2022年天津市河东区高考数学一模试卷（含答案解析）

2022年天津市河东区高考数学一模试卷

1. 已知全集，，，则集合

A.  B.  C.  D.

2. “且”是“”的

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

3. 一个频率分布表样本容量为不小心被损坏了一部分，只记得样本中数据在上的频率为，则估计样本在内的数据个数为
    

A. 14 B. 15 C. 16 D. 17

4. 函数的部分图象可能是

A.  B.
C.  D.

5. 设是定义域为R的偶函数，且在上单调递增，则

A.  B.
C.  D.

6. 如图：几何体是由长方体中挖去四棱锥和后所得，其中O为长方体的中心，E，F，H，G分别为所在棱的中点，其中，，则该几何体的体积是

A. 36 B. 96 C. 108 D. 120

7. 已知双曲线的焦点为，，抛物线的准线与交于M，N两点，且三角形为正三角形，则双曲线的离心率为

A.  B.  C.  D.

8. 曲线在点处的切线方程为   

A.  B.
C.  D.

9. 已知函数设，若关于x的不等式在上恒成立，则a的取值范围是

A.  B.  C.  D.

10. 设复数，则______.
11. 的展开式中的系数为______用数字作答
12. “11分制”乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10：10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束．甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为，乙发球时甲得分的概率为，各球的结果相互独立．在某局双方10：10平后，若甲先发球，两人又打了2个球该局比赛结束的概率为______；若乙先发球，两人又打了4个球该局比赛结束，则甲获胜的概率为______.
13. 已知圆C与圆相切于原点，且过点，则圆C的标准方程为______.
14. 已知函数，若方程在区间上的根为，，则______.
15. 在矩形ABCD中，，，P是对角线AC上一点，，过点P的直线分别交DA的延长线、DC于M，N，则______，若，，则的最小值为______.
16. 已知的三个角A，B，C所对的边为a，b，c，若，，且
    求b、c的值；
    求的值．
    
    
    
    
    
    
     
17. 如图，四棱锥中，底面ABCD为矩形，平面ABCD，E，F分别为AD，SC的中点，EF与平面ABCD所成的角为
    证明：平面SBC；
    若，求平面SCD和平面BSC的夹角的余弦值．
    
    
    
    
    
    
     
18. 已知数列是公比大于1的等比数列，为数列的前n项和，，且，，成等差数列．数列的前n项和为，满足，且
    求数列和的通项公式；
    令，求数列的前2n项和为
    
    
    
    
    
    
     
19. 设椭圆C的方程为，O为坐标原点，A为椭圆的上顶点，为其右焦点，D是线段AB的中点，且
    求椭圆C的方程；
    过坐标原点且斜率为正数的直线交椭圆C于P，Q两点，分别作轴，轴，垂足分别为E，F，连接QE，PF并延长交椭圆C于点M，N两点．
    判断的形状；
    求四边形PMQN面积的最大值．
    
    
    
    
    
    
     

已知函数
讨论函数的单调性；
若函数在上有且仅有一个零点．
求证：此零点是的极值点；
证明：
本题可能用到的数据为，，







答案和解析

1.【答案】D
 

【解析】解：全集，，，
或，
集合
故选：
先求出，再由补集的定义求出集合
本题考查集合的运算，考查并集、补集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

2.【答案】A
 

【解析】解：①，为减函数，
当时，则，充分性成立，
②当时，满足，但，，必要性不成立，
且是的充分不必要条件，
故选：
利用对数函数的单调性，再结合充分条件和必要条件的定义判断即可．
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，对数函数的单调性，属于基础题．
 

3.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题考查频数的求法，涉及到频率分布表等基础知识，是中档题．
由样本中数据在上的频率为，求出样本中数据在上的频数为24，由此能估计样本在内的数据个数．

【解答】

解：一个频率分布表样本容量为不小心被损坏了一部分，
只记得样本中数据在上的频率为，
样本中数据在上的频数为：，
估计样本在内的数据个数为：
故选：

4.【答案】C
 

【解析】解；显然原函数是偶函数，立即排除B，取，则排除
故选：
先判断函数为偶函数，再根据函数值的特点即可判断
本题考查了函数图象的识别，考查了函数的奇偶性和函数值的特点，属于中档题
 

