初中数学人教版八年级下册第十七章 勾股定理综合与测试单元测试综合训练题

人教版初中数学八年级下册第十七章《勾股定理》单元测试卷

考试范围：第十七章； 考试时间：100分钟；总分120分，

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 中，，，高，则的长为   

A.  B.  C. 或 D. 以上都不对

2. 由个有公共顶点的直角三角形拼成的图形如图所示，若，则的长为

A.  B.  C.  D.

3. 小明学了在数轴上画出表示无理数的点的方法后，进行练习：首先画数轴，原点为，在数轴上找到表示数的点，然后过点作，使如图以为圆心，长为半径作弧，交数轴正半轴于点，则点所表示的数为

A.  B.  C.  D.

4. 如果正整数、、满足等式，那么正整数、、叫做勾股数某同学将自探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知的值为
    

A.  B.  C.  D.

5. 如图，在中，度，以的三边为边分别向外作等边三角形，，，若，的面积分别是和，则的面积是

A.
B.
C.
D.

6. 四个全等的直角三角形按图示方式围成正方形，过各较长直角边的中点作垂线，围成面积为的小正方形已知为较长直角边，，则正方形的面积为

A.  B.  C.  D.

7. 如图，以正方形的边为直径作一个半圆，点是半圆上一个动点，分别以线段、为边各自向外作一个正方形，其面积分别为和，若正方形的面积为，随点的运动的值为

A. 大于 B. 小于 C. 等于 D. 不确定

8. 如图，在中，，：：，，是上一动点，过点作于，于，，则的长是

A. 定值 B. 定值 C. 不确定 D. 定值

9. 下列说法中能推出是直角三角形的个数有

；                 ：：：：；

：：：：；       ．

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

10. 如图是高空秋千的示意图，小明从起始位置点处绕着点经过最低点最终荡到最高点处，若，点与点的高度差米，水平距离米，则点与点的高度差为米．

A.  B.  C.  D.

11. 图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若，，将四个直角三角形中的边长为的直角边分别向外延长一倍，得到图所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是

A.  B.  C.  D. 无法确定

12. 如图，一个梯子斜靠在一竖直的墙上，测得若梯子的顶端沿墙下滑米，这时梯子的底端也恰好外移米，则梯子的长度为   

A.
B.
C.
D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13. 一个三角形的三边长的比为：：，且其周长为，则其面积为______．
14. 如图，在中，、、，为边上一动点，于，于，连接，则的最小值为______．

15. 为了比较与的大小，可以构造如图所示的图形进行推算，其中，，点在边上，且通过计算可得          填“”“”或“”

16. 如图，在中，，按以下步骤作图：以为圆心，以任意长为半径作弧，分别交，于点，；分别以、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；作射线，交于点若，，则线段的长为______．

三、解答题（本大题共8小题，共72.0分）

17. 在中，，，是的中点．为直线上一动点，连接过点作，交直线于点，连接．
    如图，当是线段的中点时，设，，求的长用含，的式子表示；
    当点在线段的延长线上时，依题意补全图，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．

18. 如图，在长方形纸片中，，，点在上，将沿折叠，使点落在对角线上的点处，求的长．
     

19. 如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是，每个小格的顶点叫格点．

在图中以格点为顶点画一个面积为的正方形．

如图所示，，，是小正方形的顶点，求的度数．






 

20. 如图，在四边形中，，，，，求的长．

21. 如图，沿方向开山修路．为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从上的一点取，，那么另一边开挖点离多远正好使、、三点在一直线上取，结果取整数？
    
     

22. 如图，在正方形中，为的中点，为上一点，且求证：．
    
    
     

23. 在一次缉私行动中，警方获得可靠消息：一辆走私车将路过一段水平且笔直的公路，但由于车上有威力巨大的爆炸装置，在方圆范围内有危险，缉私警察无法靠近．为保证我警员的安全，决定利用远程射击的方法，警方选中一个距离公路的高地作为隐蔽处，当射程为时开始射击若走私车与警方隐蔽处的距离为时，警方做好了射击准备．走私车又行驶了多少米后，警方可以对其进行射击？
    
