高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册第二章 直线和圆的方程2.2 直线的方程教案及反思

直线的方程

【第一课时】

【教学目标】

（一）知识教学点

在直角坐标平面内，已知直线上一点和直线的斜率或已知直线上两点，会求直线的方程；给出直线的点斜式方程，能观察直线的斜率和直线经过的定点；能化直线方程成截距式，并利用直线的截距式作直线。

（二）能力训练点

通过直线的点斜式方程向斜截式方程的过渡、两点式方程向截距式方程的过渡，训练学生由一般到特殊的处理问题方法；通过直线的方程特征观察直线的位置特征，培养学生的数形结合能力。

（三）学科渗透点

通过直线方程的几种形式培养学生的美学意识。

【教材分析】

1．重点：由于斜截式方程是点斜式方程的特殊情况，截距式方程是两点式方程的特殊情况，教学重点应放在推导直线的斜截式方程和两点式方程上。

2．难点：在推导出直线的点斜式方程后，说明得到的就是直线的方程，即直线上每个点的坐标都是方程的解；反过来，以这个方程的解为坐标的点在直线上。

的坐标不满足这个方程，但化为y-y1=k（x-x1）后，点P1的坐标满足方程。

【教学方法】

分析、启发、诱导、讲练结合。

【教学内容】

直线方程――点斜式

【教学目标】

1．使学生掌握点斜式和斜截式的推导过程，并能根据条件，熟练求出直线的点斜式方程和斜截式方程。

2．会用直线的方程求出斜率、倾斜角、截距等问题，并能根据方程画出方程所表示的直线。

3．培养学生化归数学问题的能力及利用知识解决问题的能力。

4．理解直线方程点斜式和斜截式的形式特点和适用范围。

【教学重点】

直线方程的点斜式的公式推导以及有已知条件求直线的方程。

【教学难点】

直线方程点斜式推导过程的理解。

【教学方法】

启发引导式  发现探究式

【教学准备】

计算机  实物投影仪

【教学过程】

[创设情景]

师：上一节我们分析了在直角坐标系内确定一条直线的几何要素。那么，我们能否用给定的条件（点P0的坐标和斜率，或P1，P2的坐标），将直线上的所有点的坐标（）满足的关系表示出来呢？这节课，我们一起学习直线的点斜式方程。

[探求新知]

师：若直线经过点，且斜率为，求直线的方程。

生：（给学生以适当的引导）设点P（）是直线上不同于点的任意一点，因为直线的斜率为，

由斜率公式得：

，可化为：                 ……①

[探究]：思考下面的问题：（不必严格地证明，只要求验证）

（1）过点，斜率为的直线上的点，其坐标都满足方程①吗？

（2）坐标满足方程①的点都在过点，斜率为的直线上吗？

生：经过探究和验证，上述的两条都成立。所以方程①就是过点，斜率为的直线的方程。

因此得到：

（一）直线的点斜式方程：

其中（）为直线上一点坐标，为直线的斜率。

方程①是由直线上一定点及其斜率确定，叫做直线的点斜式方程，简称点斜式。

师：直线的点斜式方程能否表示坐标平面上的所有直线呢？（让学生思考，互相讨论）

生1：不能，因为不是所有的直线都有斜率。

生2：对，因为直线的点斜式方程要用到直线的斜率，有斜率的直线才能写成点斜式方程，如果直线没有斜率，其方程就不能用点斜式表示。

师：very good！

那么，轴所在直线的方程是什么？轴所在直线的方程又是什么？

生：因为轴所在直线的斜率为=0，且过点（0，0），所以轴所在直线的方程是=0.（即：轴所在直线上的每一点的纵坐标都等于0.）而轴所在直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示。但轴所在直线上的每一点的横坐标都等于0.所以轴所在直线的方程为：=0.

