![新教材2023_2024学年高中数学第4章对数运算与对数函数第5章函数应用测评北师大版必修第一册01](http://img-preview.51jiaoxi.com/3/3/14878845/0-1696690549868/0.jpg?x-oss-process=image/resize,w_794,m_lfit,g_center/sharpen,100)
![新教材2023_2024学年高中数学第4章对数运算与对数函数第5章函数应用测评北师大版必修第一册02](http://img-preview.51jiaoxi.com/3/3/14878845/0-1696690549885/1.jpg?x-oss-process=image/resize,w_794,m_lfit,g_center/sharpen,100)
![新教材2023_2024学年高中数学第4章对数运算与对数函数第5章函数应用测评北师大版必修第一册03](http://img-preview.51jiaoxi.com/3/3/14878845/0-1696690549895/2.jpg?x-oss-process=image/resize,w_794,m_lfit,g_center/sharpen,100)
- 新教材2023_2024学年高中数学第4章对数运算与对数函数4指数函数幂函数对数函数增长的比较5信息技术支持的函数研究分层作业北师大版必修第一册 试卷 1 次下载
- 新教材2023_2024学年高中数学第5章函数应用1方程解的存在性及方程的近似解1.1利用函数性质判定方程解的存在性分层作业北师大版必修第一册 试卷 1 次下载
- 新教材2023_2024学年高中数学第5章函数应用1方程解的存在性及方程的近似解1.2利用二分法求方程的近似解分层作业北师大版必修第一册 试卷 1 次下载
- 新教材2023_2024学年高中数学第5章函数应用2实际问题中的函数模型2.1实际问题的函数刻画2.2用函数模型解决实际问题分层作业北师大版必修第一册 试卷 1 次下载
- 新教材2023_2024学年高中数学第6章统计1获取数据的途径1.1直接获取与间接获取数据1.2普查和抽查1.3总体和样本分层作业北师大版必修第一册 试卷 1 次下载
新教材2023_2024学年高中数学第4章对数运算与对数函数第5章函数应用测评北师大版必修第一册
展开第四、五章测评
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.log225·log52=( )
A.3 B.4
C.5 D.6
2.已知a=log20.2,b=20.2,c=0.20.3,则( )
A.a<b<c
B.a<c<b
C.c<a<b
D.b<c<a
3.如果一种放射性元素每年的衰减率是8%,那么a kg的这种物质的半衰期(剩余量为原来的一半所需的时间)t等于( )
A.lg B.lg
C. D.
4.设函数f(x)=logax(a>0,a≠1),若f(x1·x2·…·x2 022)=8,则f()+f()+…+f()的值等于( )
A.4 B.8
C.16 D.2loga8
5.已知函数f(x)=的定义域为M,函数g(x)=ln(1+x)的定义域为N,则M∩N=( )
A.{x|x>1}
B.{x|x<1}
C.⌀
D.{x|-1<x<1}
6.关于x的方程9x-(a+1)3x+a2-1=0有两个不相等的正根,则实数a的取值范围是( )
A. B.
C. D.
7.在同一直角坐标系中,函数y=,y=logax+(a>0,且a≠1)的图象可能是( )
8.若x1满足2x+2x=5,x2满足2x+2log2(x-1)=5,则x1+x2=( )
A. B.3 C. D.4
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9.若a>b>0,0<c<1,则( )
A.logca<logcb B.ca>cb
C.ac>bc D.logc(a+b)>0
10.已知函数f(x)=lg(x2+ax-a-1),给出下述论述,其中正确的是( )
A.当a=0时,f(x)的定义域为(-∞,-1)∪(1,+∞)
B.f(x)一定有最小值
C.当a=0时,f(x)的值域为R
D.若f(x)在区间[2,+∞)上单调递增,则实数a的取值范围是{a|a≥-4}
11.某单位准备印制一批证书,现有两个印刷厂可供选择,甲厂费用分为制版费和印刷费两部分,先收取固定的制版费,再按印刷数量收取印刷费,乙厂直接按印刷数量收取印刷费,甲厂的总费用y1(单位:千元)、乙厂的总费用y2(单位:千元)与印制证书数量x(单位:千个)的函数关系图分别如图中甲、乙所示,则( )
A.甲厂的费用y1与证书数量x之间的函数关系式为y1=0.5x+1
B.当印制证书数量不超过2千个时,乙厂的印刷费平均每个为1.5元
C.当印制证书数量超过2千个时,乙厂的总费用y2与证书数量x之间的函数关系式为y2=x+
D.若该单位需印制证书数量为8千个,则该单位选择甲厂更节省费用
12.设函数f(x)=若实数a,b,c满足0<a<b<c,且f(a)=f(b)=f(c).则下列结论恒成立的是( )
A.ab=1
B.c-a=
C.b2-<0
D.a+c<2b
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.已知2x=7y=196,则= .
