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2022年陕西省西安市周至县高考数学三模试卷（理科）（含答案解析）

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这是一份2022年陕西省西安市周至县高考数学三模试卷（理科）（含答案解析），共15页。

2022年陕西省西安市周至县高考数学三模试卷（理科）

设集合，，则

A. B. C. D.

已知复数z满足，则

A. B. C. D.

已知向量，，，若A，C，D三点共线，则

A. 2 B. C. D.

函数的图象大致是

A. B.
C. D.

从一批零件中抽取80个，测量其直径单位：，将所得数据分为9组：…，并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的零件中，直径落在区间内的个数为

A. 10 B. 18 C. 20 D. 36

一个直角三角形的两条直角边长分别为2和，将该三角形绕其斜边旋转一周得到的几何体的表面积为

A. B. C. D.

设函数为常数，则“”是“为偶函数”的

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

在展开式中，下列说法错误的是

A. 常数项为 B. 第5项的系数最大
C. 第4项的二项式系数最大 D. 所有项的系数和为1

2022年4月16日，神舟十二号3名航天员告别了工作生活183天的中国空间站，安全返回地球中国征服太空的关键是火箭技术，在理想情况下，火箭在发动机工作期间获得速度增量的公式，其中为火箭的速度增量，为喷流相对于火箭的速度，和分别代表发动机开启和关闭时火箭的质量，在未来，假设人类设计的某火箭达到5公里/秒从100提高到600，则速度增量增加的百分比约为
参考数据：，，

A. B. C. D.

“中国剩余定理”又称“孙子定理”，可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第十六题的“物不知数”问题，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二．问物几何？现有一个相关的问题：将1到2022这2022个自然数中被3除余2且被5除余4的数按照从小到大的顺序排成一列，构成一个数列，则该数列的项数为

A. 132 B. 133 C. 134 D. 135

若对任意的，，且，都有成立，则实数m的最小值是

A. 1 B. e C. D.

在等差数列中，，设数列的前n项和为，则______.
双曲线渐近线的斜率为k，且，则m的取值范围是______.
若函数的图象向右平移个单位长度后与函数的图象重合，则的一个可能的值为______；
如图，在正方体中，点F是棱上的一个动点，平面交棱于点E，则下列正确说法的序号是______.
①存在点F使得平面；
②存在点F使得平面；
③对于任意的点F，都有；
④对于任意的点F三棱锥的体积均不变．
在学校大课间体育活动中，甲、乙两位同学进行定点投篮比赛，每局比赛甲、乙每人各投第一次，若一方命中且另一方未命中，则命中的一方本局比赛获胜，否则为平局，已知甲、乙每次投篮命中的概率分别为和，且每局比赛甲、乙命中与否互不影响，各局比赛也互不影响．
求1局投篮比赛，甲、乙平局的概率；
求1局投篮比赛，甲获胜的概率；
设共进行了10局投篮比赛，其中甲获胜的局数为X，求X的数学期望
如图①，在梯形ABCD中，四边形ABCE是边长为2的正方形，O是AC与BE的交点将沿BE折起到的位置，使得平面平面BCDE，如图②．
求证：平面PBE；
求直线PB与平面PCD所成角的正弦值．

已知椭圆的离心率为，且短轴长等于双曲线：的实轴长．
求椭圆C的标准方程；
若A、B为椭圆C上关于原点O对称的两点，在圆D：上存在点P，使得为等边三角形，求直线AB的方程．
已知函数，
求函数的单调区间和最值；
求证：当时；当时，；
若存在，使得，证明
在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为：为参数，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为：
求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
若直线l与曲线C交于A，B两点，求以AB为直径的圆的极坐标方程．

已知函数
求不等式的解集；
若关于x的不等式的解集为R，求实数a的取值范围．

答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：集合，，

故选：
利用交集定义直接求解．
本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

2.【答案】B

【解析】解：，
，

故选：
根据已知条件，运用复数的运算法则，以及复数模的公式，即可求解．
本题考查了复数代数形式的乘除法运算，以及复数模的公式，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．

