2021-2022学年广东省佛山市顺德区梁开、顺峰、凤城中学八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2021-2022学年广东省佛山市顺德区梁开、顺峰、凤城中学八年级（下）期中数学试卷

副标题

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是

A.  B.
C.  D.

2. 如图，在等边三角形中，，是边上一点，且，则的长为

A.
B.
C.
D.

3. 在平面直角坐标系中，若将原图形上的每个点的横坐标都加上，纵坐标保持不变，则所得图形的位置与原图形相比

A. 向上平移个单位 B. 向下平移个单位
C. 向右平移个单位 D. 向左平移个单位

4. 到三角形三条边的距离相等的点是三角形的交点．

A. 三个内角平分线 B. 三边垂直平分线
C. 三条中线 D. 三条高线

5. 如图，直线与相交于点，点的横坐标为，则关于的不等式的解集是

A.
B.
C.
D.

6. 多项式分解因式的结果是

A.  B.
C.  D.

7. 用不等式表示如图的解集，其中正确的是

A.  B.  C.  D.

8. 如图，已知，，若用“”判定和全等，则需要添加的条件是

A.
B.
C.
D.

9. 下列判断不正确的是

A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则

10. 若关于的不等式组的整数解共有个，则的取值范围是

A.  B.  C.  D.

11. 如图，等边中有一点，且，，，则的度数的为

A.
B.
C.
D.

12. 如图，在中，和的平分线，相交于点，交于，交于，过点作于，下列四个结论：；当时，；若，，则其中正确的是

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

13. 已知，则 ______用“”或“”号填空．
14. 平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是______．
15. 若，那么______．
16. 如图，在中，，于，且，那么______度．

17. 按图中程序计算，规定：从“输入一个值”到“结果是否”为一次程序操作，如果程序操作进行了两次才停止，则的取值范围为______．
     
18. 如图，为等边三角形，，，点为线段上的动点，连接，以为边在下方作等边，连接，则线段的最小值为______．
    
     

三、解答题（本大题共6小题，共60.0分）

19. 解不等式组：并把解集在数轴上表示出来．
    
    
    
    
    
    
    
     
20. 分解因式：．
    
    
    
    
    
    
     
21. 如图，在边长为的正方形组成的网格中建立直角坐标系，的顶点均在格点上，点为原点，点、的坐标分别是，．
    将绕点逆时针旋转后得到，请在图中画出，并求出这时点的坐标为______；
    旋转后的面积为______；
    计算在旋转过程中，线段扫过的图形的弧长．

22. 为了响应节能减排的号召，推动绿色生活方式，某品牌汽车店准备购进型和型两种不同型号的电动汽车共辆进行销售．

如果该店购进辆两种型号的电动汽车所花费成本为万元，那么购进、两种型号的电动汽车各多少辆？
如果为了保证该店购进的型电动汽车不少于型电动汽车的倍，那么辆电动汽车全部售出后，求购进多少辆型电动汽车可使店销售的利润最大，最大利润是多少？






 

23. 已知中，．
    尺规作图不要求写作法，但要保留作图痕迹：
    作的平分线；
    在上作点，使是以为底边的等腰三角形，并求出的度数用含的式子表示；
    在所作的上是否存在着另外的点，使也为等腰三角形，若有，请直接用含的式子表示的大小；若没有，请说明理由．
    
    
    
    
    
    
     
24. 特殊情景：如图，在四边形中，，以点为顶点作一个角，角的两边分别交，于点，，且，连接，若，探究：线段，，之间的数量关系，并说明理由．
    类比猜想：类比特殊情景，在上述条件下，把“”改成一般情况“，”如图，小明猜想：线段，，之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请你写出结论；若不成立，请你写出成立时的取值范围．
    解决问题：如图，在中，，，点，均在边上，且，若，计算的长度．

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】解：既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B.既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
C.不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
D.是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．
 

2.【答案】
 

【解析】解：为等边三角形，
，．
，
，
为的角平分线，
为的中线，
．
故选：．
由为等边三角形，利用等边三角形的性质可得出，，结合，可得出，进而可得出为的角平分线，再利用等边三角形的三线合一可得出为的中线，结合即可求出的长．
本题考查了等边三角形的性质，利用等边三角形的三线合一，找出为的中线是解题的关键．
 

3.【答案】
 

【解析】解：若将原图形上的每个点的横坐标都加上，纵坐标保持不变，
则所得图形的位置与原图形相比向右平移个单位，
故选：。
根据把一个图形各个点的横坐标都加上或减去一个整数，相应的新图形就是把原图形向右或向左平移个单位长度可直接得到答案。
此题主要考查了坐标与图形变化平移，关键是掌握点的坐标的变化规律：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减。
 