14.某校学生在研究折纸实验中发现,当对折后纸张达到一定的厚度时,便不能继续对折了.在理想情况下,对折次数n与纸的长边ω(单位:cm)和厚度x(单位:cm)有关系:n≤log2.现有一张长边为30 cm,厚度为0.05 cm的矩形纸,该矩形纸最多能对折 次.(参考数值:lg 2≈0.3,lg 3≈0.48)
15.函数f(x)=1+loga(x+2)(a>0,且a≠1)图象恒过定点A,则点A的坐标为 ;若f-<,则实数a的取值范围是 .
16.某数学小组以函数f(x)=lg为基本素材,研究该函数的相关性质,取得部分研究结果如下:
①函数f(x)的定义域为(-1,1);
②函数f(x)是偶函数;
③对于任意的x∈(-1,1),都有f=2f(x);
④对于任意的a,b∈(-1,1),都有f(a)+f(b)=f;
⑤对于函数f(x)定义域中任意的两个不同实数x1,x2,总满足>0.
其中所有正确研究结果的序号是 .
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)(1)计算:log3(9×272)+log26-log23+log43×log316;
(2)解方程:log5(x+1)-lo(x-3)=1.
18.(12分)已知函数f(x)=|x2-2x-3|-a满足下列条件,分别求实数a的值或范围.
(1)有2个零点;
(2)有3个零点;
(3)有4个零点.
19.(12分)已知函数f(x)=loga(x+1),g(x)=loga(4-2x),a>0,且a≠1.
(1)求函数f(x)-g(x)的定义域;
(2)求使函数f(x)-g(x)的值为正数时x的取值范围.
20.(12分)某景区提供自行车出租,该景区有50辆自行车供游客租赁使用,管理这些自行车的费用是每日115元.根据经验,若每辆自行车的日租金不超过6元,则自行车可以全部租出;若超出6元,则每超过1元,租不出的自行车就增加3辆.为了便于结算,每辆自行车的日租金x(单位:元)只取整数,并且要求租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用,用y(单位:元)表示出租自行车的日净收入(即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后得到的部分).
(1)求函数y=f(x)的解析式;
(2)试问当每辆自行车的日租金为多少元时,才能使一日的净收入最多?
21.(12分)已知函数f(x)=loga(1+x)-loga(1-x),其中a>0且a≠1.
(1)求函数f(x)的定义域;
(2)判断f(x)的奇偶性,并说明理由;
(3)若f=2,求使f(x)>0成立的x的集合.
22.(12分)已知函数f(x)=loga(3-ax),a>0,且a≠1.
(1)当x∈[0,2]时,函数f(x)恒有意义,求实数a的取值范围;
(2)是否存在这样的实数a,使得函数f(x)在区间[1,2]上单调递减,并且最大值为1?如果存在,试求出a的值;如果不存在,请说明理由.
参考答案
第四、五章测评
1.A log225·log52=3,故选A.
2.B 因为a=log20.2<0,b=20.2>20=1,又0<0.20.3<1,即c∈(0,1),所以a<c<b.故选B.
3.C 设t年后剩余量为ykg,则y=(1-8%)ta=0.92ta.当y=a时,a=0.92ta,
所以0.92t=0.5,则t=log0.920.5=.
4.C f()+f()+…+f()=loga+loga+…+loga=loga(x1·x2·x3·…·x2022)2=2loga(x1x2…x2022)=2f(x1·x2·…·x2022)=16.
5.D f(x)=满足1-x>0,故x<1,即M={x|x<1};
g(x)=ln(1+x)满足1+x>0,故x>-1,即N={x|x>-1}.