3.【答案】A

【解析】解：，，
，
若A，C，D三点共线，
则，又，
，解得，
故选：
根据向量的坐标运算求出，根据，得到关于m的方程，解出即可．
本题考查了向量的坐标运算，考查转化思想，是基础题．

4.【答案】C

【解析】解：因为，
所以定义域为，
，
所以为奇函数，排除B；
令，得或，即只有2个零点，排除A；
当时，，所以，排除
故选：
选求出定义域，再判断奇偶性和零点个数，最后判断函数在上的正负即可．
本题考查了函数的奇偶性、零点个数，属于基础题．

5.【答案】B

【解析】

【分析】

本题考查了频率分布直方图，属于基础题．
根据频率分布直方图求出直径落在区间的频率，再乘以样本的个数即可．

【解答】

解：直径落在区间的频率为，
则被抽取的零件中，直径落在区间内的个数为个，
故选：

6.【答案】A

【解析】解：如图所示，

在直角中，，
可得，可得，
即旋转体的底面圆的半径为，
所以该旋转体的表面积为：
，
故选：
根据题意，结合圆锥的侧面积公式，准确运算，即可求解．
本题考查了几何体的表面积的计算，属于基础题．

7.【答案】B

【解析】解：当，时，，为奇函数，即充分性不成立；
当为偶函数时，对任意的x恒成立，
所以，即，
得对任意的x恒成立，
从而，即，即必要性成立；
从而“”是“为偶函数“的必要不充分条件．
故选：
根据定义域为R的函数为偶函数等价于进行判断．
本题考查命题真假的判断，考查函数的奇偶性等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题．

8.【答案】B

【解析】解：选项A：展开式的常数项为，故A正确，
选项B：展开式的通项公式为，
则，，
因为，所以第5项系数最大错误，故B错误，
选项C：因为，则展开式的第4项的二项式系数最大，故C正确，
选项D：令，则展开式的各项系数和为，故D正确，
故选：
选项A：根据二项式定理求出展开式的常数项，由此即可判断；选项B：求出展开式的第5项与第3项，比较即可判断；选项C：根据n的值以及二项式系数的性质即可判断；选项D：令，由此即可求解．
本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．

9.【答案】D

【解析】解：速度增量增加的百分比，
故选：
根据题中的条件，列出关系式，即可解出．
本题考查了函数模型的实际应用，学生的数学运算能力，属于基础题．

10.【答案】C

【解析】解：被3除余2且被5除余4的数构成首项为14，公差为15的等差数列，记为，
则，
令，解得
到2022这2022个自然数中被3除余2且被5除余4的数按照从小到大的顺序排成一列，构成一个数列，则该数列的项数为
故选：
根据“被3除余2且被5除余4的数”，可得这些数构成等差数列，然后根据等差数列的前n项和公式，可得结果．
本题考查数列的项数的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．

11.【答案】D

【解析】解：由，，且，可得，
则等价于，
即，所以，
故，
令，则，
因为，所以在上为单调递减函数，
又由，解得，所以，
所以实数m的最小值为
故选：
根据题意转化为，令，得出在上为单调递减函数，结合，求得，即可求解．
本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了转化思想，属中档题．

12.【答案】143

【解析】解：因为等差数列中，，
所以，
则
故答案为：
由已知结合等差数列的性质可求，然后结合求和公式可求．
本题主要考查了等差数列的求和公式及性质的应用，属于基础题．

13.【答案】

【解析】解：双曲线渐近线的斜率为k，且，
可得，可得
故答案为：
利用双曲线的渐近线的斜率为k，且，列出不等式求解即可．
本题考查双曲线的简单性质的应用，是基础题．

14.【答案】答案不唯一

【解析】解：函数的图象向右平移个单位后，可得函数的图象，
再根据所得函数的图象与函数的图象重合，
，，
当时，
故答案为：答案不唯一
先根据图象变换得到平移后的函数，利用函数的图象与的图象重合，进而可确定答案．
本题主要考查了函数的图象变换和诱导公式的应用，考查运算求解能力，属于中档题．

