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2021-2022学年陇南市某校高三（下）月考数学试卷
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这是一份2021-2022学年陇南市某校高三（下）月考数学试卷，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知集合A=x|lg13x>1，B=x|x<4，则A∩B=（ ）
A.x|x<13B.x|0
2. 设复数z=i(1−i)(i为虚数单位)，则z=( )
A.1−iB.1+iC.−1−iD.−1+i
3. 2021年7月下旬某省遭遇特大洪涝灾害，某品牌服饰公司第一时间向该省捐款5000万元物资以援助抗灾，该品牌随后受到消费者的青睐．右图为该品牌服饰某分店1−8月的销量（单位：件）情况．以下描述不正确的是（ ）
A.这8个月销量的极差为4132
B.这8个月销量的中位数2499
C.这8个月中2月份的销量最低
D.这8个月中销量比前一个月增长最多的是7月份
4. 如图，AB是⊙O的直径，点C，D是半圆弧AB⌢上的两个三等分点，AB→=a,AC→=b，则BD→=（ ）
A.12a−bB.a−12bC.−12a+bD.−a+12b
5. “csA=1”是“sinA=0”的（ ）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
6. 函数fx=Asinωx+φA>0,ω>0,|φ|<π2的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A.fx的最小正周期是π2
B.直线x=−π6是fx图象的一条对称轴
C.点（−π12,0）是fx 图象的一个对称中心
D.fx的单调递减区间是[2kπ+π6,2kπ+2π3]k∈Z
7. 定义在R上的奇函数fx，满足f8+x=f−4−x，且当x∈0,2时fx=−3x+1,则f2022=（ ）
A.−8B.−2C.2D.8
8. 直线y=kxk∈R与椭圆x26+y22=1相交于A，B两点，若将x轴下方半平面沿着x轴翻折，使之与上半平面成直二面角，则|AB|的取值范围是（ ）
A.[2,6）B.2,26C.(2,26]D.(2,6]
9. 在直角△ABC中，BC=a,AC=b,AB=c，且a>b>c,分别以BC，AC，AB所在直线为轴，将△ABC旋转一周，形成三个几何体，其表面积和体积分别记为S1,S2,S3和V1,V2,V3，则它们的关系为（ ）
A.S1>S2>S3,V1>V2>V3 ．B.S1C.S1>S2>S3,V1=V2=V3D.S1
10. 已知以圆C：(x−1)2+y2=4的圆心为焦点的抛物线C1与圆C在第一象限交于A点，过抛物线C2:x2=8y上任意一点B作直线y=−2的垂线，垂足为M，则|BM|−|AB|的最大值为（ ）
A.8B.2C.−1D.1
11. 线段AB上任取一点C，若AC2=AB⋅BC则点C是线段AB的“黄金分割点”，以AC，BC为邻边组成的矩形称为“黄金矩形”，现在线段AB上任取一点C，若以AC，BC为邻边组成矩形，则该矩形的面积小于“黄金矩形”的面积的概率为（ ）
A.3−5B.5−2C.3−1D.3−7
12. 设函数f(x)=1+csπx2,x>1x2,00)，若存在唯一的x0，使得h(x)＝min{f(x), g(x)}的值为h(x0)，则实数a的取值范围为________．
A.a<−2 B.a≤−2C.a<−1D.a≤−1
二、填空题
若双曲线x2a2−y2=1a>0的离心率为103，则该双曲线的渐近线方程为________．
已知等差数列an满足a2=4,a6=8，则a4=________．
曲线y=x3−3x的一条切线的方程为y=ax+16，则实数a=
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且3acsC+csinA=0．若角C的平分线交AB于D点，且CD=1，则a+b的最小值为________.
三、解答题
已知数列an满足a1=1,2an+1=an．数列bn满足b1=1,b2=2,bn+bn+2=2bn+1，n∈N*
(1)求数列an及{bn}的通项公式；
(2)求数列{an+bn}的前n项和Tn
2021年国庆节过后我省多地突发新冠疫情，某行业主管部门为了了解本行业中的小企业在疫情后的恢复生产情况，随机调查了150个企业，得到这些企业第四季度相对于去年同期产值增长率的频数分布表如下：
(1)根据上述增长率的频数分布表，估计这些企业中产值负增长的企业比例（用百分数表示）；估计这150 个企业同期产值增长率的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
(2)某调研部门要从当地本行业所有企业中任意选取两个企业做调查研究，若被调查的企业同期增长率y∈[−0.4,−0.2），则调研价值为1；被调查的企业同期增长率y∈[−0.2,0），则调研价值为2；被调查的企业同期增长率y∈0,0.6，则调研价值为3．以表中对应各组的频率为概率，设选取的两个企业的调研价值之和为X，求X的分布列及数学期望.
如图，边长为3的等边三角形ABC，E，F分别在边AB，AC上，且AE=AF=2，M为BC边的中点，AM交EF于点O，沿EF将△AEF，折到DEF的位置，使DM=152.
（1）证明DO⊥平面EFCB；
（2）若平面EFCB内的直线EN//平面DOC，且与边BC交于点N，问在线段 DM上是否存在点P，使二面角P−EN−B的大小为60∘？若存在，则求出点P；若不存在，请说明理由．
已知动点P到点F11,0的距离与它到直线l:x=4的距离之比为12
(1)求动点P的轨迹所形成曲线C的方程；
(2)F2−1,0，分别过F1,F2作斜率为kk≠0的直线与曲线C交于x轴上方A，B两点，若四边形F1F2BA的面积为1227，求k的值．
已知函数fx=x+2ax−a−2lnxa∈R,gx=b−1x−2x−xex.
