初中人教版1.1 正数和负数教学设计

这是一份初中人教版1.1 正数和负数教学设计，共8页。教案主要包含了拓展阅读，寻找支撑点，追问延伸点等内容，欢迎下载使用。
第一讲有理数1.1  正数和负数负数的产生一方面源于生活中一些量的表示的需要，另一方面源于数的运算的需要．我们先来看一些量：中国13岁男童的标准身高为160cm，张华比标准身高高5cm，周波比标准身高矮5cm；赵刚同学的家在学校正南方向2km处，孙红同学的家在学校正北方向3km处；王伟同学做正步走的训练，先向东走5步，后向西走7步．以上几组量有一个共同的特征，每组量中都有一个参考点，如“中国13岁男童的标准身高”、“学校所在位置”、“王伟同学运动前的位置”等，相对于这个参考点，有两个意义相反的量，如比标准身高“高5cm”和“矮5cm”，在学校所在位置的“正南方向2km”和“正北方向3km”，王伟同学“向东走5步”和“向西走7步”．为了精确表示这些量，我们约定用正数表示其中一类量，那么，另一类与它们意义相反的量就用负数表示．如若用“+5cm”表示比标准身高高5cm，那么比标准身高矮5cm就记作“-5cm”了；同样的，若赵刚同学的家在学校“+2km”处，那么孙红同学的家在学校“-3km”处；若王伟先走了“+5步”，那么后走了“-7步”．减法是加法的逆运算，但起，减法运算在正数中没有加法运算自由，比如，我们说两个数的和为10，其中一个加数为3，那么另一个加数就是“10-3=7”，然而，如果已知两个数的和是3，其中一个加数是10，那么另一个加数是多少呢？如果没有负数，这个问题就没有答案了．有理数是在度量中产生的.我们在度量时往往先约定一个标准量，如1m，1kg，1小时，1度等等，然后度量具体的对象，看它是这个标准量的多少倍，比如，一天刚好有24个小时．但是，有些量并不是标准量的整数倍，比如，一节课的时间介于0小时和1小时之间，这时，我们往往将一个标准量进行等分，如1m等分成l0dm，1kg等分成1000g，1小时等分成60分钟，1度等分成60分等等．我们再来度量一节课的时间，发现一节课有45个1分钟，即小时. 一般的，如果我们把一个标准量等分成n份，其中一份就是标准量的，如果被度量的对象有m个等分量，那么我们说这个对象的大小就是标准量的倍．当我们把看作一个数，就产生了有理数，即有理数为两个整数的比．【拓展阅读】阿拉伯的教科书把负数介绍到欧洲．但16和17两个世纪里，欧洲的数学家不愿意接受这些数，他们把负数归为荒唐的数．虽然J．卡当把负数作为一种方程的解，但他认为它们是一种不可能的回答．甚至，B帕斯卡也说：“我知道人们无法理解，如果我们从零里拿去四，那么零还会留下什么？”【寻找支撑点】正数、负数在实践中的应用非常广泛．我们往往把一些量中的某一个量定为标准量，记作0，然后分别用正数、负教表示与标准量不等的量．用正负数表示一些量，可以突出研究对象的特性．有时也为计算提供方便．例1七年级3班的学生体育课上，进行仰卧起坐测试，做30个及格．第一组8名学生的成绩（做仰卧起坐的个数）分别为：25，27，30，28，31，35，29，40.若把及格成绩记作0，超过的次数记为正数，不足的次数记为负数．请用正负数的记法表示这八名学生的成绩．分析将这8个数与30作比较，计算它们的差，比30大多少就记作正多少，比30小多少就记作负多少，等于30的记作0．解用正负数的记法表示这8名学生的成绩分别为：-5，-3，0，-2，1，5，-1，10．评析用正负数表示成绩，及格不及格一目了.例2水库的警戒水位为50m，低于警戒水位1m的水位记为-1m，去年12个月的水位记录分别为（单位：m）：-5，-4．-0.5，-1，0，+3，+0.5，+1，+3，+0.5，-1，-2.5．    (1)去年12个月的实际水位是多少米？    (2)求去年12个月的平均水位，分析相对于警戒水位，实际水位有三种可能，低于、高于和等于警戒水位．其中低于和高于是相反意义的．既然低于警戒水位1m的水位记作-lm，那么高于警戒水位的就记为正数，等于警戒水位的记为0．去年的平均水位，既可以在第(1)问的基础上，将实际水位求平均，也可以分别算出低于警戒水位一共低多少米，高于警戒水位一共高多少米，再看12个月一共是低于或高于多少米．解(1)去年12个月的实际水位是（单位：m）：45，46，49.5，49，50，53，50.5，51，53，50.5，49，47.5．    (2)低于警戒水位的几个月的水位累计比警戒水位低14m，高于警戒水位的几个月的水位累计比警戒水位高8m，所以，全年累计比警戒水位低6m，平均每月低0. 5m，则去年12个月的平均水位为49. 5m.【拓展阅读】请阅读一小段约翰·斯特劳斯作品，根据乐谱中的信息，确定最后一个音符的时值长（图中“？”处的数值）应为 _________________. 有理数的分类方法有两种，按数的正负性分类，按有理数的定义分类．一方面，小学学习的整数和分数，除0以外的数，组成正有理数．每一个正有理数都有一个有理数-与之对应，那么所有这样的-组成负有理数，由此，有理数分为正有理数、零及负有理数三类.