故M∩N={x|-1<x<1}.
故选D.
6.B 关于x的方程9x-(a+1)3x+a2-1=0有两个不相等的正根,
令t=3x,所以t>1,
则问题转化为方程t2-(a+1)t+a2-1=0有两个大于1的不等实数根t1,t2,故
解得<a<,
所以实数a的取值范围是.
故选B.
7.D 当0<a<1时,函数y=ax的图象过定点(0,1)且单调递减,则函数y=的图象过定点(0,1)且单调递增,函数y=logax+的图象过定点,0且单调递减,D选项符合;
当a>1时,函数y=ax的图象过定点(0,1)且单调递增,则函数y=的图象过定点(0,1)且单调递减,函数y=logax+的图象过定点,0且单调递增,各选项均不符合.
故选D.
8.C 对2x+2x=5,2x+2log2(x-1)=5进行变形,可得2x-1=-x,log2(x-1)=-x.
画出函数y=2x-1,y=-x,y=log2(x-1)的图象,如图所示.
根据指数函数y=2x和对数函数y=log2x的图象关于直线y=x对称,易得函数y=2x-1和函数y=log2(x-1)的图象关于直线y=x-1对称,从而x1+x2等于直线y=x-1与y=-x交点的横坐标的2倍,即.
9.AC 因为0<c<1,所以y=logcx在定义域内为减函数,由a>b>0得logca<logcb,故A正确;
因为0<c<1,所以y=cx在定义域内为减函数,由a>b>0,得ca<cb,故B错误;
因为a>b>0,0<c<1,所以c>1,所以ac>bc,故C正确;
取c=,a+b=2,则logc(a+b)=lo2=-1<0,故D错误.
10.AC 对A,当a=0时,解x2-1>0有x∈(-∞,-1)∪(1,+∞),故A正确;
对B,当a=0时,f(x)=lg(x2-1),此时x∈(-∞,-1)∪(1,+∞),x2-1∈(0,+∞),此时f(x)=lg(x2-1)值域为R,故B错误,C正确;
对D,若f(x)在区间[2,+∞)上单调递增,此时y=x2+ax-a-1对称轴x=-≤2.解得a≥-4.但当a=-4时f(x)=lg(x2-4x+3)在x=2处无意义,故D错误.
11.ABC 甲厂的费用y1与证书数量x满足的函数关系为y1=0.5x+1,故A正确;
当印制证书数量不超过2千个时,乙厂的印刷费平均每个为3÷2=1.5元,故B正确;
易知当x>2时,y2与x之间的函数关系式为y2=x+,故C正确;
当x=8时,y1=0.5×8+1=5,y2=×8+,因为y1>y2,所以当印制8千个证书时,选择乙厂更节省费用,故D不正确.
12.ABC 由题意,实数a,b,c满足0<a<b<c,且f(a)=f(b)=f(c),结合图象,可得-log2a=log2b=loc-,即a==c-,且<a<1,
可得ab=1和c-a=恒成立,即A,B正确;
又由b2-<0,所以b2-<0,所以C正确;
又由a+c-2b=2a+∈-,当<a<1时,a+c-2b的符号不能确定,所以D错误.
13. 2x=7y=196,∴x=log2196,y=log7196,
∴=log1962+log1967=lo14=.
14.6 ∵n≤log2log2600=≈6.18,
∴矩形纸最多能对折6次.
15.(-1,1) 0,∪(1,+∞) 函数f(x)=1+loga(x+2)(a>0,且a≠1)图象恒过定点A,令x+2=1,求得x=-1,f(-1)=1,可得它的图象经过定点(-1,1).
当0<a<1时,函数f(x)为减函数,
若f-<,则1+loga-+2<,
即loga,即,求得0<a<.
当a>1时,函数f(x)为增函数,
若f-<,则1+loga-+2<,
即loga,即,
求得a>,又a>1,所以a>1.
综上,实数a的取值范围为0,∪(1,+∞).