(1)判断函数fx的单调性；
(2)当a=1时，关于x的不等式fx+gx≤−1恒成立，求实数b的取值范围．
选修4−4：坐标系与参数方程
如图，曲线C1是著名的笛卡尔心形曲线，它的极坐标方程为ρ=1−sinθ(θ∈[0,2π)）．曲线C2是经过极点且在极轴上方的圆，其圆心在经过极点且垂直于极轴的直线上，直径为1.
（1）求曲线C2的极坐标方程，并求曲线C1和曲线C2交点的极坐标；
（2）以极点为坐标原点，极轴所在的直线为x轴，经过极点且垂直于极轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系，曲线C3的参数方程为 x=tcsπ3,y=tsinπ3, （t为参数）．若曲线C3与曲线C1相交于除极点外的M，N两点，求线段MN的长度．
参考答案与试题解析
2021-2022学年陇南市某校高三（下）月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
B
【考点】
交集及其运算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
B
2.
【答案】
A
【考点】
复数的运算
共轭复数
【解析】
直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【解答】
解：∵ z=i(1−i)=1+i，
∴ z =1−i．
故选A.
3.
【答案】
B
【考点】
频率分布折线图、密度曲线
【解析】
此题暂无解析
【解答】
B
4.
【答案】
C
【考点】
向量的几何表示
向量的线性运算性质及几何意义
【解析】
此题暂无解析
【解答】
C
5.
【答案】
A
【考点】
必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】
此题暂无解析
【解答】
A
6.
【答案】
C
【考点】
函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
正弦函数的对称性
正弦函数的周期性
正弦函数的单调性
【解析】
此题暂无解析
【解答】
C
7.
【答案】
D
【考点】
函数的求值
函数奇偶性的性质
【解析】
此题暂无解析
【解答】
D
8.
【答案】
C
【考点】
椭圆的定义和性质
直线与椭圆的位置关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
C
9.
【答案】
B
【考点】
旋转体（圆柱、圆锥、圆台）
柱体、锥体、台体的体积计算
棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积
【解析】
此题暂无解析
【解答】
B
10.
【答案】
B
【考点】
圆与圆锥曲线的综合问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为C:(x−1)2+y2=4的圆心(1,0)，
所以可得以(1,0)为焦点的抛物线C1的方程为y2=4x，
由y2=4x，(x−1)2+y2=4，解得A(1,2)，
因为抛物线C2：x2=8y的焦点为F(0,2)，
准线方程为y=−2，所以|BM|−|AB|=|BF|−|AB|≤|AF|=1，
当且仅当A，B，F（A在B，F之间）三点共线时，可得最大值1．
故选D．
11.
【答案】
A
【考点】
几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型）
【解析】
此题暂无解析
【解答】
设AB=1，则由AC2=AB⋅BC，得AC=5−12,BC=3−52，
此时“黄金矩形”的面积为AC⋅BC=5−12×3−52=5−2．
在线段AB上任取一点C，并设AC=x,0则以AC，BC为邻边组成矩形的面积为AC⋅BC=x1−x，
由该矩形的面积小于“黄金矩形”的面积可得x1−x<5−2．
即0故所求概率为(3−52−0)+1−5−121=3−5．
故选A．
12.
【答案】
A
【考点】
分段函数的应用
基本不等式在最值问题中的应用
【解析】
作出函数f(x)的图象，可得最小值为0，最大值为2，由基本不等式可得g(x)的最小值为2+a，由题意可得2+a<0，解不等式即可得到所求范围．
【解答】
作出函数f(x)=1+csπx2,x>1x2,0可得f(x)的最小值为0，最大值为2；
g(x)＝x+1x+a(x>0)≥2x⋅1x+a＝2+a，
当且仅当x＝1取得最小值2+a．
由存在唯一的x0，使得h(x)＝min{f(x), g(x)}的值
为h(x0)，
可得2+a<0，解得a<−2
二、填空题
【答案】
x±3y=0
【考点】
双曲线的离心率
双曲线的渐近线
【解析】
此题暂无解析
【解答】
x±3y=0
【答案】
6
【考点】
等差数列的通项公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
6
【答案】
9
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
9
【答案】
4
【考点】
余弦定理
正弦定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由3acsC+csinA=0，及正弦定理可得∠C=120∘
设AD=m,DB=n，则由角平分线定理可得ba=mn
由∠ACD=∠BCD=60∘及余弦定理得b2+1−m22b=a2+1−n22a=12
即b2+1−b=m2,a2+1−a=n2，则b2+1−ba2+1−a=m2n2=b2a2，
所以a−ba+b−ab=0，
当a=b时，易得a+b=4
当a≠b时， a+b−ab=0，即1a+1b=1，
此时a+b=a+b1a+1b=2+ab+ba>4
综上可知a+b的最小值为4.
