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2021全国中考数学真题分类汇编--.图形与变换 轴对称与折叠
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这是一份2021全国中考数学真题分类汇编--.图形与变换 轴对称与折叠，共66页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021全国中考真题分类汇编（图形与变换）
----轴对称与折叠
一、选择题
1. （2021•甘肃省定西市）2021年是农历辛丑牛年，习近平总书记勉励全国各族人民在新的一年发扬“为民服务孺子牛、创新发展拓荒牛、艰苦奋斗老黄牛”精神，某社区也开展了“迎新春牛年剪纸展”，下面的剪纸作品是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2. （2021•湖北省黄冈市）下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）
A．正三角形 B．正方形 C．正六边形 D．圆
3. （2021•湖南省衡阳市）如图，矩形纸片ABCD，AB＝4，BC＝8，点M、N分别在矩形的边AD、BC上，将矩形纸片沿直线MN折叠，使点C落在矩形的边AD上，记为点P，点D落在G处，连接PC，交MN于点Q，连接CM．下列结论：①四边形CMPN是菱形；②点P与点A重合时，MN＝5；③△PQM的面积S的取值范围是4≤S≤5．其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①②③ B．①② C．①③ D．②③
4. （2021•湖南省衡阳市）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A. B． C． D．
5. （2021•岳阳市）下列品牌的标识中，是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
6. （2021•江苏省连云港） 如图，将矩形纸片沿折叠后，点D、C分别落在点、的位置，的延长线交于点G，若，则等于（ ）
A. B. C. D.
7. （2021•江苏省苏州市）如图，在平行四边形ABCD中，将△ABC沿着AC所在的直线得到△AB′C，连接B′D，若∠B＝60°，AC＝，则B′D的长是（ ）
A．1 B． C． D．
8. （2021•宿迁市）折叠矩形纸片ABCD，使点B落在点D处，折痕为MN，已知AB=8，AD=4，则MN的长是（ ）
A. B. 2 C. D. 4
9. （2021•江西省）如图是用七巧板拼接成的一个轴对称图形（忽略拼接线）小亮改变①的位置，将①分别摆放在图中左，下，右的位置（摆放时无缝隙不重叠），还能拼接成不同轴对称图形的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
10. （2021•陕西省）下列图形中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
11. （2021•山西）为推动世界冰雪运动的发展，我国将于 2022 年举办北京冬奥会.在此之前进行了冬奥会会标的征集活动， 以下是部分参选作品，其文字上方的图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
12. （2021•河北省）如图，直线l，m相交于点O．P为这两直线外一点，且OP＝2.8．若点P关于直线l，m的对称点分别是点P1，P2，则P1，P2之间的距离可能是（ ）
A．0 B．5 C．6 D．7
13. （2021•湖北省黄石市） 下列几何图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）
A. 梯形 B. 等边三角形 C. 平行四边形 D. 矩形
14. （2021•四川省广元市）下列图形均表示医疗或救援的标识，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
15. （2021•四川省凉山州）下面四个交通标志图是轴对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
16. （2021•四川省凉山州）如图，中，，将沿DE翻折，使点A与点B重合，则CE的长为（ ）
A. B. 2 C. D.
17. （2021•遂宁市）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，点E为BC上一点，把△CDE沿DE翻折，点C 恰好落在AB边上的F处，则CE的长是（ ）
A. 1 B. C. D.
18. . (2021•四川省自贡市)如图，在正方形ABCD中，，M是AD边上的一点，．将沿BM对折至，连接DN，则DN的长是（ ）
A. B. C. 3 D.
19. (2021•四川省自贡市)下列图形中，是轴对称图形且对称轴条数最多的是（ ）
A. B.
C. D.
20. （2021•天津市）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
21. （2021•新疆）下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
22. （2021•浙江省嘉兴市）将一张三角形纸片按如图步骤①至④折叠两次得图⑤，然后剪出图⑤中的阴影部分，则阴影部分展开铺平后的图形是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．矩形 D．菱形
23. （2021•浙江省丽水市）如图，在纸片中，，点分别在上，连结，将沿翻折，使点A的对应点F落在的延长线上，若平分，则的长为（ ）
A. B. C. D.
24. （2021•浙江省台州）如图，将长、宽分别为12cm，3cm的长方形纸片分别沿AB，AC折叠，点M，N恰好重合于点P．若∠α＝60°，则折叠后的图案（阴影部分）面积为（ ）
A. （36）cm2 B. （36）cm2 C. 24 cm2 D. 36 cm2
25. （2021•江苏省盐城市）北京2022年冬奥会会徽如图所示，组成会徽的四个图案中是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
26. （2021•内蒙古通辽市）如图，已知AD∥BC，AB⊥BC，AB＝3，点E为射线BC上一个动点，连接AE，将△ABE沿AE折叠，点B落在点B′处，过点B′作AD的垂线，分别交AD，BC于M，N两点，当B′为线段MN的三等分点时，BE的长为（ ）
A． B． C．或 D．或
27. （2021•绥化市）如图所示，在矩形纸片中，，点分别是矩形的边上的动点，将该纸片沿直线折叠．使点落在矩形边上，对应点记为点，点落在处，连接与交于点．则下列结论成立的是（ ）
①；
②当点与点重合时；
③的面积的取值范围是；
④当时，．
A. ①③ B. ③④ C. ②③ D. ②④
28. （2021•绥化市）现实世界中，对称无处不在．在美术字中，有些汉字也具有对称性．下列汉字是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
二．填空题
1. （2021•湖南省邵阳市）如图，已知线段AB长为4．现按照以下步骤作图：
①分别以点A，B为圆心，大于AB长为半径画弧，两弧分别相交于点E，F；
②过E，F两点作直线，与线段AB相交于点O．
则AO的长为 ．
2.（2021•江西省）如图，将▱ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点E处，CE交AD于点F，若∠B＝80°，∠ACE＝2∠ECD，FC＝a，FD＝b，则▱ABCD的周长为 ．
3. （2021•山东省泰安市）如图，将矩形纸片ABCD折叠（AD＞AB），使AB落在AD上，AE为折痕，然后将矩形纸片展开铺在一个平面上，E点不动，将BE边折起，使点B落在AE上的点G处，连接DE，若DE＝EF，CE＝2，则AD的长为 ．
4. （2021•四川省成都市）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝8，点E，F分别在边AD，BC上，且AE＝3，按以下步骤操作：
第一步，沿直线EF翻折，点A的对应点A′恰好落在对角线AC上，点B的对应点为B′，则线段BF的长为 ；
第二步，分别在EF，A′B′上取点M，N，沿直线MN继续翻折，使点F与点E重合，则线段MN的长为 ．
5. （2021•浙江省杭州）如图是一张矩形纸片ABCD，点M是对角线AC的中点，点E在BC边上，把△DCE沿直线DE折叠，使点C落在对角线AC上的点F处，连接DF，EF。若MF=AB，则∠DAF＝ 度．
6. （2021•江苏省盐城市）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，E、F分别是边BC、CD上一点，EF⊥AE，将△ECF沿EF翻折得△ECF，连接AC，当BE＝ 时，△AEC′是以AE为腰的等腰三角形．
7.（2021•重庆市B）如图，△ABC中，点D为边BC的中点，连接AD，将△ADC沿直线AD翻折至△ABC所在平面内，得△ADC′，连接CC′，分别与边AB交于点E，与AD交于点O．若AE＝BE，BC′＝2，则AD的长为 ．
8. （2021•重庆市A）如图，三角形纸片ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，BF＝4，CF＝6，将这张纸片沿直线DE翻折，点A与点F重合．若DE∥BC，AF＝EF，则四边形ADFE的面积为__________．
9. （2021•海南省）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，将此矩形折叠，使点C与点A重合，点D落在点D′处，折痕为EF，则AD′的长为 ，DD′的长为 ．
10. （2021•江苏省无锡市）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝6，点E在线段AC上，且AE＝1，D是线段BC上的一点，连接DE，将四边形ABDE沿直线DE翻折，得到四边形FGDE，当点G恰好落在线段AC上时，AF＝ ．
11. （2021•深圳）如图，在中，D，E分别为，上的点，将沿折叠，得到，连接，，，若，，，则的长为__________.
12.（2021•辽宁省本溪市）如图，将正方形纸片沿折叠，使点C的对称点E落在边上，点D的对称点为点F，交于点G，连接交于点H，连接．下列四个结论中：①；②；③平分；④，正确的是________（填序号即可）．
13. （2021•黑龙江省龙东地区）在矩形中，2cm，将矩形沿某直线折叠，使点与点重合，折痕与直线交于点，且3cm，则矩形的面积为______cm2．
三、解答题
1. （2021•江苏省南京市） 在几何体表面上，蚂蚁怎样爬行路径最短？
（1）如图①，圆锥的母线长为，B为母线的中点，点A在底面圆周上，的长为．在图②所示的圆锥的侧面展开图中画出蚂蚁从点A爬行到点B的最短路径，并标出它的长（结果保留根号）．
（2）图③中的几何体由底面半径相同的圆锥和圆柱组成．O是圆锥的顶点，点A在圆柱的底面圆周上．设圆锥的母线长为l，圆柱的高为h．
①蚂蚁从点A爬行到点O的最短路径的长为________（用含l，h的代数式表示）．
②设的长为a，点B在母线上，．圆柱的侧面展开图如图④所示，在图中画出蚂蚁从点A爬行到点B的最短路径的示意图，并写出求最短路径的长的思路．
2. （2021•山东省菏泽市）在矩形ABCD中，BC＝CD，点E、F分别是边AD、BC上的动点，且AE＝CF，连接EF，将矩形ABCD沿EF折叠，点C落在点G处，点D落在点H处．
（1）如图1，当EH与线段BC交于点P时，求证：PE＝PF；
（2）如图2，当点P在线段CB的延长线上时，GH交AB于点M，求证：点M在线段EF的垂直平分线上；
（3）当AB＝5时，在点E由点A移动到AD中点的过程中，计算出点G运动的路线长．
3. （2021•四川省达州市）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A（0，4），B（0，2），C（3，2）．
（1）将△ABC以O为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A1B1C1；
（2）将△ABC平移后得到△A2B2C2，若点A的对应点A2的坐标为（2，2），求△A1C1C2的面积．
4. （2021•山东省济宁市）研究立体图形问题的基本思路是把立体图形问题转化为平面图形问题．
（1）阅读材料
立体图形中既不相交也不平行的两条直线所成的角，就是将直线平移使其相交所成的角．
例如，正方体ABCD﹣A′B′C′D′（图1），因为在平面AA′C′C中，CC′∥AA'，AA′与AB相交于点A，所以直线AB与AA′所成的∠BAA′就是既不相交也不平行的两条直线AB与CC′所成的角．
解决问题
如图1，已知正方体ABCD﹣A′B′C′D'，求既不相交也不平行的两直线BA′与AC所成角的大小．
（2）如图2，M，N是正方体相邻两个面上的点；
①下列甲、乙、丙三个图形中，只有一个图形可以作为图2的展开图，这个图形是 ；
②在所选正确展开图中，若点M到AB，BC的距离分别是2和5，点N到BD，BC的距离分别是4和3，P是AB上一动点，求PM+PN的最小值．
5. （2021•山东省威海市）如图，先将矩形纸片ABCD沿EF折叠（AB边与DE在CF的异侧），AE交CF于点G；再将纸片折叠，使CG与AE在同一条直线上，折痕为GH．若，纸片宽，则HE＝__________cm．
6. （2021•深圳）如图所示，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1个单位．
（1）过直线m作四边形的对称图形；
（2）求四边形的面积．
答案
2021全国中考真题分类汇编（图形与变换）
----轴对称与折叠
一、选择题
1. （2021•甘肃省定西市）2021年是农历辛丑牛年，习近平总书记勉励全国各族人民在新的一年发扬“为民服务孺子牛、创新发展拓荒牛、艰苦奋斗老黄牛”精神，某社区也开展了“迎新春牛年剪纸展”，下面的剪纸作品是轴对称图形的是（ ）
B． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念判断求解．
【解答】解：A．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B．是轴对称图形，故此选项符合题意；
C．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：B．
