2021辽宁省北镇市满族高级中学高一下学期6月月考数学试题含答案

高一数学6月份月考试题

满分：150分  时间：120分钟

一、单项选择题：（每小题5分，共40分）

1.已知复数z满足z(1＋i)＝2－i，则复数z在复平面内对应的点所在象限为(   )

A.第一象限     B.第二象限     C.第三象限     D.第四象限

2.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知acosA＝bcosB，则此三角形的形状为(    )

A.等腰三角形          B.直角三角形

C.等腰直角三角形      D.等腰三角形或直角三角形

3. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝2，c＝2，A＝30°，则角C为(   )

A.60°     B.60°或120°     C.45°    D.45°或135°

4. 如图正方形OABC的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积（　　）

A． B．1 C． D．2（1+）

（第4题图）                               （第8题图）

5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则＝（　　）

A． B． C． D．2

6.我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题，大意如下：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水，天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸，盆中积水深九寸，则平地降雨量是（    ）寸.

（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②尺、寸均为长度单位，一尺等于十寸）

A  2      B 2.5    C 3     D 3.5       

7．一平面截一球得到直径为2 cm的圆面，球心到这个平面的距离是2 cm，则该球的表面积是(　)

A．12π cm2　 　 B．36π cm2          C．64π cm2     D．108π cm2

8．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面为直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝CC1＝，点P是线段BC1上一动点，则CP+PA1的最小值是（　　）

A． B． C． D．

二、多项选择题：（每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。）

9．已知复数在复平面内对应的点位于第二象限，且 则下列结论正确的是（    ）．

A．       B．的虚部为       C．的共轭复数为       D．

10.下列关于棱锥、棱台的说法中，正确的是(   )

A.用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台；

B.棱锥的侧面只能是三角形；

C.棱台的各侧棱延长后必交于一点；

D.棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥．

11.下列叙述正确的个数是(　　)．

A.以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥；

B.以直角梯形的一腰为轴旋转所得的几何体是圆台；

C.圆台的所有平行于底面的截面都是圆面；

D.圆锥所有轴截面是全等的等腰三角形．

12．在中，角，，所对的边分别为，，，且，则下列结论正确的是（   ）

A．         B．是钝角三角形

C．的最大内角是最小内角的倍        D．若，则外接圆半径为

三、填空题：（每小题5分，共20分。）

13.复数范围内关于x的方程x2＋x＋1＝0的解集为           。

14．在钝角△ABC中，已知a＝2，b＝4，则最大边c的取值范围是　   　

15. 已知圆锥的底面半径为，母线长为，则该圆锥内半径最大的球的表面积为          

16．已知△ABC是等腰直角三角形，斜边AB＝2，P是平面ABC外的一点，且满足PA＝PB＝PC，

∠APB＝120°，则三棱锥P﹣ABC外接球的体积为　   　．

四、解答题：（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）

17.(10分) 如图所示的几何体，上面是圆柱，其底面直径为6 cm，高为3 cm，下面是正六棱柱，

其底面边长为4 cm，高为2 cm，现从中间挖去一个直径为2 cm的圆柱，求此几何体的体积．

18. （12分）设复数i.试求当实数m取何值时:

(1)z是实数;(2)z是纯虚数;(3)z对应的点在直线x+y=0上。

19.（12分）（1）三棱锥P—ABC的三条侧棱两两垂直，且PB＝1，PA＝，PC＝，求其体积．

（2）四边形ABCD中，A(0,0)，B(1,0)，C(2,1)，D(0,3)，绕y轴旋转一周，求所得旋转体的体积．

20.（12分）（1）已知正四棱锥V—ABCD，底面面积为16，一条侧棱长为2，计算它的高、斜高和侧面积．

（2）在有太阳的某个时刻，一个大球放在水平地面上，球的影子伸到距离球与地面接触点10 m处，同一时刻一根长 m的木棒垂直于地面，且影子长1 m，求此球的半径．

21．（12分）在锐角中，角，，的对边分别为，，，且.

（1）求角的大小；

（2）若，求b+c的最大值.

22．（12分）某城市计划新修一座城市运动公园，设计平面如图所示：其为五边形，其中三角形区域为球类活动场所；四边形为文艺活动场所，为运动小道（不考虑宽度），，千米.

（1）求小道的长度；

（2）求球类活动场所的面积最大值.