另一方面，有理数可以分为整数和分数两类，其中，整数包括正整数、零和负整数；分数包括正分数和负分数．由此，有理数可以分为五类：正整数、0、负整数、正分数和负分数．有理数的每一个类的数放在一起．组成数的集合，如所有的负数组成负数集合，所有的正整数组成正整数集合等等．我们要会判断一个数属于哪类数的集合．例3把下列各数填在相应的集合内．-12，0.25，-6.4，，，0，3.14，3，-0.333，100正有理数集合…分数集合                                 …负有理数集合                             …整数集合                                 …分析    0属于整数集合，它介于正数与负数之间，既不是正数也不是负数；有限小数和无限循环小数皆可以化为分数，属于分数集合；是圆的周长与直径的比值，其结果是一个无限不循环小数，不能化成分数，因此也属于有理数.解正有理数集合0.25，， 3.14，3，100，…分数集合0.25，-6.4，，3.14，3，-0.333， …负有理数集合-12，-6.4，， -0.333， …整数集合-12，0，100 …例4下列说法中，错误的有（）①-2要是负分数；②1.5是分数；③非负有理数包括0；④0不是整数．  A．1个       B．2个      C．3个    D. 4个分析有限小数和无限循环小数都可以化为分数，因此1.5是分数；0和正数统称非负数，O和负数统称非正数；整数包括正整数、O和负整数.解     A【追问延伸点】我们把一个整数平方的结果称为完全平方数．例如，0,1,4,9,16,25,36,49，64, 81,100 ,121,144 ,169 ,196, 225, 256, 289, 324,361, 400,…．完全平方数有很多有趣的特性．例如，其个位数字只能是O，1，4，5，6，9；又如，如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6；反之，如果完全平方数的个位数字是6，则它的十位数字一定是奇数.例5证明：平方数的形式必为下列两种之一：3k,3k+l．分析我们可以将整数按除以3的余数不同分为三类，将每一类平方即可证明．解将整数分为3m -1，3m及3m+l三类．则对应的平方数分别为=9-6m+1=3（3-2m）+1=3k+l， =9=3k,=9+6m+1 =3(3+2m)+1=3k+l，结论成立．有限小数和无限循环小数可以化为分数，反之，分数可以化为有限小数或无限循环小数，事实上，我们在实行分数所表示的除法时，有些是可以除尽的，比如=1÷5=0.2．有些不能除尽，比如=1÷3=0.333…，我们可以预见，3是无限不循环下去的．是不是凡是除不尽的分数都是循环的呢？是的，以为例，因除数为l3，所以每一步的余数必须小于13，在不断做除法的过程中，余数只能是O，1，2，…，12中的某一个数．那么，我们最多做14步，必然会重复出现相同的余数，当同一个余数再次出现时，其后面的运算将是一致的，做12÷13，第一步上0，变为120÷13，第二步上9，余3，变为30÷13，再上2，余4，变为40÷13，再上3．余1，变为10÷13，再上0，变为100÷13，再上7，余9，变为90÷13，再上6，余12，变为120÷13，回到第二步．因此，除不尽的分数都可以化为循环小数．例6    比较0.与1的大小．分析可以利用=0.作为连接0.与1的桥梁.解方法一，0. =0. ×3=×3=1，即0.与1相等．方法二，设0.=x，lOx =9.，两式相减得，9x =9，  x=l．【拓展阅读】有一种巧克力糖，它的制造商为了促销，在包装每块巧克力糖时放入1张赠券，凑齐10张赠券，可以换1块这种包装的巧克力糖．1张赠券的实际价值是多少呢？一方面，l张赠券相当于0.1块这种巧克力糖，0.1块巧克力糖中的赠券又相当于0. Ol块这种巧克力糖，依此类推,1张赠券相当于0.111块巧克力糖．即0.1块巧克力糖.另一方面，如果我们凑齐了9张赠券，就可以换到1块巧克力糖，方法是先借1块这种包装的巧克力糖，拿出巧克力糖，把其中赠券和已有的9张赠券一起来换巧克力糖．由此可见，1张赠券等于块巧克力糖.以上事例实际上证明了=0.．分级训练题A级    1．下列各数-3，，3.2,0,3.14,，，-1.4中，正数有________________，负数有____________________．    2．如果气温上升1度记作气温变化+1度，则气温下降5度记作气温变化____度．    3．如果向东走60m表示走了+60m，那么走了-80m表示____．    4．-次考试，85分及以上为优秀．把85分定为标准分，记作O分，用正数表示高于标准分．某小组4名学生的成绩分别记为：+8分，0分，-2分，+3分，这4名学生的实际成绩分别为____，____，____，____．    5．下列各组数中，不是互为相反意义的量的是(    )． A．