【通用版】专题五 数列——2023届高考数学一轮复习夯基固本时时练

【通用版】专题五 数列

——2023届高考数学一轮复习夯基固本时时练

1.已知等差数列的前n项和为，，，则(   )

A.55 B.60 C.65 D.75

2.在等差数列中，已知，，则等于(   )

A.38 B.39 C.41 D.42

3.在正项等比数列中，，且是和的等差中项，则(   )

A.8 B.6 C.3 D.

4.河南洛阳的龙门石窟是中国石刻艺术宝库之一，现为世界文化遗产，龙门石窟与莫高窟、云冈石窟、麦积山石窟并称中国四大石窟.现有一石窟的某处“浮雕像”从下至上共7层，从第二层起，上层的数量是下层的2倍，总共有1016个“浮雕像”，这些“浮雕像”构成一幅优美的图案，若从最下层往上的“浮雕像”的数量构成数列，则的值为(   )

A.8 B.10 C.12 D.16

5.《张丘建算经》卷上有题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第二天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现一月（按30天计）共织390尺”，则从第二天起每天比前一天多织(   )

A.尺布 B.尺布 C.尺布 D.尺布

6.已知数列的前n项和，正项等比数列满足，则使成立的n的最大值为(   )

A.5 B.6 C.7 D.8

7.在适宜的环境中，一种细菌的一部分不断分裂产生新的细菌，另一部分则死亡.为研究这种细菌的分裂情况，在培养皿中放入m个细菌，在1小时内，有的细菌分裂为原来的2倍，的细菌死亡，此时记为第一小时的记录数据.若每隔一小时记录一次细菌个数，则细菌数超过原来的10倍的记录时间为第(   )

A.6小时末 B.7小时末 C.8小时末 D.9小时末

8.已知等差数列的前n项和为，若，，设，则的前n项和为(   )

A.  B.

C.  D.

9.在公比q为整数的等比数列中，是数列的前n项和.若，，则下列说法中，正确的是(   )

①数列是等比数列；

②；

③数列是等比数列；

④数列是等差数列

A.①②③ B.②③④ C.①③④ D.①②④

10.已知数列是等比数列，，，则_________.

11.已知等比数列的公比为q，前n项和为，若，则___________.

12.设数列为等差数列，其前n项和为，已知，，若对任意，都有成立，则k的值为______.

13.已知等比数列的前n项和为，，设，那么数列的前21项和为______________.

14.已知数列的前n项和为.

（1）若，，证明：；

（2）在（1）的条件下，若，数列的前n项和为，求证.

15.已知等比数列的前n项和为，且.

(1)求与；

(2)记，求数列的前n项和.

答案以及解析

1.答案：C

解析：设等差数列的公差为d.

，

，

解得，则，故选C.

2.答案：D

解析：设等差数列的公差为，由，得，得.故选D.

3.答案：B

解析：设正项等比数列的公比为q，则.

因为，是和的等差中项，所以，

所以，由于，，

所以，，

解得或（舍去），故.

故选B.

4.答案：C

解析：由题意得数列为等比数列，且公比，

解得，

则，

，

从而，

，故选C.

5.答案：D

解析：设该女子第n天织尺布，前n天共织布尺，则数列为等差数列，设其公差为d.由题意，得，解得.

6.答案：D

解析：设等比数列的公比为q，

由题意可知当时，；

当时，，

.

，，

，

，，n的最大值为8，故选D.

7.答案：A

解析：本题考查等比数列的通项公式及应用.设表示第n小时末的细菌数，依题意有，，则是等比数列，首项为，公比，所以.依题意，，即，所以.又，所以解得，所以第6小时末记录的细菌数超过原来的10倍.故选A.

8.答案：A

解析：设等差数列的首项为，公差为d，

则解得，

所以，，

所以，

所以

，故选A.

9.答案：C

解析：由题意，为等比数列，，，

由等比数列的性质得，

，

，

或，

又公比q为整数，

，，

，，，，

数列，，，且，因此数列为等比数列，故①正确；

，故②不正确；

数列，，，且，因此数列为等比数列，故③正确；

数列，，，因此数列为等差数列，故④正确；

故选C.

10.答案：4

解析：设等比数列的公比为q，由题知，，

，.

又，.

11.答案：33

解析：由得，解得，则，则，从而.

12.答案：20

解析：对任意，都有成立，即为的最大值.

因为，，

所以，，

故公差，，

当取得最大值时，对任意满足

解得.

即满足对任意，都有成立的k的值为20.

故答案为：20

13.答案：273

解析：设等比数列的公比为，

由题意得，

所以，

所以，则，

所以，

则数列是首项为3，公差为1的等差数列，

所以.

14.解析：（1）因为，，

所以，，

所以数列是以4为首项，2为公比的等比数列，

所以，

，

当时，，，

当时，满足上式，

所以，所以成立.

（2）由（1）知，

，

所以，

则，

所以，

所以成立.

15.解析：(1)由得，
当时，得；
当时，，
得，
所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列，
所以.
所以.
(2)由(1)可得，

则，
，
两式相减得，
所以

.