三、解答题
【答案】
解：（1）由2an+1=an，得an+1an=12，
所以数列an是首项为1，公比为12的等比数列，
则an=12n−1,n∈N*
由bn+bn+2=2bn+1可知bn是等差数列，且公差d=b2−b1=1，
则bn=n,n∈N*
（2）Tn=a1+b1+a2+b2+⋯+an+bn=(a1+a2+⋯+an)+(b1+b2+⋯+bn）=120+121+122+⋯+12n−1+1+2+3+⋯+n
=1−12n1−12+nn+12=2−12n−1+nn+12
即Tn=2−12n−1+nn+12,n∈N*
【考点】
等比数列的通项公式
等差数列的通项公式
数列的求和
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：（1）由2an+1=an，得an+1an=12，
所以数列an是首项为1，公比为12的等比数列，
则an=12n−1,n∈N*
由bn+bn+2=2bn+1可知bn是等差数列，且公差d=b2−b1=1，
则bn=n,n∈N*
（2）Tn=a1+b1+a2+b2+⋯+an+bn=(a1+a2+⋯+an)+(b1+b2+⋯+bn）=120+121+122+⋯+12n−1+1+2+3+⋯+n
=1−12n1−12+nn+12=2−12n−1+nn+12
即Tn=2−12n−1+nn+12,n∈N*
【答案】
解：（1）估计这些企业中产值负增长的企业比例为15+30150=30%
这150个企业同期产值增长率的平均数为
1150−0.3×15−0.1×30+0.1×50+0.3×38+0.5×17=0.116 ．
（2）依题意可得y∈[−0.4,−0.2）的概率为15150=110；
y∈[−0.2,0）的概率为30150=15；
y∈0,0.6的概率为50+38+17150=710
由题可知X的所有可能取值为2,3,4,5,6，则
PX=2=110×110=1100
PX=3=2×110×15=125
PX=4=2×110×710+15×15=950
PX=5=2×15×710=725
PX=6=710×710=49100
则X的分布列为
故X的数学期望EX=2×1100+3×125+4×950+5×725+6×49100=265
【考点】
频率分布表
众数、中位数、平均数
离散型随机变量及其分布列
离散型随机变量的期望与方差
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：（1）估计这些企业中产值负增长的企业比例为15+30150=30%
这150个企业同期产值增长率的平均数为
1150−0.3×15−0.1×30+0.1×50+0.3×38+0.5×17=0.116 ．
（2）依题意可得y∈[−0.4,−0.2）的概率为15150=110；
y∈[−0.2,0）的概率为30150=15；
y∈0,0.6的概率为50+38+17150=710
由题可知X的所有可能取值为2,3,4,5,6，则
PX=2=110×110=1100
PX=3=2×110×15=125
PX=4=2×110×710+15×15=950
PX=5=2×15×710=725
PX=6=710×710=49100
则X的分布列为
故X的数学期望EX=2×1100+3×125+4×950+5×725+6×49100=265
【答案】
（1）证明：在△DOM中，易得
DO=3,OM=32，DM=152
所以DM2=DO2+OM2
即DO⊥OM
又DO⊥EF,EF∩OM=O，
所以DO⊥面EFCB
（2）连接OC，过E在平面EBCF上作EN//OC交BC于点N，
则由OC⊂平面DOC，EN⊄平面DOC，得EN//面DOC，
即存在点N，且BNBC=23，使得EN//平面DOC．
建立如图所示的直角坐标系O−xyz，
则E1,0,0，N−12,32,0， M0,32,0， D0,0,3
∴ EN→=−32,32,0， DM→=0,32,−3
设PM→=λDM→0≤λ≤1，则PM→=0,32λ,−3λ
所以PN→=PM→+MN→=0,32λ,−3λ+−12,0,0=−12,32λ,−3λ
设平面PEN的一个法向量n→=x,y,z，则 EN→⋅n→=−32x+32y=0,PN→⋅n→=−12x+32λy−3λz=0
令x=1,y=3,z=3λ−123λ，则n→=1,3,3λ−123λ
易知平面ENB的一个法向量m→=0,0,1
则 |cs⟨n→,m→⟩=|n→⋅m→||n→||m→|=|3λ−123λ|4+3λ−123λ2×1=12 ，
所以λ=−1 （舍），λ=17，所以PM→=17DM→
故在线段DM上存在点P，且PM→=17DM→，使二面角P−EN−B的大小为60∘
【考点】
直线与平面垂直的判定
二面角的平面角及求法
【解析】
此题暂无解析
【解答】
（1）证明：在△DOM中，易得
DO=3,OM=32，DM=152
所以DM2=DO2+OM2
即DO⊥OM
又DO⊥EF,EF∩OM=O，
所以DO⊥面EFCB
（2）连接OC，过E在平面EBCF上作EN//OC交BC于点N，
则由OC⊂平面DOC，EN⊄平面DOC，得EN//面DOC，
即存在点N，且BNBC=23，使得EN//平面DOC．
建立如图所示的直角坐标系O−xyz，
则E1,0,0，N−12,32,0， M0,32,0， D0,0,3
∴ EN→=−32,32,0， DM→=0,32,−3
设PM→=λDM→0≤λ≤1，则PM→=0,32λ,−3λ
所以PN→=PM→+MN→=0,32λ,−3λ+−12,0,0=−12,32λ,−3λ
设平面PEN的一个法向量n→=x,y,z，则 EN→⋅n→=−32x+32y=0,PN→⋅n→=−12x+32λy−3λz=0
令x=1,y=3,z=3λ−123λ，则n→=1,3,3λ−123λ
易知平面ENB的一个法向量m→=0,0,1
则 |cs⟨n→,m→⟩=|n→⋅m→||n→||m→|=|3λ−123λ|4+3λ−123λ2×1=12 ，
