面向上”的频率一定是．
其中合理的是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，在中，，，以为圆心，为半径画弧交于，分别以，为圆心，大于为半径画弧交于点，连接交于，，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  点为二次函数图象上一点，点是该函数图象上一个动点不与点重合，连结，过点作，交二次函数图象于点不与点重合，连结，点为坐标原点，作垂直于直线于，则的最大值为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  因式分解：           ．

12.  一个小球在如图所示的地面上自由滚动，并随机地停留在某块方砖上，则小球停留在黑色区域的概率是______．

13.  方程的解是______ ．

14.  运城市位于山西省南部，生产水果自然条件得天独厚，是世界上优质苹果生产最佳生态区某农村合作社年苹果储存量为吨，预计年苹果储存量达到吨，这两年苹果的储存量的年平均增长率为______ ．

15.  如图，中，，，的斜边在轴的正半轴上，点与原点重合，随着顶点由点出发沿轴的正半轴方向滑动，点也沿着轴向点滑动，直到与点重合时运动结束，在这个运动过程中，点运动的路径长是______ ．

三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）

16.  如图，在平面直角坐标系中，点在直线上，轴，且点的纵坐标为，双曲线经过点．
求的值及双曲线的解析式；
经过点的直线与双曲线的另一个交点为点，且的面积为．
求直线的解析式；
过点作轴交直线于点，点是直线上的一个动点．若将以它的一边为对称轴进行翻折，翻折前后的两个三角形所组成的四边形为正方形，直接写出所有满足条件的点的坐标．

四、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：．

18.  本小题分
解不等式组，并写出该不等式组的最大整数解．

19.  本小题分
如图，在▱中，对角线、相交于点，过点的直线分别交、延长线于点、求证：．

20.  本小题分
某学校九年级共名男生，为了解实心球训练情况，从中随机抽取名学生的实心球成绩作为样本，数据统计如下单位：米：；；；；；；；；；；；；；；；；；；；根据数据绘制了如下的表格和统计图：

根据上面提供的信息，回答下列问题：
统计表中的 ______ ， ______ ；
请补全条形统计图；
在扇形统计图中，“分”对应的圆心角的度数是______ ；
根据抽样调查结果，请估计该校九年级学生实心球体考分数不低于分的有多少人？

21.  本小题分
我国的无人机水平位居世界前列，“大疆”无人机更是风靡海外小华在一条东西走向的笔直宽阔的沿江大道上玩无人机航拍已知小华身高，无人机匀速飞行的速度是，当小华在处时，测得无人机处的仰角为；两秒后，小华沿正东方向小跑到达处，此时测得迎面飞来的无人机处的仰角为，平行于地面直线设点与点的水平距离为．
请用含的代数式表示点与点的铅垂距离：______ ；
求点离地面的距离参考数据：，，，，，，结果精确到

22.  本小题分
如图，为的直径，为上一点，连接，，过点的直线与相切，与延长线交于点，点为上一点，且，连接并延长交射线于点．
求证：；
若，，求的长．

23.  本小题分
卫龙辣条是现市场上销售的一种品牌休闲食品，在学生中很受欢迎林祥南街某便利店批发一部分该食品进行销售，已知每包卫龙辣条的进价是每包普通辣条进价的倍，用元购进的卫龙辣条比用元购进的普通辣条多包．
求卫龙辣条和普通辣条每包的进价分别是多少元？
该便利店每月计划购进卫龙辣条、普通辣条共包，并分别按元包、元包的价格全部售出若普通辣条的数量不少于卫龙辣条数量的倍，请你帮该便利店设计进货方案，使得每月所获总利润最大．

24.  本小题分
平面内，先将一个多边形以自身的一个顶点为位似中心放大或缩小，再将所得多边形沿过该点的直线翻折，称这种变换为自位似轴对称变换，变换前后的图形成自位似轴对称例如：如图，先将以点为位似中心缩小，得到，再将沿过点的直线翻折，得到，则和成自位似轴对称．