15.【答案】①③④

【解析】解：对于①，当F为的中点时，则E也为的中点，
，平面，
平面，平面，故①为真命题；
对于②，因为平面，由正方体性质知与相交于一点，
所以平面不可能，故②为假命题；
对于③，点F是棱上的一个动点，平面交棱于点E，平面，
又因为平面ABCD，平面ABCD，，又四边形ABCD为正方形，，
又，平面，，故③是真命题；
对于④，平面，所以点F到平面的距离为定值，
三棱锥的体积为定值，故④是真命题．
故答案为：①③④．
对于①，根据线面平行的判定判断即可；对于②，可知与平面一定相交，从而可知不正确；对于③，由线面垂直的性质可判断；对于④，由体积公式可判断．
本题主要考查线面平行的判定，锥体体积的计算等知识，属于中档题．

16.【答案】解：设事件A表示“甲命中”，事件B表示乙命中．
则，，
局投篮比赛，甲、乙平局的概率为：
局投篮比赛，甲获胜的概率为：
③易知随机变量，1，2，…10，
由的结果，易得
随机变量X服从二项分布，田

【解析】设事件A表示“甲命中”，事件B表示乙命中．计算概率即可．
甲获胜的概率为即为甲赢乙输，计算即可．
本题主要考查随机变量及分布列，属于基础题．

17.【答案】解：证明：在图①中四边形ABCE为正方形，
由折叠的特性知，在图②中，，
又平面平面BCDE，平面平面，
又平面BCDE，平面
由易知，OB，OC，OP两两垂直．
如图，以O为原点，以OB，OC，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴、建立空间直角坐标系，

则，，，
，，
设平直PCD的法向量为，
则，
令，则，
平面PCD的一个法向量为

设直线PB与平面PCD所成角为，

故直线PB与平面PCD所成角的正弦值为

【解析】利用线面垂直的判定定理证明即可；
建立空间直角坐标系，利用空间向量求解线面角的正弦值．
本题主要考查线面垂直的证明，线面角的计算，空间向量及其应用，属于中等题．

18.【答案】解：依题意有，解得，
椭圆C的标准方程为
点P在圆D：上，
，
又为等边三角形，且O为线段AB的中点，
，，
①当直线AB的斜率不存在时，A，B为椭圆C的上下顶点，
，不符合题意；
②当直线AB的斜率存在时，设，直线AB的方程为，
联立
解得，，
，解得，
直线AB的方程为：

【解析】根据题意直接列方程组求解即可；
根据题意可得，设直线AB的方程代入求解，注意讨论斜率是否存在．
本题主要考查椭圆方程的求解，直线与圆锥曲线的位置关系，韦达定理及其应用等知识，属于中等题．

19.【答案】解：，
当时，，函数的单调递增区间为；
当时，，函数的单调递减区间为
函数的最大值为，无最小值．
证明：设，
则
，当且仅当时等号成立．
函数单调递增，又，
当时，，即；
当时，，即
证明：当时，；当时，，
令，则
又二次函数的图像开口向下，最大值为，
存在，使得
结合的结论易知
函数的图像关于直线对称，

【解析】求出导函数，判断导函数的符号，判断函数的单调性，然后求解函数的最值．
化简函数的解析式，构造函数，利用函数的单调性，转化求解即可．
说明当时，；当时，，令，求出m的范围，结合二次函数的性质以及第二问的结果，推出结果即可．
本题考查函数导数的应用，函数的单调性以及函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力，是难题．

20.【答案】解：直线l的参数方程为：为参数，
直线l的普通方程为
曲线C的极坐标方程为，
根据，可得曲线C的直角坐标方程为
联立，解得或
，
AB的中点坐标为
以AB为直径的圆的直角坐标方程为，
即
根据，
可得以AB为直径的圆的极坐标方程为