高中数学北师大版 (2019)必修 第一册1 指数幂的拓展导学案及答案

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薇甘菊是热带、亚热带地区危害最严重的杂草之一，它侵害田地的面积S(单位：hm2)与年数t(年)满足关系式S＝S0·1.057t，其中S0(单位：hm2)为侵害面积的初始值．
如果求10年后侵害的面积，则S＝S0·1.05710；如果求15.5年后侵害的面积，就需要计算S＝S0·
[问题] 这个指数运算与初中所学的指数运算有什么差异呢？



知识点 指数幂及其运算性质
1．正分数指数幂
(1)定义：给定正数a和正整数m，n(n＞1，且m，n互素)，若存在唯一的正数b，使得bn＝am，则称b为a的eq \f(m,n)次幂，记作b＝aeq \s\up6(\f(m,n)).这就是正分数指数幂．
(2)性质：①当k是正整数时，分数指数幂aeq \s\up6(\f(m,n))满足：aeq \s\up6(\f(m,n))＝aeq \s\up6(\f(km,kn))；
②aeq \s\up6(\f(m,n))＝eq \r(n,am)．
2．负分数指数幂
给定正数a和正整数m，n(n＞1，且m，n互素)，定义a－eq \f(m,n)＝eq \f(1,a\s\up6(\f(m,n)))＝eq \f(1,\r(n,am)) .
3．0的正分数指数幂等于eq \a\vs4\al(0)，0的负分数指数幂没有意义．
4．指数幂的运算性质
(1)aαaβ＝aα＋β(a>0，α，β∈R)；
(2)(aα)β＝aαβ(a>0，α，β∈R)；
(3)(ab)α＝aαbα(a>0，b>0，α∈R)．
eq \a\vs4\al()
1．分数指数幂aeq \s\up6(\f(m,n))不可理解为eq \f(m,n)个a相乘，它是根式的一种写法．
2．正数的负分数指数幂总表示正数，而不是负数．
3．把根式 eq \r(n,am)化成分数指数幂的形式时，不要轻易对eq \f(m,n)进行约分．
4．在幂和根式的化简运算中，一般将根式化为分数指数幂的形式，再利用幂的运算性质进行计算．
为什么分数指数幂的底数规定a>0?
提示：①当a<0时，若n为偶数，m为奇数，则aeq \s\up6(\f(m,n))，aeq \s\up6(－eq \f(m,n))无意义；
②当a＝0时，a0无意义．
1.eq \r(5,a－2)可化为( )
A．aeq \s\up6(－eq \f(2,5)) B．aeq \s\up6(\f(5,2))
C．aeq \s\up6(\f(2,5)) D．－aeq \s\up6(\f(5,2))
解析：选A eq \r(5,a－2)＝aeq \s\up6(－eq \f(2,5)).
2．3eq \s\up6(\f(2,3))可化为( )
A.eq \r(2) B．eq \r(3)
C.eq \r(3,9) D.eq \r(9)
解析：选C 3eq \s\up6(\f(2,3))＝eq \r(3,32)＝eq \r(3,9).
3．计算：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,8)))eq \s\up12(－\f(1,3))×(2eq \r(2))－2＝________．
解析：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,8)))eq \s\up12(－\f(1,3))×(2eq \r(2))－2＝(2－3) eq \s\up12(－\f(1,3))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2×2\s\up6(\f(1,2))))eq \s\up12(－2)＝2eq \s\up12(－3×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3))))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2\s\up6(\f(3,2))))eq \s\up12(－2)＝2×2－3＝21－3＝2－2＝eq \f(1,22)＝eq \f(1,4).
答案：eq \f(1,4)
4．若10α＝2，10β＝3，则10α＋β＝________，10α－β＝________，10－3α＝________．
解析：10α＋β＝10α·10β＝2×3＝6.10α－β＝eq \f(10α,10β)＝eq \f(2,3).10－3α＝(10α)－3＝2－3＝eq \f(1,8).
答案：6 eq \f(2,3) eq \f(1,8)
[例1] (链接教科书第77页习题B组1题)用分数指数幂表示下列各式：
①eq \r(3,a)·eq \r(6,－a)(a<0)；
②eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(4,b\s\up6(\f(2,3)))))eq \s\up6(\f(2,3))(b<0)；
③eq \f(1,\r(3,x\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(5,x2)))\s\up12(2)))(x≠0)．
[解] ①原式＝aeq \s\up6(\f(1,3))·(－a)eq \s\up6(\f(1,6))＝－(－a)eq \s\up6(\f(1,3))·(－a)eq \s\up6(\f(1,6))＝－(－a)eq \s\up6(\f(1,2))(a<0)．
②原式＝(－b) eq \s\up6(eq \f(2,3)×eq \f(1,4)×eq \f(2,3))＝(－b)eq \s\up6(\f(1,9))(b<0)．
③原式＝eq \f(1,x\s\up6(\f(1,3))·xeq \s\up6(eq \f(4,5)×eq \f(1,3)))＝eq \f(1,x\s\up6(\f(3,5)))＝xeq \s\up6(－eq \f(3,5)) (x≠0)．
eq \a\vs4\al()
根式与分数指数幂互化的规律
(1)根指数分数指数的分母，被开方数(式)的指数分数指数的分子；
(2)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题．)
[跟踪训练]
1．计算 eq \r(4,163)的结果为( )
A．8 B．4
C．2 D.eq \f(1,8)
解析：选A 由题意可得 eq \r(4,163)＝16eq \s\up6(\f(3,4))＝(24)eq \s\up6(\f(3,4))＝23＝8.故选A.