2. （2021•湖北省黄冈市）下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）
A．正三角形 B．正方形 C．正六边形 D．圆
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A．正三角形是轴对称图形但不是中心对称图形；
B．正方形既是轴对称图形，故本选项不合题意；
C．正六边形既是轴对称图形，故本选项不合题意；
D．圆既是轴对称图形，故本选项不合题意．
故选：A．
3. （2021•湖南省衡阳市）如图，矩形纸片ABCD，AB＝4，BC＝8，点M、N分别在矩形的边AD、BC上，将矩形纸片沿直线MN折叠，使点C落在矩形的边AD上，记为点P，点D落在G处，连接PC，交MN于点Q，连接CM．下列结论：①四边形CMPN是菱形；②点P与点A重合时，MN＝5；③△PQM的面积S的取值范围是4≤S≤5．其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①②③ B．①② C．①③ D．②③
【分析】先判断四边形CMPN是平行四边形，再根据PN＝CN判断四边形CMPN是菱形，点P与点A重合时设BN＝x，表示出AN＝NC＝8﹣x，利用勾股定理解出x，进而求出MN即可判断②，当MN过D点时，求出四边形CMPN面积的最小值，当P与A重合时，求出四边形面积的最大值，即可判断③．
【解答】解：∵PM∥CN，
∴∠PMN＝∠MNC，
∵∠MNC＝∠PNM，
∴∠PMN＝∠PNM，
∴PM＝PN，
∵NC＝NP，
∴PM＝CN，
∵MP∥CN，
∴四边形CNPM是平行四边形，
∵CN＝NP，
∴四边形CNPM是菱形，
故①正确；
如图1，当点P与A重合时，设BN＝x，则AN＝NC＝8﹣x，
在Rt△ABN中，AB²+BN²＝AN²，
即4²+x²＝(8﹣x)²，
解得x＝3，
∴CN＝8﹣3＝5，
∵AB＝4，BC＝8，
∴AC＝＝4，
∴CQ＝AC＝2，
∴QN＝＝，
∴MN＝2QN＝2，
故②不正确；
由题知，当MN过点D时，CN最短，如图2，四边形CMPN的面积最小，
此时S＝S菱形CMPN＝×4×4＝4，
当P点与A点重合时，CN最长，如图1，四边形CMPN的面积最大，
此时S＝×5×4＝5，
∴4≤S≤5正确，
故选：C．
4. （2021•湖南省衡阳市）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A. B． C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断利用排除法求解．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线成轴对称．
【解答】解：A．是轴对称图形，故本选项符合题意；
B．不是轴对称图形，故本选项不合题意；
C．不是轴对称图形，故本选项不合题意；
D．不是轴对称图形，故本选项不合题意．
故选：A．
5. （2021•岳阳市）下列品牌的标识中，是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
6. （2021•江苏省连云港） 如图，将矩形纸片沿折叠后，点D、C分别落在点、的位置，的延长线交于点G，若，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由矩形得到AD//BC，∠DEF=∠EFG，再由与折叠的性质得到∠DEF=∠GEF=∠EFG，用三角形的外角性质求出答案即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，
∵矩形纸片沿折叠，
∴∠DEF=∠GEF，
又∵AD//BC，
∴∠DEF=∠EFG，
∴∠DEF=∠GEF=∠EFG=64︒，
∵是△EFG的外角，
∴=∠GEF+∠EFG=128︒
故选：A．
7. （2021•江苏省苏州市）如图，在平行四边形ABCD中，将△ABC沿着AC所在的直线得到△AB′C，连接B′D，若∠B＝60°，AC＝，则B′D的长是（ ）
A．1 B． C． D．
【分析】首先根据平行四边形的性质得AD∥BC，AB∥CD，可证出∠CAE＝45°，∠ADC＝60°，根据翻折可得∠ACB′＝∠ACB＝45°，∠AB′C＝∠B＝60°，进而可得∠AEC＝90°，从而可得AE＝CE＝，再根据含30°角的直角三角形的性质求出B′E＝DE＝1，根据勾股定理即可得B′D的长．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠CAE＝∠ACB＝45°，
∵将△ABC沿AC翻折至△AB′C，
∴∠ACB′＝∠ACB＝45°，∠AB′C＝∠B＝60°，
∴∠AEC＝180°﹣∠CAE﹣∠ACB′＝90°，
∴AE＝CE＝AC＝，
∵∠AEC＝90°，∠AB′C＝60°，
∴∠B′AC＝30°，∠DCE＝30°，
∴B′E＝DE＝1，
∴B′D＝＝．
故选：B．
8. （2021•宿迁市）折叠矩形纸片ABCD，使点B落在点D处，折痕为MN，已知AB=8，AD=4，则MN的长是（ ）
A. B. 2 C. D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】连接BM，利用折叠的性质证明四边形BMDN为菱形，设DN＝NB＝x，在RtABD中，由勾股定理求BD，在RtADN中，由勾股定理求x，利用菱形计算面积的两种方法，建立等式求MN．
【详解】解：如图，连接BM，
由折叠可知，MN垂直平分BD，
又AB∥CD，
∴BON≌DOM，
∴ON＝OM，
∴四边形BMDN为菱形（对角线互相垂直平分的四边形是菱形），
设DN＝NB＝x，则AN＝8﹣x，
在RtABD中，由勾股定理得：BD＝＝，
在RtADN中，由勾股定理得：AD2+AN2＝DN2，
即42+（8﹣x）2＝x2，
解得x＝5，
根据菱形计算面积的公式，得
BN×AD＝×MN×BD，
即5×4＝×MN×，
解得MN＝．
故选：B．
9. （2021•江西省）如图是用七巧板拼接成的一个轴对称图形（忽略拼接线）小亮改变①的位置，将①分别摆放在图中左，下，右的位置（摆放时无缝隙不重叠），还能拼接成不同轴对称图形的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】能拼剪为等腰梯形，等腰直角三角形，矩形，由此即可判断．
【解答】解：观察图象可知，能拼接成不同轴对称图形的个数为3个．
故选：B．
10. （2021•陕西省）下列图形中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】利用轴对称图形的定义进行解答即可．
【解答】解：A．不是轴对称图形；
B．是轴对称图形；
C．不是轴对称图形；
D．不是轴对称图形；
故选：B．
11. （2021•山西）为推动世界冰雪运动的发展，我国将于 2022 年举办北京冬奥会.在此之前进行了冬奥会会标的征集活动， 以下是部分参选作品，其文字上方的图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ B ）
12. （2021•河北省）如图，直线l，m相交于点O．P为这两直线外一点，且OP＝2.8．若点P关于直线l，m的对称点分别是点P1，P2，则P1，P2之间的距离可能是（ ）
A．0 B．5 C．6 D．7
【分析】由对称得OP1＝OP＝2.8，OP＝OP2＝2.8，再根据三角形任意两边之和大于第三边，即可得出结果．
【解答】解：连接OP1，OP2，P1P2，
∵点P关于直线l，m的对称点分别是点P1，P2，
∴OP1＝OP＝2.8，OP＝OP2＝2.8，
OP1+OP2＞P1P2，
P1P2＜5.6，
故选：B．
13. （2021•湖北省黄石市） 下列几何图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）
A. 梯形 B. 等边三角形 C. 平行四边形 D. 矩形
【答案】B
【解析】
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义以及性质对各项进行分析即可．
【详解】A、梯形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项说法错误；
B、等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项说法正确；
C、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项说法错误；
D、矩形是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项说法错误．
故选：B．
14. （2021•四川省广元市）下列图形均表示医疗或救援的标识，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据轴对称及中心对称图形的定义逐一判断即可得答案．
【详解】A.是轴对称图形，但不是中心对称图形，故该选项不符合题意，
B.是轴对称图形，但不是中心对称图形，故该选项不符合题意，
C.是轴对称图形，又是中心对称图形，故该选项符合题意，
D.既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故该选项不符合题意，
故选：C.
15. （2021•四川省凉山州）下面四个交通标志图是轴对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，据此进行判断即可．
【详解】解：A、不是轴对称图形，故不合题意；
B、不是轴对称图形，故不合题意；
C、是轴对称图形，故符合题意；
D、不是轴对称图形，故不合题意；
故选C．
16. （2021•四川省凉山州）如图，中，，将沿DE翻折，使点A与点B重合，则CE的长为（ ）
A. B. 2 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先在RtABC中利用勾股定理计算出AB=10，再利用折叠的性质得到AE=BE，AD=BD=5，设AE=x，则CE=AC-AE=8-x，BE=x，在Rt△BCE中根据勾股定理可得到x2=62+（8-x）2，解得x，可得CE．
【详解】解：∵∠ACB=90°，AC=8，BC=6，
∴AB==10，
∵△ADE沿DE翻折，使点A与点B重合，
∴AE=BE，AD=BD=AB=5，
设AE=x，则CE=AC-AE=8-x，BE=x，
在Rt△BCE中
∵BE2=BC2+CE2，
∴x2=62+（8-x）2，解得x=，
∴CE==，
故选：D．
17. （2021•遂宁市）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，点E为BC上一点，把△CDE沿DE翻折，点C 恰好落在AB边上的F处，则CE的长是（ ）
A. 1 B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设CE=x，则BE=3-x由折叠性质可知，EF=CE=x，DF=CD=AB=5，所以AF=4，BF=AB-AF=5-4=1，在Rt△BEF中，由勾股定理得(3-x)2+12=x2，解得x的值即可．
【详解】解：设CE=x，则BE=3-x，
由折叠性质可知，
EF=CE=x，DF=CD=AB=5
在Rt△DAF中，AD=3，DF=5，
∴AF=，
∴BF=AB-AF=5-4=1，
在Rt△BEF中，BE2+BF2=EF2，
即(3-x)2+12=x2，
解得x=，
故选：D．
18. . (2021•四川省自贡市)如图，在正方形ABCD中，，M是AD边上的一点，．将沿BM对折至，连接DN，则DN的长是（ ）
A. B. C. 3 D.
【答案】D
【解析】
【分析】延长MN与CD交于点E，连接BE，过点N作，根据折叠的正方形的性质得到，在中应用勾股定理求出DE的长度，通过证明，利用相似三角形的性质求出NF和DF的长度，利用勾股定理即可求解．
【详解】解：如图，延长MN与CD交于点E，连接BE，过点N作，
∵，M是AD边上的一点，，
∴，，
∵将沿BM对折至，四边形ABCD是正方形，
∴，，
∴(HL)，
∴，
∴，
在中，设，则，
根据勾股定理可得，解得，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
故选：D．
19. (2021•四川省自贡市)下列图形中，是轴对称图形且对称轴条数最多的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用轴对称图形的定义逐一判断即可．
【详解】解：A是轴对称图形，对称轴有1条；
B不是轴对称图形；
C不是轴对称图形；
D是轴对称图形，对称轴有2条；
故选：D．
20. （2021•天津市）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据轴对称图形的概念对各项分析判断即可得解．
【详解】A．是轴对称图形，故本选项符合题意；
B．不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C．不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D．不是轴对称图形，故本选项不符合题意．
故选A．
21. （2021•新疆）下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
22. （2021•浙江省嘉兴市）将一张三角形纸片按如图步骤①至④折叠两次得图⑤，然后剪出图⑤中的阴影部分，则阴影部分展开铺平后的图形是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．矩形 D．菱形
【分析】对折是轴对称得到的图形，根据最后得到的图形可得是沿对角线折叠2次后，剪去一个三角形得到的，按原图返回即可．
【解答】解：如图，由题意可知，剪下的图形是四边形BACD，
由折叠可知CA＝AB，
∴△ABC是等腰三角形，
又△ABC和△BCD关于直线CD对称，
∴四边形BACD是菱形，
故选：D．
23. （2021•浙江省丽水市）如图，在纸片中，，点分别在上，连结，将沿翻折，使点A的对应点F落在的延长线上，若平分，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先根据勾股定理求出AB，再根据折叠性质得出∠DAE=∠DFE，AD=DF，然后根据角平分线的定义证得∠BFD=∠DFE=∠DAE，进而证得∠BDF=90°，证明Rt△ABC∽Rt△FBD，可求得AD的长．
【详解】解：∵，
∴=5，
由折叠性质得：∠DAE=∠DFE，AD=DF，则BD=5﹣AD，
