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    2021年中考数学真题知识点分类汇编-图形的相似填空题(含答案,共42题)

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    2021年中考数学真题知识点分类汇编-图形的相似填空题(含答案,共42题)

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    这是一份2021年中考数学真题知识点分类汇编-图形的相似填空题(含答案,共42题),共48页。试卷主要包含了已知==,则=   ,,则=   等内容,欢迎下载使用。
    2021年中考数学真题知识点分类汇编-图形的相似填空题(含答案,共42题)

    一.比例的性质(共2小题)
    1.(2021•大庆)已知==,则=   .
    2.(2021•攀枝花)若(x、y、z均不为0),则=   .
    二.黄金分割(共3小题)
    3.(2021•德阳)我们把宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形.黄金矩形给我们以协调、匀称的美感,世界各国许多著名的建筑,为取得最佳的视觉效果,都采用了黄金矩形的设计.已知四边形ABCD是黄金矩形,边AB的长度为﹣1,则该矩形的周长为    .
    4.(2021•百色)如图,△ABC中,AB=AC,∠B=72°,∠ACB的平分线CD交AB于点D,则点D是线段AB的黄金分割点.若AC=2,则BD=   .

    5.(2021•黄冈)人们把这个数叫做黄金分割数,著名数学家华罗庚优选法中的0.618法就应用了黄金分割数.设a=,b=,得ab=1,记S1=,S2=,…,S10=,则S1+S2+…+S10=   .
    三.平行线分线段成比例(共4小题)
    6.(2021•郴州)如图是一架梯子的示意图,其中AA1∥BB1∥CC1∥DD1,且AB=BC=CD.为使其更稳固,在A,D1间加绑一条安全绳(线段AD1)量得AE=0.4m,则AD1=   m.

    7.(2021•宿迁)如图,在△ABC中,AB=4,BC=5,点D、E分别在BC、AC上,CD=2BD,CE=2AE,BE交AD于点F,则△AFE面积的最大值是    .

    8.(2021•上海)如图所示,已知在梯形ABCD中,AD∥BC,=,则=   .

    9.(2021•连云港)如图,BE是△ABC的中线,点F在BE上,延长AF交BC于点D.若BF=3FE,则=   .

    四.相似三角形的性质(共1小题)
    10.(2021•镇江)如图,点D,E分别在△ABC的边AC,AB上,△ADE∽△ABC,M,N分别是DE,BC的中点,若=,则=   .

    五.相似三角形的判定(共1小题)
    11.(2021•湘潭)如图,在△ABC中,点D,E分别为边AB,AC上的点,试添加一个条件:   ,使得△ADE与△ABC相似.(任意写出一个满足条件的即可)

    六.相似三角形的判定与性质(共26小题)
    12.(2021•山西)如图,在△ABC中,点D是AB边上的一点,且AD=3BD,连接CD并取CD的中点E,连接BE,若∠ACD=∠BED=45°,且CD=6,则AB的长为    .

    13.(2021•内江)如图,矩形ABCD中,AB=6,BC=8,对角线BD的垂直平分线EF交AD于点E、交BC于点F,则线段EF的长为    .

    14.(2021•黔西南州)如图,在Rt△OAB中,∠AOB=90°,OA=OB,AB=1,作正方形A1B1C1D1,使顶点A1,B1分别在OA,OB上,边C1D1在AB上;类似地,在Rt△OA1B1中,作正方形A2B2C2D2;在Rt△OA2B2中,作正方形A3B3C3D3;…;依次作下去,则第n个正方形AnBn∁nDn的边长是    .

    15.(2021•青岛)已知正方形ABCD的边长为3,E为CD上一点,连接AE并延长,交BC的延长线于点F,过点D作DG⊥AF,交AF于点H,交BF于点G,N为EF的中点,M为BD上一动点,分别连接MC,MN.若,则MN+MC的最小值为    .

    16.(2021•济南)如图,一个由8个正方形组成的“C”模板恰好完全放入一个矩形框内,模板四周的直角顶点M,N,O,P,Q都在矩形ABCD的边上,若8个小正方形的面积均为1,则边AB的长为    .

    17.(2021•沈阳)如图,△ABC中,AC=3,BC=4,AB=5.四边形ABEF是正方形,点D是直线BC上一点,且CD=1.P是线段DE上一点,且PD=DE.过点P作直线l与BC平行,分别交AB,AD于点G,H,则GH的长是    .

    18.(2021•朝阳)如图,在矩形ABCD中,AB=1,BC=2,连接AC,过点D作DC1⊥AC于点C1,以C1A,C1D为邻边作矩形AA1DC1,连接A1C1,交AD于点O1,过点D作DC2⊥A1C1于点C2,交AC于点M1,以C2A1,C2D为邻边作矩形A1A2DC2,连接A2C2,交A1D于点O2,过点D作DC3⊥A2C2于点C3,交A1C1于点M2;以C3A2,C3D为邻边作矩形A2A3DC3,连接A3C3,交A2D于点O3,过点D作DC4⊥A3C3于点C4,交A2C2于点M3…若四边形AO1C2M1的面积为S1,四边形A1O2C3M2的面积为S2,四边形A2O3C4M3的面积为S3…四边形An﹣1OnCn+1Mn的面积为Sn,则Sn=   .(结果用含正整数n的式子表示)

    19.(2021•鞍山)如图,△ABC的顶点B在反比例函数y=(x>0)的图象上,顶点C在x轴负半轴上,AB∥x轴,AB,BC分别交y轴于点D,E.若==,S△ABC=13,则k=   .

    20.(2021•抚顺)如图,在△ABC和△DEC中,∠ACB=∠DCE=90°,∠BAC=∠EDC=60°,AC=2cm,DC=1cm.则下列四个结论:①△ACD∽△BCE;②AD⊥BE;③∠CBE+∠DAE=45°;④在△CDE绕点C旋转过程中,△ABD面积的最大值为(2+2)cm2.其中正确的是    .(填写所有正确结论的序号)

    21.(2021•阜新)如图,已知每个小方格的边长均为1,则△ABC与△CDE的周长比为    .

    22.(2021•牡丹江)如图,矩形ABCD中,AD=AB,点E在BC边上,且AE=AD,DF⊥AE于点F,连接DE,BF,BF的延长线交DE于点O,交CD于点G.以下结论:
    ①AF=DC,②OF:BF=CE:CG,③S△BCG=2S△DFG,④图形中相似三角形有6对,则正确结论的序号是    .

