2021学年第十七章 勾股定理综合与测试单元测试课后复习题

人教版数学八年级下册单元测试卷

第十七章 勾股定理

考试时间：120分钟；  试卷总分：120分

一、单选题(共30分)

1．(本题3分)在Rt△ABC中，∠C=90°，若AC+BC=14cm，AB=10cm，则Rt△ABC的面积是(　　)

A．24cm2 B．36cm2 C．48cm2 D．60cm2

2．(本题3分)直角三角形中一直角边的长为9，另两边为连续自然数，则直角三角形的周长为（　　）

A．121 B．120 C．90 D．不能确定

3．(本题3分)放学以后，小红和小颖从学校分手，分别沿东南方向和西南方向回家，若小红和小颖行走的速度都是40米/分，小红用15分钟到家，小颖20分钟到家，小红和小颖家的直线距离为（　　）

A．600米 B．800米 C．1000米 D．不能确定

4．(本题3分)如图，2002年8月在北京召开的国际数学家大会会徽取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》（也称《赵爽弦图》），它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的短直角边为a，较长直角边为b，那么的值为（       ）

A．13 B．19 C．25 D．169

5．(本题3分)三角形的三边长分别为6，8，10，它的最短边上的高为（       ）

A．6 B．4.5 C．2.4 D．8

6．(本题3分)三角形的三边为a、b、c，由下列条件不能判断它是直角三角形的是（       ）．

A． B． C． D．

7．(本题3分)如图所示，中，于，若，，，则的长为（ ）

A． B． C． D．

8．(本题3分)已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长是（       ）

A．5 B．25 C． D．5或

9．(本题3分)已知RtABC中，∠C＝90°，若a+b＝14cm，c＝10cm，则RtABC的面积是（　　）

A．24cm2 B．36cm2 C．48cm2 D．60cm2

10．(本题3分)如图，在四边形中，，，，，则（       ）．

A．20 B．25 C．35 D．30

二、填空题(共24分)

11．(本题3分)如果一个直角三角形的两条直角边的长分别为5、12，则斜边上的高的长度为______．

12．(本题3分)如图，在高2米，坡角为30°的楼梯表面铺地毯，地毯的长至少需______米．

13．(本题3分)已知中，，则、、所对的三条边之比为_________．

14．(本题3分)△ABC，∠C=90°，a=9，b=12，则c=______．

15．(本题3分)如图所示，某风景名胜区为了方便游人参观，计划从主峰A处架设一条缆车线路到另一山峰C处，若在A处测得∠EAC=30°，两山峰的底部BD相距900米，则缆车线路AC的长为____米．

16．(本题3分)△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，则BC∶AC∶AB=______．

17．(本题3分)已知三角形三边长为正整数，则此三角形是____三角形．

18．(本题3分)如图所示，折叠长方形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，如果，，则EC的长_________．

三、解答题(共66分)

19．(本题6分)如图，每个小正方形的边长是1

（1）在图①中画出一个面积为2的直角三角形；（2）在图②中画出一个面积是2的正方形．

20．(本题7分)如图，折叠矩形的一边，使点落在边的点处，已知AB=8cm，BC=10cm，求的长

21．(本题7分)如图，△ABC中，CD⊥AB于D．

（1）图中有几个直角三角形；

（2）若AD=12，AC=13，则CD等于多少；

（3）若CD2=AD·DB， 求证：△ABC是直角三角形．

22．(本题7分)如图，甲乙两船从港口A同时出发，甲船以16海里/时速度向北偏东40°航行，乙船向南偏东50°航行，3小时后，甲船到达C岛，乙船到达B岛．若C、B两岛相距60海里，问乙船的航速是多少．

23．(本题8分)如图，在笔直的铁路上A、B两点相距25km，C、D为两村庄，，，于A，于B，现要在AB上建一个中转站E，使得C、D两村到E站的距离相等，求E应建在距A多远处？

24．(本题9分)如图，将一根25㎝长的细木棒放入长、宽、高分别为8㎝、6㎝和10㎝的长方体无盖盒子中，求细木棒露在盒外面的最短长度是多少？

25．(本题10分)《城市交通管理条例》规定：小汽车在城市街路上的行驶速度不得超过70千米/时．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测仪正前方30米的处，过了2秒后，小汽车行驶至处，若小汽车与观测点间的距离为50米，请通过计算说明：这辆小汽车是否超速？

26．(本题12分)细心观察下图，认真分析各式，然后解答问题．

……

（1）请用含n（n是正整数）的等式表示上述变化规律________，_________；

（2）请推算出的长；

（3）求出的值．

参考答案：

1．A

【分析】

根据勾股定理得到AC2+BC2=AB2=100，根据完全平方公式求出2AC•BC=96，得到 AC•BC=24，得到答案．

【详解】

∵∠C=90°，

∴AC2+BC2=AB2=100，

∵AC+BC=14，

∴（AC+BC）2=196，

即AC2+BC2+2AC•BC=196，

∴2AC•BC=96，

∴AC•BC=24，即Rt△ABC的面积是24cm2，

故选：A．

2．C

【详解】

设另一直角边长为，则由题意可知斜边长为，根据勾股定理可得：，解得：，

∴这个直角三角形的周长为：40+41+9=90.故选C.