∵平分，
∴∠BFD=∠DFE=∠DAE，
∵∠DAE+∠B=90°，
∴∠BDF+∠B=90°，即∠BDF=90°，
∴Rt△ABC∽Rt△FBD，
∴即，
解得：AD=，
故选：D．
24. （2021•浙江省台州）如图，将长、宽分别为12cm，3cm的长方形纸片分别沿AB，AC折叠，点M，N恰好重合于点P．若∠α＝60°，则折叠后的图案（阴影部分）面积为（ ）
A. （36）cm2 B. （36）cm2 C. 24 cm2 D. 36 cm2
【答案】A
【解析】
【分析】过点C作，过点B作，根据折叠的性质求出，，分别解直角三角形求出AB和AC的长度，即可求解．
【详解】解：如图，过点C作，过点B作，
，
∵长方形纸片分别沿AB，AC折叠，点M，N恰好重合于点P，
∴，
∴，
∴，，，
∴，
∴，
故选：A．
25. （2021•江苏省盐城市）北京2022年冬奥会会徽如图所示，组成会徽的四个图案中是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A．不是轴对称图形，故本选项不合题意；
B．不是轴对称图形，故本选项不合题意；
C．不是轴对称图形，故本选项不合题意；
D．是轴对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
26. （2021•内蒙古通辽市）如图，已知AD∥BC，AB⊥BC，AB＝3，点E为射线BC上一个动点，连接AE，将△ABE沿AE折叠，点B落在点B′处，过点B′作AD的垂线，分别交AD，BC于M，N两点，当B′为线段MN的三等分点时，BE的长为（ ）
A． B． C．或 D．或
【分析】分类画出图形，设BE＝x，由折叠得性质表示出相关线段，再用勾股定理列方程即可解得BE的长．
【解答】解：①当MB'＝MN时，如图：
Rt△AMB'中，AB'＝AB＝3，MB'＝AB＝1，
∴AM＝＝2，
∵AD∥BC，AB⊥BC，MN⊥AD，
∴四边形ABNM是矩形，
∴BN＝AM＝2，MN＝AB＝3，
设BE＝x，则B'E＝x，EN＝2﹣x，
Rt△B'EN中，B'N＝MN﹣MB'＝2，EN2+B'N2＝B'E2，
∴（2﹣x）2+22＝x2，
解得x＝，
∴BE的长为；
②当NB'＝MN时，如图：
∵NB'＝MN＝1，
∴MB'＝2，
设BE＝y，
同①可得y＝，
∴BE的长为，
综上所述，BE的长为或．
故选：D．
27. （2021•绥化市）如图所示，在矩形纸片中，，点分别是矩形的边上的动点，将该纸片沿直线折叠．使点落在矩形边上，对应点记为点，点落在处，连接与交于点．则下列结论成立的是（ ）
①；
②当点与点重合时；
③的面积的取值范围是；
④当时，．
A. ①③ B. ③④ C. ②③ D. ②④
【答案】D
【解析】
【分析】①根据题意可知四边形BFGE为菱形，所以EF⊥BG且BN=GN，若BN=AB，则BG=2AB=6，又因为点E是AD边上的动点，所以3
③当点E与点A重合时，的面积有最小值，当点G与点D重合时的面积有最大值．故<<．
④因为，则EG=BF=6-=．根据勾股定理可得ME= ，从而可求出△MEG的面积．
【详解】解：①根据题意可知四边形BFGE为菱形，
∴EF⊥BG且BN=GN，
若BN=AB，则BG=2AB=6，
又∵点E是AD边上的动点，
∴3
②如图，过点E作EH⊥BC于点H，则EH=AB=3，
在Rt△ABE中
即
解得：AE=，
∴BF=DE=6-=．
∴HF=-=．
在Rt△EFH中
=；
故②正确；
③当点E与点A重合时，如图所示，的面积有最小值= =，
当点G与点D重合时的面积有最大值==．
故<<．
故③错误．
④因为，则EG=BF=6-=．根据勾股定理可得ME= ，
∴．
故④正确．
故选D．
28. （2021•绥化市）现实世界中，对称无处不在．在美术字中，有些汉字也具有对称性．下列汉字是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】直接利用轴对称图形的定义得出答案．
【详解】解：A、“美”是轴对称图形，故本选项符合题意；
B、“丽”不是轴对称图形，故本选项不合题意；
C、“绥”不是轴对称图形，故本选项不合题意；
D、“化”不是轴对称图形，故本选项不合题意．
故选：A．
二．填空题
1. （2021•湖南省邵阳市）如图，已知线段AB长为4．现按照以下步骤作图：
①分别以点A，B为圆心，大于AB长为半径画弧，两弧分别相交于点E，F；
②过E，F两点作直线，与线段AB相交于点O．
则AO的长为 2 ．
【分析】直接利用基本作图方法得出EF垂直平分AB,即可得出答案．
【解答】解：由基本作图方法可得：EF垂直平分AB,
∵AB＝4,
∴AO＝AB＝2．
故答案为：2．
2.（2021•江西省）如图，将▱ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点E处，CE交AD于点F，若∠B＝80°，∠ACE＝2∠ECD，FC＝a，FD＝b，则▱ABCD的周长为 4a+2b ．
【分析】由∠B＝80°，四边形ABCD为平行四边形，折叠的性质可证明△AFC为等腰三角形．所以AF＝FC＝a．设∠ECD＝x，则∠ACE＝2x，在△ADC中，由三角形内角和定理可知，2x+2x+x+80°＝180°，解得x＝20°，由外角定理可证明△DFC为等腰三角形．所以DC＝FC＝a．故平行四边形ABCD的周长为2（DC+AD）＝2（a+a+b）＝2＝4a+2b．
【解答】解：∵∠B＝80°，四边形ABCD为平行四边形．
∴∠D＝80°．
由折叠可知∠ACB＝∠ACE，
又AD∥BC，
∴∠DAC＝∠ACB，
∴∠ACE＝∠DAC，
∴△AFC为等腰三角形．
∴AF＝FC＝a．
设∠ECD＝x，则∠ACE＝2x，
∴∠DAC＝2x，
在△ADC中，由三角形内角和定理可知，2x+2x+x+80°＝180°，
解得：x＝20°．
∴由三角形外角定理可得∠DFC＝4x＝80°，
故△DFC为等腰三角形．
∴DC＝FC＝a．
∴AD＝AF+FD＝a+b，
故平行四边形ABCD的周长为2（DC+AD）＝2（a+a+b）＝2＝4a+2b．
故答案为：4a+2b．
3. （2021•山东省泰安市）如图，将矩形纸片ABCD折叠（AD＞AB），使AB落在AD上，AE为折痕，然后将矩形纸片展开铺在一个平面上，E点不动，将BE边折起，使点B落在AE上的点G处，连接DE，若DE＝EF，CE＝2，则AD的长为 4+2 ．
【分析】证明Rt△EBF≌Rt△EB′D（HL）,推出BF＝DB′,再证明DB′＝EC＝BF＝2,想办法求出AB′,可得结论。
【解答】解：由翻折的性质可知，EB＝EB′,∠B＝∠AB′E＝∠EB′D＝90°,
在Rt△EBF和Rt△EB′D中，
,
∴Rt△EBF≌Rt△EB′D（HL）,
∴BF＝DB′,
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C＝∠CDB′＝∠EB′D＝90°,
∴四边形ECDB′是矩形，
∴DB′＝EC＝2,
∴BF＝EC＝2,
由翻折的性质可知，BF＝FG＝2,∠FAG＝45°,∠AGF＝∠B＝∠AGF＝90°,
∴AG＝FG＝2,
∴AF＝2．
∴AB＝AB′＝2+2,
∴AD＝AB′+DB′＝4+2,
故答案为：4+2。
4. （2021•四川省成都市）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝8，点E，F分别在边AD，BC上，且AE＝3，按以下步骤操作：
第一步，沿直线EF翻折，点A的对应点A′恰好落在对角线AC上，点B的对应点为B′，则线段BF的长为 1 ；
第二步，分别在EF，A′B′上取点M，N，沿直线MN继续翻折，使点F与点E重合，则线段MN的长为 ．
【分析】如图，过点F作FT⊥AD于T,则四边形ABFT是矩形，连接FN,EN,设AC交EF于J.证明△FTE∽△ADC,求出ET＝2,EF＝2,设A′N＝x,根据NF＝NE,可得12+(4﹣x)2＝32+x2,解方程求出x,可得结论。
【解答】解：如图，过点F作FT⊥AD于T,则四边形ABFT是矩形，连接FN,EN,设AC交EF于J．
∵四边形ABFT是矩形，
∴AB＝FT＝4,BF＝AT,
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝4,AD＝BC＝8,∠B＝∠D＝90°
∴AC＝＝4,
∵∠TFE+∠AEJ＝90°,∠DAC+∠AEJ＝90°,
∴∠TFE＝∠DAC,
∵∠FTE＝∠D＝90°,
∴△FTE∽△ADC,
∴＝＝,
∴＝＝,
∴TE＝2,EF＝2,
∴BF＝AT＝AE﹣ET＝3﹣2＝1,
设A′N＝x,
∵NM垂直平分线段EF,
∴NF＝NE,
∴12+(4﹣x)2＝32+x2,
∴x＝1,
∴FN＝＝＝,
∴MN＝＝＝,
故答案为：1，。
5. （2021•浙江省杭州）如图是一张矩形纸片ABCD，点M是对角线AC的中点，点E在BC边上，把△DCE沿直线DE折叠，使点C落在对角线AC上的点F处，连接DF，EF。若MF=AB，则∠DAF＝ 18 度．
【分析】连接DM,利用斜边上的中线等于斜边的一半可得△AMD和△MCD为等腰三角形，∠DAF＝∠MDA,∠MCD＝∠MDC；由折叠可知DF＝DC,可得∠DFC＝∠DCF；由MF＝AB,AB＝CD,DF＝DC,可得FM＝FD,进而得到∠FMD＝∠FDM；利用三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和，可得∠DFC＝2∠FMD；最后在△MDC中，利用三角形的内角和定理列出方程，结论可得．
【解答】解：连接DM,如图：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝90°．
∵M是AC的中点，
∴DM＝AM＝CM,
∴∠FAD＝∠MDA,∠MDC＝∠MCD．
∵DC,DF关DE对称，
∴DF＝DC,
∴∠DFC＝∠DCF．
∵MF＝AB,AB＝CD,
∴MF＝FD．
∴∠FMD＝∠FDM．
∵∠DFC＝∠FMD+∠FDM,
∴∠DFC＝2∠FMD．
∵∠DMC＝∠FAD+∠ADM,
∴∠DMC＝2∠FAD．
设∠FAD＝x°,则∠DFC＝8x°,
∴∠MCD＝∠MDC＝4x°．
∵∠DMC+∠MCD+∠MDC＝180°,
∴2x+3x+4x＝180．
∴x＝18．
故答案为：18．
6. （2021•江苏省盐城市）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，E、F分别是边BC、CD上一点，EF⊥AE，将△ECF沿EF翻折得△ECF，连接AC，当BE＝ 或 时，△AEC′是以AE为腰的等腰三角形．
【分析】设BE＝x，则EC＝4﹣x，由翻折得：EC′＝EC＝4﹣x．当AE＝EC′时，由勾股定理得：32+x2＝（4﹣x）2；当AE＝AC’时，作AH⊥EC’，由∠AEF＝90°，EF平方∠CEC′可证得∠AEB＝∠AEH，则△ABE≌△AHE，所以BE＝HE＝x，由三线合一得EC′＝2EH，即4﹣x＝2x，解方程即可．
【解答】解：设BE＝x，则EC＝4﹣x，
由翻折得：EC′＝EC＝4﹣x，当AE＝EC′时，AE＝4﹣x，
∵矩形ABCD，
∴∠B＝90°，
由勾股定理得：32+x2＝（4﹣x）2，
解得：，
当AE＝AC′时，如图，作AH⊥EC′
∵EF⊥AE，
∴∠AEF＝∠AEC′+∠FEC′＝90°，
∴∠BEA+∠FEC＝90°，
∵△ECF沿EF翻折得△ECF，
∴∠FEC′＝∠FEC，
∴∠AEB＝∠AEH，
∵∠B＝∠AHE＝90°，AH＝AH，
∴△ABE≌△AHE（AAS），
∴BE＝HE＝x，
∵AE＝AC′时，作AH⊥EC′，
∴EC′＝2EH，
即4﹣x＝2x，
解得，
综上所述：BE＝或．
故答案为：或．
7. （2021•重庆市B）如图，△ABC中，点D为边BC的中点，连接AD，将△ADC沿直线AD翻折至△ABC所在平面内，得△ADC′，连接CC′，分别与边AB交于点E，与AD交于点O．若AE＝BE，BC′＝2，则AD的长为 3 ．
【分析】根据翻折的性质和三角形的中位线可以得到OD的长，然后全等三角形的判定和性质可以得到AO的长，从而可以求得AD的长．
【解答】解：由题意可得，
△DCAQ≌△DC′A，OC＝OC′，∠COD＝∠C′OD＝90°，
∴点O为CC′的中点，
∵点D为BC的中点，
∴OD是△BCC′的中位线，
∴OD＝BC′，OD∥BC′，
∴∠COD＝∠EC′B＝90°，
∵AE＝BE，BC′＝2，
∴OD＝1，
在△EC′B和△EOA中，
，
∴△EC′B≌△EOA（AAS），
∴BC′＝AO，
∴AO＝2，
∴AD＝AO+OD＝2+1＝3，
故答案为：3．
8. （2021•重庆市A）如图，三角形纸片ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，BF＝4，CF＝6，将这张纸片沿直线DE翻折，点A与点F重合．若DE∥BC，AF＝EF，则四边形ADFE的面积为__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据折叠的性质得到DE为的中位线，利用中位线定理求出DE的长度，再解求出AF的长度，即可求解．
【详解】解：∵将这张纸片沿直线DE翻折，点A与点F重合，
∴DE垂直平分AF，，，，
∵DE∥BC，
∴，，，
∴，
∴，
∴，即D为AB的中点，
∴DE为的中位线，
∴，
∵AF＝EF，
∴是等边三角形，
在中，，，
∴，
∴，
∴四边形ADFE的面积为，
故答案为：．
9. （2021•海南省）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，将此矩形折叠，使点C与点A重合，点D落在点D′处，折痕为EF，则AD′的长为 6 ，DD′的长为 ．
10. （2021•江苏省无锡市）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝6，点E在线段AC上，且AE＝1，D是线段BC上的一点，连接DE，将四边形ABDE沿直线DE翻折，得到四边形FGDE，当点G恰好落在线段AC上时，AF＝ ．
【分析】由折叠的性质可得AB＝FG＝2，AE＝EF＝1，∠BAC＝∠EFG＝90°，在Rt△EFG中，由勾股定理可求EG＝3，由锐角三角函数可求EH，HF的长，在Rt△AHF中，由勾股定理可求AF．
【解答】解：如图，过点F作FH⊥AC于H，
∵将四边形ABDE沿直线DE翻折，得到四边形FGDE，
∴AB＝FG＝2，AE＝EF＝1，∠BAC＝∠EFG＝90°，
∴EG＝＝＝3，
∵sin∠FEG＝，
∴，
∴HF＝，
∵cos∠FEG＝，
∴，
∴EH＝，
∴AH＝AE+EH＝，
∴AF＝＝＝，
故答案为：．
11. （2021•深圳）如图，在中，D，E分别为，上的点，将沿折叠，得到，连接，，，若，，，则的长为__________.