    23.(2021•徐州)如图,在△ABC中,点D、E分别在边BA、BC上,且==,△DBE与四边形ADEC的面积的比    .

    24.(2021•益阳)如图,Rt△ABC中,∠BAC=90°,tan∠ABC=,将△ABC绕A点顺时针方向旋转角α(0°<α<90°)得到△AB′C′,连接BB′,CC′,则△CAC′与△BAB′的面积之比等于    .

    25.(2021•营口)如图,DE是△ABC的中位线,F为DE中点,连接AF并延长交BC于点G,若S△EFG=1,则S△ABC=   .

    26.(2021•营口)如图,矩形ABCD中,AB=5,BC=4,点E是AB边上一点,AE=3,连接DE,点F是BC延长线上一点,连接AF,且∠F=∠EDC,则CF=   .

    27.(2021•烟台)《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法.如图所示,在井口A处立一根垂直于井口的木杆AB,从木杆的顶端B观察井水水岸D,视线BD与井口的直径AC交于点E,如果测得AB=1米,AC=1.6米,AE=0.4米,那么CD为    米.

    28.(2021•常州)如图,在△ABC中,AC=3,BC=4,D、E分别在CA、CB上,点F在△ABC内.若四边形CDFE是边长为1的正方形,则sin∠FBA=   .

    29.(2021•包头)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,过点B作BD⊥CB,垂足为B,且BD=3,连接CD,与AB相交于点M,过点M作MN⊥CB,垂足为N.若AC=2,则MN的长为    .

    30.(2021•东营)如图,正方形ABCB1中,AB=,AB与直线l所夹锐角为60°,延长CB1交直线l于点A1,作正方形A1B1C1B2,延长C1B2交直线l于点A2,作正方形A2B2C2B3,延长C2B3交直线l于点A3,作正方形A3B3C3B4…,依此规律,则线段A2020A2021=   .

    31.(2021•大庆)已知,如图①,若AD是△ABC中∠BAC的内角平分线,通过证明可得=,同理,若AE是△ABC中∠BAC的外角平分线,通过探究也有类似的性质.请你根据上述信息,求解如下问题:
    如图②,在△ABC中,BD=2,CD=3,AD是△ABC的内角平分线,则△ABC的BC边上的中线长l的取值范围是    .

    32.(2021•随州)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,O为AB的中点,OD平分∠AOC交AC于点G,OD=OA,BD分别与AC,OC交于点E,F,连接AD,CD,则的值为    ;若CE=CF,则的值为    .

    33.(2021•菏泽)如图,在△ABC中,AD⊥BC,垂足为D,AD=5,BC=10,四边形EFGH和四边形HGNM均为正方形,且点E、F、G、N、M都在△ABC的边上,那么△AEM与四边形BCME的面积比为    .

    34.(2021•岳阳)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E,BE=8,⊙O为△BCE的外接圆,过点E作⊙O的切线EF交AB于点F,则下列结论正确的是    .(写出所有正确结论的序号)
    ①AE=BC;
    ②∠AED=∠CBD;
    ③若∠DBE=40°,则的长为;
    ④=;
    ⑤若EF=6,则CE=2.24.

    35.(2021•南充)如图,在△ABC中,D为BC上一点,BC=AB=3BD,则AD:AC的值为    .

    36.(2021•资阳)如图,在菱形ABCD中,∠BAD=120°,DE⊥BC交BC的延长线于点E.连结AE交BD于点F,交CD于点G.FH⊥CD于点H,连结CF.有下列结论:①AF=CF;②AF2=EF•FG;③FG:EG=4:5;④cos∠GFH=.其中所有正确结论的序号为    .

    37.(2021•遂宁)如图,正方形ABCD中,点E是CD边上一点,连结BE,以BE为对角线作正方形BGEF,边EF与正方形ABCD的对角线BD相交于点H,连结AF,有以下五个结论:
    ①∠ABF=∠DBE;
    ②△ABF∽△DBE;
    ③AF⊥BD;
    ④2BG2=BH•BD;
    ⑤若CE:DE=1:3,则BH:DH=17:16.
    你认为其中正确是    .(填写序号)

    七.相似三角形的应用(共2小题)
    38.(2021•毕节市)学习投影后,小华利用灯光下自己的影子长度来测量一路灯的高度.如图,身高1.7m的小明从路灯灯泡A的正下方点B处,沿着平直的道路走8m到达点D处,测得影子DE长是2m,则路灯灯泡A离地面的高度AB为    m.

    39.(2021•吉林)如图,为了测量山坡的护坡石坝高,把一根长为4.5m的竹竿AC斜靠在石坝旁,量出竿上AD长为1m时,它离地面的高度DE为0.6m,则坝高CF为    m.

    八.位似变换(共3小题)
    40.(2021•黔西南州)如图,△A′B′C′与△ABC是位似图形,点O为位似中心,若OA′=A′A,则△A′B′C′与△ABC的面积比为    .

    41.(2021•黔东南州)已知在平面直角坐标系中,△AOB的顶点分别为点A(2,1)、点B(2,0)、点O(0,0),若以原点O为位似中心,相似比为2,将△AOB放大,则点A的对应点的坐标为    .
    42.(2021•嘉兴)如图,在直角坐标系中,△ABC与△ODE是位似图形,则它们位似中心的坐标是    .


    参考答案与试题解析
    一.比例的性质(共2小题)
    1.(2021•大庆)已知==,则=  .
    【答案】.
    【解析】解:设===k,
    ∴x=2k,y=3k,z=4k,
    ∴===,
    2.(2021•攀枝花)若(x、y、z均不为0),则= 3 .
    【答案】3.
    【解析】解:设===k(k≠0),
    则x=6k,y=4k,z=3k,
    所以,==3.
    二.黄金分割(共3小题)
    3.(2021•德阳)我们把宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形.黄金矩形给我们以协调、匀称的美感,世界各国许多著名的建筑,为取得最佳的视觉效果,都采用了黄金矩形的设计.已知四边形ABCD是黄金矩形,边AB的长度为﹣1,则该矩形的周长为  2+2或4 .
    【解析】解:分两种情况:
    ①边AB为矩形的长时,则矩形的宽为×(﹣1)=3﹣,
    ∴矩形的周长为:2(﹣1+3﹣)=4;
    ②边AB为矩形的宽时,则矩形的长为:(﹣1)÷=2,
    ∴矩形的周长为2(﹣1+2)=2+2;
    综上所述,该矩形的周长为2+2或4.
    4.(2021•百色)如图,△ABC中,AB=AC,∠B=72°,∠ACB的平分线CD交AB于点D,则点D是线段AB的黄金分割点.若AC=2,则BD= 3﹣ .