所以λ=−1 （舍），λ=17，所以PM→=17DM→
故在线段DM上存在点P，且PM→=17DM→，使二面角P−EN−B的大小为60∘
【答案】
解：（1）设Px,y，依题意得x−12+y2|x−4|=12，
整理得x24+y23=1，即为所求曲线C的方程．
且曲线C是长轴长为4，短轴长为23，焦点在x轴上的椭圆．
（2）由题意知AF1//BF2，延长AF1交椭圆C于点A1，
由椭圆的对称性知|A1F1|=|BF2|
所以|AF1|+|BF2|=|AF1|+|A1F1|=|AA1|
设直线AF1的方程为y=kx−1，与x24+y23=1联立，
可得3+4k2x2−8k2x+4k2−12=0
设Ax1,y1,A1x2,y2，则x1+x2=8k23+4k2,x1x2=4k2−123+4k2 ，
所以|AA1|=1+k2x1+x22−4x1x2=
1+k28k23+4k22−4⋅4k2−123+4k2=121+k23+4k2
因为点F2到直线AF1的距离d=2|k|1+k2，
所以S四边形F1F2BA=12⋅|AF1|+|BF2|⋅2|k|1+k2
=|AA1|⋅|k|1+k2=121+k23+4k2+|k|1+k2=1227
化简得17k4+k2−18=0，解得k2=1或k2=−1817 （舍），
所以k=±1
【考点】
椭圆的标准方程
轨迹方程
圆锥曲线的综合问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：（1）设Px,y，依题意得x−12+y2|x−4|=12，
整理得x24+y23=1，即为所求曲线C的方程．
且曲线C是长轴长为4，短轴长为23，焦点在x轴上的椭圆．
（2）由题意知AF1//BF2，延长AF1交椭圆C于点A1，
由椭圆的对称性知|A1F1|=|BF2|
所以|AF1|+|BF2|=|AF1|+|A1F1|=|AA1|
设直线AF1的方程为y=kx−1，与x24+y23=1联立，
可得3+4k2x2−8k2x+4k2−12=0
设Ax1,y1,A1x2,y2，则x1+x2=8k23+4k2,x1x2=4k2−123+4k2 ，
所以|AA1|=1+k2x1+x22−4x1x2=
1+k28k23+4k22−4⋅4k2−123+4k2=121+k23+4k2
因为点F2到直线AF1的距离d=2|k|1+k2，
所以S四边形F1F2BA=12⋅|AF1|+|BF2|⋅2|k|1+k2
=|AA1|⋅|k|1+k2=121+k23+4k2+|k|1+k2=1227
化简得17k4+k2−18=0，解得k2=1或k2=−1817 （舍），
所以k=±1
【答案】
解：（1） fx的定义域为0,+∞ ，求导得
f′x=1−2ax2−a−2x=x2+2−ax−2ax2=x+2x−ax2
若a≤0，则f′x>0，此时fx在0,+∞上单调递增，
若a>0，则当0当x>a时，f′x>0,fx在a,+∞上单调递增．
（2）当a=1时， fx+gx=bx+lnx−xex，
由题意b≤ex−lnxx−1x在0,+∞恒成立．
令hx=ex−lnxx−1x，则h′x=ex−1−lnxx2+1x2=x2ex+lnxx2
令ux=x2ex+lnx，则u′x=x2+2xex+1x>0，
所以ux在0,+∞单调递增，
又u1=e>0， u12=e4−ln2<0，
所以ux在12,1有唯一的零点x0，由ux0=0，得x0ex0=−lnx0x0
当x∈0,x0时，ux<0，即h′x<0，从而hx在0,x0单调递减；
当x∈x0,+∞时，ux>0，即h′x>0，从而hx在x0+∞单调递增，
所以hxmin=hx0=ex0−lnx0x0−1x0
令kx=xex,x∈12,1，则方程xex=−lnxx等价于kx=k−lnx，
又易知kx单调递增，所以x=−lnx，即ex=1x，
所以hxmin=hx0=ex0−lnx0x0−1x0=1x0−−x0x0−1x0=1
所以b≤1，即b的取值范围是(−∞,1]
【考点】
利用导数研究函数的单调性
利用导数研究函数的最值
利用导数研究不等式恒成立问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：（1） fx的定义域为0,+∞ ，求导得
f′x=1−2ax2−a−2x=x2+2−ax−2ax2=x+2x−ax2
若a≤0，则f′x>0，此时fx在0,+∞上单调递增，
若a>0，则当0当x>a时，f′x>0,fx在a,+∞上单调递增．
（2）当a=1时， fx+gx=bx+lnx−xex，
由题意b≤ex−lnxx−1x在0,+∞恒成立．
令hx=ex−lnxx−1x，则h′x=ex−1−lnxx2+1x2=x2ex+lnxx2
令ux=x2ex+lnx，则u′x=x2+2xex+1x>0，
所以ux在0,+∞单调递增，
又u1=e>0， u12=e4−ln2<0，
所以ux在12,1有唯一的零点x0，由ux0=0，得x0ex0=−lnx0x0
当x∈0,x0时，ux<0，即h′x<0，从而hx在0,x0单调递减；
当x∈x0,+∞时，ux>0，即h′x>0，从而hx在x0+∞单调递增，
所以hxmin=hx0=ex0−lnx0x0−1x0
令kx=xex,x∈12,1，则方程xex=−lnxx等价于kx=k−lnx，
又易知kx单调递增，所以x=−lnx，即ex=1x，
所以hxmin=hx0=ex0−lnx0x0−1x0=1x0−−x0x0−1x0=1
所以b≤1，即b的取值范围是(−∞,1]
【答案】
解：（1）曲线C2的极坐标方程为ρ=sinθθ∈0,π
与C1方程联立代入得sinθ=1−sinθ，
解得θ=π6或θ=5π6
故所求交点坐标分别为12,π6， 12,5π6
（2）因为曲线C3为过原点倾斜角是π3的直线，
故其极坐标方程为θ=π3和θ=4π3
联立两曲线C3与C1的方程，
解得两交点的极坐标分别为M1−32,π3,N1+32,4π3
所以|MN|=|OM|+|ON|=1−32+1+32=2
【考点】
圆的极坐标方程