【解答】
解法1：如图，延长，交于点G，
由折叠，可知，
∵，∴，
延长，，交于点M，
∵，且，
∴四边形为平行四边形，
∴，
又易证，
∴，
∵，
∴．
解法2：如图，延长，交于点G，
由折叠，可知，
∵，
∴，
∴，
延长，，交于点M，
∵，
∴，，
∴，
∵，，
∴，，
∴．
解法3：由题意易证点D为的中点，
如图，取的中点M，连接，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，且，
∴．
解法4：由折叠，易证，
∴，∴，
过点F作，交延长线于点M，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，，
∴，
∴．
解法5：如图过点B作，交于点M，
∴四边形为平行四边形，
且，
由折叠，可知，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，，
∵，
∴．
解法6：
延长至点M，使得，连接，
易证，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
12. （2021•辽宁省本溪市）如图，将正方形纸片沿折叠，使点C的对称点E落在边上，点D的对称点为点F，交于点G，连接交于点H，连接．下列四个结论中：①；②；③平分；④，正确的是________（填序号即可）．
【答案】①③④．
【解析】
【分析】①用有两个角对应相等的两个三角形相似进行判定即可；
②过点C作CM⊥EG于M，通过证明△BEC≌△MEC进而说明△CMG≌△CDG，可得S△CEG=S△BEC+S△CDG>S△BEC＋S四边形CDQH ；
③由折叠可得:∠GEC=∠DCE，由AB∥CD可得∠BEC=∠DCE，结论③成立；
④连接DH，MH，HE，由△BEC≌△MEC，△CMG≌△CDG可知：∠BCE=∠MCE,∠MCG=∠DCG，则∠ECG=∠ECM+∠GCM=∠BCD，由于EC⊥HP，则∠CHP=45°，由折叠可得:∠EHP=∠CHP=45°，利用勾股定理可得 EG2-EH2=GH2，由CM⊥EG，EH⊥CG，得到∠EMC=∠EHC=90°，所以E，M，H，C四点共圆，通过△CMH≌△CDH，易证△GHQ∽△GDH，则得GH2=GQ·GD，从而说明④成立．
【详解】解：①∵四边形ABCD是正方形,
∴∠A=∠B=∠BCD=∠D=90°由折叠可知:
∠GEP=∠BCD=90°，∠F=∠D=90
∴∠BEP+∠AEG=90°，
∵∠A=90°
∴∠AEG+∠AGE=90°，
∴∠BEP=∠AGE，
∵∠FGQ=∠AGE，
∴∠BEP=∠FGQ，
∵∠B=∠F=90，
∴△PBE~△QFG，
故①说法正确，符合题意；
②过点C作CM⊥EG于M，
由折叠可得:∠GEC=∠DCE，
∵AB∥CD，
∴∠BEC=∠DCE，∠BEC=∠GEC，
在△BEC和△MEC中，
∵∠B=∠EMC=90°，∠BEC=∠GEC， CE= CE
∴△BEC≌△MEC(AAS)
∴CB=CM，S△BEC=S△MBC ，
∵CG=CG，
∴Rt△CMG≌Rt△CDG(HL)，
∴S△CMG=S△CDG ，
∴S△CEG=S△BEC+S△CDG>S△BEC +S四边形CDQH
∴②说法不正确，不符合题意；
③由折叠可得:∠GEC=∠DCE，
∵AB∥CD，
∴∠BEC=∠DCE，
∴∠BEC=∠GEC，即EC平分∠BEG
∴③说法正确，符合题意；
④连接DH，MH，HE，如图：
∵△BEC≌△MEC，△CMG≌△CDG，
∴∠BCE=∠MCE，∠MCG=∠DCG，
∴∠ECG=∠ECM+∠GCM=∠BCD=45°，
∵EC⊥HP，
∴∠CHP=45°，
∴GHQ=∠CHP=45°，
由折叠可得:∠EHP=∠CHP=45°，
∴EH⊥CG
∴EG2 -EH2=GH2
由折叠可知:EH=CH
∴EG2 -CH2= GH2，
∵CM⊥EG，EH⊥CG，
∴∠EMC=∠EHC=90°，
∴E，M，H，C四点共圆，
∴∠HMC=∠HEC=45°，
在△CMH和△CDH中，
∵CM=CD，∠MCG=∠DCG， CH= CH
∴△CMH≌△CDH(SAS)
∴∠CDH=∠CMH=45 °，
∵∠CDA=90°，
∴∠GDH=45°
∵∠GHQ=∠CHP=45°，
∴∠GHQ=∠GDH=45°，
∵∠HGQ=∠DGH，
∴△GHQ∽△GDH ，
∴，
∴GH2=GQ·GD
∴GE2-CH2=GQ·GD
故④说法正确，符合题意；
综上可得，正确的结论有:①③④
故答案为：①③④．
13. （2021•黑龙江省龙东地区）在矩形中，2cm，将矩形沿某直线折叠，使点与点重合，折痕与直线交于点，且3cm，则矩形的面积为______cm2．
【答案】或
【解析】
【分析】根据题意可分当折痕与直线AD的交点落在线段AD上和AD外，然后根据折叠的性质及勾股定理可求解．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，
①当点E在线段AD上时，如图所示：
由折叠的性质可得，
∵3cm，
∴在中，，
∴，
∴；
②当点E在线段AD外时，如图所示：
由轴对称的性质可得，
∴在Rt△EAB中，，
∴，
∴；
综上所述：矩形ABCD的面积为或；
故答案为或．
三、解答题
1. （2021•江苏省南京市） 在几何体表面上，蚂蚁怎样爬行路径最短？
（1）如图①，圆锥的母线长为，B为母线的中点，点A在底面圆周上，的长为．在图②所示的圆锥的侧面展开图中画出蚂蚁从点A爬行到点B的最短路径，并标出它的长（结果保留根号）．
（2）图③中的几何体由底面半径相同的圆锥和圆柱组成．O是圆锥的顶点，点A在圆柱的底面圆周上．设圆锥的母线长为l，圆柱的高为h．
①蚂蚁从点A爬行到点O的最短路径的长为________（用含l，h的代数式表示）．
②设的长为a，点B在母线上，．圆柱的侧面展开图如图④所示，在图中画出蚂蚁从点A爬行到点B的最短路径的示意图，并写出求最短路径的长的思路．
【答案】（1）作图如图所示；（2）①h +l；②见解析．
【解析】
【分析】（1）根据两点之间线段最短，即可得到最短路径；连接OA，AC，可以利用弧长与母线长求出∠AOC，进而证明出△OAC是等边三角形，利用三角函数即可求解；
（2）①由于圆锥底面圆周上的任意一点到圆锥顶点的距离都等于母线长，因此只要蚂蚁从点A爬到圆锥底面圆周上的路径最短即可，因此顺着圆柱侧面的高爬行，所以得出最短路径长即为圆柱的高h加上圆锥的母线长l；
②如图，根据已知条件，设出线段GC的长后，即可用它分别表示出OE、BE、GE、AF，进一步可以表示出BG、GA，根据B、G、A三点共线，在Rt△ABH中利用勾股定理建立方程即可求出GC的长，最后依次代入前面线段表达式中即可求出最短路径长．
【详解】解：（1）如图所示，线段AB即为蚂蚁从点A爬行到点B的最短路径；
设∠AOC=n°，
∵圆锥的母线长为， 的长为，
∴，
∴；
连接OA、CA，
∵，
∴是等边三角形，
∵B为母线的中点，
∴，
∴．
（2）① 蚂蚁从点A爬行到点O的最短路径为：先沿着过A点且垂直于地面的直线爬到圆柱的上底面圆周上，再沿圆锥母线爬到顶点O上，因此，最短路径长为h+l
② 蚂蚁从点A爬行到点B的最短路径的示意图如下图所示，线段AB即为其最短路径（G点为蚂蚁在圆柱上底面圆周上经过的点，图中两个C点为图形展开前图中的C点）；
求最短路径的长的思路如下：如图，连接OG，并过G点作GF⊥AD，垂足为F，由题可知，，GF=h， OB=b，
由的长为a，得展开后的线段AD=a，设线段GC的长为x，则的弧长也为x，由母线长为l，可求出∠COG，
作BE⊥OG，垂足为E，
因为OB=b，可由三角函数求出OE和BE，从而得到GE，利用勾股定理表示出BG，
接着由FD=CG=x，得到AF=a-x，利用勾股定理可以求出AG，
将AF+BE即得到AH，将EG+GF即得到HB，
因为两点之间线段最短，∴A、G、B三点共线，
利用勾股定理可以得到：,进而得到关于x的方程，即可解出x，
将x的值回代到BG和AG中，求出它们的和即可得到最短路径的长．
2. （2021•山东省菏泽市）在矩形ABCD中，BC＝CD，点E、F分别是边AD、BC上的动点，且AE＝CF，连接EF，将矩形ABCD沿EF折叠，点C落在点G处，点D落在点H处．
（1）如图1，当EH与线段BC交于点P时，求证：PE＝PF；
（2）如图2，当点P在线段CB的延长线上时，GH交AB于点M，求证：点M在线段EF的垂直平分线上；
（3）当AB＝5时，在点E由点A移动到AD中点的过程中，计算出点G运动的路线长．
【分析】（1）欲证明PE＝PF，只要证明∠PEF＝∠PFE．
（2）连接AC交EF于O，连接PM，PO．首先证明P，M，O共线，再利用等腰三角形的三线合一的性质解决问题即可．
（3）如图3中，由题意，点E由点A移动到AD中点的过程中，点G运动的路径是图中弧BC．利用弧长公式，解决问题即可．
【解答】（1）证明：如图1中，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DEF＝∠EFB，
由翻折变换可知，∠DEF＝∠PEF，
∴∠PEF＝∠PFE，
∴PE＝PF．
（2）证明：如图2中，连接AC交EF于O，连接PM，PO．
∵AE∥CF，
∴∠EAO＝∠FCO，
∵AE＝CF，∠AOE＝∠COF，
∴△AEO≌△CFO（AAS），
∴OE＝OF，
∵PE＝PF，
∴PO平分∠EPF，
∵PE＝PF，AD＝BC，AE＝FC，
∴ED＝BF，
由折叠的性质可知ED＝EH，所以BF＝EH，
∴PE﹣EH＝PF﹣BF，
∴PB＝PH，
∵∠PHM＝∠PBM＝90°，PM＝PM，
∴Rt△PMH≌Rt△PMB（HL），
∴PM平分∠EPF，
∴P．M，O共线，
∵PO⊥EF，OE＝OF，
∴点M在线段EF的垂直平分线上．
（3）如图3中，由题意，点E由点A移动到AD中点的过程中，点G运动的路径是图中弧BC．
在Rt△BCD中，tan∠CBD＝＝，
∴∠CBD＝30°，
∴∠ABO＝∠OAB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA＝OD＝OB＝OC＝AB＝5，∠BOC＝120°，
∴点G运动的路径的长＝＝π．
故答案为：π．
3. （2021•四川省达州市）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A（0，4），B（0，2），C（3，2）．
（1）将△ABC以O为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A1B1C1；
（2）将△ABC平移后得到△A2B2C2，若点A的对应点A2的坐标为（2，2），求△A1C1C2的面积．
【分析】（1）根据中心对称的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可．
（2）根据平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点A2，B2，C2即可，再根据三角形的面积公式求出△A1C1C2的面积．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C8即为所求．
（2）如图，△A2B2C4即为所求．△A1C1C6的面积＝×6×4＝6．
4. （2021•山东省济宁市）研究立体图形问题的基本思路是把立体图形问题转化为平面图形问题．
（1）阅读材料
立体图形中既不相交也不平行的两条直线所成的角，就是将直线平移使其相交所成的角．
例如，正方体ABCD﹣A′B′C′D′（图1），因为在平面AA′C′C中，CC′∥AA'，AA′与AB相交于点A，所以直线AB与AA′所成的∠BAA′就是既不相交也不平行的两条直线AB与CC′所成的角．
解决问题
如图1，已知正方体ABCD﹣A′B′C′D'，求既不相交也不平行的两直线BA′与AC所成角的大小．
（2）如图2，M，N是正方体相邻两个面上的点；
①下列甲、乙、丙三个图形中，只有一个图形可以作为图2的展开图，这个图形是 丙 ；
②在所选正确展开图中，若点M到AB，BC的距离分别是2和5，点N到BD，BC的距离分别是4和3，P是AB上一动点，求PM+PN的最小值．
【分析】（1）如图1中，连接BC′．证明△A′BC′是等边三角形，推出∠BA′C′＝60°，由题意可知∠C′A′B是两条直线AC与BA′所成的角．
（2）根据立方体平面展开图的特征，解决问题即可．
（3）如图丙中，作点N关于AD的对称点K，连接MK交AD于P，连接PN，此时PM+PN的值最小，最小值为线段MK的值，过点M作MJ⊥NK于J．利用勾股定理求出MK即可．
【解答】解：（1）如图1中，连接BC′．
∵A′B＝BC′＝A′C′，
∴△A′BC′是等边三角形，
∴∠BA′C′＝60°，
∵AC∥A′C′，
∴∠C′A′B是两条直线AC与BA′所成的角，
∴两直线BA′与AC所成角为60°．
（2）①观察图形可知，图形丙是图2的展开图，
故答案为：丙．
②如图丙中，作点N关于AD的对称点K，连接MK交AD于P，连接PN，此时PM+PN的值最小，最小值为线段MK的值，过点M作MJ⊥NK于J．
由题意在Rt△MKJ中，∠MJK＝90°，MJ＝5+3＝8，JK＝8﹣（4﹣2）＝6，
∴MK＝＝＝10，
∴PM+PN的最小值为10．
5. （2021•山东省威海市）如图，先将矩形纸片ABCD沿EF折叠（AB边与DE在CF的异侧），AE交CF于点G；再将纸片折叠，使CG与AE在同一条直线上，折痕为GH．若，纸片宽，则HE＝__________cm．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，证明四边形是平行四边形，运用的正弦和余弦的关系，求出HE．
【详解】如图，分别过作， 垂足分别为
则
根据题意，，因为折叠，则
四边形ABCD是矩形
同理
四边形是平行四边形
，
中，
故答案为：．
6. （2021•深圳）如图所示，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1个单位．
（1）过直线m作四边形的对称图形；
（2）求四边形的面积．
【解答】（1）如图所示：
（2）．
2021全国中考真题分类汇编（图形与变换）
----轴对称与折叠
一、选择题
1. （2021•甘肃省定西市）2021年是农历辛丑牛年，习近平总书记勉励全国各族人民在新的一年发扬“为民服务孺子牛、创新发展拓荒牛、艰苦奋斗老黄牛”精神，某社区也开展了“迎新春牛年剪纸展”，下面的剪纸作品是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2. （2021•湖北省黄冈市）下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）
A．正三角形 B．正方形 C．正六边形 D．圆
3. （2021•湖南省衡阳市）如图，矩形纸片ABCD，AB＝4，BC＝8，点M、N分别在矩形的边AD、BC上，将矩形纸片沿直线MN折叠，使点C落在矩形的边AD上，记为点P，点D落在G处，连接PC，交MN于点Q，连接CM．下列结论：①四边形CMPN是菱形；②点P与点A重合时，MN＝5；③△PQM的面积S的取值范围是4≤S≤5．其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①②③ B．①② C．①③ D．②③