高一数学6月份月考试题

满分：150分  时间：120分钟

二、单项选择题：（每小题5分，共40分）

1.已知复数z满足z(1＋i)＝2－i，则复数z在复平面内对应的点所在象限为( D )

A.第一象限     B.第二象限     C.第三象限     D.第四象限

2.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，C，已知acosA＝bcosB，则此三角形的形状为(  D  )

A.等腰三角形          B.直角三角形

C.等腰直角三角形      D.等腰三角形或直角三角形

5. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝2，c＝2，A＝30°，则角C为(  B )

A.60°     B.60°或120°     C.45°    D.45°或135°

4．如图正方形OABC的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积（　A　）

A． B．1 C． D．2（1+）

解：由题意正方形OABC的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，

所以OB＝，对应原图形平行四边形的高为：2，

所以原图形的面积为：1×2＝2．故选：A．

5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则＝（　D　）

A． B． C． D．2

解：∵，，∴sinA＝，

由等式的性质可得＝＝＝2，故选：D．

6.我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题，大意如下：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水，天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸，盆中积水深九寸，则平地降雨量是（  C  ）寸.（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②尺、寸均为长度单位，一尺等于十寸）

A  2      B 2.5    C 3     D 3.5       

7．一平面截一球得到直径为2 cm的圆面，球心到这个平面的距离是2 cm，则该球的表面积是(　B　)

A．12π cm2　 　 B．36π cm2          C．64π cm2     D．108π cm2

8．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面为直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝CC1＝，点P是线段BC1上一动点，则CP+PA1的最小值是（　B　）

A． B． C． D．

解：连接A1B，沿BC1将△CBC1展开与△A1BC1在同一个平面内，连接A1C，其长度即为所求，

∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面为直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝CC1＝，

∴矩形BCC1B1是边长为的正方形，则BC1＝2，

又A1C1＝AC＝6，在矩形ABB1A1中，，则，

易发现，，即，

∴∠A1C1B＝90°，则∠A1C1C＝135°，

∴．故选：B．

二、多项选择题：（每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。）

9．已知复数在复平面内对应的点位于第二象限，且 则下列结论正确的是（  AB  ）．

A． B．的虚部为

C．的共轭复数为 D．

10.下列关于棱锥、棱台的说法中，正确的是( BC )

A.用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台；

B.棱锥的侧面只能是三角形；

C.棱台的各侧棱延长后必交于一点；

D.棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥．

解析   A错误，若平面不与棱锥底面平行，用这个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分不是棱台；

B正确，由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形；

C正确，棱台是由平行于棱锥底面的平面截得的，故棱台的各侧棱延长后必交于一点；

D错误，如图所示四棱锥被平面PBD截成的两部分都是棱锥．

11.下列叙述正确的个数是(　CD　)．

A.以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥；

B.以直角梯形的一腰为轴旋转所得的几何体是圆台；

C.圆台的所有平行于底面的截面都是圆面；

D.圆锥所有轴截面是全等的等腰三角形．

12．在中，角，，所对的边分别为，，，且，则下列结论正确的是（ACD ）

A． 

B．是钝角三角形

C．的最大内角是最小内角的倍

D．若，则外接圆半径为

三、填空题：（每小题5分，共20分。）

13.复数范围内关于x的方程x2＋x＋1＝0的解集为           。

14．在钝角△ABC中，已知a＝2，b＝4，则最大边c的取值范围是　（2，6）   　

解：c＜a+b＝6．

ocsC＝＜0，解得c．

∴c∈（2，6）．

15. 已知圆锥的底面半径为，母线长为，则该圆锥内半径最大的球的表面积为

16．已知△ABC是等腰直角三角形，斜边AB＝2，P是平面ABC外的一点，且满足PA＝PB＝PC，∠APB＝120°，则三棱锥P﹣ABC外接球的体积为　   　．

解：PA＝PB＝PC，

∴棱锥顶点P在底面投影为△ABC的外心，

则△ABP的外接圆半径等于三棱锥P﹣ABC外接球半径，

∵△ABC是等腰直角三角形，斜边AB＝2，∠APB＝120°，

∴△ABP外接圆半径r＝AB＝，则三棱锥P﹣ABC外接球的半径R＝，故三棱锥P﹣ABC外接球的体积S＝πR3＝．

四、解答题：（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）

17.(10分)

如图所示的几何体，上面是圆柱，其底面直径为6 cm，高为3 cm，下面是正六棱柱，其底面边长为4 cm，高为2 cm，现从中间挖去一个直径为2 cm的圆柱，求此几何体的体积．