    【答案】3﹣.
    【解析】解:∵AB=AC=2,
    ∴∠B=∠ACB=72°,∠A=36°,
    ∵CD平分∠ACB,
    ∴∠ACD=∠BCD=36°,
    ∴∠A=∠ACD,
    ∴AD=CD,
    ∵∠CDB=180°﹣∠B﹣∠BCD=72°,
    ∴∠CDB=∠B,
    ∴BC=CD,
    ∴BC=AD,
    ∵∠B=∠B,∠BCD=∠A=36°,
    ∴△BCD∽△BAC,
    ∴BC:AB=BD:BC,
    ∴AD:AB=BD:AD,
    ∴点D是AB边上的黄金分割点,AD>BD,
    ∴AD=AB=﹣1,
    ∴BD=AB﹣AD=2﹣(﹣1)=3﹣,
    5.(2021•黄冈)人们把这个数叫做黄金分割数,著名数学家华罗庚优选法中的0.618法就应用了黄金分割数.设a=,b=,得ab=1,记S1=,S2=,…,S10=,则S1+S2+…+S10= 10 .
    【答案】10.
    【解析】解:∵S1===1,S2===1,…,S10===1,
    ∴S1+S2+…+S10=1+1+…+1=10,
    三.平行线分线段成比例(共4小题)
    6.(2021•郴州)如图是一架梯子的示意图,其中AA1∥BB1∥CC1∥DD1,且AB=BC=CD.为使其更稳固,在A,D1间加绑一条安全绳(线段AD1)量得AE=0.4m,则AD1= 1.2 m.

    【答案】1.2.
    【解析】解:∵BB1∥CC1,
    ∴=,
    ∵AB=BC,
    ∴AE=EF,
    同理可得:AE=EF=FD1,
    ∵AE=0.4m,
    ∴AD1=0.4×3=1.2(m),
    7.(2021•宿迁)如图,在△ABC中,AB=4,BC=5,点D、E分别在BC、AC上,CD=2BD,CE=2AE,BE交AD于点F,则△AFE面积的最大值是   .

    【答案】
    【解析】解:连接DE.

    ∵CD=2BD,CE=2AE,
    ∴==2,
    ∴DE∥AB,
    ∴△CDE∽△CBA,
    ∴==,
    ∴==,
    ∵DE∥AB,
    ∴S△ABE=S△ABD,
    ∴S△AEF=S△BDF,
    ∴S△AEF=S△ABD,
    ∵BD=BC=,
    ∴当AB⊥BD时,△ABD的面积最大,最大值=××4=,
    ∴△AEF的面积的最大值=×=,
    8.(2021•上海)如图所示,已知在梯形ABCD中,AD∥BC,=,则=  .

    【答案】.
    【解析】解:过D作DM⊥BC于M,过B作BN⊥AD于N,如图:

    ∵AD∥BC,DM⊥BC,BN⊥AD,
    ∴四边形BMDN是矩形,DM=BN,
    ∵=,
    ∴=,
    ∴=,
    ∵AD∥BC,
    ∴==,
    ∴=,
    ∴=,
    9.(2021•连云港)如图,BE是△ABC的中线,点F在BE上,延长AF交BC于点D.若BF=3FE,则=  .

    【答案】.
    【解析】解:如图,∵BE是△ABC的中线,
    ∴点E是AC的中点,
    ∴=,
    过点E作EG∥DC交AD于G,
    ∴∠AGE=∠ADC,∠AEG=∠C,
    ∴△AGE∽△ADC,
    ∴,
    ∴DC=2GE,
    ∵BF=3FE,
    ∴,
    ∵GE∥BD,
    ∴∠GEF=∠FBD,∠EGF=∠BDF,
    ∴△GFE∽△DFB,
    ∴==,
    ∴,
    ∴=,

    四.相似三角形的性质(共1小题)
    10.(2021•镇江)如图,点D,E分别在△ABC的边AC,AB上,△ADE∽△ABC,M,N分别是DE,BC的中点,若=,则=  .

    【答案】.
    【解析】解:∵M,N分别是DE,BC的中点,
    ∴AM、AN分别为△ADE、△ABC的中线,
    ∵△ADE∽△ABC,
    ∴==,
    ∴=()2=,
    五.相似三角形的判定(共1小题)
    11.(2021•湘潭)如图,在△ABC中,点D,E分别为边AB,AC上的点,试添加一个条件: ∠ADE=∠C(答案不唯一) ,使得△ADE与△ABC相似.(任意写出一个满足条件的即可)

    【答案】∠ADE=∠C(答案不唯一).
    【解析】解:添加∠ADE=∠C,
    又∵∠A=∠A,
    ∴△ADE∽△ACB,
    六.相似三角形的判定与性质(共26小题)
    12.(2021•山西)如图,在△ABC中,点D是AB边上的一点,且AD=3BD,连接CD并取CD的中点E,连接BE,若∠ACD=∠BED=45°,且CD=6,则AB的长为  4 .

    【答案】4.
    【解析】解:如图,取AD中点F,连接EF,过点D作DG⊥EF于G,DH⊥BE于H,

    设BD=a,
    ∴AD=3BD=3a,AB=4a,
    ∵点E为CD中点,点F为AD中点,CD=6,
    ∴DF=a,EF∥AC,DE=3,
    ∴∠FED=∠ACD=45°,
    ∵∠BED=45°,
    ∴∠FED=∠BED,∠FEB=90°,
    ∵DG⊥EF,DH⊥BE,
    ∴四边形EHDG是矩形,DG=DH,
    ∴四边形DGEH是正方形,
    ∴DE=DG=3,DH∥EF,
    ∴DG=DH=3,
    ∵DH∥EF,
    ∴∠BDH=∠DFG,
    ∴△BDH∽△DFG,
    ∴,
    ∴=,
    ∴BH=2,
    ∴BD===,
    ∴AB=4,
    13.(2021•内江)如图,矩形ABCD中,AB=6,BC=8,对角线BD的垂直平分线EF交AD于点E、交BC于点F,则线段EF的长为   .