4.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了角平分线性质到三角形三条边距离相等的点是三个内角平分线．
【解答】
解：到三角形三条边距离相等的点是三个内角平分线的交点．
故选：．  

5.【答案】
 

【解析】分析
观察函数图象得到当时，函数的图象都在的图象下方，所以不等式的解集为．
本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于或小于的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上或下方部分所有的点的横坐标的取值熟练掌握函数与不等式的关系是解题的关键．
详解
解：根据图像当时，，
即不等式的解集为．
故选D．
 

6.【答案】
 

【解析】解：，
故选：．
利用提公因式法分解即可．
本题考查了因式分解提公因式法，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
 

7.【答案】
 

【解析】解：用不等式表示如图的解集为：．
故选：．
根据图中数轴上所表示的不等式的解集，即可得到答案．
本题考查了在数轴上表示不等式的解集，注意：不等式的解集在数轴上表示出来向右画；，向左画，数轴上的点把数轴分成若干段，在表示解集时“”，“”要用实心圆点表示；“”，“”要用空心圆点表示．
 

8.【答案】
 

【解析】解：，，
，
A.，，符合两直角三角形全等的判定定理，能推出和全等，故本选项符合题意；
B.，，，符合两直角三角形全等的判定定理，不是两直角三角形全等的判定定理，故本选项不符合题意；
C.，，不符合两直角三角形全等的判定定理，不能推出和全等，故本选项不符合题意；
D.，，，符合两直角三角形全等的判定定理，不是两直角三角形全等的判定定理，故本选项不符合题意；
故选：．
根据两直角三角形全等的判定定理逐个判断即可．
本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有，，，，两直角三角形全等还有等．
 

9.【答案】
 

【解析】解：、若，则，此选项正确；
B、若，则，此选项正确；
C、若，则，没有注明，此选项错误；
D、若，则，此选项正确．
故选：．
利用不等式的性质，注意判定得出答案即可．
此题考查不等式的性质：性质、不等式的两边都加上或减去同一个数或同一个式，不等号的方向不变．
性质、不等式两边都乘或除以同一个正数，正数不等号的方向不变．
性质、不等式两边都乘或除以同一个负数，不等号方向改变改变．
 

10.【答案】
 

【解析】解：不等式组整理得：，即，
所以不等式组的整数解有个整数解为，，
则的范围为．
故选：．
表示出不等式组的解集，由整数解有个，确定出的范围即可．
此题考查了一元一次不等式组的整数解，求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
 

11.【答案】
 

【解析】解：为等边三角形，
，
可将绕点逆时针旋转得，
连，如图，
，，，
为等边三角形，
，，
在中，，，，
，
为直角三角形，且，
．
故选：．
将绕点逆时针旋转得，根据旋转的性质得，，，根据等边三角形的性质得到，，根据勾股定理的逆定理可得到为直角三角形，且，即可得到的度数．
本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理，求得是解题的关键．
 

12.【答案】
 

【解析】解：和的平分线相交于点，
，，
，正确；
，
，
，分别是与的平分线，
，
，
，
，
如图，在上取一点，使，
是的角平分线，
，
在和中，，
≌，
，
，

，
在和中，，
≌，
，
，故正确；
作于，于，

和的平分线相交于点，
点在的平分线上，
，

，正确．
故选：．
由角平分线的定义结合三角形的内角和的可求解与的关系，进而判定；在上取一点，使，证得≌，得到，再证得≌，得到，进而判定正确；作于，于，根据三角形的面积可证得正确．
本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，三角形全等的性质和判定，正确作出辅助线证得≌，得到，是解决问题的关键．
 

13.【答案】
 

【解析】解：，
．
故答案为：．
根据不等式的性质判断即可．
本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质，不等式两边同时乘或除以同一个负数时，不等号方向的改变是解题的关键．
 

14.【答案】
 

【解析】

【分析】
此题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律．
根据关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可直接得到答案．
【解答】
解：点关于原点对称的点的坐标是，
故答案为：．  

15.【答案】
 

【解析】解：，
，
，
，
故答案为：．
根据完全平方公式，进行计算即可解答．
本题考查了因式分解运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
 