2.eq \r(3,a·\r(a))用分数指数幂表示为( )
A．aeq \s\up6(\f(1,2)) B．aeq \s\up6(\f(3,2))
C．aeq \s\up6(\f(3,4)) D．a
解析：选A eq \r(3,a·\r(a))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a·a\s\up6(\f(1,2))))eq \s\up6(\f(1,3))＝aeq \s\up6(eq \f(3,2)×eq \f(1,3))＝aeq \s\up6(\f(1,2))，故选A.
[例2] (链接教科书第78页例1)计算下列各式：
(1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－3\f(3,8)))eq \s\up12(－\f(2,3))＋(0.002)eq \s\up6(－eq \f(1,2))－10(eq \r(5)－2)－1＋(eq \r(2)－eq \r(3))0；
(2)(a－2b－3)·(－4a－1b)÷(12a－4b－2c)．
[解] (1)原式＝(－1)－eq \f(2,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3\f(3,8)))eq \s\up12(－\f(2,3))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,500)))eq \s\up12(－\f(1,2))－eq \f(10,\r(5)－2)＋1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(27,8)))eq \s\up12(－\f(2,3))＋500eq \s\up6(\f(1,2))－10(eq \r(5)＋2)＋1＝eq \f(4,9)＋10eq \r(5)－10eq \r(5)－20＋1＝－eq \f(167,9).
(2)原式＝－4a－2－1b－3＋1÷(12a－4b－2c)＝－eq \f(1,3)·a－3－(－4)·b－2－(－2)c－1＝－eq \f(1,3)ac－1＝－eq \f(a,3c).
eq \a\vs4\al()
指数幂运算的解题通法
(1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算；
(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数；
(3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数，先化成假分数；
(4)若是根式，应化为分数指数幂，并尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答；
(5)运算结果不能同时含有根式和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数幂，形式力求统一．
[跟踪训练]
计算下列各式(式子中字母都是正数)：
(1)0.027eq \s\up6(\f(2,3))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(27,125)))eq \s\up12(－\f(1,3))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2\f(7,9)))eq \s\up12(0.5)；
(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2a\s\up6(\f(2,3))b\s\up6(\f(1,2))))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－6a\s\up6(\f(1,2))b\s\up6(\f(1,3))))÷eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－3a\s\up6(\f(1,6))b\s\up6(\f(5,6)))).
解：(1)0.027eq \s\up6(\f(2,3))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(27,125)))eq \s\up12(－\f(1,3))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2\f(7,9)))eq \s\up12(0.5)＝(eq \r(3,0.027))2＋eq \r(3,\f(125,27))－eq \r(\f(25,9))＝0.09＋eq \f(5,3)－eq \f(5,3)＝0.09.
(2)原式＝[2×(－6)÷(－3)]aeq \s\up12(eq \f(2,3)＋eq \f(1,2)－eq \f(1,6))beq \s\up12(eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)－eq \f(5,6))＝4ab0＝4a.
[例3] (链接教科书第80页习题B组3题)已知aeq \s\up6(\f(1,2))＋aeq \s\up6(－eq \f(1,2))＝eq \r(5)，求下列各式的值；
(1)a＋a－1；(2)a2＋a－2.
[解] (1)将aeq \s\up6(\f(1,2))＋aeq \s\up6(－eq \f(1,2))＝eq \r(5)两边平方，
得a＋a－1＋2＝5，即a＋a－1＝3.
(2)将a＋a－1＝3两边平方，得a2＋a－2＋2＝9，
∴a2＋a－2＝7.
[母题探究]
(变设问)在本例条件下，则a2－a－2＝________．
解析：令y＝a2－a－2，两边平方，得y2＝a4＋a－4－2＝(a2＋a－2)2－4＝72－4＝45，∴y＝±3eq \r(5)，即a2－a－2＝±3eq \r(5).