师：那些与轴或轴平行的直线方程又如何表示呢？

生：（猜想）与轴平行的直线的方程为：；与轴平行的直线的方程为：。

师：当直线的倾斜角为0°时，，即=0，直线与轴平行或重合，直线方程为：，或。

当直线倾斜角为90°时，直线没有斜率，直线与轴平行或重合，它的方程不能用点斜式表示。这时直线方程为：，或。

经过分析，同学们的猜想是正确的。

师：已知直线的斜率为k，与y轴的交点是P（0，b），求直线的方程。

生：因为直线的斜率为，与y轴的交点是P（0，b），代入直线方程的点斜式，得直线的方程为：

即：

（二）直线斜截式方程：   ……②

我们把直线与轴交点（0，）的纵坐标叫做直线在轴上的截距（即纵截距）。方程②是由直线的斜率和它在轴上的截距确定的，所以叫做直线斜截式方程，简称为斜截式。

师：截距是距离吗？

生：不是，b为直线l在y轴上截距，截距不是距离，截距是直线与坐标轴交点的相应坐标，是一个实数，可正可负可为零；距离是线段的长度，是非负实数。

师：观察方程，它的形式具有什么特点？

生：左端的系数恒为1，右端的系数和常数均有几何意义：是直线的斜率，是直线在轴上的截距.

师：当直线倾斜角为90°时，它的方程能不能用斜截式来表示？

生：不能，因为直线没有斜率。

师：方程与我们学过的一次函数的表达式之间有什么关系呢？

生：当时，直线斜截式方程就是一次函数的表示形式。

[例题分析]

[例1]直线经过点P0（-2，3），且倾斜角α=45°，求直线的点斜式方程，并画出直线。

师：分析并根据已知条件，先求得直线方程的斜率。代入直线的点斜式方程即可求得。

生：（思考后自主完成解题过程）

解：直线经过点P0（-2，3），斜率是：。

代入点斜式方程得。

这就是所求的直线方程，如右图中所示。（画图时，只需要再找到满足方程的另一个点即可。）

[例2]已知直线

试讨论：（1）的条件是什么？（2）的条件是什么？

师：让学生回忆前面用斜率判断两条直线平行、垂直的结论。

生：（思考后互相交流意见、想法。）总结得到：

对于直线

[课堂精练]

课本练习

说明：通过加强练习来熟悉直线方程的点斜式与斜截式。

[课堂小结]

师生：通过本节内容的学习，要求大家掌握直线方程的点斜式，了解直线方程的斜截式，并了解求解直线方程的一般思路。 求直线方程需要两个独立的条件（斜率及一点），根据不同的几何条件选用不同形式的方程。