向东走5m和向西走2m    B．收入200元和支出20元 C．上升7m和下降5m    D．长大1岁和减少2kg    6．既是分数又是正数的是(    )． A. +2    B．-4C．0 D.2.3    7．在0，-1,30，-20，-0.1，-2，100中，负整数的个数是(    )． A．1    B．2    C．3 D．4    8．零不是(    )．A.有理数    B．自然数    C．正数    D．整数    9．对-3.14，下面说法正确的是(    )． A.是负数，不是分数    B．不是分数，是有理数 C．是负数，也是分数    D.是小数，不是有理数    10.下列说法正确的是(    )．A．正数、0、负数统称为有理数B分数和整数统称为有理数C．正有理数、负有理数统称为有理数       D. 以上都不对    11．在西安有个“中国大地原点”，比大地原点高的地方的高度记为正，如果某地依据这种记法的高度是-5m，那么表示(  )． A．该地高5m  B. 该地比大地原点的高度低5m C. 该地比海平面高5m        D. 该地比海平面低5m  12．向东走5m，再向东走5m，结果是(  )．A．向东走了5m    B. 向西走了5mC．回到原地    D.向西走了l0m  13．一种商品的标准价格是200元，但随着季节的变化，商品的价格可浮动土10%．    (1)±10%的含义是什么？    (2)请你计算出该商品的最高价格和最低价格；    (3)如果以标准价为标准，超过标准价记“十”，低于标准价记“一”，该商品价格的浮动范围又可以怎样表示？ 14.7名学生体重分别为：40kg，38kg，37kg，45kg，40kg，34kg，39kg.(1)求这7名学生体重的平均值；(2)以平均体重为标准用正负数表示每个学生的体重． 15．把下列各数分别填入相应的大括号内：-7，3.5，-3.1415 ，，0，，0.03，-3，10，-0.，-自然数集合{    ．．．}；整数集合{    ．．．}；正分数集合{   ．．．}；非正数集合{   ．．．}；有理数集合{  ．．．}； 16.观察数表：根据表中数的排列规律，则字母A所表示的数是_______ 17．某商店一周的收入、支出情况如下表：  星期一二三四五六日支出（万元）1.8  0.8  2.5收入（万元） 21.5 12 运用你学的知识，给商店简单地记一笔账．  18．一位股民上周五买入某只股票200股，每股132元．下表为本周每天收盘时的涨跌情况，其中每股上涨1元记作十1（单位：元）．星期一二三四五每股涨跌+3-4+5-7十6(1)本周内该股票收盘价最高是多少元？(2)若以周五收盘价卖出，收益情况如何？(3)周几收盘时卖出收益最大？最大收益是多少？                                C 级    19.下面的数表是由从1开始的连续自然数组成，观察规律并完成各题的解答． (1)表中第8行的最后一个数是____，它是自然数____的平方，第8行共有____个数；(2)用含n的代数式表示：第n行的第一个数是____，最后一个数是____，第n行共有____个数；  (3)求第n行各数之和____．  20．证明：奇数的平方是8n +1型，偶数的平方为8n或8n +4型．  21．有若干个数，第1个数记为，第2个数记为，第3个数记为，…，第n个数记为，若= -，从第2个数起，每个数都等于1与它前面的那个数的差的倒数．    (1)求，的值。    (2)试求的值并说明理由。(3)试探究的值并说明理由． 第一讲有理数参考答案1.1  正数和负数1.   ，3.2, 0, 3.14,，；     -3，-1.42 .  -5      3．向西走80rn           4 . 93，85，83，885.  D  6 .  D7.  D8.  C  9.  C10. B11.  B  12. C13 (1)士10%的含义是价格可以比200高10%或低10% (2)最高价格220元，最低180元；(3)士20元14. (1)39kg;    (2)+1kg，-1kg，-2kg，+6kg，+1kg，-5kg，0 kg15．  0， 10            -7， 0， 10， -3.5，，0.03-7， -3.1415 ，0， -3，-0.，--7，3.5，-3.1415 ，0，，0.03，-3，10，-0.，-16 .-10．17. 约定用负数表示支出，用正数表示收人，-1.8，+2，+1 5，-0.8，+1，+2，-2 .518. (1)136元；(2)收益600元；（3）周三，800元．19.(1)64，8，17；（2）+l，，2n-1；（3）-n +l20. 提示：将奇数表示为2k+1，偶数表示为2k的形式，平方后讨论．21. (1)-，3；(2)3(提示：此数列是每三个循环的)；  (3)当n=3k+l时，= -，当n=3k +2时，=3，当n=3k时，=．