参数方程与普通方程的互化
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：（1）曲线C2的极坐标方程为ρ=sinθθ∈0,π
与C1方程联立代入得sinθ=1−sinθ，
解得θ=π6或θ=5π6
故所求交点坐标分别为12,π6， 12,5π6
（2）因为曲线C3为过原点倾斜角是π3的直线，
故其极坐标方程为θ=π3和θ=4π3
联立两曲线C3与C1的方程，
解得两交点的极坐标分别为M1−32,π3,N1+32,4π3
所以|MN|=|OM|+|ON|=1−32+1+32=2
1. 已知集合A=x|lg13x>1，B=x|x<4，则A∩B=（ ）
A.x|x<13B.x|0
2. 设复数z=i(1−i)(i为虚数单位)，则z=( )
A.1−iB.1+iC.−1−iD.−1+i
3. 2021年7月下旬某省遭遇特大洪涝灾害，某品牌服饰公司第一时间向该省捐款5000万元物资以援助抗灾，该品牌随后受到消费者的青睐．右图为该品牌服饰某分店1−8月的销量（单位：件）情况．以下描述不正确的是（ ）
A.这8个月销量的极差为4132
B.这8个月销量的中位数2499
C.这8个月中2月份的销量最低
D.这8个月中销量比前一个月增长最多的是7月份
4. 如图，AB是⊙O的直径，点C，D是半圆弧AB⌢上的两个三等分点，AB→=a,AC→=b，则BD→=（ ）
A.12a−bB.a−12bC.−12a+bD.−a+12b
5. “csA=1”是“sinA=0”的（ ）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
6. 函数fx=Asinωx+φA>0,ω>0,|φ|<π2的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A.fx的最小正周期是π2
B.直线x=−π6是fx图象的一条对称轴
C.点（−π12,0）是fx 图象的一个对称中心
D.fx的单调递减区间是[2kπ+π6,2kπ+2π3]k∈Z
7. 定义在R上的奇函数fx，满足f8+x=f−4−x，且当x∈0,2时fx=−3x+1,则f2022=（ ）
A.−8B.−2C.2D.8
8. 直线y=kxk∈R与椭圆x26+y22=1相交于A，B两点，若将x轴下方半平面沿着x轴翻折，使之与上半平面成直二面角，则|AB|的取值范围是（ ）
A.[2,6）B.2,26C.(2,26]D.(2,6]
9. 在直角△ABC中，BC=a,AC=b,AB=c，且a>b>c,分别以BC，AC，AB所在直线为轴，将△ABC旋转一周，形成三个几何体，其表面积和体积分别记为S1,S2,S3和V1,V2,V3，则它们的关系为（ ）
A.S1>S2>S3,V1>V2>V3 ．B.S1
10. 已知以圆C：(x−1)2+y2=4的圆心为焦点的抛物线C1与圆C在第一象限交于A点，过抛物线C2:x2=8y上任意一点B作直线y=−2的垂线，垂足为M，则|BM|−|AB|的最大值为（ ）
A.8B.2C.−1D.1
11. 线段AB上任取一点C，若AC2=AB⋅BC则点C是线段AB的“黄金分割点”，以AC，BC为邻边组成的矩形称为“黄金矩形”，现在线段AB上任取一点C，若以AC，BC为邻边组成矩形，则该矩形的面积小于“黄金矩形”的面积的概率为（ ）
A.3−5B.5−2C.3−1D.3−7
12. 设函数f(x)=1+csπx2,x>1x2,0
A.a<−2 B.a≤−2C.a<−1D.a≤−1
二、填空题
若双曲线x2a2−y2=1a>0的离心率为103，则该双曲线的渐近线方程为________．
已知等差数列an满足a2=4,a6=8，则a4=________．
曲线y=x3−3x的一条切线的方程为y=ax+16，则实数a=
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且3acsC+csinA=0．若角C的平分线交AB于D点，且CD=1，则a+b的最小值为________.
三、解答题
已知数列an满足a1=1,2an+1=an．数列bn满足b1=1,b2=2,bn+bn+2=2bn+1，n∈N*
(1)求数列an及{bn}的通项公式；
(2)求数列{an+bn}的前n项和Tn
2021年国庆节过后我省多地突发新冠疫情，某行业主管部门为了了解本行业中的小企业在疫情后的恢复生产情况，随机调查了150个企业，得到这些企业第四季度相对于去年同期产值增长率的频数分布表如下：
(1)根据上述增长率的频数分布表，估计这些企业中产值负增长的企业比例（用百分数表示）；估计这150 个企业同期产值增长率的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
(2)某调研部门要从当地本行业所有企业中任意选取两个企业做调查研究，若被调查的企业同期增长率y∈[−0.4,−0.2），则调研价值为1；被调查的企业同期增长率y∈[−0.2,0），则调研价值为2；被调查的企业同期增长率y∈0,0.6，则调研价值为3．以表中对应各组的频率为概率，设选取的两个企业的调研价值之和为X，求X的分布列及数学期望.
如图，边长为3的等边三角形ABC，E，F分别在边AB，AC上，且AE=AF=2，M为BC边的中点，AM交EF于点O，沿EF将△AEF，折到DEF的位置，使DM=152.
（1）证明DO⊥平面EFCB；
（2）若平面EFCB内的直线EN//平面DOC，且与边BC交于点N，问在线段 DM上是否存在点P，使二面角P−EN−B的大小为60∘？若存在，则求出点P；若不存在，请说明理由．
已知动点P到点F11,0的距离与它到直线l:x=4的距离之比为12
(1)求动点P的轨迹所形成曲线C的方程；
(2)F2−1,0，分别过F1,F2作斜率为kk≠0的直线与曲线C交于x轴上方A，B两点，若四边形F1F2BA的面积为1227，求k的值．
已知函数fx=x+2ax−a−2lnxa∈R,gx=b−1x−2x−xex.