    【答案】.
    【解析】解:∵四边形ABCD是矩形,
    ∴∠A=90°,又AB=6,AD=BC=8,
    ∴BD==10,
    ∵EF是BD的垂直平分线,
    ∴OB=OD=5,∠BOF=90°,又∠C=90°,
    ∴△BOF∽△BCD,
    ∴=,
    ∴=,
    解得,OF=,
    ∵四边形ABCD是矩形,
    ∴AD∥BC,∠A=90°,
    ∴∠EDO=∠FBO,
    ∵EF是BD的垂直平分线,
    ∴BO=DO,EF⊥BD,
    在△DEO和△BFO中,

    ∴△DEO≌△BFO(ASA),
    ∴OE=OF,
    ∴EF=2OF=.

    14.(2021•黔西南州)如图,在Rt△OAB中,∠AOB=90°,OA=OB,AB=1,作正方形A1B1C1D1,使顶点A1,B1分别在OA,OB上,边C1D1在AB上;类似地,在Rt△OA1B1中,作正方形A2B2C2D2;在Rt△OA2B2中,作正方形A3B3C3D3;…;依次作下去,则第n个正方形AnBn∁nDn的边长是   .

    【答案】.
    【解析】解:法1:过O作OM⊥AB,交AB于点M,交A1B1于点N,如图所示:

    ∵A1B1∥AB,
    ∴ON⊥A1B1,
    ∵△OAB为斜边为1的等腰直角三角形,
    ∴OM=AB=,
    又∵△OA1B1为等腰直角三角形,
    ∴ON=A1B1=MN,
    ∴ON:OM=1:3,
    ∴第1个正方形的边长A1C1=MN=OM=×=,
    同理第2个正方形的边长A2C2=ON=×=,
    则第n个正方形AnBnDn∁n的边长;
    法2:由题意得:∠A=∠B=45°,
    ∴AC1=A1C1=C1D1=B1D1=BD1,AB=1,
    ∴C1D1=AB=,
    同理可得:C2D2=A1B1=AB=,
    依此类推∁nDn=.
    15.(2021•青岛)已知正方形ABCD的边长为3,E为CD上一点,连接AE并延长,交BC的延长线于点F,过点D作DG⊥AF,交AF于点H,交BF于点G,N为EF的中点,M为BD上一动点,分别连接MC,MN.若,则MN+MC的最小值为  2 .

    【答案】2.
    【解析】解:∵四边形ABCD是正方形,
    ∴A点与C点关于BD对称,
    ∴CM=AM,
    ∴MN+CM=MN+AM≥AN,
    ∴当A、M、N三点共线时,MN+CM的值最小,
    ∵AD∥CF,
    ∴∠DAE=∠F,
    ∵∠DAE+∠DEH=90°,
    ∵DG⊥AF,
    ∴∠CDG+∠DEH=90°,
    ∴∠DAE=∠CDG,
    ∴∠CDG=∠F,
    ∴△DCG∽△FCE,
    ∵,
    ∴=,
    ∵正方形边长为3,
    ∴CF=6,
    ∵AD∥CF,
    ∴==,
    ∴DE=1,CE=2,
    在Rt△CEF中,EF2=CE2+CF2,
    ∴EF==2,
    ∵N是EF的中点,
    ∴EN=,
    在Rt△ADE中,EA2=AD2+DE2,
    ∴AE==,
    ∴AN=2,
    ∴MN+MC的最小值为2,
    16.(2021•济南)如图,一个由8个正方形组成的“C”模板恰好完全放入一个矩形框内,模板四周的直角顶点M,N,O,P,Q都在矩形ABCD的边上,若8个小正方形的面积均为1,则边AB的长为   .

    【答案】.
    【解析】解:如下图所示,连接EG,则∠OEP=90°,

    由题意得,小正方形的边长为1,
    ∴OP===,
    ∵四边形ABCD是矩形,
    ∴∠B=∠C=∠A=90°,∠MQP=90°,
    ∴∠BMQ=∠CQP=90°﹣∠MQP,
    同理∠EPO=∠CQP=90°﹣∠QPC,
    ∴∠BMQ=∠EPO,
    又∠OEP=∠B=90°,
    ∴△OEP∽△QBM,
    ∴===,
    ∴BM===,QB===,
    ∵∠B=∠A=90°,∠NMQ=90°,
    ∴∠BMQ=∠ANM=90°﹣∠AMN,
    在△QBM和△MAN中,

    ∴△QBM≌△MAN(AAS),
    ∴AM=QB=,
    ∴AB=BM+AM=+=.
    17.(2021•沈阳)如图,△ABC中,AC=3,BC=4,AB=5.四边形ABEF是正方形,点D是直线BC上一点,且CD=1.P是线段DE上一点,且PD=DE.过点P作直线l与BC平行,分别交AB,AD于点G,H,则GH的长是  或 .

    【答案】或.
    【解析】解:∵△ABC中,AC=3,BC=4,AB=5,
    ∴AC2+BC2=25,AB2=25,
    ∴AC2+BC2=AB2,
    ∴△ABC为直角三角形,
    ①当点D位于C点左侧时,如图:
    设直线l交BE于点M,

    ∵l∥BC,
    ∴,∠MGB=∠ABC,
    又∵四边形ABEF是正方形,且PD1=D1E,
    ∴BE=AB=5,∠EBA=90°,
    即,
    解得:BM=,
    ∵∠MGB=∠ABC,∠EBA=∠ACB=90°,
    ∴△GBM∽△BCA,
    ∴,
    ∴,
    解得:GB=,
    ∴AG=AB﹣GB=,
    ∵l∥BC,
    ∴△AGH∽△ABD1,
    ∴,
    ∵CD1=1,
    ∴BD1=BC﹣CD1=3,
    ∴,
    解得:GH=;
    ②当点D位于C点右侧时,如图:

    与①同理,此时BD2=BC+CD2=5,
    ∴,
    解得:GH=,
    综上,GH的长为或,
    18.(2021•朝阳)如图,在矩形ABCD中,AB=1,BC=2,连接AC,过点D作DC1⊥AC于点C1,以C1A,C1D为邻边作矩形AA1DC1,连接A1C1,交AD于点O1,过点D作DC2⊥A1C1于点C2,交AC于点M1,以C2A1,C2D为邻边作矩形A1A2DC2,连接A2C2,交A1D于点O2,过点D作DC3⊥A2C2于点C3,交A1C1于点M2;以C3A2,C3D为邻边作矩形A2A3DC3,连接A3C3,交A2D于点O3,过点D作DC4⊥A3C3于点C4,交A2C2于点M3…若四边形AO1C2M1的面积为S1,四边形A1O2C3M2的面积为S2,四边形A2O3C4M3的面积为S3…四边形An﹣1OnCn+1Mn的面积为Sn,则Sn=  .(结果用含正整数n的式子表示)

    【答案】.