解析　V六棱柱＝×42×6×2＝48(cm3)，...............3分

V圆柱＝π·32×3＝27π(cm3)，.............3分

V挖去圆柱＝π·12×(3＋2)＝5π(cm3)，.............3分

∴此几何体的体积：

V＝V六棱柱＋V圆柱－V挖去圆柱＝(48＋22π)(cm3)．...........1分

19. （12分）

设复数z=(1+i)m2-(2+4i)m-3+3i.试求当实数m取何值时:

(1)z是实数;(2)z是纯虚数;(3)z对应的点在直线x+y=0上。

解:z=(1+i)m2-(2+4i)m-3+3i=(m2-2m-3)+(m2-4m+3)i.

(1)因为z是实数,所以m2-4m+3=0,

解得m=1或m=3..................4分

解得m=-1.........................4分

(3)由于z对应的点在直线x+y=0上,

所以(m2-2m-3)+(m2-4m+3)=0,

解得m=0或m=3............................4分

19.（12分）

（1）三棱锥P—ABC的三条侧棱两两垂直，且PB＝1，PA＝，PC＝，求其体积．

解析　由题意知PA⊥PB，PA⊥PC，PB∩PC＝P，所以PA垂直平面PBC.

所以PA是三棱锥A—PBC的底面PBC上的高，

且S△PBC＝·PB·PC＝(因PB⊥PC)，

∴V三棱锥P—ABC＝V三棱锥A—PBC＝·PA·S△PBC

＝××＝＝，

即三棱锥P—ABC的体积为.....................4分

（2）四边形ABCD中，A(0,0)，B(1,0)，C(2,1)，D(0,3)，绕y轴旋转一周，求所得旋转体的体积．

解析  ∵C(2,1)，D(0,3)，∴圆锥的底面半径r＝2，高h＝2.

∴V圆锥=πr2h=π×22×2=π.....................3分

∵B(1,0)，C(2,1)，

∴圆台的两个底面半径R=2，R′=1，高h′=1.

∴V圆台=πh′(R2+R′2+RR′)

=π×1×(22+12+2×1)= π，................4分

∴V=V圆锥+V圆台=5π....................1分

20.（12分）

（1）已知正四棱锥V—ABCD，底面面积为16，一条侧棱长为2，计算它的高、斜高和侧面积．

解析　设VO为正四棱锥V—ABCD的高，作OM⊥BC于点M，则M为BC中点．

连接OM，OB，则VO⊥OM，VO⊥OB.

因为底面正方形ABCD的面积为16，

所以BC＝4，BM＝OM＝2，

OB＝＝＝2.

又因为VB＝2，在Rt△VOB中，由勾股定理得

VO＝＝＝6.......................2分

在Rt△VOM(或Rt△VBM)中，由勾股定理得

VM＝＝2(或VM＝＝2．..........2分

即正四棱锥的高为6，斜高为2.

侧面积为........................3分

（2）在有太阳的某个时刻，一个大球放在水平地面上，球的影子伸到距离球与地面接触点10 m处，同一时刻一根长 m的木棒垂直于地面，且影子长1 m，求此球的半径．

 解析　如图①，O′B即为球在光线照射下的影子，可知光线AB应与球相切，且A为切点，O′B＝10 m.

由垂直于地面的木棒被光线照射得影子长为1 m，且木棒长为 m，

如图②，可知tan 2α＝.

∵2α∈(0°，90°)，∴2α＝60°，即α＝30°.........2分

如图①，在Rt△OO′B中，

∵tan α＝＝＝tan 30°，

∴R＝ m.......................................................3分

21．（12分）在锐角中，角，，的对边分别为，，，且.

（1）求角的大小；

（2）若，求b+c的最大值.

解析：（1）由，得：，

整理得：.

即：.

∵是锐角三角形的内角，∴，

∴，因为，所以.............4分

（2）∵，∴，，

∵，∴..............6分

由正弦定理得：，

∴，，

∴

，................10分

∵，

∴，b+c的最大值为.........12分

（也可用余弦定理和均值不等式来求）

22．（12分）

某城市计划新修一座城市运动公园，设计平面如图所示：其为五边形，其中三角形区域为球类活动场所；四边形为文艺活动场所，为运动小道（不考虑宽度），，千米.

（1）求小道的长度；

（2）求球类活动场所的面积最大值.