3．C

【分析】

根据题意，小红和小颖的家以及学校三点组成一个直角三角形，小红和小颖的行走距离即为直角三角形的两直角边的长度，由勾股定理可以求得直角三角形斜边的长度，从而得到小红和小颖家的直线距离．

【详解】

解：由题意，小红和小颖的家以及学校三点组成一个直角三角形，

∵

∴直角三角形的两直角边为600和800，

所以由可得小红和小颖家的直线距离为1000米．

故选C．

4．C

【详解】

试题分析：根据题意得：=13，4×ab=13﹣1=12，即2ab=12，则==13+12=25，故选C．

考点：勾股定理的证明；数学建模思想；构造法；等腰三角形与直角三角形．

5．D

【分析】

【详解】

解：由题意知，，所以根据勾股定理的逆定理，三角形为直角三角形．长为6的边是最短边，它上的高为另一直角边的长为8．

故选D．

6．A

【分析】

根据勾股定理的逆定理，逐项进行计算即可判断．

【详解】

A.        ，设，

则，，

故A选项不能判断它是直角三角形，符合题意；

B. ，即，故能判断是直角三角形，不符合题意；

C. ，即，故能判断是直角三角形，不符合题意；

D. ，设，则，，

，故能判断是直角三角形，不符合题意．

故选A．

7．B

【分析】

由于CD⊥AB，CD为Rt△ADC和Rt△BCD的公共边，在这两三角形中利用勾股定理可求出BD的长．

【详解】

解：∵CD⊥AB，

∴∠CDA=∠BDC=90°

在Rt△ADC中，CD2=AC2-AD2，

在Rt△BCD中，CD2=BC2-BD2，

∴AC2-AD2=BC2-BD2，

∵AD=2BD，AC=5，BC=4，

∴52-（2BD）2=42-BD2

解得：BD=．

故选B．

8．D

【分析】

分4是直角边、4是斜边，根据勾股定理计算即可．

【详解】

解：当4是直角边时，斜边＝，

当4是斜边时，另一条直角边＝，

故选：D．

9．A

【分析】

根据∠C＝90°确定直角边为，对式子两边平方，再根据勾股定理得到的值，即可求解．

【详解】

解：根据∠C＝90°确定直角边为，∴

∵

∴，即

∴

∴

故选A

10．B

【分析】

根据勾股定理求得的长度，再根据勾股定理即可求解．

【详解】

解：

由勾股定理可得：

故选B

11．

【分析】

利用勾股定理求出斜边长，再利用面积法求出斜边上的高即可．

【详解】

解：∵直角三角形的两条直角边的长分别为5，12，

∴斜边为=13，

∵三角形的面积=×5×12=×13h（h为斜边上的高），

∴h=．

故答案为．

12．2+2

【分析】

地毯的竖直的线段加起来等于BC，水平的线段相加正好等于AC，即地毯的总长度至少为（AC+BC）．

【详解】

在Rt△ABC中，∠A=30°，BC=2m，∠C=90°，

∴AB=2BC=4m，

∴AC=m，

∴AC+BC=2+2（m）.

故答案为2+2.

13．

【分析】

先求出，，，然后利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求解即可．

【详解】

解：∵，，

∴，，，

∴，，

∴，

∴，

∴，

故答案为：．

14．13

【分析】

利用勾股定理求解即可.

【详解】

∵△ABC，∠C=90°，a=9，b=12，

∴c===15.

故答案为15.

【点睛】

本题考点：勾股定理.

15．600

【分析】

过点C作CO⊥AB，垂足为O，根据30度所对直角边等于斜边的一半，可设OA=x，则AC=2x，然后利用勾股定理求解即可.

【详解】

过点C作CO⊥AB，垂足为O，

∵BD=900，

∴OC=900，

∵∠EAC=30°，

∴∠ACO=30°．

在Rt△AOC中，

∵AC=2OA，

设OA=x，则AC=2x，

（2x）2-x2=OC2=9002，

∴x2=270000，

∴x=300，

∴AC=600.

故答案为600.

16．1∶∶2

【分析】

根据直角三角形中30度角所对直角边为斜边的一半，可设BC=x，则AB=2x，再利用勾股定理求AC的长即可得解.

【详解】

已知△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，

设BC=x，则AB=2x，

∴AC==x，

则BC∶AC∶AB=1∶∶2.

故答案为1∶∶2.