5.【答案】B
 

【解析】解：是偶函数，且在上单调递增，
在上单调递减，
，
则，
，，
，即，
故选：
根据函数奇偶性和单调性的性质进行判断即可．
本题主要考查函数值的大小比较，利用函数奇偶性和单调性的性质进行判断是解决本题的关键，是基础题．
 

6.【答案】C
 

【解析】解：，
，
，
该几何体的体积是：
故选：
求出长方体的体积，减去两个四棱锥体积即可得答案．
本题考查了几何体体积的计算，属于中档题．
 

7.【答案】A
 

【解析】解：抛物线的准线方程为，焦点坐标为
由，解得，则，
与抛物线焦点的连线构成等边三角形，
，
，
即，
解得
故选：
由题意可得，由MN与抛物线焦点的连线构成等边三角形，可得，即求出双曲线的离心率．
本题考查了抛物线，双曲线的简单性质，考查了运算能力和转化能力，属于中档题．
 

8.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题考查利用导数研究在曲线上某点处的切线方程，熟记基本初等函数的导函数是关键，属于基础题．
求出原函数的导函数，得到导函数在时的函数值，即切线斜率，再由点斜式直线方程得答案．

【解答】

解：由，得，
，
曲线在点处的切线方程为，
即
故选：

9.【答案】A
 

【解析】

【分析】

本题考查分段函数的运用，不等式恒成立问题的解法，注意运用分类讨论和分离参数法，以及转化思想的运用．
讨论当时，运用绝对值不等式的解法，可得，再由二次函数的最值求法，可得a的范围；讨论当时，同样可得，再由基本不等式可得最值，可得a的范围，求交集即可得到所求范围．

【解答】

解：当时，关于x的不等式在上恒成立，
即为，
即有，
由的对称轴为，可得处取得最大值；
由的对称轴为，可得处取得最小值，
则①
当时，关于x的不等式在上恒成立，
即为，
即有，
由
当且仅当时等号成立；

当且仅当时等号成立，
则②
由①②可得，
故选：

10.【答案】1
 

【解析】解：，
，
故答案为：
利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．
 

11.【答案】7
 

【解析】解：展开式中含的项为，
所以的系数为7，
故答案为：
求出展开式的含的项，进而可以求解．
本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．
 

12.【答案】
 

【解析】解：记两人又打了X个球后结束比赛，
由题意可知，所包含的事件为“甲连赢两球或乙连赢两球“，
所以，
包含的事件为“前两球甲乙各得1分，后两球均为甲得分”，
所以，
故答案为：；
分析可知，两人又打了2个球该局比赛结束，包含的事件为“甲连赢两球或乙连赢两球”；两人又打了4个球该局比赛结束，包含的事件为“前两球甲乙各得1分，后两球均为甲得分”，然后由相互独立事件的概率公式直接计算可得．
本题考查相互独立事件，考查学生的运算能力，属于中档题．
 

13.【答案】
 

【解析】解：圆C：，即：，故圆心
根据两圆相切于原点，设所求的圆的圆心为M，可得M、O、C共线，
故圆心M在直线上，设所求的圆的圆心为，
又所求的圆过点，故圆心M还在直线上，故，半径为，
故要求的圆的方程为：，
故答案为：
设所求的圆的圆心为M，可得M、O、C共线，故圆心M在直线上，设所求的圆的圆心为，又所求的圆过点，可得圆心M还在直线上，故，求得半径AM的值，可得要求的圆的方程．
此题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有圆的标准方程，垂径定理，勾股定理，两圆相切的性质，属于中档题．
 

14.【答案】
 

【解析】解：令得，，
因为方程在区间上的根为，，
则，关于对称，
所以
则
故答案为：
由已知结合正弦函数的对称性即可求解．
本题主要考查了正弦函数的对称性，属于基础题．
 

15.【答案】 
 

【解析】解：如图所示，
以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，建立平面直角坐标系，
，，，，
因为，
所以；
又因为，，
所以
因为，所以，
设，由M，P，N共线，可得，
又，，所以，所以，，
所以，所以，
当且仅当时取等号，所以的最小值为
故答案为：；
以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，建立坐标系求出点P的坐标，再计算以的值．
根据M，P，N共线和基本不等式，即可求出的最小值．
本题考查了平面向量的线性表示与运算问题，也考查了基本不等式应用问题，是中档题．
 