如图，在中，，，，垂足为下列对三角形：和；和；和其中成自位似轴对称的是______ ；填写所有符合要求的序号
在答案最大序号图形中，，，设自位似轴对称变换的对称轴与交于点，求；
如图，在中，是的中点，为内一点，，，连接，求证：．

25.  本小题分
如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，点的坐标为，点的坐标为，直线经过，两点．
求二次函数的表达式；
点为直线上的一点，过点作轴的垂线与该二次函数的图象相交于点，再过点作轴的垂线与该二次函数的图象相交于另一点，当时，求点的横坐标；
如图，点关于轴的对称点为点，点为线段上的一个动点，连接；点为线段上一点，且，连接，求的最小值______ 直接写出答案．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：．
根据绝对值的定义即可解答．
 

2.【答案】 

【解析】解：从左边看，是一列个小正方形．
故选：．
根据左视图是从左边看所得到的图形，可直接得到答案．
本题考查了三视图的知识，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要确定的值以及的值．
 

4.【答案】 

【解析】解：如图，

，，，
，
，
．
故选：．
由平行线的性质可得，再利用三角形的外角性质即可求得的度数．
本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，内错角相等．
 

5.【答案】 

【解析】解：根据合并同类项法则，，那么A错误，故A不符合题意．
B.根据完全平方公式，，那么B错误，故B不符合题意．
C.根据积的乘方与幂的乘方，，那么C正确，故C符合题意．
D.根据同底数幂的除法，，那么D错误，故D不符合题意．
故选：．
根据合并同类项法则、完全平方公式、积的乘方与幂的乘方法法则、同底数幂的除法法则解决此题．
本题主要考查合并同类项、完全平方公式、积的乘方与幂的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握合并同类项法则、完全平方公式、积的乘方与幂的乘方、同底数幂的除法法则是解决本题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：、图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
B、图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意；
C、图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意；
D、图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意．
故选：．
根据轴对称图形和中心对称图形的定义，逐项判断即可求解．
本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，解题的关键是熟练掌握定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转度，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查有理数与数轴以及有理数的大小比较，关键是根据绝对值的意义等知识解答．
从数轴上可以看出、都是负数，且，由此逐项分析得出结论即可．
【解答】

解：因为、都是负数，且，，
A.是错误的；
B.，即，故是错误的；
C.，即，故是正确的；
D.是错误的．
故选：．

8.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是明确概率的定义，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是，据此进行判断即可．
【解答】
解：当抛掷次数是时，计算机记录“正面向上”的次数是，
“正面向上”的概率不一定是，故错误；
随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在附近摆动，
显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是，故正确；
若再次用计算机模拟此实验，
则当抛掷次数为时，“正面向上”的频率不一定是，故错误．
故选：．  

9.【答案】 

【解析】解：如图，过点作于，交的延长线于．

，，，
≌，
，，，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
故选：．
如图，过点作于，交的延长线于首先证明：：：，想办法求出，证明，即可解决问题．
本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
 

10.【答案】 

【解析】解：设，，直线的解析式为，
将，代入得，，
解得，
直线的解析式为，
如图，过作轴，过作于，过作于，则，，

，，，，
，
，
，
∽，
，即，整理得，，
，
当时，，
直线过定点，如图，
，，
当与重合时，最大，值为，
故选：．
设，，直线的解析式为，待定系数法求解得直线的解析式为，如图，过作轴，过作于，过作于，则，，，，，，证明∽，则，即，整理得，，，当时，，可知直线过定点，如图，由，，可知当与重合时，最大，值为，计算求解即可．
本题考查了相似三角形的判定与性质，二次函数与一次函数综合，勾股定理等知识，确定直线所经过的定点坐标是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：．
直接运用平方差公式进行因式分解．
本题考查了平方差公式分解因式，熟记公式结构是解题的关键．平方差公式：．
 

12.【答案】 

【解析】解：由图可知：黑色方砖在整个地板中所占的比值，
小球最终停留在黑色区域的概率，
故答案为：．
求出黑色方砖在整个地板中所占的比值，再根据其比值即可得出结论．
此题考查了几何概率问题，其中概率相应的面积与总面积之比．
 