答案：±3eq \r(5)
eq \a\vs4\al()
解决条件求值问题的一般方法
对于条件求值问题，一般先化简代数式，再将字母取值代入求值．但有时字母的取值未知或不易求出，这时可将所求代数式恰当地变形，构造出与已知条件相同的结构，从而通过“整体代入法”巧妙地求出代数式的值．利用“整体代入法”求值时常用的变形公式如下：
(1)a±2aeq \s\up6(\f(1,2))beq \s\up6(\f(1,2))＋b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a\s\up6(\f(1,2))±b\s\up6(\f(1,2))))eq \s\up12(2)；
(2)a－b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a\s\up6(\f(1,2))＋b\s\up6(\f(1,2))))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a\s\up6(\f(1,2))－b\s\up6(\f(1,2))))；
(3)aeq \s\up6(\f(3,2))＋beq \s\up6(\f(3,2))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a\s\up6(\f(1,2))＋b\s\up6(\f(1,2))))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－a\s\up6(\f(1,2))b\s\up6(\f(1,2))＋b))；
(4)aeq \s\up6(\f(3,2))－beq \s\up6(\f(3,2))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a\s\up6(\f(1,2))－b\s\up6(\f(1,2))))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋a\s\up6(\f(1,2))b\s\up6(\f(1,2))＋b)).(其中a>0，b>0)．
[跟踪训练]
已知x＋y＝12，xy＝9，且x解：∵x＋y＝12，xy＝9，
∴(x－y)2＝(x＋y)2－4xy＝122－4×9＝108.
∵x∴eq \f(x\s\up6(\f(1,2))－y\s\up6(\f(1,2)),x\s\up6(\f(1,2))＋y\s\up6(\f(1,2)))＝eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x\s\up6(\f(1,2))－y\s\up6(\f(1,2))))\s\up12(2),\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x\s\up6(\f(1,2))＋y\s\up6(\f(1,2))))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x\s\up6(\f(1,2))－y\s\up6(\f(1,2)))))
＝eq \f(（x＋y）－2（xy）\s\up6(\f(1,2)),x－y)＝eq \f(12－2×9\s\up6(\f(1,2)),－6\r(3))＝－eq \f(\r(3),3).
1．(多选)下列运算结果中，一定正确的是( )
A．a3·a4＝a7 B．(－a2)3＝a6
C.eq \r(8,a8)＝a D.eq \r(5,（－π）5)＝－π
解析：选AD a3a4＝a3＋4＝a7，故A正确；当a＝1时，(－12)3＝－1，显然不成立，故B不正确；eq \r(8,a8)＝|a|，故C不正确； eq \r(5,（－π）5)＝－π，故D正确．故选A、D.
2．计算：(－27)eq \s\up6(\f(2,3))×9eq \s\up6(－eq \f(3,2))＝( )
A．－3 B．－eq \f(1,3)
C．3 D.eq \f(1,3)
解析：选D (－27)eq \s\up6(\f(2,3))×9eq \s\up6(－eq \f(3,2))＝[(－3)3]eq \s\up6(\f(2,3))×(32) eq \s\up6(－eq \f(3,2))＝(－3)2×3－3＝9×eq \f(1,27)＝eq \f(1,3)，故选D.
3．若a2x＝eq \r(2)－1，则eq \f(a3x－a－3x,ax－a－x)等于( )
A．2eq \r(2)－1 B．2－2eq \r(2)
C．2eq \r(2)＋1 D.eq \r(2)＋1
解析：选C eq \f(a3x－a－3x,ax－a－x)＝eq \f(（ax－a－x）（a2x＋1＋a－2x）,ax－a－x)＝a2x＋a－2x＋1＝eq \r(2)－1＋eq \f(1,\r(2)－1)＋1＝2eq \r(2)＋1.
4．若10x＝3eq \s\up6(－eq \f(1,8))，10y＝eq \r(4,27)，则102x－y＝________．
解析：102x－y＝eq \f(102x,10y)＝eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3eq \s\up6(－eq \f(1,8))))\s\up12(2),\r(4,27))＝eq \f(3eq \s\up6(－\f(1,4)),3\s\up6(\f(3,4)))＝3－1＝eq \f(1,3).
答案：eq \f(1,3)
5．已知eq \f(3a,2)＋b＝1，则eq \f(9a×3b,\r(3a))＝________．
解析：由eq \f(3a,2)＋b＝1，得eq \f(9a×3b,\r(3a))＝32a×31eq \s\up6(－eq \f(3a,2))×3eq \s\up6(－eq \f(a,2))＝3eq \s\up6(2a＋1－eq \f(3a,2)－eq \f(a,2))＝3.
答案：3
新课程标准解读
核心素养
通过对有理数指数幂aeq \s\up6(\f(m,n))(a>0，且a≠1；m，n为整数，且n>0)，实数指数幂ax(a>0，且a≠1；x∈R)含义的认识，了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质
数学抽象、数学运算
根式与分数指数幂的互化
指数幂的运算
条件求值问题