4. （2021•湖南省衡阳市）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A. B． C． D．
5. （2021•岳阳市）下列品牌的标识中，是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
6. （2021•江苏省连云港） 如图，将矩形纸片沿折叠后，点D、C分别落在点、的位置，的延长线交于点G，若，则等于（ ）
A. B. C. D.
7. （2021•江苏省苏州市）如图，在平行四边形ABCD中，将△ABC沿着AC所在的直线得到△AB′C，连接B′D，若∠B＝60°，AC＝，则B′D的长是（ ）
A．1 B． C． D．
8. （2021•宿迁市）折叠矩形纸片ABCD，使点B落在点D处，折痕为MN，已知AB=8，AD=4，则MN的长是（ ）
A. B. 2 C. D. 4
9. （2021•江西省）如图是用七巧板拼接成的一个轴对称图形（忽略拼接线）小亮改变①的位置，将①分别摆放在图中左，下，右的位置（摆放时无缝隙不重叠），还能拼接成不同轴对称图形的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
10. （2021•陕西省）下列图形中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
11. （2021•山西）为推动世界冰雪运动的发展，我国将于 2022 年举办北京冬奥会.在此之前进行了冬奥会会标的征集活动， 以下是部分参选作品，其文字上方的图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
12. （2021•河北省）如图，直线l，m相交于点O．P为这两直线外一点，且OP＝2.8．若点P关于直线l，m的对称点分别是点P1，P2，则P1，P2之间的距离可能是（ ）
A．0 B．5 C．6 D．7
13. （2021•湖北省黄石市） 下列几何图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）
A. 梯形 B. 等边三角形 C. 平行四边形 D. 矩形
14. （2021•四川省广元市）下列图形均表示医疗或救援的标识，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
15. （2021•四川省凉山州）下面四个交通标志图是轴对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
16. （2021•四川省凉山州）如图，中，，将沿DE翻折，使点A与点B重合，则CE的长为（ ）
A. B. 2 C. D.
17. （2021•遂宁市）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，点E为BC上一点，把△CDE沿DE翻折，点C 恰好落在AB边上的F处，则CE的长是（ ）
A. 1 B. C. D.
18. . (2021•四川省自贡市)如图，在正方形ABCD中，，M是AD边上的一点，．将沿BM对折至，连接DN，则DN的长是（ ）
A. B. C. 3 D.
19. (2021•四川省自贡市)下列图形中，是轴对称图形且对称轴条数最多的是（ ）
A. B.
C. D.
20. （2021•天津市）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
21. （2021•新疆）下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
22. （2021•浙江省嘉兴市）将一张三角形纸片按如图步骤①至④折叠两次得图⑤，然后剪出图⑤中的阴影部分，则阴影部分展开铺平后的图形是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．矩形 D．菱形
23. （2021•浙江省丽水市）如图，在纸片中，，点分别在上，连结，将沿翻折，使点A的对应点F落在的延长线上，若平分，则的长为（ ）
A. B. C. D.
24. （2021•浙江省台州）如图，将长、宽分别为12cm，3cm的长方形纸片分别沿AB，AC折叠，点M，N恰好重合于点P．若∠α＝60°，则折叠后的图案（阴影部分）面积为（ ）
A. （36）cm2 B. （36）cm2 C. 24 cm2 D. 36 cm2
25. （2021•江苏省盐城市）北京2022年冬奥会会徽如图所示，组成会徽的四个图案中是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
26. （2021•内蒙古通辽市）如图，已知AD∥BC，AB⊥BC，AB＝3，点E为射线BC上一个动点，连接AE，将△ABE沿AE折叠，点B落在点B′处，过点B′作AD的垂线，分别交AD，BC于M，N两点，当B′为线段MN的三等分点时，BE的长为（ ）
A． B． C．或 D．或
27. （2021•绥化市）如图所示，在矩形纸片中，，点分别是矩形的边上的动点，将该纸片沿直线折叠．使点落在矩形边上，对应点记为点，点落在处，连接与交于点．则下列结论成立的是（ ）
①；
②当点与点重合时；
③的面积的取值范围是；
④当时，．
A. ①③ B. ③④ C. ②③ D. ②④
28. （2021•绥化市）现实世界中，对称无处不在．在美术字中，有些汉字也具有对称性．下列汉字是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
二．填空题
1. （2021•湖南省邵阳市）如图，已知线段AB长为4．现按照以下步骤作图：
①分别以点A，B为圆心，大于AB长为半径画弧，两弧分别相交于点E，F；
②过E，F两点作直线，与线段AB相交于点O．
则AO的长为 ．
2.（2021•江西省）如图，将▱ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点E处，CE交AD于点F，若∠B＝80°，∠ACE＝2∠ECD，FC＝a，FD＝b，则▱ABCD的周长为 ．
3. （2021•山东省泰安市）如图，将矩形纸片ABCD折叠（AD＞AB），使AB落在AD上，AE为折痕，然后将矩形纸片展开铺在一个平面上，E点不动，将BE边折起，使点B落在AE上的点G处，连接DE，若DE＝EF，CE＝2，则AD的长为 ．
4. （2021•四川省成都市）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝8，点E，F分别在边AD，BC上，且AE＝3，按以下步骤操作：
第一步，沿直线EF翻折，点A的对应点A′恰好落在对角线AC上，点B的对应点为B′，则线段BF的长为 ；
第二步，分别在EF，A′B′上取点M，N，沿直线MN继续翻折，使点F与点E重合，则线段MN的长为 ．
5. （2021•浙江省杭州）如图是一张矩形纸片ABCD，点M是对角线AC的中点，点E在BC边上，把△DCE沿直线DE折叠，使点C落在对角线AC上的点F处，连接DF，EF。若MF=AB，则∠DAF＝ 度．
6. （2021•江苏省盐城市）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，E、F分别是边BC、CD上一点，EF⊥AE，将△ECF沿EF翻折得△ECF，连接AC，当BE＝ 时，△AEC′是以AE为腰的等腰三角形．
7.（2021•重庆市B）如图，△ABC中，点D为边BC的中点，连接AD，将△ADC沿直线AD翻折至△ABC所在平面内，得△ADC′，连接CC′，分别与边AB交于点E，与AD交于点O．若AE＝BE，BC′＝2，则AD的长为 ．
8. （2021•重庆市A）如图，三角形纸片ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，BF＝4，CF＝6，将这张纸片沿直线DE翻折，点A与点F重合．若DE∥BC，AF＝EF，则四边形ADFE的面积为__________．
9. （2021•海南省）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，将此矩形折叠，使点C与点A重合，点D落在点D′处，折痕为EF，则AD′的长为 ，DD′的长为 ．
10. （2021•江苏省无锡市）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝6，点E在线段AC上，且AE＝1，D是线段BC上的一点，连接DE，将四边形ABDE沿直线DE翻折，得到四边形FGDE，当点G恰好落在线段AC上时，AF＝ ．
11. （2021•深圳）如图，在中，D，E分别为，上的点，将沿折叠，得到，连接，，，若，，，则的长为__________.
12.（2021•辽宁省本溪市）如图，将正方形纸片沿折叠，使点C的对称点E落在边上，点D的对称点为点F，交于点G，连接交于点H，连接．下列四个结论中：①；②；③平分；④，正确的是________（填序号即可）．
13. （2021•黑龙江省龙东地区）在矩形中，2cm，将矩形沿某直线折叠，使点与点重合，折痕与直线交于点，且3cm，则矩形的面积为______cm2．
三、解答题
1. （2021•江苏省南京市） 在几何体表面上，蚂蚁怎样爬行路径最短？
（1）如图①，圆锥的母线长为，B为母线的中点，点A在底面圆周上，的长为．在图②所示的圆锥的侧面展开图中画出蚂蚁从点A爬行到点B的最短路径，并标出它的长（结果保留根号）．
（2）图③中的几何体由底面半径相同的圆锥和圆柱组成．O是圆锥的顶点，点A在圆柱的底面圆周上．设圆锥的母线长为l，圆柱的高为h．
①蚂蚁从点A爬行到点O的最短路径的长为________（用含l，h的代数式表示）．
②设的长为a，点B在母线上，．圆柱的侧面展开图如图④所示，在图中画出蚂蚁从点A爬行到点B的最短路径的示意图，并写出求最短路径的长的思路．
2. （2021•山东省菏泽市）在矩形ABCD中，BC＝CD，点E、F分别是边AD、BC上的动点，且AE＝CF，连接EF，将矩形ABCD沿EF折叠，点C落在点G处，点D落在点H处．
（1）如图1，当EH与线段BC交于点P时，求证：PE＝PF；
（2）如图2，当点P在线段CB的延长线上时，GH交AB于点M，求证：点M在线段EF的垂直平分线上；
（3）当AB＝5时，在点E由点A移动到AD中点的过程中，计算出点G运动的路线长．
3. （2021•四川省达州市）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A（0，4），B（0，2），C（3，2）．
（1）将△ABC以O为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A1B1C1；
（2）将△ABC平移后得到△A2B2C2，若点A的对应点A2的坐标为（2，2），求△A1C1C2的面积．
4. （2021•山东省济宁市）研究立体图形问题的基本思路是把立体图形问题转化为平面图形问题．
（1）阅读材料
立体图形中既不相交也不平行的两条直线所成的角，就是将直线平移使其相交所成的角．
例如，正方体ABCD﹣A′B′C′D′（图1），因为在平面AA′C′C中，CC′∥AA'，AA′与AB相交于点A，所以直线AB与AA′所成的∠BAA′就是既不相交也不平行的两条直线AB与CC′所成的角．
解决问题
如图1，已知正方体ABCD﹣A′B′C′D'，求既不相交也不平行的两直线BA′与AC所成角的大小．
（2）如图2，M，N是正方体相邻两个面上的点；
①下列甲、乙、丙三个图形中，只有一个图形可以作为图2的展开图，这个图形是 ；
②在所选正确展开图中，若点M到AB，BC的距离分别是2和5，点N到BD，BC的距离分别是4和3，P是AB上一动点，求PM+PN的最小值．
5. （2021•山东省威海市）如图，先将矩形纸片ABCD沿EF折叠（AB边与DE在CF的异侧），AE交CF于点G；再将纸片折叠，使CG与AE在同一条直线上，折痕为GH．若，纸片宽，则HE＝__________cm．
6. （2021•深圳）如图所示，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1个单位．
（1）过直线m作四边形的对称图形；
（2）求四边形的面积．
答案
2021全国中考真题分类汇编（图形与变换）
----轴对称与折叠
一、选择题
1. （2021•甘肃省定西市）2021年是农历辛丑牛年，习近平总书记勉励全国各族人民在新的一年发扬“为民服务孺子牛、创新发展拓荒牛、艰苦奋斗老黄牛”精神，某社区也开展了“迎新春牛年剪纸展”，下面的剪纸作品是轴对称图形的是（ ）
B． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念判断求解．
【解答】解：A．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B．是轴对称图形，故此选项符合题意；
C．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：B．
2. （2021•湖北省黄冈市）下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）
A．正三角形 B．正方形 C．正六边形 D．圆
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A．正三角形是轴对称图形但不是中心对称图形；
B．正方形既是轴对称图形，故本选项不合题意；
C．正六边形既是轴对称图形，故本选项不合题意；
D．圆既是轴对称图形，故本选项不合题意．
故选：A．
3. （2021•湖南省衡阳市）如图，矩形纸片ABCD，AB＝4，BC＝8，点M、N分别在矩形的边AD、BC上，将矩形纸片沿直线MN折叠，使点C落在矩形的边AD上，记为点P，点D落在G处，连接PC，交MN于点Q，连接CM．下列结论：①四边形CMPN是菱形；②点P与点A重合时，MN＝5；③△PQM的面积S的取值范围是4≤S≤5．其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①②③ B．①② C．①③ D．②③