16.【答案】
 

【解析】解：延长到点，使得，连接，则，如图所示．
，
．
又于，
为等腰三角形，
，
．
在中，，
．
．
．
故答案为：．
延长到点，使得，连接，则，由可得出，结合于可得出为等腰三角形，利用等腰三角形的性质可得出，在中，利用三角形内角和定理可求出，，的度数，再利用三角形外角的性质，即可求出的度数．
本题考查了等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理以及三角形外角的性质，利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理，求出和的度数是解题的关键．
 

17.【答案】
 

【解析】解：由题意得，
解不等式得，，
解不等式得，，
，
故答案为：．
根据运行程序，第一次运算结果小于，第二次运算结果大于等于列出不等式组，然后求解即可．
本题考查了一元一次不等式组的应用，读懂题目信息，理解运行程序并列出不等式组是解题的关键．
 

18.【答案】
 

【解析】解：连接，如图所示，
为等边三角形，为的高，，
，，
为等边三角形，
，，
，
即，
在和中，
，
≌，
，
故当时，由垂线段最短可知最小，
此时，，
．
故答案为：．
连接，如图，由等边三角形的性质来证≌，从而得到，再由垂线段最短可知当时，最小，最后利用含角的直角三角形的性质来求的值．
本题考查了含角的直角三角形的性质，垂线段最短，旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，具有较强的综合性，关键是要学会构造全等三角形来进行角度转化进而求线段的最值．
 

19.【答案】解：
解不等式得：，
解不等式得：，
不等式组的解集是，
在数轴上表示为．
 

【解析】先求出每个不等式的解集，再根据不等式的解集求出不等式组的解集即可．
本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集，能根据不等式的解集得出不等式组的解集是解此题的关键．
 

20.【答案】解：

．
 

【解析】首先提取公因式，进而利用完全平方公式分解因式得出答案．
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．
 

21.【答案】 
 

【解析】解：如图，即为所求．并求出这时点的坐标为．
故答案为：；
旋转后的面积．
故答案为：；
，
线段扫过的图形的弧长

根据旋转变换的性质分别作出，的对应点，即可；
把三角形的面积看成矩形的面积减去周围的三个三角形面积即可；
利用勾股定理求出，再利用弧长公式求解．
本题考查作图旋转变换，弧长公式，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握旋转变换的性质，记住弧长公式．
 

22.【答案】解：设购进型电动汽车辆，购进型电动汽车辆，
根据题意，得：，
解得：，
答：购进型电动汽车辆，型电动汽车辆；

设购进型电动汽车辆，则购进型电动汽车辆，
购进的型电动汽车不少于型电动汽车的倍，
，
即，
根据题意，得：，
．
，
时，利润最大，最大值为：万元，
购进辆型电动汽车可使店销售的利润最大，最大利润是万元．
 

【解析】设购进型电动汽车辆，购进型电动汽车辆，由题意：该店购进辆两种型号的电动汽车所花费成本为万元，列出二元一次方程组，解方程组即可；
设购进型电动汽车辆，则购进型电动汽车辆，由题意：购进的型电动汽车不少于型电动汽车的倍，列出一元一次不等式，解不等式取最小整数值，然后再求出利润的解析式即可．
本题考查了一元一次不等式的应用、二元一次方程组的应用；解题的关键是：找准等量关系，列出二元一次方程组；找出数量关系，列出一元一次不等式．
 

23.【答案】解：如图，射线即为所求；
如图，即为所求；

，
，
，
平分，
，
，
；

存在．当时，
当时，，
综上所述，的值或
 

【解析】利用尺规作出图形即可；
作线段的垂直平分线，交于点，连接，即为所求；
分两种情形：和分别求解即可．
本题考查作图复杂作图，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．
 

24.【答案】解：，理由如下：
如图，将绕点顺时针旋转，得到，

四边形中，，，，
，，
，即点，，共线．
由旋转可得，，．
，
，
，
，
≌，
．
又，
；

成立．；
证明：设，则，
如图，将绕点顺时针旋转得到，

，，，．
，
，
点，，在同一直线上．
，，
，
，
，
又，
≌，
；

如图，将绕点逆时针旋转，得到，连接．

，，，，
，
，
，
，
≌，
，
在中，，
，，
，，即，
．
，
，即，
解得．
 

【解析】将绕点顺时针旋转，得到，据此知，，证≌得，从而得出答案；
将绕点顺时针旋转得到，知，，，，证≌得；
将绕点逆时针旋转，得到，连接据此知，，，，由知，即，从而得易证≌得，根据可得答案．
本题是四边形的综合问题，考查旋转变换的性质，勾股定理，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的有关性质等．熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．