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数学必修 第一册第2章 常用逻辑用语2.1 命题、定理、定义多媒体教学课件ppt
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这是一份数学必修 第一册第2章 常用逻辑用语2.1 命题、定理、定义多媒体教学课件ppt，共18页。
1.命题在数学中,我们将① 可判断真假 的陈述句叫作命题.许多命题可表示为“如果p,那么q”或“若p,则q”的形式,其中p叫作命题的② 条件 ,q叫作命题的③ 结论 .2.定理在数学中,有些已经被证明为真的命题可以作为推理的依据而直接使用,一般称之为定理.3.定义定义是对某些对象标明符号、指明称谓,或者揭示所研究问题中对象的内涵.
1 | 命题、定理、定义的概念
1.充分条件与必要条件
2 | 充分条件、必要条件、充要条件
2.充要条件如果p⇒q,且q⇒p,那么称p是q的⑦ 充分且必要 条件,简称为p是q的充要条件, 也称q的充要条件是p,记作p⇔q,称为“p与q等价”,或“p等价于q”.
3.条件与结论之间的关系
注意:“⇒”和“⇔”都具有传递性,即如果p⇒q,q⇒s,那么p⇒s;如果p⇔q,q⇔s,那么p⇔s.
4.充分条件与判定定理、必要条件与性质定理(1)性质定理是指某类对象具有的具体特征,数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件.(2)判定定理是指对象只要具有某具体的特征,就一定有该对象的所有特征,数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件.
1.“这棵树真高啊!”是命题. ( ✕ )2.命题“存在一个三角形没有外接圆”是真命题. ( ✕ )提示:不在同一条直线上的三个点确定一个圆,所以任一三角形都有外接圆.故该命题为假命题.3.若p是q的充分条件,则p是唯一的. ( ✕ )4.“若p,则q”是真命题,“若q,则p”是假命题,则p是q的充分不必要条件. ( √ )5.q不是p的必要条件时,“p q”成立. ( √ )6.若p是q的充要条件,则命题p和q是两个等价的命题.( √ )7.经常逛超市的李阿姨常说:“便宜没好货.”她这句话的意思是“好货”是“不 便宜”的充分条件. ( √ )
判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ✕” .
1 | 充分条件、必要条件、充要条件的判断
观察如下4个电路图.
问题1.①中开关S1闭合是灯泡L亮的什么条件?提示:充分不必要条件.2.②中开关S1闭合是灯泡L亮的什么条件?提示:必要不充分条件.3.③中开关S1闭合是灯泡L亮的什么条件?提示:充要条件.4.④中开关S1闭合是灯泡L亮的什么条件?提示:既不充分又不必要条件.5.将①中开关S1与灯泡L位置互换,开关S2始终是断开状态,结论变吗?提示:变为充要条件.
充分、必要、充要条件判断的常用方法(1)定义法:直接利用定义进行判断.(2)利用集合间的包含关系进行判断:如果条件p和结论q都是集合,那么若p⊆q,则 p是q的充分条件;若q⊆p,则p是q的必要条件;若p=q,则p是q的充要条件;若p⫋q,则 p是q的充分不必要条件;若p⊈q且q⊈p,则p是q的既不充分又不必要条件.有时还会用到等价法和传递法进行判断.
判断下列各命题中p是q的什么条件:(1)p:x-2=0,q:(x-2)(x-3)=0;(2)p:t≠2,q:t2≠4;(3)p:0
充要条件的证明(1)证明p是q的充要条件时,既要证明命题“p⇒q”为真,又要证明“q⇒p”为真,前者证明的是充分性,后者证明的是必要性.(2)证明充要条件时,要注意“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”这两种说法的差异,分清哪个是条件,哪个是结论.(3)证明充要条件也可以利用等价转化法,即把条件和结论进行等价转化,注意转化过程中必须保证前后是能互相推出的.
探求充分条件、必要条件的步骤(1)分清“条件”和“结论”,明确探求的方向;(2)分析题目中的已知条件和隐含条件,进行等价转化,即可得到使结论成立的充要条件;(3)将得出的充要条件对应的范围扩大或缩小,即可得到结论成立的必要不充分条件或充分不必要条件.
求方程x2+kx+1=0与x2+x+k=0有一个公共实数根的充要条件.
思路点拨设两个方程的公共实数根为x0,列方程组求出k的值,再检验k取此值时两个方程是否有一个公共实数根,从而解决问题.
解析 设方程x2+kx+1=0与x2+x+k=0的公共实数根为x0,则 由②得k=- -x0,代入①,并化简得 =1,解得x0=1,因此k=-2.当k=-2时,x2+kx+1=x2-2x+1=0,解得x1=x2=1;x2+x+k=x2+x-2=0,解得x=1或x=-2.两方程有公共实数根1.∴两个方程有一个公共实数根的充要条件为k=-2.
3 | 利用充分条件、必要条件求参数的值(取值范围)
充分条件、必要条件的应用一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意:1.把充分条件、必要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的关系式求解.用集合法求解的步骤如下:①化简集合A={x|p(x)}和B={x|q(x)};②根据p与q的关系得出集合A与B之间的包含关系;③根据集合间的关系列关于参数的关系式;④解关系式可求出参数的值(取值范围).2.要注意解集端点值的检验.
已知p: ,q:{x|1-m≤x≤1+m,m>0},若p是q的充分不必要条件,求实数m的取值范围.