【分析】先判断四边形CMPN是平行四边形，再根据PN＝CN判断四边形CMPN是菱形，点P与点A重合时设BN＝x，表示出AN＝NC＝8﹣x，利用勾股定理解出x，进而求出MN即可判断②，当MN过D点时，求出四边形CMPN面积的最小值，当P与A重合时，求出四边形面积的最大值，即可判断③．
【解答】解：∵PM∥CN，
∴∠PMN＝∠MNC，
∵∠MNC＝∠PNM，
∴∠PMN＝∠PNM，
∴PM＝PN，
∵NC＝NP，
∴PM＝CN，
∵MP∥CN，
∴四边形CNPM是平行四边形，
∵CN＝NP，
∴四边形CNPM是菱形，
故①正确；
如图1，当点P与A重合时，设BN＝x，则AN＝NC＝8﹣x，
在Rt△ABN中，AB²+BN²＝AN²，
即4²+x²＝(8﹣x)²，
解得x＝3，
∴CN＝8﹣3＝5，
∵AB＝4，BC＝8，
∴AC＝＝4，
∴CQ＝AC＝2，
∴QN＝＝，
∴MN＝2QN＝2，
故②不正确；
由题知，当MN过点D时，CN最短，如图2，四边形CMPN的面积最小，
此时S＝S菱形CMPN＝×4×4＝4，
当P点与A点重合时，CN最长，如图1，四边形CMPN的面积最大，
此时S＝×5×4＝5，
∴4≤S≤5正确，
故选：C．
4. （2021•湖南省衡阳市）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A. B． C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断利用排除法求解．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线成轴对称．
【解答】解：A．是轴对称图形，故本选项符合题意；
B．不是轴对称图形，故本选项不合题意；
C．不是轴对称图形，故本选项不合题意；
D．不是轴对称图形，故本选项不合题意．
故选：A．
5. （2021•岳阳市）下列品牌的标识中，是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
6. （2021•江苏省连云港） 如图，将矩形纸片沿折叠后，点D、C分别落在点、的位置，的延长线交于点G，若，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由矩形得到AD//BC，∠DEF=∠EFG，再由与折叠的性质得到∠DEF=∠GEF=∠EFG，用三角形的外角性质求出答案即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，
∵矩形纸片沿折叠，
∴∠DEF=∠GEF，
又∵AD//BC，
∴∠DEF=∠EFG，
∴∠DEF=∠GEF=∠EFG=64︒，
∵是△EFG的外角，
∴=∠GEF+∠EFG=128︒
故选：A．
7. （2021•江苏省苏州市）如图，在平行四边形ABCD中，将△ABC沿着AC所在的直线得到△AB′C，连接B′D，若∠B＝60°，AC＝，则B′D的长是（ ）
A．1 B． C． D．
【分析】首先根据平行四边形的性质得AD∥BC，AB∥CD，可证出∠CAE＝45°，∠ADC＝60°，根据翻折可得∠ACB′＝∠ACB＝45°，∠AB′C＝∠B＝60°，进而可得∠AEC＝90°，从而可得AE＝CE＝，再根据含30°角的直角三角形的性质求出B′E＝DE＝1，根据勾股定理即可得B′D的长．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠CAE＝∠ACB＝45°，
∵将△ABC沿AC翻折至△AB′C，
∴∠ACB′＝∠ACB＝45°，∠AB′C＝∠B＝60°，
∴∠AEC＝180°﹣∠CAE﹣∠ACB′＝90°，
∴AE＝CE＝AC＝，
∵∠AEC＝90°，∠AB′C＝60°，
∴∠B′AC＝30°，∠DCE＝30°，
∴B′E＝DE＝1，
∴B′D＝＝．
故选：B．
8. （2021•宿迁市）折叠矩形纸片ABCD，使点B落在点D处，折痕为MN，已知AB=8，AD=4，则MN的长是（ ）
A. B. 2 C. D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】连接BM，利用折叠的性质证明四边形BMDN为菱形，设DN＝NB＝x，在RtABD中，由勾股定理求BD，在RtADN中，由勾股定理求x，利用菱形计算面积的两种方法，建立等式求MN．
【详解】解：如图，连接BM，
由折叠可知，MN垂直平分BD，
又AB∥CD，
∴BON≌DOM，
∴ON＝OM，
∴四边形BMDN为菱形（对角线互相垂直平分的四边形是菱形），
设DN＝NB＝x，则AN＝8﹣x，
在RtABD中，由勾股定理得：BD＝＝，
在RtADN中，由勾股定理得：AD2+AN2＝DN2，
即42+（8﹣x）2＝x2，
解得x＝5，
根据菱形计算面积的公式，得
BN×AD＝×MN×BD，
即5×4＝×MN×，
解得MN＝．
故选：B．
9. （2021•江西省）如图是用七巧板拼接成的一个轴对称图形（忽略拼接线）小亮改变①的位置，将①分别摆放在图中左，下，右的位置（摆放时无缝隙不重叠），还能拼接成不同轴对称图形的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】能拼剪为等腰梯形，等腰直角三角形，矩形，由此即可判断．
【解答】解：观察图象可知，能拼接成不同轴对称图形的个数为3个．
故选：B．
10. （2021•陕西省）下列图形中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】利用轴对称图形的定义进行解答即可．
【解答】解：A．不是轴对称图形；
B．是轴对称图形；
C．不是轴对称图形；
D．不是轴对称图形；
故选：B．
11. （2021•山西）为推动世界冰雪运动的发展，我国将于 2022 年举办北京冬奥会.在此之前进行了冬奥会会标的征集活动， 以下是部分参选作品，其文字上方的图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ B ）
12. （2021•河北省）如图，直线l，m相交于点O．P为这两直线外一点，且OP＝2.8．若点P关于直线l，m的对称点分别是点P1，P2，则P1，P2之间的距离可能是（ ）
A．0 B．5 C．6 D．7
【分析】由对称得OP1＝OP＝2.8，OP＝OP2＝2.8，再根据三角形任意两边之和大于第三边，即可得出结果．
【解答】解：连接OP1，OP2，P1P2，
∵点P关于直线l，m的对称点分别是点P1，P2，
∴OP1＝OP＝2.8，OP＝OP2＝2.8，
OP1+OP2＞P1P2，
P1P2＜5.6，
故选：B．
13. （2021•湖北省黄石市） 下列几何图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）
A. 梯形 B. 等边三角形 C. 平行四边形 D. 矩形
【答案】B
【解析】
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义以及性质对各项进行分析即可．
【详解】A、梯形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项说法错误；
B、等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项说法正确；
C、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项说法错误；
D、矩形是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项说法错误．
故选：B．
14. （2021•四川省广元市）下列图形均表示医疗或救援的标识，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据轴对称及中心对称图形的定义逐一判断即可得答案．
【详解】A.是轴对称图形，但不是中心对称图形，故该选项不符合题意，
B.是轴对称图形，但不是中心对称图形，故该选项不符合题意，
C.是轴对称图形，又是中心对称图形，故该选项符合题意，
D.既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故该选项不符合题意，
故选：C.
15. （2021•四川省凉山州）下面四个交通标志图是轴对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，据此进行判断即可．
【详解】解：A、不是轴对称图形，故不合题意；
B、不是轴对称图形，故不合题意；
C、是轴对称图形，故符合题意；
D、不是轴对称图形，故不合题意；
故选C．
16. （2021•四川省凉山州）如图，中，，将沿DE翻折，使点A与点B重合，则CE的长为（ ）
A. B. 2 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先在RtABC中利用勾股定理计算出AB=10，再利用折叠的性质得到AE=BE，AD=BD=5，设AE=x，则CE=AC-AE=8-x，BE=x，在Rt△BCE中根据勾股定理可得到x2=62+（8-x）2，解得x，可得CE．
【详解】解：∵∠ACB=90°，AC=8，BC=6，
∴AB==10，
∵△ADE沿DE翻折，使点A与点B重合，
∴AE=BE，AD=BD=AB=5，
设AE=x，则CE=AC-AE=8-x，BE=x，
在Rt△BCE中
∵BE2=BC2+CE2，
∴x2=62+（8-x）2，解得x=，
∴CE==，
故选：D．
17. （2021•遂宁市）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，点E为BC上一点，把△CDE沿DE翻折，点C 恰好落在AB边上的F处，则CE的长是（ ）
A. 1 B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设CE=x，则BE=3-x由折叠性质可知，EF=CE=x，DF=CD=AB=5，所以AF=4，BF=AB-AF=5-4=1，在Rt△BEF中，由勾股定理得(3-x)2+12=x2，解得x的值即可．
【详解】解：设CE=x，则BE=3-x，
由折叠性质可知，
EF=CE=x，DF=CD=AB=5
在Rt△DAF中，AD=3，DF=5，
∴AF=，
∴BF=AB-AF=5-4=1，
在Rt△BEF中，BE2+BF2=EF2，
即(3-x)2+12=x2，
解得x=，
故选：D．
18. . (2021•四川省自贡市)如图，在正方形ABCD中，，M是AD边上的一点，．将沿BM对折至，连接DN，则DN的长是（ ）
A. B. C. 3 D.
【答案】D
【解析】
【分析】延长MN与CD交于点E，连接BE，过点N作，根据折叠的正方形的性质得到，在中应用勾股定理求出DE的长度，通过证明，利用相似三角形的性质求出NF和DF的长度，利用勾股定理即可求解．
【详解】解：如图，延长MN与CD交于点E，连接BE，过点N作，
∵，M是AD边上的一点，，
∴，，
∵将沿BM对折至，四边形ABCD是正方形，
∴，，
∴(HL)，
∴，
∴，
在中，设，则，
根据勾股定理可得，解得，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
故选：D．
19. (2021•四川省自贡市)下列图形中，是轴对称图形且对称轴条数最多的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用轴对称图形的定义逐一判断即可．
【详解】解：A是轴对称图形，对称轴有1条；
B不是轴对称图形；
C不是轴对称图形；
D是轴对称图形，对称轴有2条；
故选：D．
20. （2021•天津市）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据轴对称图形的概念对各项分析判断即可得解．
【详解】A．是轴对称图形，故本选项符合题意；
B．不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C．不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D．不是轴对称图形，故本选项不符合题意．
故选A．
21. （2021•新疆）下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
22. （2021•浙江省嘉兴市）将一张三角形纸片按如图步骤①至④折叠两次得图⑤，然后剪出图⑤中的阴影部分，则阴影部分展开铺平后的图形是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．矩形 D．菱形
【分析】对折是轴对称得到的图形，根据最后得到的图形可得是沿对角线折叠2次后，剪去一个三角形得到的，按原图返回即可．
【解答】解：如图，由题意可知，剪下的图形是四边形BACD，
由折叠可知CA＝AB，
∴△ABC是等腰三角形，
又△ABC和△BCD关于直线CD对称，
∴四边形BACD是菱形，
故选：D．
23. （2021•浙江省丽水市）如图，在纸片中，，点分别在上，连结，将沿翻折，使点A的对应点F落在的延长线上，若平分，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先根据勾股定理求出AB，再根据折叠性质得出∠DAE=∠DFE，AD=DF，然后根据角平分线的定义证得∠BFD=∠DFE=∠DAE，进而证得∠BDF=90°，证明Rt△ABC∽Rt△FBD，可求得AD的长．
【详解】解：∵，
∴=5，
由折叠性质得：∠DAE=∠DFE，AD=DF，则BD=5﹣AD，
∵平分，
∴∠BFD=∠DFE=∠DAE，
∵∠DAE+∠B=90°，
∴∠BDF+∠B=90°，即∠BDF=90°，
∴Rt△ABC∽Rt△FBD，
∴即，
解得：AD=，
故选：D．
24. （2021•浙江省台州）如图，将长、宽分别为12cm，3cm的长方形纸片分别沿AB，AC折叠，点M，N恰好重合于点P．若∠α＝60°，则折叠后的图案（阴影部分）面积为（ ）
A. （36）cm2 B. （36）cm2 C. 24 cm2 D. 36 cm2
【答案】A
【解析】