17．直角

【详解】

本题考查了勾股定理的逆定理. 根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形判定则可．如果没有这种关系，这个三角形就不是直角三角形．

解：∵（2n+1）2+（2n2+2n）2=4n2+4n+1+4n4+8n3+4n2=4n4+8n3+4n2+4n+1，

（2n2+2n+1）2=4n4+8n3+4n2+4n+1，

∴（2n+1）2+（2n2+2n）2=（2n2+2n+1）2，

∴此三角形是直角三角形．

18．

【分析】

首先在Rt△ABF中，求出BF，再在Rt△EFC中，利用勾股定理构建方程求出EC即可．

【详解】

解：∵四边形ABCD是矩形，

∴AB=CD=8cm，AD=BC=10cm，∠B=∠C=90°，

由折叠的性质可知：AF=AD=10cm，DE=EF，

在Rt△ABF中，BF=，

∴CF=BC-BF=4cm，

设EC=x，则DE=EF=8-x，

在Rt△EFC中，∵EF2=EC2+CF2，

∴（8-x）2=x2+42，

∴x=3cm，

故答案为：3cm．

19．【详解】

试题分析：

（1）面积为2的直角三角形，其两直角边的乘积应为4，取其两直角边都为2即可（方法不止一种）；

（2）面积为2的正方形，其边长应为，而在方格纸中，每个小正方形的对角线长刚好为，所以以小正方形的对角线为边长作正方形即可；

试题解析：

所画图形如图所示：

20．

【分析】

根据折叠的性质得AF=AD=10，DE=EF，在Rt△ABF中，利用勾股定理计算出BF=6，则FC=4，设EC=x，则DE=EF=8-x，在Rt△EFC中，根据勾股定理得x2+42=(8-x)2，然后解方程即可．

【详解】

∵四边形ABCD为矩形，

∴DC=AB=8cm，AD=BC=10cm，∠B=∠D=∠C=90°，

∵折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，

∴AF=AD=10cm，DE=EF，

在Rt△ABF中，BF=(cm)，

∴FC=BC-BF=4(cm)，

设EC=，则DE=，EF=，

在Rt△EFC中，

∵EC2+FC2=EF2，

∴x2+42=(8-x)2，解得x=3，

∴EC的长为．

21．（1）2；（2）5；（3）见解析.

【分析】

（1）根据CD⊥AB即可进行判断；

（2）利用勾股定理求解即可；

（3）根据勾股定理可得BD2=BC2﹣CD2，AD2=AC2﹣CD2，再利用完全平方公式（AD+BD）2=AD2+2AD·BD+BD2，代入整理，根据勾股定理的逆定理即可得证.

【详解】

（1）∵CD⊥AB，

∴△ACD与△BCD都是直角三角形，

故图中有2个直角三角形；

（2）在Rt△ACD中，

CD==5；

（3）在Rt△ACD中，AD2=AC2﹣CD2，

在Rt△BCD中，BD2=BC2﹣CD2，

∵CD2=AD·DB，

∴（AD+BD）2=AD2+2AD·BD+BD2

= AC2﹣CD2+2 CD2+BC2﹣CD2

= AC2+ BC2=AB2，

则△ABC是直角三角形．

22．12海里/h

【分析】

首先理解方位角的概念，根据所给的方位角得到∠CAB=90°．根据勾股定理求得乙船所走的路程，再根据速度=路程÷时间，计算即可．

【详解】

根据题意，得∠CAB=180°-40°-50°=90°，

∵AC=16×3=48（海里），BC=60海里，

∴在直角三角形ABC中，根据勾股定理得：AB= =36（海里）．

则乙船的速度是36÷3=12海里/时．

23．E应建在距A点15km处

【分析】

设，则，根据勾股定理求得和，再根据列式计算即可；

【详解】

设，则，

由勾股定理得：在中，

，

在中，

，

由题意可知：，

所以：，

解得：．

所以，E应建在距A点15km处．

24．5cm

【分析】

利用勾股定理求出盒子的对角线长即可.

【详解】

盒子底面的对角线长为=10cm，

∴盒子的对角线长为=20cm，

则细木棒露在盒外面的最短长度是25﹣20=5cm.

25．这辆小汽车超速

【分析】

先根据勾股定理求出BC的距离，再根据速度=路程时间求出小汽车的速度，从而可知道是否超速．

【详解】

解：根据题意，得AC=30m，AB=50m，∠C=90°，

在Rt△ACB中， ，

∴小汽车的速度；

∴这辆小汽车超速．

26．（1），；（2）；（3）．

【分析】

（1）利用S1，S2，S3的值和变化规律直接得出答案即可；

（2）结合（1）中规律即可求出OA102的值即可求出；

（3）根据总结的规律计算，得到答案．

【详解】

解：（1）∵，，

，，

，，

……，

∴，；

（2）∵OA1=，OA2=，OA3=，…，

∴OA10=，

故答案为：；

（3）S12+S22+S32+…+S102

=()2+()2+()2+…+()2

= (1+2+3+…+10)

=．