【作业布置】

课后习题

【第二课时】

【教学目标】

1. 掌握直线方程两点式的形式特点及适用范围；
2. 了解直线方程截距式的形式特点及适用范围。

【教学重点】   

直线方程的两点式

【教学难点】   

两点式推导过程的理解

【教学方法】  

学导式

【教学准备】  

幻灯片

【教学过程】

一、复习回顾

师：上一节课，我们一起学习了直线方程的点斜式，并要求大家熟练掌握，首先我们作一简要的回顾（略）， 这一节，我们将利用点斜式来推导直线方程的两点式。

二、讲授新课

1. 直线方程的两点式：，其中是直线两点的坐标。

推导：因为直线l经过点，并且，所以它的斜率。代入点斜式，得，。当。

说明：①这个方程由直线上两点确定；

②当直线没有斜率（）或斜率为时，不能用两点式求出它的方程。

2. 直线方程的截距式：，其中a，b分别为直线在x轴和y轴上截距。

说明：①这一直线方程由直线在x轴和y轴上的截距确定，所以叫做直线方程的截距式；②截距式的推导由例2给出。

3. 例题讲解：

例2．已知直线l与x轴的交点为（a，0），与y轴的交点为（0，b），其中a≠0，b≠0，求直线l的方程。

解：因为直线l经过A（a，0）和B（0，b）两点，将这两点的坐标代入两点式，得：

说明：此题应用两点式推导出了直线方程的截距式。

例3．三角形的顶点是A（-5，0）、B（3，-3）、C（0，2），求这个三角形三边所在直线的方程。

解：直线AB过A（-5，0）、B（3，-3）两点，由两点式得

整理得：，即直线AB的方程。

直线BC过C（0，2），斜率是，

由点斜式得：

整理得：，即直线BC的方程。

直线AC过A（-5，0），C（0，2）两点，由两点式得：

整理得：，即直线AC的方程。

说明：例3中用到了直线方程的点斜式与两点式，说明了求解直线方程的灵活性，应让学生引起注意。

三、课堂练习

课堂小结

师：通过本节学习，要求大家掌握直线方程的两点式，并能运用直线方程的多种形式灵活求解直线方程。

【第三课时】

【教学目标】

（一）知识教学点

掌握直线方程的一般形式，能用定比分点公式设点后求定比。

（二）能力训练点

通过研究直线的一般方程与直线之间的对应关系，进一步强化学生的对应概念；通过对几个典型例题的研究，培养学生灵活运用知识、简化运算的能力。

（三）学科渗透点

通过对直线方程的几种形式的特点的分析，培养学生看问题一分为二的辩证唯物主义观点。

【教学重点】

直线的点斜式、斜截式、两点式和截距式表示直线有一定的局限性，只有直线的一般式能表示所有的直线，教学中要讲清直线与二元一次方程的对应关系。

【教学难点】

直线与二元一次方程是一对多的关系。同条直线对应的多个二元一次方程是同解方程。

【教学方法】

分析、启发、讲练结合。

【教学过程】

（一）引入新课

点斜式、斜截式不能表示与x轴垂直的直线；两点式不能表示与坐标轴平行的直线；截距式既不能表示与坐标轴平行的直线，又不能表示过原点的直线。与x轴垂直的直线可表示成x=x0，与x轴平行的直线可表示成y=y0.它们都是二元一次方程。

我们问：直线的方程都可以写成二元一次方程吗？反过来，二元一次方程都表示直线吗？

（二）直线方程的一般形式

我们知道，在直角坐标系中，每一条直线都有倾斜角α。当α≠90°时，直线有斜率，方程可写成下面的形式：

y=kx+b

当α=90°时，它的方程可以写成x=x0的形式。

由于是在坐标平面上讨论问题，上面两种情形得到的方程均可以看成是二元一次方程。这样，对于每一条直线都可以求得它的一个二元一次方程，就是说，直线的方程都可以写成关于x、y的一次方程。

反过来，对于x、y的一次方程的一般形式

Ax+By+C=0.　　　　……①

其中A、B不同时为零。

（1）当B≠0时，方程①可化为

这里，我们借用了前一课y=kx+b表示直线的结论，不弄清这一点，会感到上面的论证不知所云。

（2）当B=0时，由于A、B不同时为零，必有A≠0，方程①可化为它表示一条与y轴平行的直线。

这样，我们又有：关于x和y的一次方程都表示一条直线。我们把方程写为Ax+By+C=0,这个方程（其中A、B不全为零）叫做直线方程的一般式。

引导学生思考：直线与二元一次方程的对应是什么样的对应？

直线与二元一次方程是一对多的，同一条直线对应的多个二元一次方程是同解方程。

（三）例题

解：直线的点斜式是

化成一般式得4x+3y-12=0.

把常数次移到等号右边，再把方程两边都除以12，就得到截距式

讲解这个例题时，要顺便解决好下面几个问题：

（1）直线的点斜式、两点式方程由于给出的点可以是直线上的任意点，因此是不唯一的，一般不作为最后结果保留，须进一步化简；

（2）直线方程的一般式也是不唯一的，因为方程的两边同乘以一个非零常数后得到的方程与原方程同解，一般方程可作为最终结果保留，但须化为各系数既无公约数也不是分数；

（3）直线方程的斜截式与截距式如果存在的话是唯一的，如无特别要求，可作为最终结果保留。

例2 把直线l的方程x-2y+6=0化成斜截式，求出直线l的斜率和在x轴与y轴上的截距，并画图。

解：将原方程移项，得2y=x+6，两边除以2得斜截式：

x=-6

根据直线过点A（-6，0）、B（0，3），在平面内作出这两点连直线就是所要作的图形（图1-28）。

本例题由学生完成，老师讲清下面的问题：二元一次方程的图形是直线，一条直线可由其方向和它上面的一点确定，也可由直线上的两点确定，利用前一点作图比较麻烦，通常我们是找出直线在两轴上的截距，然后在两轴上找出相应的点连线。

例3　 证明：三点A（1，3）、B（5，7）、C（10，12）在同一条直线上。

证法一　 直线AB的方程是：

化简得　 y=x+2．

将点C的坐标代入上面的方程，等式成立。

∴A、B、C三点共线。

∴A、B、C三点共线。

∵|AB|+|BC|=|AC|，

∴A、C、C三点共线。

讲解本例题可开拓学生思路，培养学生灵活运用知识解决问题的能力。

（四）课后小结

（1）归纳直线方程的五种形式及其特点。

（2）一般化：求过两点的直线与已知直线（或由线）的交点分以这两点为端点的有向线段所成定比时，可用定比分点公式设出交点的坐标，代入已知直线（或曲线）求得。