【分析】过点C作，过点B作，根据折叠的性质求出，，分别解直角三角形求出AB和AC的长度，即可求解．
【详解】解：如图，过点C作，过点B作，
，
∵长方形纸片分别沿AB，AC折叠，点M，N恰好重合于点P，
∴，
∴，
∴，，，
∴，
∴，
故选：A．
25. （2021•江苏省盐城市）北京2022年冬奥会会徽如图所示，组成会徽的四个图案中是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A．不是轴对称图形，故本选项不合题意；
B．不是轴对称图形，故本选项不合题意；
C．不是轴对称图形，故本选项不合题意；
D．是轴对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
26. （2021•内蒙古通辽市）如图，已知AD∥BC，AB⊥BC，AB＝3，点E为射线BC上一个动点，连接AE，将△ABE沿AE折叠，点B落在点B′处，过点B′作AD的垂线，分别交AD，BC于M，N两点，当B′为线段MN的三等分点时，BE的长为（ ）
A． B． C．或 D．或
【分析】分类画出图形，设BE＝x，由折叠得性质表示出相关线段，再用勾股定理列方程即可解得BE的长．
【解答】解：①当MB'＝MN时，如图：
Rt△AMB'中，AB'＝AB＝3，MB'＝AB＝1，
∴AM＝＝2，
∵AD∥BC，AB⊥BC，MN⊥AD，
∴四边形ABNM是矩形，
∴BN＝AM＝2，MN＝AB＝3，
设BE＝x，则B'E＝x，EN＝2﹣x，
Rt△B'EN中，B'N＝MN﹣MB'＝2，EN2+B'N2＝B'E2，
∴（2﹣x）2+22＝x2，
解得x＝，
∴BE的长为；
②当NB'＝MN时，如图：
∵NB'＝MN＝1，
∴MB'＝2，
设BE＝y，
同①可得y＝，
∴BE的长为，
综上所述，BE的长为或．
故选：D．
27. （2021•绥化市）如图所示，在矩形纸片中，，点分别是矩形的边上的动点，将该纸片沿直线折叠．使点落在矩形边上，对应点记为点，点落在处，连接与交于点．则下列结论成立的是（ ）
①；
②当点与点重合时；
③的面积的取值范围是；
④当时，．
A. ①③ B. ③④ C. ②③ D. ②④
【答案】D
【解析】
【分析】①根据题意可知四边形BFGE为菱形，所以EF⊥BG且BN=GN，若BN=AB，则BG=2AB=6，又因为点E是AD边上的动点，所以3
③当点E与点A重合时，的面积有最小值，当点G与点D重合时的面积有最大值．故<<．
④因为，则EG=BF=6-=．根据勾股定理可得ME= ，从而可求出△MEG的面积．
【详解】解：①根据题意可知四边形BFGE为菱形，
∴EF⊥BG且BN=GN，
若BN=AB，则BG=2AB=6，
又∵点E是AD边上的动点，
∴3
②如图，过点E作EH⊥BC于点H，则EH=AB=3，
在Rt△ABE中
即
解得：AE=，
∴BF=DE=6-=．
∴HF=-=．
在Rt△EFH中
=；
故②正确；
③当点E与点A重合时，如图所示，的面积有最小值= =，
当点G与点D重合时的面积有最大值==．
故<<．
故③错误．
④因为，则EG=BF=6-=．根据勾股定理可得ME= ，
∴．
故④正确．
故选D．
28. （2021•绥化市）现实世界中，对称无处不在．在美术字中，有些汉字也具有对称性．下列汉字是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】直接利用轴对称图形的定义得出答案．
【详解】解：A、“美”是轴对称图形，故本选项符合题意；
B、“丽”不是轴对称图形，故本选项不合题意；
C、“绥”不是轴对称图形，故本选项不合题意；
D、“化”不是轴对称图形，故本选项不合题意．
故选：A．
二．填空题
1. （2021•湖南省邵阳市）如图，已知线段AB长为4．现按照以下步骤作图：
①分别以点A，B为圆心，大于AB长为半径画弧，两弧分别相交于点E，F；
②过E，F两点作直线，与线段AB相交于点O．
则AO的长为 2 ．
【分析】直接利用基本作图方法得出EF垂直平分AB,即可得出答案．
【解答】解：由基本作图方法可得：EF垂直平分AB,
∵AB＝4,
∴AO＝AB＝2．
故答案为：2．
2.（2021•江西省）如图，将▱ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点E处，CE交AD于点F，若∠B＝80°，∠ACE＝2∠ECD，FC＝a，FD＝b，则▱ABCD的周长为 4a+2b ．
【分析】由∠B＝80°，四边形ABCD为平行四边形，折叠的性质可证明△AFC为等腰三角形．所以AF＝FC＝a．设∠ECD＝x，则∠ACE＝2x，在△ADC中，由三角形内角和定理可知，2x+2x+x+80°＝180°，解得x＝20°，由外角定理可证明△DFC为等腰三角形．所以DC＝FC＝a．故平行四边形ABCD的周长为2（DC+AD）＝2（a+a+b）＝2＝4a+2b．
【解答】解：∵∠B＝80°，四边形ABCD为平行四边形．
∴∠D＝80°．
由折叠可知∠ACB＝∠ACE，
又AD∥BC，
∴∠DAC＝∠ACB，
∴∠ACE＝∠DAC，
∴△AFC为等腰三角形．
∴AF＝FC＝a．
设∠ECD＝x，则∠ACE＝2x，
∴∠DAC＝2x，
在△ADC中，由三角形内角和定理可知，2x+2x+x+80°＝180°，
解得：x＝20°．
∴由三角形外角定理可得∠DFC＝4x＝80°，
故△DFC为等腰三角形．
∴DC＝FC＝a．
∴AD＝AF+FD＝a+b，
故平行四边形ABCD的周长为2（DC+AD）＝2（a+a+b）＝2＝4a+2b．
故答案为：4a+2b．
3. （2021•山东省泰安市）如图，将矩形纸片ABCD折叠（AD＞AB），使AB落在AD上，AE为折痕，然后将矩形纸片展开铺在一个平面上，E点不动，将BE边折起，使点B落在AE上的点G处，连接DE，若DE＝EF，CE＝2，则AD的长为 4+2 ．
【分析】证明Rt△EBF≌Rt△EB′D（HL）,推出BF＝DB′,再证明DB′＝EC＝BF＝2,想办法求出AB′,可得结论。
【解答】解：由翻折的性质可知，EB＝EB′,∠B＝∠AB′E＝∠EB′D＝90°,
在Rt△EBF和Rt△EB′D中，
,
∴Rt△EBF≌Rt△EB′D（HL）,
∴BF＝DB′,
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C＝∠CDB′＝∠EB′D＝90°,
∴四边形ECDB′是矩形，
∴DB′＝EC＝2,
∴BF＝EC＝2,
由翻折的性质可知，BF＝FG＝2,∠FAG＝45°,∠AGF＝∠B＝∠AGF＝90°,
∴AG＝FG＝2,
∴AF＝2．
∴AB＝AB′＝2+2,
∴AD＝AB′+DB′＝4+2,
故答案为：4+2。
4. （2021•四川省成都市）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝8，点E，F分别在边AD，BC上，且AE＝3，按以下步骤操作：
第一步，沿直线EF翻折，点A的对应点A′恰好落在对角线AC上，点B的对应点为B′，则线段BF的长为 1 ；
第二步，分别在EF，A′B′上取点M，N，沿直线MN继续翻折，使点F与点E重合，则线段MN的长为 ．
【分析】如图，过点F作FT⊥AD于T,则四边形ABFT是矩形，连接FN,EN,设AC交EF于J.证明△FTE∽△ADC,求出ET＝2,EF＝2,设A′N＝x,根据NF＝NE,可得12+(4﹣x)2＝32+x2,解方程求出x,可得结论。
【解答】解：如图，过点F作FT⊥AD于T,则四边形ABFT是矩形，连接FN,EN,设AC交EF于J．
∵四边形ABFT是矩形，
∴AB＝FT＝4,BF＝AT,
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝4,AD＝BC＝8,∠B＝∠D＝90°
∴AC＝＝4,
∵∠TFE+∠AEJ＝90°,∠DAC+∠AEJ＝90°,
∴∠TFE＝∠DAC,
∵∠FTE＝∠D＝90°,
∴△FTE∽△ADC,
∴＝＝,
∴＝＝,
∴TE＝2,EF＝2,
∴BF＝AT＝AE﹣ET＝3﹣2＝1,
设A′N＝x,
∵NM垂直平分线段EF,
∴NF＝NE,
∴12+(4﹣x)2＝32+x2,
∴x＝1,
∴FN＝＝＝,
∴MN＝＝＝,
故答案为：1，。
5. （2021•浙江省杭州）如图是一张矩形纸片ABCD，点M是对角线AC的中点，点E在BC边上，把△DCE沿直线DE折叠，使点C落在对角线AC上的点F处，连接DF，EF。若MF=AB，则∠DAF＝ 18 度．
【分析】连接DM,利用斜边上的中线等于斜边的一半可得△AMD和△MCD为等腰三角形，∠DAF＝∠MDA,∠MCD＝∠MDC；由折叠可知DF＝DC,可得∠DFC＝∠DCF；由MF＝AB,AB＝CD,DF＝DC,可得FM＝FD,进而得到∠FMD＝∠FDM；利用三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和，可得∠DFC＝2∠FMD；最后在△MDC中，利用三角形的内角和定理列出方程，结论可得．
【解答】解：连接DM,如图：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝90°．
∵M是AC的中点，
∴DM＝AM＝CM,
∴∠FAD＝∠MDA,∠MDC＝∠MCD．
∵DC,DF关DE对称，
∴DF＝DC,
∴∠DFC＝∠DCF．
∵MF＝AB,AB＝CD,
∴MF＝FD．
∴∠FMD＝∠FDM．
∵∠DFC＝∠FMD+∠FDM,
∴∠DFC＝2∠FMD．
∵∠DMC＝∠FAD+∠ADM,
∴∠DMC＝2∠FAD．
设∠FAD＝x°,则∠DFC＝8x°,
∴∠MCD＝∠MDC＝4x°．
∵∠DMC+∠MCD+∠MDC＝180°,
∴2x+3x+4x＝180．
∴x＝18．
故答案为：18．
6. （2021•江苏省盐城市）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，E、F分别是边BC、CD上一点，EF⊥AE，将△ECF沿EF翻折得△ECF，连接AC，当BE＝ 或 时，△AEC′是以AE为腰的等腰三角形．
【分析】设BE＝x，则EC＝4﹣x，由翻折得：EC′＝EC＝4﹣x．当AE＝EC′时，由勾股定理得：32+x2＝（4﹣x）2；当AE＝AC’时，作AH⊥EC’，由∠AEF＝90°，EF平方∠CEC′可证得∠AEB＝∠AEH，则△ABE≌△AHE，所以BE＝HE＝x，由三线合一得EC′＝2EH，即4﹣x＝2x，解方程即可．
【解答】解：设BE＝x，则EC＝4﹣x，
由翻折得：EC′＝EC＝4﹣x，当AE＝EC′时，AE＝4﹣x，
∵矩形ABCD，
∴∠B＝90°，
由勾股定理得：32+x2＝（4﹣x）2，
解得：，
当AE＝AC′时，如图，作AH⊥EC′
∵EF⊥AE，
∴∠AEF＝∠AEC′+∠FEC′＝90°，
∴∠BEA+∠FEC＝90°，
∵△ECF沿EF翻折得△ECF，
∴∠FEC′＝∠FEC，
∴∠AEB＝∠AEH，
∵∠B＝∠AHE＝90°，AH＝AH，
∴△ABE≌△AHE（AAS），
∴BE＝HE＝x，
∵AE＝AC′时，作AH⊥EC′，
∴EC′＝2EH，
即4﹣x＝2x，
解得，
综上所述：BE＝或．
故答案为：或．
7. （2021•重庆市B）如图，△ABC中，点D为边BC的中点，连接AD，将△ADC沿直线AD翻折至△ABC所在平面内，得△ADC′，连接CC′，分别与边AB交于点E，与AD交于点O．若AE＝BE，BC′＝2，则AD的长为 3 ．
【分析】根据翻折的性质和三角形的中位线可以得到OD的长，然后全等三角形的判定和性质可以得到AO的长，从而可以求得AD的长．
【解答】解：由题意可得，
△DCAQ≌△DC′A，OC＝OC′，∠COD＝∠C′OD＝90°，
∴点O为CC′的中点，
∵点D为BC的中点，
∴OD是△BCC′的中位线，
∴OD＝BC′，OD∥BC′，
∴∠COD＝∠EC′B＝90°，
∵AE＝BE，BC′＝2，
∴OD＝1，
在△EC′B和△EOA中，
，
∴△EC′B≌△EOA（AAS），
∴BC′＝AO，
∴AO＝2，
∴AD＝AO+OD＝2+1＝3，
故答案为：3．
8. （2021•重庆市A）如图，三角形纸片ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，BF＝4，CF＝6，将这张纸片沿直线DE翻折，点A与点F重合．若DE∥BC，AF＝EF，则四边形ADFE的面积为__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据折叠的性质得到DE为的中位线，利用中位线定理求出DE的长度，再解求出AF的长度，即可求解．
【详解】解：∵将这张纸片沿直线DE翻折，点A与点F重合，
∴DE垂直平分AF，，，，
∵DE∥BC，
∴，，，
∴，
∴，
∴，即D为AB的中点，
∴DE为的中位线，
∴，
∵AF＝EF，
∴是等边三角形，
在中，，，
∴，
∴，
∴四边形ADFE的面积为，
故答案为：．
9. （2021•海南省）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，将此矩形折叠，使点C与点A重合，点D落在点D′处，折痕为EF，则AD′的长为 6 ，DD′的长为 ．
10. （2021•江苏省无锡市）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝6，点E在线段AC上，且AE＝1，D是线段BC上的一点，连接DE，将四边形ABDE沿直线DE翻折，得到四边形FGDE，当点G恰好落在线段AC上时，AF＝ ．
【分析】由折叠的性质可得AB＝FG＝2，AE＝EF＝1，∠BAC＝∠EFG＝90°，在Rt△EFG中，由勾股定理可求EG＝3，由锐角三角函数可求EH，HF的长，在Rt△AHF中，由勾股定理可求AF．
【解答】解：如图，过点F作FH⊥AC于H，
∵将四边形ABDE沿直线DE翻折，得到四边形FGDE，
∴AB＝FG＝2，AE＝EF＝1，∠BAC＝∠EFG＝90°，
∴EG＝＝＝3，
∵sin∠FEG＝，
∴，
∴HF＝，
∵cos∠FEG＝，
∴，
∴EH＝，
∴AH＝AE+EH＝，
∴AF＝＝＝，
故答案为：．
11. （2021•深圳）如图，在中，D，E分别为，上的点，将沿折叠，得到，连接，，，若，，，则的长为__________.