13.【答案】 

【解析】解：去分母得：，
解得：，
检验：当时，，
分式方程的解为．
故答案为：．
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
 

14.【答案】 

【解析】解：设年平均增长率为，
，
，
年苹果储存量增加，
增长率是正数，
，即增长率为，
故答案为：．
根据增长率的计算方法，设年平均增长率为，列方程求解即可．
本题主要考查一元二次方程的实际运用，掌握增长率的计算方法，方程的运用是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：由题意可知，在运动过程中，点运动的路径是当的斜边在轴的正半轴上，点与原点重合的边线段上，如图所示：

在中，，，则有勾股定理可得，
当从到如图所示的点处时：

此时轴，则点运动的路径长是的长，
，
，
，
，即，
，
，
；
当再继续向上移动，直到点与重合时，如图所示：

此时点运动的路径是从到，则点运动的路径长是，
；
综上所述，点运动的路径长是，
故答案为：．
根据题意分析，在运动过程中，点运动的路径是初始位置时线段，分为两种情况：当从到如图所示的点处时，此时轴，点运动的路径长是的长；当再继续向上移动，直到点与重合时，如图所示，此时点运动的路径是从到，长是；分别计算并相加即可得到答案．
本题考查轨迹问题、解直角三角形等知识，利用了数形结合的思想，解题的关键是学会利用特殊位置解决问题，难度较大，搞懂动点轨迹是解决问题的关键．
 

16.【答案】解：点在直线上，
，解得，
则，
轴，且点的纵坐标为，
点的坐标为．
双曲线经过点，
，
反比例函数的解析式为；
设，
，，
，
解得，
点的坐标为，
设直线的解析式为，
把，代入得，
解得，
直线的解析式为；
当时，，解得，则，
直线为直线向下平移个单位得到，
直线与轴的夹角为，
而轴，
，
当为等腰直角三角形时，以它的一边为对称轴进行翻折，翻折前后的两个三角形所组成的四边形为正方形，
若，则点在的垂直平分线上，点的横坐标为，当时，，此时，
若，则轴，点的横坐标为，当时，，此时，
综上所述，满足条件的点坐标为或 

【解析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了待定系数法求函数解析式和正方形的判定方法．
根据一次函数图象上点的坐标特征可得到，解得，则，再确定点的坐标为，然后把点坐标代入中求出的值即可得到反比例函数的解析式；
设，根据三角形面积公式得到，解得，则点的坐标为，再利用待定系数法求直线的解析式；
先确定，根据直线解析式的特征可得直线与轴的夹角为，而轴，于是得到，根据正方形的判定方法，只有为等腰直角三角形时，以它的一边为对称轴进行翻折，翻折前后的两个三角形所组成的四边形为正方形，分类讨论：若，则点在的垂直平分线上，易得此时；若，利用轴，易得此时．
 

17.【答案】解：


． 

【解析】首先计算零指数幂、负整数指数幂、开方和特殊角的三角函数值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．
此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
 

18.【答案】解：
解不等式得，，
解不等式得，，
不等式组的解集为．
不等式组的最大整数解为， 

【解析】先解不等式，去括号，移项，系数化为，再解不等式，取分母，移项，然后找出不等式组的解集．
此题是一元一次不等式组的整数解题，主要考查了不等式得解法和不等式组的解集的确定及整数解的确定，解本题的关键是不等式的解法运用．
 

19.【答案】证明：▱的对角线，交于点，
，，
，
在和中，
，
≌，
． 

【解析】利用平行四边形的性质得出，，进而得出，再利用求出≌，即可得出答案．
此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键．
 

20.【答案】     

【解析】解：由样本可知，符合的有，，，，，共有个，
，
符合的有，，共个，
，
故答案为：，；
补全条形统计图如图：

，
“分”对应的圆心角的度数是，
故答案为：；
人
该校九年级学生实心球体考分数不低于分的有人．
结合数据统计即可；
根据中的结果，补全条形统计图即可；
“分”对应的圆心角的度数等于乘以它所对应的百分比；
用乘以不低于分所占的百分比即可．
本题考查条形统计图和扇形统计图，用样本估计总体等．理解统计图表中的数量关系是正确计算的前提．
 