(1)判断函数fx的单调性；
(2)当a=1时，关于x的不等式fx+gx≤−1恒成立，求实数b的取值范围．
选修4−4：坐标系与参数方程
如图，曲线C1是著名的笛卡尔心形曲线，它的极坐标方程为ρ=1−sinθ(θ∈[0,2π)）．曲线C2是经过极点且在极轴上方的圆，其圆心在经过极点且垂直于极轴的直线上，直径为1.
（1）求曲线C2的极坐标方程，并求曲线C1和曲线C2交点的极坐标；
（2）以极点为坐标原点，极轴所在的直线为x轴，经过极点且垂直于极轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系，曲线C3的参数方程为 x=tcsπ3,y=tsinπ3, （t为参数）．若曲线C3与曲线C1相交于除极点外的M，N两点，求线段MN的长度．
参考答案与试题解析
2021-2022学年陇南市某校高三（下）月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
B
【考点】
交集及其运算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
B
2.
【答案】
A
【考点】
复数的运算
共轭复数
【解析】
直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【解答】
解：∵ z=i(1−i)=1+i，
∴ z =1−i．
故选A.
3.
【答案】
B
【考点】
频率分布折线图、密度曲线
【解析】
此题暂无解析
【解答】
B
4.
【答案】
C
【考点】
向量的几何表示
向量的线性运算性质及几何意义
【解析】
此题暂无解析
【解答】
C
5.
【答案】
A
【考点】
必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】
此题暂无解析
【解答】
A
6.
【答案】
C
【考点】
函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
正弦函数的对称性
正弦函数的周期性
正弦函数的单调性
【解析】
此题暂无解析
【解答】
C
7.
【答案】
D
【考点】
函数的求值
函数奇偶性的性质
【解析】
此题暂无解析
【解答】
D
8.
【答案】
C
【考点】
椭圆的定义和性质
直线与椭圆的位置关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
C
9.
【答案】
B
【考点】
旋转体（圆柱、圆锥、圆台）
柱体、锥体、台体的体积计算
棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积
【解析】
此题暂无解析
【解答】
B
10.
【答案】
B
【考点】
圆与圆锥曲线的综合问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为C:(x−1)2+y2=4的圆心(1,0)，
所以可得以(1,0)为焦点的抛物线C1的方程为y2=4x，
由y2=4x，(x−1)2+y2=4，解得A(1,2)，
因为抛物线C2：x2=8y的焦点为F(0,2)，
准线方程为y=−2，所以|BM|−|AB|=|BF|−|AB|≤|AF|=1，
当且仅当A，B，F（A在B，F之间）三点共线时，可得最大值1．
故选D．
11.
【答案】
A
【考点】
几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型）
【解析】
此题暂无解析
【解答】
设AB=1，则由AC2=AB⋅BC，得AC=5−12,BC=3−52，
此时“黄金矩形”的面积为AC⋅BC=5−12×3−52=5−2．
在线段AB上任取一点C，并设AC=x,0
由该矩形的面积小于“黄金矩形”的面积可得x1−x<5−2．
即0
故选A．
12.
【答案】
A
【考点】
分段函数的应用
基本不等式在最值问题中的应用
【解析】
作出函数f(x)的图象，可得最小值为0，最大值为2，由基本不等式可得g(x)的最小值为2+a，由题意可得2+a<0，解不等式即可得到所求范围．
【解答】
作出函数f(x)=1+csπx2,x>1x2,0
g(x)＝x+1x+a(x>0)≥2x⋅1x+a＝2+a，
当且仅当x＝1取得最小值2+a．
由存在唯一的x0，使得h(x)＝min{f(x), g(x)}的值
为h(x0)，
可得2+a<0，解得a<−2
二、填空题
【答案】
x±3y=0
【考点】
双曲线的离心率
双曲线的渐近线
【解析】
此题暂无解析
【解答】
x±3y=0
【答案】
6
【考点】
等差数列的通项公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
6
【答案】
9
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
9
【答案】
4
【考点】
余弦定理
正弦定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由3acsC+csinA=0，及正弦定理可得∠C=120∘
设AD=m,DB=n，则由角平分线定理可得ba=mn
由∠ACD=∠BCD=60∘及余弦定理得b2+1−m22b=a2+1−n22a=12
即b2+1−b=m2,a2+1−a=n2，则b2+1−ba2+1−a=m2n2=b2a2，
所以a−ba+b−ab=0，
当a=b时，易得a+b=4
当a≠b时， a+b−ab=0，即1a+1b=1，
此时a+b=a+b1a+1b=2+ab+ba>4
综上可知a+b的最小值为4.