    【解析】解:∵四边形ABCD是矩形,
    ∴∠B=90°,AD∥BC,AD=BC=2,CD=AB=1,
    ∴AC===,
    ∵DC1•AC=AB•BC,
    ∴DC1===,
    同理,DC2=DC1=()2,
    DC3=()3,
    ……,
    D∁n=()n,
    ∵=tan∠ACD==2,
    ∴CC1=DC1=,
    ∵tan∠CAD===,
    ∴A1D=AC1=2DC1=,
    ∴AM1=AC1﹣C1M1=2DC1﹣DC1=×DC1=,
    同理,A1M2=×DC2,
    A2M3=×DC3,
    ……,
    An﹣1Mn=×D∁n,
    ∵四边形AA1DC1是矩形,
    ∴O1A=O1D=O1A1=O1C1=1,
    同理∵DC2•A1C1=A1D•DC1,
    ∴DC2===,
    在Rt△DOC中,O1C2====DC2,
    同理,O2C3=DC3,
    O3C4=DC4,
    ……,
    OnCn+1=DCn+1,
    ∴S1==﹣=×AM1×DC1﹣×O1C2×DC2=(﹣)==,
    同理,S2=﹣==×=,
    S3==×=,
    ……,
    Sn==×=.
    19.(2021•鞍山)如图,△ABC的顶点B在反比例函数y=(x>0)的图象上,顶点C在x轴负半轴上,AB∥x轴,AB,BC分别交y轴于点D,E.若==,S△ABC=13,则k= 18 .

    【答案】18.
    【解析】解:如图,过点B作BF⊥x轴于点F.

    ∵AB∥x轴,
    ∴△DBE∽△OCE,
    ∴=,
    ∵==,
    ∴====,
    设CO=3a,DE=3b,则AD=2a,OE=2b,
    ∴,OD=5b,
    ∴BD=,
    ∴AB=AD+DB=,
    ∵S△ABC===13,
    ∴ab=,
    ∵S矩形ODBF=BD•OD===18,
    又∵反比例函数图象在第一象限,
    ∴k=18,
    20.(2021•抚顺)如图,在△ABC和△DEC中,∠ACB=∠DCE=90°,∠BAC=∠EDC=60°,AC=2cm,DC=1cm.则下列四个结论:①△ACD∽△BCE;②AD⊥BE;③∠CBE+∠DAE=45°;④在△CDE绕点C旋转过程中,△ABD面积的最大值为(2+2)cm2.其中正确的是  ①②④ .(填写所有正确结论的序号)

    【答案】①②④.
    【解析】解:∵∠ACB=∠DCE=90°,
    ∴∠ACB+∠ACE=∠DCE+∠ACE,
    ∴∠BCE=∠ACD,
    ∵∠BAC=∠EDC=60°,AC=2cm,DC=1cm,
    ∴tan∠BAC==,tan∠BAC==,
    ∴BC=2cm,CE=cm,
    ∴==2,
    ∴△ACD∽△BCE,故①正确;
    ∵△ACD∽△BCE,
    ∴∠EBC=∠DAC,
    如图,记BE与AD、AC分别交于F、G,

    ∵∠AGF=∠BGC,
    ∴∠BCG=∠BFA=90°,
    ∴AD⊥BE,故②正确;
    ∵∠EBC=∠DAC,
    ∴∠CBE+∠DAE=∠DAC+∠DAE=∠CAE不一定等于45°,故③错误;
    如图,过点C作CH⊥AB于H,

    ∵∠ABC=30°,
    ∴CH=BC=cm,
    ∴D到直线AB的最大距离为CH+CD=(+1)cm,
    ∴△ABD面积的最大值为=(2+2)cm2,故④正确.
    21.(2021•阜新)如图,已知每个小方格的边长均为1,则△ABC与△CDE的周长比为  2:1 .

    【答案】2:1.
    【解析】解:如图,

    分别过点A、点E作AM⊥BD,EN⊥BD,垂足分别为点M、N,
    则∠AMB=∠END=90°,
    ∵BM=2,DN=1,AM=4,EN=2,
    ∴,
    ∴△ABM∽△EDN,
    ∴∠ABM=∠EDN,=2,
    ∴AB∥ED,
    ∴∠BAC=∠EDC,
    又∠ACB=∠DCE,
    ∴△ABC∽△CDE,
    ∴△ABC与△CDE的周长之比为2:1.
    22.(2021•牡丹江)如图,矩形ABCD中,AD=AB,点E在BC边上,且AE=AD,DF⊥AE于点F,连接DE,BF,BF的延长线交DE于点O,交CD于点G.以下结论:
    ①AF=DC,②OF:BF=CE:CG,③S△BCG=2S△DFG,④图形中相似三角形有6对,则正确结论的序号是  ①②③ .

    【答案】①②③.

    【解析】解:①∵AE=AD,AD=AB,
    ∴AE=AB,
    即△ABE是等腰直角三角形,
    ∴∠BAE=45°,
    ∴∠DAF=90°﹣45°=45°,
    即△AFD为等腰直角三角形,
    ∴AF=DF,
    ∵AD∥BC,
    ∴∠ADE=∠DEC,
    ∵AE=AD,
    ∴∠AED=∠ADE,
    ∴∠AED=∠DEC,
    又∵∠DFE=∠DCE=90°,DE=DE,
    ∴△DFE≌△DCE(AAS),
    ∴DF=DC,
    即AF=DC,
    故①正确;
    ②由①知△AFD为等腰直角三角形,
    如图1,作FH⊥AD于H,连接CF,
    ∴点H是AD的中点,
    ∴点F是BG的中点,
    即BF=FG=FC,
    ∵∠AEB=45°,
    ∴∠EFC=∠ECF=∠AEB=22.5°,
    ∴∠FCG=∠FGC=90°﹣22.5°=67.5°,
    ∵∠OFE=∠AFB=(180°﹣45°)=67.5°,∠OEF=90°﹣∠EDF=90°﹣22.5°=67.5°,
    ∴∠FCG=∠FGC=∠OFE=∠OEF,
    ∴△GFC∽△FOE,
    ∴OF:FC=EF:CG,
    又∵FC=BF,EF=CE,
    ∴OF:BF=CE:CG,
    即②正确;
    ③令AB=1,则AD=AE=BC=,
    ∴CE=,
    ∵∠GBC=∠EDC,∠DCE=∠BCG=90°,
    ∴△BCG∽△DCE,
    ∴=,
    即=,
    ∴CG=2﹣,
    ∴DG=1﹣(2﹣)=﹣1,
    ∴CG=DG,
    由②知,点F是BG的中点,作FR⊥DC于R,
    ∴FR∥BC,
    即FR是△GBC的中位线,
    ∴2FR=BC,
    ∵S△DFG=DG•FR,
    ∴S△BCG=BC•CG=×2FR×DG=2×DG•FG,
    ∴S△BCG=2S△DFG成立,
    即③正确;
    ④根据角相等可以得出图形中相似三角形如下:△ABE∽△AFD,这是1对;△ABF∽△OEF∽△ADE,可组成3对;△BCG∽△DCE∽△DFE,又可组成3对;△BEF∽△BOE∽△DOG∽△FDG,还可组成6对,
    综上,图形中相似三角形有13对,故④不正确.
    23.(2021•徐州)如图,在△ABC中,点D、E分别在边BA、BC上,且==,△DBE与四边形ADEC的面积的比   .