    
    
    
    
    
     
24. 如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，某村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点在一条直线上，并新修一条路，测得米，千米，千米．
    
    
    是不是从村庄到河边的最短路线请通过计算加以说明

求原来的路线的长．







答案和解析

1.【答案】
 

【解析】

【分析】
此题主要考查了直角三角形中勾股定理的应用即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方根据勾股定理先求出、的长，再分是锐角或钝角两种情况分别求即可解答．
【解答】
解：如图，

此图中有两个直角三角形，利用勾股定理可得：
，
，
同理得，
，
，
此图还有另一种画法即

此图中有两个直角三角形，利用勾股定理可得：
，
，
同理得，
，
，
故选C．  

2.【答案】
 

【解析】解：由图可知，，
，
，，
同理可得，，
，

．
故选：．
由，，可知：：：：：：：：，由此可求出的长．
本题主要考查含角的直角三角形的三边关系，勾股定理，掌握含角的直角三角形的三边关系是解题基础．
 

3.【答案】
 

【解析】略
 

4.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题主要考查了勾股数，数式规律问题，满足的三个正整数，称为勾股数．依据每列数的规律，即可得到，，，进而得出的值．
【解答】
解：由题可得，，，，
，，，
，，，为正整数
当时，，
，，
，
故选：．  

5.【答案】
 

【解析】解：如图，设等边三角形，，的面积分别是，，，
设，，，
是直角三角形，且度，
，
．
又，同理可求，，
，
，，
，
故选：．
先设，，，根据勾股定理有，再根据等式性质可得，再根据等边三角形的性质以及特殊三角函数值，易求而，同理可求，，从而可得，易求
本题考查了勾股定理，注意等边三角形的性质、特殊三角函数值的利用．解题关键是根据等边三角形的性质求出每一个三角形的面积．
 

6.【答案】
 

【解析】解：设则正方形的面积，
由题意可知，
，
，
，
正方形的面积为，
，
正方形的面积，
故选：．
设则正方形的面积，由题意可知，由此即可解决问题．
本题考查正方形的性质、勾股定理的证明、线段的垂直平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
 

7.【答案】
 

【解析】解：为半圆的直径，
，
，
，，
．
故选：．
根据圆周角定理可求解，再利用勾股定理可求解．
本题主要考查勾股定理，圆周角定理，灵活运用勾股定理解决问题是解题的关键．
 

8.【答案】
 

【解析】解：连接．
：：，
可以假设，，
，，
，，
，，
，
或舍弃，
，
，
，
故选：．
连接解直角三角形求出，再证明，即可解决问题．
本题考查解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
 

9.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题主要考查的是勾股定理的逆定理，三角形的内角和定理，直角三角形的判定等有关知识，根据勾股定理逆定理可得是否是直角三角形，根据三角形内角和计算出角的度数可判断是否是直角三角形．
【解答】
解：，即，是直角三角形
由可得，是直角三角形
，，是直角三角形
可变为，根据可得，解得，因此是直角三角形
故选：．  

10.【答案】
 

【解析】解：作于，于，
，
，
，
在与中，
，
≌，
米，
设米，
在中，，即，
解得．
则米．
故选：．
作于，于，根据可证≌，根据全等三角形的性质可得米，在中，根据勾股定理可求，可求，再根据线段的和差关系和等量关系可求点与点的高度差．
考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
 

11.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题主要考查勾股定理的应用及识图能力．通过勾股定理可将“数学风车”的斜边求出，然后可求出风车外围的周长．
【解答】
解：依题意，设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为，则，
所以．
所以“数学风车”的周长是．
故选C．  

12.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，本题中找到为等量关系是解题的关键．
设，利用勾股定理用表示出和的长，进而求出的值，即可求出的长度．
【解答】
解：设，依题意，得，，．
在中，根据勾股定理得
，
在中，根据勾股定理
，
，
解得，
，即，
故梯子的长为，
故选A．  