三、解答题
【答案】
解：（1）由2an+1=an，得an+1an=12，
所以数列an是首项为1，公比为12的等比数列，
则an=12n−1,n∈N*
由bn+bn+2=2bn+1可知bn是等差数列，且公差d=b2−b1=1，
则bn=n,n∈N*
（2）Tn=a1+b1+a2+b2+⋯+an+bn=(a1+a2+⋯+an)+(b1+b2+⋯+bn）=120+121+122+⋯+12n−1+1+2+3+⋯+n
=1−12n1−12+nn+12=2−12n−1+nn+12
即Tn=2−12n−1+nn+12,n∈N*
【考点】
等比数列的通项公式
等差数列的通项公式
数列的求和
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：（1）由2an+1=an，得an+1an=12，
所以数列an是首项为1，公比为12的等比数列，
则an=12n−1,n∈N*
由bn+bn+2=2bn+1可知bn是等差数列，且公差d=b2−b1=1，
则bn=n,n∈N*
（2）Tn=a1+b1+a2+b2+⋯+an+bn=(a1+a2+⋯+an)+(b1+b2+⋯+bn）=120+121+122+⋯+12n−1+1+2+3+⋯+n
=1−12n1−12+nn+12=2−12n−1+nn+12
即Tn=2−12n−1+nn+12,n∈N*
【答案】
解：（1）估计这些企业中产值负增长的企业比例为15+30150=30%
这150个企业同期产值增长率的平均数为
1150−0.3×15−0.1×30+0.1×50+0.3×38+0.5×17=0.116 ．
（2）依题意可得y∈[−0.4,−0.2）的概率为15150=110；
y∈[−0.2,0）的概率为30150=15；
y∈0,0.6的概率为50+38+17150=710
由题可知X的所有可能取值为2,3,4,5,6，则
PX=2=110×110=1100
PX=3=2×110×15=125
PX=4=2×110×710+15×15=950
PX=5=2×15×710=725
PX=6=710×710=49100
则X的分布列为
故X的数学期望EX=2×1100+3×125+4×950+5×725+6×49100=265
【考点】
频率分布表
众数、中位数、平均数
离散型随机变量及其分布列
离散型随机变量的期望与方差
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：（1）估计这些企业中产值负增长的企业比例为15+30150=30%
这150个企业同期产值增长率的平均数为
1150−0.3×15−0.1×30+0.1×50+0.3×38+0.5×17=0.116 ．
（2）依题意可得y∈[−0.4,−0.2）的概率为15150=110；
y∈[−0.2,0）的概率为30150=15；
y∈0,0.6的概率为50+38+17150=710
由题可知X的所有可能取值为2,3,4,5,6，则
PX=2=110×110=1100
PX=3=2×110×15=125
PX=4=2×110×710+15×15=950
PX=5=2×15×710=725
PX=6=710×710=49100
则X的分布列为
故X的数学期望EX=2×1100+3×125+4×950+5×725+6×49100=265
【答案】
（1）证明：在△DOM中，易得
DO=3,OM=32，DM=152
所以DM2=DO2+OM2
即DO⊥OM
又DO⊥EF,EF∩OM=O，
所以DO⊥面EFCB
（2）连接OC，过E在平面EBCF上作EN//OC交BC于点N，
则由OC⊂平面DOC，EN⊄平面DOC，得EN//面DOC，
即存在点N，且BNBC=23，使得EN//平面DOC．
建立如图所示的直角坐标系O−xyz，
则E1,0,0，N−12,32,0， M0,32,0， D0,0,3
∴ EN→=−32,32,0， DM→=0,32,−3
设PM→=λDM→0≤λ≤1，则PM→=0,32λ,−3λ
所以PN→=PM→+MN→=0,32λ,−3λ+−12,0,0=−12,32λ,−3λ
设平面PEN的一个法向量n→=x,y,z，则 EN→⋅n→=−32x+32y=0,PN→⋅n→=−12x+32λy−3λz=0
令x=1,y=3,z=3λ−123λ，则n→=1,3,3λ−123λ
易知平面ENB的一个法向量m→=0,0,1
则 |cs⟨n→,m→⟩=|n→⋅m→||n→||m→|=|3λ−123λ|4+3λ−123λ2×1=12 ，
所以λ=−1 （舍），λ=17，所以PM→=17DM→
故在线段DM上存在点P，且PM→=17DM→，使二面角P−EN−B的大小为60∘
【考点】
直线与平面垂直的判定
二面角的平面角及求法
【解析】
此题暂无解析
【解答】
（1）证明：在△DOM中，易得
DO=3,OM=32，DM=152
所以DM2=DO2+OM2
即DO⊥OM
又DO⊥EF,EF∩OM=O，
所以DO⊥面EFCB
（2）连接OC，过E在平面EBCF上作EN//OC交BC于点N，
则由OC⊂平面DOC，EN⊄平面DOC，得EN//面DOC，
即存在点N，且BNBC=23，使得EN//平面DOC．
建立如图所示的直角坐标系O−xyz，
则E1,0,0，N−12,32,0， M0,32,0， D0,0,3
∴ EN→=−32,32,0， DM→=0,32,−3
设PM→=λDM→0≤λ≤1，则PM→=0,32λ,−3λ
所以PN→=PM→+MN→=0,32λ,−3λ+−12,0,0=−12,32λ,−3λ
设平面PEN的一个法向量n→=x,y,z，则 EN→⋅n→=−32x+32y=0,PN→⋅n→=−12x+32λy−3λz=0
令x=1,y=3,z=3λ−123λ，则n→=1,3,3λ−123λ
易知平面ENB的一个法向量m→=0,0,1
则 |cs⟨n→,m→⟩=|n→⋅m→||n→||m→|=|3λ−123λ|4+3λ−123λ2×1=12 ，
所以λ=−1 （舍），λ=17，所以PM→=17DM→
故在线段DM上存在点P，且PM→=17DM→，使二面角P−EN−B的大小为60∘
【答案】
解：（1）设Px,y，依题意得x−12+y2|x−4|=12，
整理得x24+y23=1，即为所求曲线C的方程．