【解答】
解法1：如图，延长，交于点G，
由折叠，可知，
∵，∴，
延长，，交于点M，
∵，且，
∴四边形为平行四边形，
∴，
又易证，
∴，
∵，
∴．
解法2：如图，延长，交于点G，
由折叠，可知，
∵，
∴，
∴，
延长，，交于点M，
∵，
∴，，
∴，
∵，，
∴，，
∴．
解法3：由题意易证点D为的中点，
如图，取的中点M，连接，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，且，
∴．
解法4：由折叠，易证，
∴，∴，
过点F作，交延长线于点M，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，，
∴，
∴．
解法5：如图过点B作，交于点M，
∴四边形为平行四边形，
且，
由折叠，可知，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，，
∵，
∴．
解法6：
延长至点M，使得，连接，
易证，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
12. （2021•辽宁省本溪市）如图，将正方形纸片沿折叠，使点C的对称点E落在边上，点D的对称点为点F，交于点G，连接交于点H，连接．下列四个结论中：①；②；③平分；④，正确的是________（填序号即可）．
【答案】①③④．
【解析】
【分析】①用有两个角对应相等的两个三角形相似进行判定即可；
②过点C作CM⊥EG于M，通过证明△BEC≌△MEC进而说明△CMG≌△CDG，可得S△CEG=S△BEC+S△CDG>S△BEC＋S四边形CDQH ；
③由折叠可得:∠GEC=∠DCE，由AB∥CD可得∠BEC=∠DCE，结论③成立；
④连接DH，MH，HE，由△BEC≌△MEC，△CMG≌△CDG可知：∠BCE=∠MCE,∠MCG=∠DCG，则∠ECG=∠ECM+∠GCM=∠BCD，由于EC⊥HP，则∠CHP=45°，由折叠可得:∠EHP=∠CHP=45°，利用勾股定理可得 EG2-EH2=GH2，由CM⊥EG，EH⊥CG，得到∠EMC=∠EHC=90°，所以E，M，H，C四点共圆，通过△CMH≌△CDH，易证△GHQ∽△GDH，则得GH2=GQ·GD，从而说明④成立．
【详解】解：①∵四边形ABCD是正方形,
∴∠A=∠B=∠BCD=∠D=90°由折叠可知:
∠GEP=∠BCD=90°，∠F=∠D=90
∴∠BEP+∠AEG=90°，
∵∠A=90°
∴∠AEG+∠AGE=90°，
∴∠BEP=∠AGE，
∵∠FGQ=∠AGE，
∴∠BEP=∠FGQ，
∵∠B=∠F=90，
∴△PBE~△QFG，
故①说法正确，符合题意；
②过点C作CM⊥EG于M，
由折叠可得:∠GEC=∠DCE，
∵AB∥CD，
∴∠BEC=∠DCE，∠BEC=∠GEC，
在△BEC和△MEC中，
∵∠B=∠EMC=90°，∠BEC=∠GEC， CE= CE
∴△BEC≌△MEC(AAS)
∴CB=CM，S△BEC=S△MBC ，
∵CG=CG，
∴Rt△CMG≌Rt△CDG(HL)，
∴S△CMG=S△CDG ，
∴S△CEG=S△BEC+S△CDG>S△BEC +S四边形CDQH
∴②说法不正确，不符合题意；
③由折叠可得:∠GEC=∠DCE，
∵AB∥CD，
∴∠BEC=∠DCE，
∴∠BEC=∠GEC，即EC平分∠BEG
∴③说法正确，符合题意；
④连接DH，MH，HE，如图：
∵△BEC≌△MEC，△CMG≌△CDG，
∴∠BCE=∠MCE，∠MCG=∠DCG，
∴∠ECG=∠ECM+∠GCM=∠BCD=45°，
∵EC⊥HP，
∴∠CHP=45°，
∴GHQ=∠CHP=45°，
由折叠可得:∠EHP=∠CHP=45°，
∴EH⊥CG
∴EG2 -EH2=GH2
由折叠可知:EH=CH
∴EG2 -CH2= GH2，
∵CM⊥EG，EH⊥CG，
∴∠EMC=∠EHC=90°，
∴E，M，H，C四点共圆，
∴∠HMC=∠HEC=45°，
在△CMH和△CDH中，
∵CM=CD，∠MCG=∠DCG， CH= CH
∴△CMH≌△CDH(SAS)
∴∠CDH=∠CMH=45 °，
∵∠CDA=90°，
∴∠GDH=45°
∵∠GHQ=∠CHP=45°，
∴∠GHQ=∠GDH=45°，
∵∠HGQ=∠DGH，
∴△GHQ∽△GDH ，
∴，
∴GH2=GQ·GD
∴GE2-CH2=GQ·GD
故④说法正确，符合题意；
综上可得，正确的结论有:①③④
故答案为：①③④．
13. （2021•黑龙江省龙东地区）在矩形中，2cm，将矩形沿某直线折叠，使点与点重合，折痕与直线交于点，且3cm，则矩形的面积为______cm2．
【答案】或
【解析】
【分析】根据题意可分当折痕与直线AD的交点落在线段AD上和AD外，然后根据折叠的性质及勾股定理可求解．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，
①当点E在线段AD上时，如图所示：
由折叠的性质可得，
∵3cm，
∴在中，，
∴，
∴；
②当点E在线段AD外时，如图所示：
由轴对称的性质可得，
∴在Rt△EAB中，，
∴，
∴；
综上所述：矩形ABCD的面积为或；
故答案为或．
三、解答题
1. （2021•江苏省南京市） 在几何体表面上，蚂蚁怎样爬行路径最短？
（1）如图①，圆锥的母线长为，B为母线的中点，点A在底面圆周上，的长为．在图②所示的圆锥的侧面展开图中画出蚂蚁从点A爬行到点B的最短路径，并标出它的长（结果保留根号）．
（2）图③中的几何体由底面半径相同的圆锥和圆柱组成．O是圆锥的顶点，点A在圆柱的底面圆周上．设圆锥的母线长为l，圆柱的高为h．
①蚂蚁从点A爬行到点O的最短路径的长为________（用含l，h的代数式表示）．
②设的长为a，点B在母线上，．圆柱的侧面展开图如图④所示，在图中画出蚂蚁从点A爬行到点B的最短路径的示意图，并写出求最短路径的长的思路．
【答案】（1）作图如图所示；（2）①h +l；②见解析．
【解析】
【分析】（1）根据两点之间线段最短，即可得到最短路径；连接OA，AC，可以利用弧长与母线长求出∠AOC，进而证明出△OAC是等边三角形，利用三角函数即可求解；
（2）①由于圆锥底面圆周上的任意一点到圆锥顶点的距离都等于母线长，因此只要蚂蚁从点A爬到圆锥底面圆周上的路径最短即可，因此顺着圆柱侧面的高爬行，所以得出最短路径长即为圆柱的高h加上圆锥的母线长l；
②如图，根据已知条件，设出线段GC的长后，即可用它分别表示出OE、BE、GE、AF，进一步可以表示出BG、GA，根据B、G、A三点共线，在Rt△ABH中利用勾股定理建立方程即可求出GC的长，最后依次代入前面线段表达式中即可求出最短路径长．
【详解】解：（1）如图所示，线段AB即为蚂蚁从点A爬行到点B的最短路径；
设∠AOC=n°，
∵圆锥的母线长为， 的长为，
∴，
∴；
连接OA、CA，
∵，
∴是等边三角形，
∵B为母线的中点，
∴，
∴．
（2）① 蚂蚁从点A爬行到点O的最短路径为：先沿着过A点且垂直于地面的直线爬到圆柱的上底面圆周上，再沿圆锥母线爬到顶点O上，因此，最短路径长为h+l
② 蚂蚁从点A爬行到点B的最短路径的示意图如下图所示，线段AB即为其最短路径（G点为蚂蚁在圆柱上底面圆周上经过的点，图中两个C点为图形展开前图中的C点）；
求最短路径的长的思路如下：如图，连接OG，并过G点作GF⊥AD，垂足为F，由题可知，，GF=h， OB=b，
由的长为a，得展开后的线段AD=a，设线段GC的长为x，则的弧长也为x，由母线长为l，可求出∠COG，
作BE⊥OG，垂足为E，
因为OB=b，可由三角函数求出OE和BE，从而得到GE，利用勾股定理表示出BG，
接着由FD=CG=x，得到AF=a-x，利用勾股定理可以求出AG，
将AF+BE即得到AH，将EG+GF即得到HB，
因为两点之间线段最短，∴A、G、B三点共线，
利用勾股定理可以得到：,进而得到关于x的方程，即可解出x，
将x的值回代到BG和AG中，求出它们的和即可得到最短路径的长．
2. （2021•山东省菏泽市）在矩形ABCD中，BC＝CD，点E、F分别是边AD、BC上的动点，且AE＝CF，连接EF，将矩形ABCD沿EF折叠，点C落在点G处，点D落在点H处．
（1）如图1，当EH与线段BC交于点P时，求证：PE＝PF；
（2）如图2，当点P在线段CB的延长线上时，GH交AB于点M，求证：点M在线段EF的垂直平分线上；
（3）当AB＝5时，在点E由点A移动到AD中点的过程中，计算出点G运动的路线长．
【分析】（1）欲证明PE＝PF，只要证明∠PEF＝∠PFE．
（2）连接AC交EF于O，连接PM，PO．首先证明P，M，O共线，再利用等腰三角形的三线合一的性质解决问题即可．
（3）如图3中，由题意，点E由点A移动到AD中点的过程中，点G运动的路径是图中弧BC．利用弧长公式，解决问题即可．
【解答】（1）证明：如图1中，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DEF＝∠EFB，
由翻折变换可知，∠DEF＝∠PEF，
∴∠PEF＝∠PFE，
∴PE＝PF．
（2）证明：如图2中，连接AC交EF于O，连接PM，PO．
∵AE∥CF，
∴∠EAO＝∠FCO，
∵AE＝CF，∠AOE＝∠COF，
∴△AEO≌△CFO（AAS），
∴OE＝OF，
∵PE＝PF，
∴PO平分∠EPF，
∵PE＝PF，AD＝BC，AE＝FC，
∴ED＝BF，
由折叠的性质可知ED＝EH，所以BF＝EH，
∴PE﹣EH＝PF﹣BF，
∴PB＝PH，
∵∠PHM＝∠PBM＝90°，PM＝PM，
∴Rt△PMH≌Rt△PMB（HL），
∴PM平分∠EPF，
∴P．M，O共线，
∵PO⊥EF，OE＝OF，
∴点M在线段EF的垂直平分线上．
（3）如图3中，由题意，点E由点A移动到AD中点的过程中，点G运动的路径是图中弧BC．
在Rt△BCD中，tan∠CBD＝＝，
∴∠CBD＝30°，
∴∠ABO＝∠OAB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA＝OD＝OB＝OC＝AB＝5，∠BOC＝120°，
∴点G运动的路径的长＝＝π．
故答案为：π．
3. （2021•四川省达州市）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A（0，4），B（0，2），C（3，2）．
（1）将△ABC以O为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A1B1C1；
（2）将△ABC平移后得到△A2B2C2，若点A的对应点A2的坐标为（2，2），求△A1C1C2的面积．
【分析】（1）根据中心对称的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可．
（2）根据平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点A2，B2，C2即可，再根据三角形的面积公式求出△A1C1C2的面积．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C8即为所求．
（2）如图，△A2B2C4即为所求．△A1C1C6的面积＝×6×4＝6．
4. （2021•山东省济宁市）研究立体图形问题的基本思路是把立体图形问题转化为平面图形问题．
（1）阅读材料
立体图形中既不相交也不平行的两条直线所成的角，就是将直线平移使其相交所成的角．
例如，正方体ABCD﹣A′B′C′D′（图1），因为在平面AA′C′C中，CC′∥AA'，AA′与AB相交于点A，所以直线AB与AA′所成的∠BAA′就是既不相交也不平行的两条直线AB与CC′所成的角．
解决问题
如图1，已知正方体ABCD﹣A′B′C′D'，求既不相交也不平行的两直线BA′与AC所成角的大小．
（2）如图2，M，N是正方体相邻两个面上的点；
①下列甲、乙、丙三个图形中，只有一个图形可以作为图2的展开图，这个图形是 丙 ；
②在所选正确展开图中，若点M到AB，BC的距离分别是2和5，点N到BD，BC的距离分别是4和3，P是AB上一动点，求PM+PN的最小值．
【分析】（1）如图1中，连接BC′．证明△A′BC′是等边三角形，推出∠BA′C′＝60°，由题意可知∠C′A′B是两条直线AC与BA′所成的角．
（2）根据立方体平面展开图的特征，解决问题即可．
（3）如图丙中，作点N关于AD的对称点K，连接MK交AD于P，连接PN，此时PM+PN的值最小，最小值为线段MK的值，过点M作MJ⊥NK于J．利用勾股定理求出MK即可．
【解答】解：（1）如图1中，连接BC′．
∵A′B＝BC′＝A′C′，
∴△A′BC′是等边三角形，
∴∠BA′C′＝60°，
∵AC∥A′C′，
∴∠C′A′B是两条直线AC与BA′所成的角，
∴两直线BA′与AC所成角为60°．
（2）①观察图形可知，图形丙是图2的展开图，
故答案为：丙．
②如图丙中，作点N关于AD的对称点K，连接MK交AD于P，连接PN，此时PM+PN的值最小，最小值为线段MK的值，过点M作MJ⊥NK于J．
由题意在Rt△MKJ中，∠MJK＝90°，MJ＝5+3＝8，JK＝8﹣（4﹣2）＝6，
∴MK＝＝＝10，
∴PM+PN的最小值为10．
5. （2021•山东省威海市）如图，先将矩形纸片ABCD沿EF折叠（AB边与DE在CF的异侧），AE交CF于点G；再将纸片折叠，使CG与AE在同一条直线上，折痕为GH．若，纸片宽，则HE＝__________cm．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，证明四边形是平行四边形，运用的正弦和余弦的关系，求出HE．
【详解】如图，分别过作， 垂足分别为
则
根据题意，，因为折叠，则
四边形ABCD是矩形
同理
四边形是平行四边形
，
中，
故答案为：．
6. （2021•深圳）如图所示，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1个单位．
（1）过直线m作四边形的对称图形；
（2）求四边形的面积．
【解答】（1）如图所示：
（2）．
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