16.【答案】解：，即，
由余弦定理可得，
又，可得，；
由，，，可得，
则，
，
，
所以
 

【解析】由三角形的内角和定理、诱导公式和余弦定理，解方程可得所求值；
由三角形的余弦定理和二倍角公式、两角和的正弦公式，计算可得所求值．
本题考查三角形的余弦定理和面积公式的运用，以及三角函数的恒等变换，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
 

17.【答案】证明：取SB中点M，连接FM和MA，则，且，

是AD中点，ABCD是矩形，，且，
，且，四边形AEFM为平行四边形，，
与底面所成角为，与底面ABCD所成角为，
平面ABCD，平面SAB，平面平面ABCD，
平面SAB，即为AM与底面ABCD所成角，即，
为等腰直角三角形，则
平面ABCD，平面ABCD，，
又，，平面SAB，，
，平面SBC，平面SBC；
解：以A为原点，AB、AD、AS分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，

若，设，则，
连接AC，取AC中点H，连接FH、EH，
、H分别为SC、AC的中点，故，
平面ABCD，平面ABCD，
，，
，
，
则，
设平面BCS的法向量为，
则，则，取，则，
设平面SCD的法向量为，
则，则，取，则，则，
则，
则平面SCD和平面BSC的夹角的余弦值为
 

【解析】取SB中点M，连接FM和MA，则可证四边形AEFM为平行四边形，由此得证明，即可证明平面SBC，即可证平面SBC；
以A为原点，AB、AD、AS分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，求出点的坐标，利用向量法求出平面的法向量，利用向量法进行转化求解即可．
本题考查空间角，考查学生的综合能力，属于中档题．
 

18.【答案】解：由已知，得，
即，也即，
解得，，
故；
，
可得是首项为1，公差为的等差数列，
，
当时，，
经检验时也符合上式，
则；
，
……
，
设，
所以，
两式相减得
，
所以，
所以
 

【解析】由等比数列的性质和通项公式，解方程可得首项和公比，可得，运用等差数列的定义和通项公式可得；
求得，运用数列的裂项相消求和和错位相减法求和，结合等比数列的求和公式可得所求和．
数列求和常用的方法有：公式法；错位相减法；裂项相消法；倒序相加法；分组求和．要根据具体情况灵活选择合适的方法求解．
 

19.【答案】解：设椭圆的半焦距为
由题意可得，D为AB的中点，
，
，，
椭圆的方程为；
设直线PQ的方程为，且点P在第一象限，
联立消去y得，
显然，
，
又轴，，
，
直线EQ的方程为，
联立消去y得，，

，
，，
，
，
即为直角三角形，
根据图形的对称性可知，四边形PMQN面积是面积的2倍，
由知为直角三角形，且，

又
，

，



令，，，
，
即当时，最大，此时的面积也达到最大，
由对称性可知，
故当时，最大，
 

【解析】本题考查椭圆的方程及其几何性质、直线与椭圆的位置关系，考查考生的推理论证能力和运算求解能力，考查化归与转化思想，属于难题．
根据题意列方程即可求解；
先设直线PQ和EQ的方程，再与椭圆方程联立即可求解；根据图形的对称性即可求得的最大值．
 

20.【答案】解：定义域为，
所以，，，
当时，恒成立，
所以在单调递增，没有单调递减区间．
当时，设，则对称轴，
解不等式可得：或，
所以此时的单调递增区间为和
单调递减区间是，
综上：时，单调递增区间是，没有单调递减区间；
时，单调递增区间为和，
单调递减区间是；
①，
在单调递增，又因为，

，使得，且时，，时，，
在上单调递减，上单调递增，
在上有且仅有一个零点，
此零点为极小值点；
②由①得，即，
解得：，且，
设

则在单调递减，
因为，，
又因为在单调递增，，
即
 

【解析】求出函数的导函数，由，可得，对参数a分类讨论，当时，恒成立，求出单调区间；当，令，即，求出方程的根，即可求得结论；
①求出函数的导函数，可判断在单调递增，根据零点存在性定理可得，，使得，结合的单调性，可得的单调性，即可得证；
②由①得，可得，且为函数
的零点，通过求导判断的单调性，结合零点存在性定理，可求，根据在单调递增，即可求出结论．
本题考查利用导数研究函数的单调性，考查学生的运算能力，属于难题．