    【答案】.
    【解析】解:∵==,则设AD=3m,DB=2m,CE=3k,EB=2k,
    ∴=,=,
    ∴=,
    又∠B=∠B,
    ∴△DBE∽△ABC.
    相似比为,面积比==,
    设S△DBE=4a,则S△ABC=25a,
    ∴S四边形ADEC=25a﹣4a=21a,
    ∴S△DBE:S四边形ADEC=.
    24.(2021•益阳)如图,Rt△ABC中,∠BAC=90°,tan∠ABC=,将△ABC绕A点顺时针方向旋转角α(0°<α<90°)得到△AB′C′,连接BB′,CC′,则△CAC′与△BAB′的面积之比等于  9:4 .

    【答案】9:4.
    【解析】解:由旋转的性质可知,∠BAC=∠B′AC′,
    ∴∠BAB′=∠CAC′,
    ∵AB=AB′,AC=AC′,
    ∴=,
    ∴△ACC′∽△ABB′,
    ∴=()2,
    ∵∠CAB=90°,
    ∴tan∠ABC==,
    ∴=()2=.
    25.(2021•营口)如图,DE是△ABC的中位线,F为DE中点,连接AF并延长交BC于点G,若S△EFG=1,则S△ABC= 24 .

    【答案】24.

    【解析】解:方法一:∵DE是△ABC的中位线,
    ∴D、E分别为AB、BC的中点,
    如图过D作DM∥BC交AG于点M,
    ∵DM∥BC,
    ∴∠DMF=∠EGF,
    ∵点F为DE的中点,
    ∴DF=EF,
    在△DMF和△EGF中,

    ∴△DMF≌△EGF(AAS),
    ∴S△DMF=S△EGF=1,GF=FM,DM=GE,
    ∵点D为AB的中点,且DM∥BC,
    ∴AM=MG,
    ∴FM=AM,
    ∴S△ADM=2S△DMF=2,
    ∵DM为△ABG的中位线,
    ∴=,
    ∴S△ABG=4S△ADM=4×2=8,
    ∴S梯形DMGB=S△ABG﹣S△ADM=8﹣2=6,
    ∴S△BDE=S梯形DMGB=6,
    ∵DE是△ABC的中位线,
    ∴S△ABC=4S△BDE=4×6=24,
    方法二:连接AE,

    ∵DE是△ABC的中位线,
    ∴DE∥AC,DE=AC,
    ∵F是DE的中点,
    ∴=,
    ∴==,
    ∵S△EFG=1,
    ∴S△ACG=16,
    ∵EF∥AC,
    ∴==,
    ∴==,
    ∴S△AEG=S△ACG=4,
    ∴S△ACE=S△ACG﹣S△AEG=12,
    ∴S△ABC=2S△ACE=24,
    26.(2021•营口)如图,矩形ABCD中,AB=5,BC=4,点E是AB边上一点,AE=3,连接DE,点F是BC延长线上一点,连接AF,且∠F=∠EDC,则CF= 6 .

    【答案】6.
    【解析】解:如图,连接EC,过点D作DH⊥EC于H.

    ∵四边形ABCD是矩形,
    ∴∠BAD=∠BCD=90°,AD=BC=4,AB=CD=5,
    ∵AE=3,
    ∴DE===5,
    ∴DE=DC,
    ∵DH⊥EC,
    ∴∠CDH=∠EDH,
    ∵∠F=∠EDC,∠CDH=∠EDC,
    ∴∠CDH=∠F,
    ∵∠BCE+∠DCH=90°,∠DCH+∠CDH=90°,
    ∴∠BCE=∠CDH,
    ∴∠BCE=∠F,
    ∴EC∥AF,
    ∴=,
    ∴=,
    ∴CF=6,
    27.(2021•烟台)《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法.如图所示,在井口A处立一根垂直于井口的木杆AB,从木杆的顶端B观察井水水岸D,视线BD与井口的直径AC交于点E,如果测得AB=1米,AC=1.6米,AE=0.4米,那么CD为  3 米.

    【答案】3.
    【解析】解:由题意知:AB∥CD,
    则∠BAE=∠C,∠B=∠CDE,
    ∴△ABE∽△CDE,
    ∴,
    ∴,
    ∴CD=3米,
    28.(2021•常州)如图,在△ABC中,AC=3,BC=4,D、E分别在CA、CB上,点F在△ABC内.若四边形CDFE是边长为1的正方形,则sin∠FBA=  .

    【答案】.

    ∵四边形CDFE是边长为1的正方形,
    ∴CD=CE=DF=EF=1,∠C=∠ADF=90°,
    ∵AC=3,BC=4,
    ∴AD=2,BE=3,
    ∴AB==5,AF==,BF==,
    设BG=x,
    ∵FG2=AF2﹣AG2=BF2﹣BG2,
    ∴5﹣(5﹣x)2=10﹣x2,解得:x=3,
    ∴FG==1,
    ∴sin∠FBA==.
    29.(2021•包头)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,过点B作BD⊥CB,垂足为B,且BD=3,连接CD,与AB相交于点M,过点M作MN⊥CB,垂足为N.若AC=2,则MN的长为   .