21.【答案】 

【解析】解：如图，连接，过点作交延长线于点，
根据题意得：，，
在中，，
即点与点的铅垂距离为；
故答案为：；

过点作交延长线于点，交直线于点，则，，

根据题意得：，
，
在中，，
，
解得：，
．
即点离地面的距离为．
连接，过点作交延长线于点，在中，根据锐角三角函数，即可求解；
过点作交延长线于点，交直线于点，则，，根据题意得：，可得，在中，根据锐角三角函数，可得的值，即可求解．
本题主要考查了解直角三角形的实际应用，明确题意，准确构造直角三角形是解题的关键．
 

22.【答案】证明：如图所示，连接，，
，
，
，
，
，
为的切线，
，
．
解：，
设，则，
，
设的半径为，则，，，
由可知，，
∽，
，
，
，
的半径为，
，，
∽，
，
． 

【解析】如图所示，连接，可证，根据为的切线，，即可求证；
根据中，设的半径为，可证∽，可算出的半径，再根据三角形相似即可求解．
本题主要考查圆与三角形的综合，掌握圆的切线的性质，三角形相似的判定和性质是解题的关键．
 

23.【答案】解：设普通辣条进价为元，则卫龙辣条的进价为元，
，
解得：，
经检验，是方程的解，
普通辣条的进价为元，卫龙辣条的进价为元；

设购买卫龙辣条包，则普通辣条：包，
普通辣条的数量不少于卫龙辣条数量的倍，
，解得：，
设购进的辣条全部出售后获得的总利润为元，
，

，
，
随的增大而增大，
当时，最大，
答：购进卫龙辣条包，普通辣条包时，每个月的总获利最大． 

【解析】设普通辣条进价为元，则卫龙辣条的进价为元，根据题意列出分式方程，解方程即可求解；
设购买卫龙辣条包，则普通辣条：包，根据题意列出不等式，求得的范围，进而根据题意列出一次函数关系，根据一次函数的性质即可求解．
本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，根据题意列出方程、不等式、一次函数关系式是解题的关键．
 

24.【答案】 

【解析】解：如图，中：可知和；和是成自位似轴对称．

故答案为：
解：由题可知，≌，为对称轴所在直线，


是公共角，，
，
∽，
．
，，，
，
，
．
，
．
将、、代入得
，
解得．
证明：如图，

延长，交于，
，，
∽，
，
，
，
，
，，
，
∽，
，
，
点是的中点，
，
，
．
利用自位似轴对称概念，确定两个三角形成立的两个条件，共顶点其中一个三角形做轴对称前后三角形位似．
如图，根据轴对称性质得出≌，再证得∽，根据对应边成比例，算出结果．
延长，交于，得出∽，利用三角形的外角定理得出∽，两次相似得出对应线段成比例，再根据三角形中位线定理得出答案．
本题属于相似形综合题，考查了位似、轴对称的性质、相似三角形等知识，其中对轴对称的性质的理解是解题的关键，相似三角形对应边成比例是易错点．
 

25.【答案】 

【解析】解：把，代入得：
，
解得，
二次函数的表达式为；
如图：

由，得直线解析式为，
，
抛物线对称轴为直线，
设，则，，
，，
，
，
解得或或或；
点的横坐标为或或或；
过作交轴于，作关于的对称点，连接，，，，如图：
，，关于轴对称，
，
在中，令得或，
，，
，
，，
，
，，
，
，
，
，
关于的对称点为，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
又，
，
的最小值为．
故答案为：．
用待定系数法可得二次函数的表达式为；
由，得直线解析式为，由，得抛物线对称轴为直线，设，可得，，故，即可解得点的横坐标为或或或；
过作交轴于，作关于的对称点，连接，，，，由，，关于轴对称，得，在中，可得，，由，，即可求得，，而，有，因，故D，又，根据，，可求得，即得，从而可求得的最小值为．
本题考查二次函数综合应用，涉及解绝对值方程，待定系数法求解析式，二次函数图象及性质，熟练掌握二次函数图象及性质，利用轴对称求最短距离的方法是解题的关键．