13.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键．
先设三角形的三边长分别为，，，再由其周长为求出的值，根据勾股定理的逆定理判断出三角形的形状，由其面积公式即可得出结论．
【解答】
解：三角形的三边长的比为：：，
设三角形的三边长分别为，，．
其周长为，
，解得，
三角形的三边长分别是，，．
，
此三角形是直角三角形，

故答案为：．  

14.【答案】
 

【解析】解：连接，

、、，
，
，
，，
，
四边形是矩形，
，
当最小时，也最小，
即当时，最小，
的最小值为：，
线段长的最小值为．
故答案为：．
连接，当时，最小，利用三角形面积解答即可．
本题主要考查的是矩形的判定与性质，垂线段最短等知识．解题的关键是根据矩形的性质和三角形的面积公式解答．
 

15.【答案】
 

【解析】

【分析】本题主要考查了三角形三边关系以及勾股定理的运用，解题时注意：三角形两边之和大于第三边先利用勾股定理求出和，再根据三角形的三边关系即可求解．
【解答】解：，，，，
，，
，
又中，，
．  

16.【答案】
 

【解析】解：由作法得平分，
过点作于，如图，则，
在中，，
，
，
即，
，
，
故答案为：．
利用基本作图得平分，过点作于，如图，根据角平分线的性质得到则，再利用勾股定理计算出，然后利用面积法得到，最后解方程即可．
本题考查了作图基本作图：熟练掌握基本作图作已知角的角平分线也考查了角平分线的性质．
 

17.【答案】解：是的中点，是线段的中点，
，，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
；

．
证明：过点作，与的延长线交于点，连接，
则，，
点是的中点，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
．

 

【解析】由三角形的中位线定理得，，进而证明四边形是矩形得，得出，再根据勾股定理得结果；
过点作，与的延长线交于点，连接，证明≌得，，由垂直平分线的判定定理得，进而根据勾股定理得结论．
本题主要考查了直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，垂直平分线的判定，关键在于构造全等三角形．
 

18.【答案】解：在长方纸片中，，，
，，
，
根据折叠可得，，，，
，
设，则，，
在中，，
解得，
．
 

【解析】略
 

19.【答案】解：略．
．
 

【解析】略
 

20.【答案】解：连结，

，，

，，

，

，

在中，

．

【解析】此题考查勾股定理，等腰三角形的性质连结，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出，再利用勾股定理求出的长，由可得，在中利用勾股定理可得的长．
 

21.【答案】解：，，
，
在中，，，
，
．
答：另一边开挖点离约，正好使，，三点在一直线上．
 

【解析】本题考查三角形的外角性质与勾股定理的应用．关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，领会数形结合的思想的应用．
根据三角形内角与外角的关系可求出的度数，再根据勾股定理即可求出的长．
 

22.【答案】证明：设正方形的边长为，则，，，
由勾股定理得
，， 
， 
是直角三角形， 
．
 

【解析】本题综合运用勾股定理及其逆定理，此题难度一般，解答本题的关键是掌握勾股定理．
设正方形的边长为，根据已知条件，运用勾股定理可以分别求出的三边，根据勾股定理的逆定理即可求解．
 

23.【答案】解：如图，根据射击有效距离可知，从处可以进行射击．所以从到就是射击的准备距离．

，， ，，


．
答：走私车又行驶了米后，警方可以对其进行射击．
 

【解析】根据射击距离可知行驶的距离范围是的长度，解直角三角形求得即可．
本题考查的是勾股定理的应用．解题的关键是找到根据已知条件找到直角三角形．
 

24.【答案】解：是，理由是：
在中，
，
，
，
，
是从村庄到河边的最近路；
设千米，在中，由已知得千米，千米，千米，
由勾股定理得：，
，
解这个方程，得，
答：原来的路线的长为千米．
 

【解析】此题考查勾股定理的应用，关键是根据勾股定理的逆定理和定理解答．
根据勾股定理的逆定理解答即可；
根据勾股定理解答即可．