    【答案】.
    【解析】解:∵∠ACB=90°,BD⊥CB,MN⊥CB,
    ∴AC∥MN∥BD,∠CNM=∠CBD,
    ∴∠MAC=∠MBD,∠MCA=∠MDB=∠CMN,
    ∴△MAC∽△MBD,△CMN∽△CDB,
    ∴,,
    ∴,
    ∴,
    ∴MN=.
    30.(2021•东营)如图,正方形ABCB1中,AB=,AB与直线l所夹锐角为60°,延长CB1交直线l于点A1,作正方形A1B1C1B2,延长C1B2交直线l于点A2,作正方形A2B2C2B3,延长C2B3交直线l于点A3,作正方形A3B3C3B4…,依此规律,则线段A2020A2021= 2×()2020 .

    【答案】2×()2020.
    【解析】解:根据题意可知AB1=AB=,∠B1AA1=90°﹣60°=30°,
    ∴tan∠B1AA1==,
    ∴A1B1=AB1×=×=1,AA1=2A1B1=2,
    A2B2=A1B2×=A1B1×=,A1A2=2A2B2=2×,
    A3B3=A2B3×=A2B2×=×=()2,A2A3=2A3B3=2×()2,
    ∴A2021B2021=A2020B2021×=()2020,A2020A2021=2A2021B2021=2×()2020,
    31.(2021•大庆)已知,如图①,若AD是△ABC中∠BAC的内角平分线,通过证明可得=,同理,若AE是△ABC中∠BAC的外角平分线,通过探究也有类似的性质.请你根据上述信息,求解如下问题:
    如图②,在△ABC中,BD=2,CD=3,AD是△ABC的内角平分线,则△ABC的BC边上的中线长l的取值范围是  <l< .

    【答案】<l<.
    解法2:∵AD是△ABC的内角平分线,
    ∴=,
    ∵BD=2,CD=3,
    ∴=,
    可设AB=2k,AC=3k,
    在△ABC中,BC=5,
    ∴5k>5,k<5,
    ∴1<k<5,
    E是BC边的中点,延长AE至A',使得AE=A'E,连结A'C,
    ∴A'C=AB,
    ∴k<2l<5k,
    ∴<l<k,
    ∴<l<,
    【答案】<l<.


    【解析】解:∵AD是△ABC的内角平分线,
    =,
    ∵BD=2,CD=3,
    ∴=,
    作∠BAC的外角平分线AE,与CB的延长线交于点E,
    ∴=,
    ∴,
    ∴BE=10,
    ∴DE=12,
    ∵AD是∠BAC的角平分线,AE是∠BAC外角平分线
    ∴∠EAD=90°,
    ∴点A在以DE为直径的圆上运动,
    取BC的中点为F,
    ∴DF<AF<EF,
    ∴<l<,

    32.(2021•随州)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,O为AB的中点,OD平分∠AOC交AC于点G,OD=OA,BD分别与AC,OC交于点E,F,连接AD,CD,则的值为   ;若CE=CF,则的值为   .

    【答案】;.
    【解析】解:①在Rt△ABC中,∠ACB=90°,O为AB的中点,
    ∴OA=OC=OB,
    ∵OD平分∠AOC,
    ∴OG⊥AC,且点G为AC的中点,
    ∴OG∥BC,且OG=BC,即=;
    ②∵OD=OA,
    ∴OD=OB,
    ∴∠ODB=∠OBD,
    ∵OG⊥AC,
    ∴∠DGE=90°,
    ∴∠GDE+∠DEG=90°,
    ∵CE=CF,
    ∴∠CEF=∠CFE,
    ∵∠CEF=∠DEG,∠CFE=∠OFB,∠ODB=∠OBD,
    ∴∠OFB+∠OBD=90°,
    ∴∠FOB=90°,即CO⊥AB,
    ∴△OBC是等腰直角三角形,
    ∴BC:OB=;
    由(1)知,OG∥BC
    ∴△BCF∽△DOF,
    ∴===.
    33.(2021•菏泽)如图,在△ABC中,AD⊥BC,垂足为D,AD=5,BC=10,四边形EFGH和四边形HGNM均为正方形,且点E、F、G、N、M都在△ABC的边上,那么△AEM与四边形BCME的面积比为  1:3 .

    【答案】1:3.
    【解析】解:∵四边形EFGH和四边形HGNM均为正方形,
    ∴EF=EH=HM,EM∥BC,
    ∴△AEM∽△ABC,
    ∴,
    ∴,
    ∴EF=,
    ∴EM=5,
    ∵△AEM∽△ABC,
    ∴=()2=,
    ∴S四边形BCME=S△ABC﹣S△AEM=3S△AEM,
    ∴△AEM与四边形BCME的面积比为1:3,
    34.(2021•岳阳)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E,BE=8,⊙O为△BCE的外接圆,过点E作⊙O的切线EF交AB于点F,则下列结论正确的是  ②④⑤ .(写出所有正确结论的序号)
    ①AE=BC;
    ②∠AED=∠CBD;
    ③若∠DBE=40°,则的长为;
    ④=;
    ⑤若EF=6,则CE=2.24.

    【答案】②④⑤.
    【解析】解:①∵DE垂直平分AB,
    ∴AE=BE,
    又在Rt△ABC中,∠C=90°,
    ∴BE>BC,
    ∴AE>BC,
    故①错误;
    ②由题可知,四边形DBCE是⊙O的内接四边形,
    ∴∠AED=∠CBD,
    故②正确;
    ③连接OD,

    若∠DBE=40°,则∠DOE=80°,
    ∴的长为=,故③错误;
    ④∵EF是⊙O的切线,
    ∴∠BEF=90°,
    又DE⊥AB,
    ∴∠EDF=∠BEF=90°,
    ∴△EDF∽△BEF,
    ∴=,故④正确;
    ⑤在Rt△BEF中,EF=6,BE=8,
    ∴BF=10,
    由①AE=BE=8,
    ∴∠A=∠ABE,
    又∠C=∠BEF=90°,
    ∴△BEF∽△ACB,
    ∴EF:BE=BC:AC=6:8,
    设BC=6m,则AC=8m,则CE=8m﹣8,
    在Rt△BCE中,由勾股定理可得,EC2+BC2=BE2,即(8m﹣8)2+(6m)2=82,
    解得m=1.28,
    ∴CE=8m﹣8=2.24.故⑤正确.
    35.(2021•南充)如图,在△ABC中,D为BC上一点,BC=AB=3BD,则AD:AC的值为   .