思路点拨将p,q之间的关系等价转化为由p,q确定的集合之间的关系,列不等式组求解.
1.命题在数学中,我们将① 可判断真假 的陈述句叫作命题.许多命题可表示为“如果p,那么q”或“若p,则q”的形式,其中p叫作命题的② 条件 ,q叫作命题的③ 结论 .2.定理在数学中,有些已经被证明为真的命题可以作为推理的依据而直接使用,一般称之为定理.3.定义定义是对某些对象标明符号、指明称谓,或者揭示所研究问题中对象的内涵.
1 | 命题、定理、定义的概念
1.充分条件与必要条件
2 | 充分条件、必要条件、充要条件
2.充要条件如果p⇒q,且q⇒p,那么称p是q的⑦ 充分且必要 条件,简称为p是q的充要条件, 也称q的充要条件是p,记作p⇔q,称为“p与q等价”,或“p等价于q”.
3.条件与结论之间的关系
注意:“⇒”和“⇔”都具有传递性,即如果p⇒q,q⇒s,那么p⇒s;如果p⇔q,q⇔s,那么p⇔s.
4.充分条件与判定定理、必要条件与性质定理(1)性质定理是指某类对象具有的具体特征,数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件.(2)判定定理是指对象只要具有某具体的特征,就一定有该对象的所有特征,数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件.
1.“这棵树真高啊!”是命题. ( ✕ )2.命题“存在一个三角形没有外接圆”是真命题. ( ✕ )提示:不在同一条直线上的三个点确定一个圆,所以任一三角形都有外接圆.故该命题为假命题.3.若p是q的充分条件,则p是唯一的. ( ✕ )4.“若p,则q”是真命题,“若q,则p”是假命题,则p是q的充分不必要条件. ( √ )5.q不是p的必要条件时,“p q”成立. ( √ )6.若p是q的充要条件,则命题p和q是两个等价的命题.( √ )7.经常逛超市的李阿姨常说:“便宜没好货.”她这句话的意思是“好货”是“不 便宜”的充分条件. ( √ )
判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ✕” .
1 | 充分条件、必要条件、充要条件的判断
观察如下4个电路图.
问题1.①中开关S1闭合是灯泡L亮的什么条件?提示:充分不必要条件.2.②中开关S1闭合是灯泡L亮的什么条件?提示:必要不充分条件.3.③中开关S1闭合是灯泡L亮的什么条件?提示:充要条件.4.④中开关S1闭合是灯泡L亮的什么条件?提示:既不充分又不必要条件.5.将①中开关S1与灯泡L位置互换,开关S2始终是断开状态,结论变吗?提示:变为充要条件.
充分、必要、充要条件判断的常用方法(1)定义法:直接利用定义进行判断.(2)利用集合间的包含关系进行判断:如果条件p和结论q都是集合,那么若p⊆q,则 p是q的充分条件;若q⊆p,则p是q的必要条件;若p=q,则p是q的充要条件;若p⫋q,则 p是q的充分不必要条件;若p⊈q且q⊈p,则p是q的既不充分又不必要条件.有时还会用到等价法和传递法进行判断.
判断下列各命题中p是q的什么条件:(1)p:x-2=0,q:(x-2)(x-3)=0;(2)p:t≠2,q:t2≠4;(3)p:0
充要条件的证明(1)证明p是q的充要条件时,既要证明命题“p⇒q”为真,又要证明“q⇒p”为真,前者证明的是充分性,后者证明的是必要性.(2)证明充要条件时,要注意“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”这两种说法的差异,分清哪个是条件,哪个是结论.(3)证明充要条件也可以利用等价转化法,即把条件和结论进行等价转化,注意转化过程中必须保证前后是能互相推出的.
探求充分条件、必要条件的步骤(1)分清“条件”和“结论”,明确探求的方向;(2)分析题目中的已知条件和隐含条件,进行等价转化,即可得到使结论成立的充要条件;(3)将得出的充要条件对应的范围扩大或缩小,即可得到结论成立的必要不充分条件或充分不必要条件.
求方程x2+kx+1=0与x2+x+k=0有一个公共实数根的充要条件.
思路点拨设两个方程的公共实数根为x0,列方程组求出k的值,再检验k取此值时两个方程是否有一个公共实数根,从而解决问题.
解析 设方程x2+kx+1=0与x2+x+k=0的公共实数根为x0,则 由②得k=- -x0,代入①,并化简得 =1,解得x0=1,因此k=-2.当k=-2时,x2+kx+1=x2-2x+1=0,解得x1=x2=1;x2+x+k=x2+x-2=0,解得x=1或x=-2.两方程有公共实数根1.∴两个方程有一个公共实数根的充要条件为k=-2.
3 | 利用充分条件、必要条件求参数的值(取值范围)
充分条件、必要条件的应用一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意:1.把充分条件、必要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的关系式求解.用集合法求解的步骤如下:①化简集合A={x|p(x)}和B={x|q(x)};②根据p与q的关系得出集合A与B之间的包含关系;③根据集合间的关系列关于参数的关系式;④解关系式可求出参数的值(取值范围).2.要注意解集端点值的检验.
已知p: ,q:{x|1-m≤x≤1+m,m>0},若p是q的充分不必要条件,求实数m的取值范围.
思路点拨将p,q之间的关系等价转化为由p,q确定的集合之间的关系,列不等式组求解.
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