且曲线C是长轴长为4，短轴长为23，焦点在x轴上的椭圆．
（2）由题意知AF1//BF2，延长AF1交椭圆C于点A1，
由椭圆的对称性知|A1F1|=|BF2|
所以|AF1|+|BF2|=|AF1|+|A1F1|=|AA1|
设直线AF1的方程为y=kx−1，与x24+y23=1联立，
可得3+4k2x2−8k2x+4k2−12=0
设Ax1,y1,A1x2,y2，则x1+x2=8k23+4k2,x1x2=4k2−123+4k2 ，
所以|AA1|=1+k2x1+x22−4x1x2=
1+k28k23+4k22−4⋅4k2−123+4k2=121+k23+4k2
因为点F2到直线AF1的距离d=2|k|1+k2，
所以S四边形F1F2BA=12⋅|AF1|+|BF2|⋅2|k|1+k2
=|AA1|⋅|k|1+k2=121+k23+4k2+|k|1+k2=1227
化简得17k4+k2−18=0，解得k2=1或k2=−1817 （舍），
所以k=±1
【考点】
椭圆的标准方程
轨迹方程
圆锥曲线的综合问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：（1）设Px,y，依题意得x−12+y2|x−4|=12，
整理得x24+y23=1，即为所求曲线C的方程．
且曲线C是长轴长为4，短轴长为23，焦点在x轴上的椭圆．
（2）由题意知AF1//BF2，延长AF1交椭圆C于点A1，
由椭圆的对称性知|A1F1|=|BF2|
所以|AF1|+|BF2|=|AF1|+|A1F1|=|AA1|
设直线AF1的方程为y=kx−1，与x24+y23=1联立，
可得3+4k2x2−8k2x+4k2−12=0
设Ax1,y1,A1x2,y2，则x1+x2=8k23+4k2,x1x2=4k2−123+4k2 ，
所以|AA1|=1+k2x1+x22−4x1x2=
1+k28k23+4k22−4⋅4k2−123+4k2=121+k23+4k2
因为点F2到直线AF1的距离d=2|k|1+k2，
所以S四边形F1F2BA=12⋅|AF1|+|BF2|⋅2|k|1+k2
=|AA1|⋅|k|1+k2=121+k23+4k2+|k|1+k2=1227
化简得17k4+k2−18=0，解得k2=1或k2=−1817 （舍），
所以k=±1
【答案】
解：（1） fx的定义域为0,+∞ ，求导得
f′x=1−2ax2−a−2x=x2+2−ax−2ax2=x+2x−ax2
若a≤0，则f′x>0，此时fx在0,+∞上单调递增，
若a>0，则当0
（2）当a=1时， fx+gx=bx+lnx−xex，
由题意b≤ex−lnxx−1x在0,+∞恒成立．
令hx=ex−lnxx−1x，则h′x=ex−1−lnxx2+1x2=x2ex+lnxx2
令ux=x2ex+lnx，则u′x=x2+2xex+1x>0，
所以ux在0,+∞单调递增，
又u1=e>0， u12=e4−ln2<0，
所以ux在12,1有唯一的零点x0，由ux0=0，得x0ex0=−lnx0x0
当x∈0,x0时，ux<0，即h′x<0，从而hx在0,x0单调递减；
当x∈x0,+∞时，ux>0，即h′x>0，从而hx在x0+∞单调递增，
所以hxmin=hx0=ex0−lnx0x0−1x0
令kx=xex,x∈12,1，则方程xex=−lnxx等价于kx=k−lnx，
又易知kx单调递增，所以x=−lnx，即ex=1x，
所以hxmin=hx0=ex0−lnx0x0−1x0=1x0−−x0x0−1x0=1
所以b≤1，即b的取值范围是(−∞,1]
【考点】
利用导数研究函数的单调性
利用导数研究函数的最值
利用导数研究不等式恒成立问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：（1） fx的定义域为0,+∞ ，求导得
f′x=1−2ax2−a−2x=x2+2−ax−2ax2=x+2x−ax2
若a≤0，则f′x>0，此时fx在0,+∞上单调递增，
若a>0，则当0
（2）当a=1时， fx+gx=bx+lnx−xex，
由题意b≤ex−lnxx−1x在0,+∞恒成立．
令hx=ex−lnxx−1x，则h′x=ex−1−lnxx2+1x2=x2ex+lnxx2
令ux=x2ex+lnx，则u′x=x2+2xex+1x>0，
所以ux在0,+∞单调递增，
又u1=e>0， u12=e4−ln2<0，
所以ux在12,1有唯一的零点x0，由ux0=0，得x0ex0=−lnx0x0
当x∈0,x0时，ux<0，即h′x<0，从而hx在0,x0单调递减；
当x∈x0,+∞时，ux>0，即h′x>0，从而hx在x0+∞单调递增，
所以hxmin=hx0=ex0−lnx0x0−1x0
令kx=xex,x∈12,1，则方程xex=−lnxx等价于kx=k−lnx，
又易知kx单调递增，所以x=−lnx，即ex=1x，
所以hxmin=hx0=ex0−lnx0x0−1x0=1x0−−x0x0−1x0=1
所以b≤1，即b的取值范围是(−∞,1]
【答案】
解：（1）曲线C2的极坐标方程为ρ=sinθθ∈0,π
与C1方程联立代入得sinθ=1−sinθ，
解得θ=π6或θ=5π6
故所求交点坐标分别为12,π6， 12,5π6
（2）因为曲线C3为过原点倾斜角是π3的直线，
故其极坐标方程为θ=π3和θ=4π3
联立两曲线C3与C1的方程，
解得两交点的极坐标分别为M1−32,π3,N1+32,4π3
所以|MN|=|OM|+|ON|=1−32+1+32=2
【考点】
圆的极坐标方程
参数方程与普通方程的互化
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：（1）曲线C2的极坐标方程为ρ=sinθθ∈0,π
与C1方程联立代入得sinθ=1−sinθ，
解得θ=π6或θ=5π6
故所求交点坐标分别为12,π6， 12,5π6
（2）因为曲线C3为过原点倾斜角是π3的直线，
故其极坐标方程为θ=π3和θ=4π3
联立两曲线C3与C1的方程，
解得两交点的极坐标分别为M1−32,π3,N1+32,4π3
所以|MN|=|OM|+|ON|=1−32+1+32=2
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