    【答案】.
    【解析】解:∵BC=AB=3BD,
    ∴,
    ∵∠B=∠B,
    ∴△ABC∽△DBA,
    ∴,
    ∴AD:AC=,
    36.(2021•资阳)如图,在菱形ABCD中,∠BAD=120°,DE⊥BC交BC的延长线于点E.连结AE交BD于点F,交CD于点G.FH⊥CD于点H,连结CF.有下列结论:①AF=CF;②AF2=EF•FG;③FG:EG=4:5;④cos∠GFH=.其中所有正确结论的序号为  ①②③④ .

    【答案】①②③④.
    【解析】解:∵四边形ABCD是菱形,
    ∴对角线BD所在直线是菱形ABCD的对称轴,沿直线BD对折,A与C重合,
    ∴AF=CF,故①正确,
    ∠FAD=∠FCD,
    ∵AD∥BC,
    ∴∠FAD=∠FEC,
    ∴∠FCD=∠FEC,
    又∠CFG=∠EFC,
    ∴△CFG∽△EFC,
    ∴=,
    ∴CF2=EF•GF,
    ∴AF2=EF•GF,故②正确,
    ∵菱形ABCD中,∠BAD=120°,
    ∴∠BCD=120°,∠DCE=60°,∠CBD=∠CDB=30°,AD=CD=BC,
    设AD=CD=BC=m,
    ∵DE⊥BC,
    ∴∠DEC=90°,
    Rt△CDE中,CE=CD•cos60°=CD=m,
    ∴BE=m,
    ∵AD∥BE,
    ∴===,
    设AF=2n,则CF=AF=2n,EF=3n,
    又CF2=FG•EF,
    ∴(2n)2=FG•3n,
    ∴FG=n,
    ∴EG=EF﹣FG=n,
    ∴FG:EG=(n):(n)=4:5,故③正确,
    设CE=m=t,
    Rt△CDE中,CD=2t=AD,DE=t,
    Rt△BDE中,BD=2DE=2t,
    ∵AD∥BE,
    ∴===,
    ∴DF=BD=t,
    Rt△DFH中,FH=DF=t,
    Rt△ADE中,AE===t,
    ∴EF=AE=t,
    ∵FG:EG=4:5,
    ∴FG=EF=t,
    Rt△FHG中,cos∠GFH===,故④正确,
    37.(2021•遂宁)如图,正方形ABCD中,点E是CD边上一点,连结BE,以BE为对角线作正方形BGEF,边EF与正方形ABCD的对角线BD相交于点H,连结AF,有以下五个结论:
    ①∠ABF=∠DBE;
    ②△ABF∽△DBE;
    ③AF⊥BD;
    ④2BG2=BH•BD;
    ⑤若CE:DE=1:3,则BH:DH=17:16.
    你认为其中正确是  ①②③④ .(填写序号)

    【答案】①②③④.
    【解析】解:①∵正方形ABCD和正方形BGEF,
    ∴△ABD和△FBE都是等腰直角三角形,
    ∴∠ABD=∠FBE=45°,
    ∴∠ABF=∠DBE;
    ∴①正确,符合题意;
    ②∵△ABD和△FBE都是等腰直角三角形,
    ∴,
    又∵∠ABF=∠DBE,
    ∴△ABF∽△DBE,
    ∴②正确,符合题意;
    ③∵△ABF∽△DBE,
    ∴∠FAB=∠EDB=45°,
    ∴AF⊥BD;
    ∴③正确,符合题意;
    ④∵∠BEH=∠EDB=45°,
    ∠EBH=∠DBE,
    ∴△BEH∽△BDE,
    ∴,
    ∴BE2=BD×BH,
    ∵BE=BG,
    ∴2BG2=BD×BH,
    ∴④正确,符合题意;
    ⑤∵CE:DE=1:3,
    ∴设CE=x,DE=3x,
    ∴BC=4x,
    在Rt△BCE中,
    由勾股定理知:BE=,
    ∵BE2=BD×BH,
    ∴17x2=×BH,
    ∴x,
    ∴DH=x,
    ∴BH:DH=17:15,
    ∴⑤错误,不符合题意;
    七.相似三角形的应用(共2小题)
    38.(2021•毕节市)学习投影后,小华利用灯光下自己的影子长度来测量一路灯的高度.如图,身高1.7m的小明从路灯灯泡A的正下方点B处,沿着平直的道路走8m到达点D处,测得影子DE长是2m,则路灯灯泡A离地面的高度AB为  8.5 m.

    【答案】8.5.
    【解析】解:∵AB⊥BE,CD⊥BE,
    ∴AB∥CD,
    ∴△ECD∽△EAB,
    ∴=,
    ∴=,
    解得:AB=8.5,
    答:路灯灯泡A离地面的高度AB为8.5米,
    39.(2021•吉林)如图,为了测量山坡的护坡石坝高,把一根长为4.5m的竹竿AC斜靠在石坝旁,量出竿上AD长为1m时,它离地面的高度DE为0.6m,则坝高CF为  2.7 m.

    【答案】2.7.
    【解析】解:如图,CF⊥AB,则DE∥CF,
    ∴,即,
    解得CF=2.7,

    八.位似变换(共3小题)
    40.(2021•黔西南州)如图,△A′B′C′与△ABC是位似图形,点O为位似中心,若OA′=A′A,则△A′B′C′与△ABC的面积比为  1:4 .

    【答案】1:4.
    【解析】解:∵OA′=A′A,
    ∴=,
    ∵△A′B′C′与△ABC是位似图形,
    ∴△A′B′C′∽△ABC,
    ∴△A′B′C′与△ABC的面积比=()2=,
    41.(2021•黔东南州)已知在平面直角坐标系中,△AOB的顶点分别为点A(2,1)、点B(2,0)、点O(0,0),若以原点O为位似中心,相似比为2,将△AOB放大,则点A的对应点的坐标为  (4,2)或(﹣4,﹣2) .
    【答案】(4,2)或(﹣4,﹣2).
    【解析】解:如图,观察图象可知,点A的对应点的坐标为(4,2)或(﹣4,﹣2).

    42.(2021•嘉兴)如图,在直角坐标系中,△ABC与△ODE是位似图形,则它们位似中心的坐标是  (4,2) .

    【答案】(4,2).
    【解析】解:如图,

    点G(4,2)即为所求的位似中心.

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