16.①③④ 在①中,因为f(x)=lg,所以>0,得函数的定义域为(-1,1),所以①是正确的;
在②中,f(x)=lg=-lg=-f(-x),
所以函数f(x)为奇函数,所以②是错误的;
在③中,对于任意x∈(-1,1),有f=lg=lg=lg,
又2f(x)=2lg=lg,所以③是正确的;
在④中,对于任意的a,b∈(-1,1),有f(a)+f(b)=lg+lg=lg=lg,又f=lg=lg,所以④是正确的;
在⑤中,对于函数f(x)的定义域中任意的两个不同实数x1,x2,总满足>0,即说明f(x)是增函数,但f(x)=lg=lg-1+是减函数,所以⑤是错误的.
综上可知,正确研究结果的序号为①③④.
17.解(1)log3(9×272)+log26-log23+log43×log316=log3[32×(33)2]+(log23+log22)-log23+log43×log342=log3[32×36]+log22+(log43)×2(log34)=log338+1+2=8+1+2=11.
(2)原方程化为log5(x+1)+log5(x-3)=log55,
∴(x+1)(x-3)=5,
解得x=-2或x=4.
经检验,x=-2不符合题意,故原方程的解为x=4.
18.解如图为y=|x2-2x-3|的图象,函数y=a与y=|x2-2x-3|的图象的交点个数即为函数f(x)的零点个数.
由图知,(1)当x=1时,y=4,
∴当a=0或a>4时,函数有2个零点;
(2)当a=4时,函数有3个零点;
(3)当0<a<4时,函数有4个零点.
19.解(1)由题意可知,f(x)-g(x)=loga(x+1)-loga(4-2x),要使函数f(x)-g(x)有意义,
则有解得-1<x<2.
故函数f(x)-g(x)的定义域是(-1,2).
(2)令f(x)-g(x)>0,得f(x)>g(x),
即loga(x+1)>loga(4-2x).
当a>1时,可得x+1>4-2x,
解得x>1.
由(1)知-1<x<2,
所以1<x<2;
当0<a<1时,可得x+1<4-2x,
解得x<1,
由(1)知-1<x<2,
所以-1<x<1.
综上所述,当a>1时,x的取值范围是(1,2);
当0<a<1时,x的取值范围是(-1,1).
20.解(1)当x≤6时,y=50x-115,
令50x-115>0,
解得x>2.3,
∵x为整数,
∴3≤x≤6,x∈Z.
当x>6时,y=[50-3(x-6)]x-115=-3x2+68x-115.
令-3x2+68x-115>0,有3x2-68x+115<0,结合x为整数得6<x≤20,x∈Z.
∴f(x)=
(2)对于y=50x-115(3≤x≤6,x∈Z),显然当x=6时,ymax=185;
对于y=-3x2+68x-115=-3x-2+(6<x≤20,x∈Z),
当x=11时,ymax=270.
∵270>185,∴当每辆自行车的日租金定为11元时,才能使一日的净收入最多.
21.解(1)要使函数有意义,则解得-1<x<1,即函数f(x)的定义域为(-1,1).
(2)f(x)是奇函数.理由如下:
∵f(-x)=loga(-x+1)-loga(1+x)=-[loga(x+1)-loga(1-x)]=-f(x),
∴f(x)是奇函数.
(3)若f=2,
∴loga-loga1-=loga4=2,
解得a=2,
∴f(x)=log2(1+x)-log2(1-x).
若f(x)>0,则log2(x+1)>log2(1-x),
∴x+1>1-x>0,
解得0<x<1,
故所求x的集合为(0,1).
22.解(1)∵a>0,且a≠1,设t(x)=3-ax,则t(x)为减函数,x∈[0,2]时,t(x)的最小值为3-2a,
当x∈[0,2]时,f(x)恒有意义,即x∈[0,2]时,3-ax>0恒成立.
∴3-2a>0.
∴a<.
又a>0,且a≠1,
∴a的取值范围是(0,1)∪.
(2)假设满足条件的实数a存在.
由(1)知t(x)=3-ax为减函数.
∵f(x)在区间[1,2]上单调递减,
∴y=logat为增函数,
∴a>1,x∈[1,2]时,t(x)的最小值为3-2a,f(x)的最大值为f(1)=loga(3-a),
∴故不存在这样的实数a,使得函数f(x)在区间[1,2]上单调递减,并且最大值为1.