课时质量评价43　直线方程-2022届高三数学一轮复习检测（新高考）

课时质量评价(四十三)

(建议用时：45分钟)

A组　全考点巩固练

1．直线xcos α＋y－2＝0的倾斜角的范围是(　　)

A． B．

C．∪   D．

C　解析：xcos α＋y－2＝0，设直线的倾斜角为θ，

故tan θ＝－＝－cos α∈，即θ∈∪.

2．(多选题)已知直线l：ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则a的值是(　　)

A．1 B．－1

C．－2 D．2

AC　解析：由直线的方程ax＋y－2－a＝0，得此直线在x轴和y轴上的截距分别为和2＋a.由＝2＋a得a＝1或a＝－2.故选AC．

3．(多选题)过点(－2,0)且在两坐标轴上的截距之差为3的直线方程是(　　)

A．＋y＝1 B．＋＝1

C．＋＝1   D．＋y＝1

AB　解析：由题可知，直线过点(－2,0)，所以直线在x轴上的截距为－2，

又直线在两坐标轴上的截距之差为3，所以直线在y轴上的截距为1或－5，

则所求直线方程为＋y＝1或＋＝1.

4．(2020·贵州思南中学高三期中)设点A(2，－3)，B(－3，－2)，直线l过点P(1,1)且与线段AB相交，则l的斜率k的取值范围是(　　)

A．(－∞，－4]∪  B．

C．  　 D．以上都不对

A　解析：根据题意，设直线l的方程为y－1＝k(x－1)，即kx－y＋1－k＝0，

直线l过P(1,1)且与线段AB相交，则A，B在l的两侧或在直线上，

则有(2k＋3＋1－k)(－3k＋2＋1－k)≤0，

即(k＋4)(4k－3)≥0，

解得k≥或k≤－4.故选A．

5．直线l1：y＝ax＋b与直线l2：y＝bx＋a(ab≠0，a≠b)在同一平面直角坐标系内的图象只可能是(　　)

D　解析：对于A选项，由l1得a>0，b<0，而由l2得a>0，b>0，矛盾；对于B选项，由l1得a<0，b>0，而由l2得a>0，b>0，矛盾；对于C选项，由l1得a>0，b<0，而由l2得a<0，b>0，矛盾；对于D选项，由l1得a>0，b>0，而由l2得a>0，b>0.故选D．

6．过点P(2,3)，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是________．

3x－2y＝0或x－y＋1＝0　解析：当直线过原点时，由于斜率为＝，故直线方程为y＝x，即3x－2y＝0.

当直线不过原点时，设方程为＋＝1，把点P(2，3)的坐标代入可得a＝－1，

故直线方程为x－y＋1＝0.

综上所述，直线方程为3x－2y＝0或x－y＋1＝0.

7．过点(3，－2)且与直线x－y＋4＝0相交成45°角的直线方程是______________．

x＝3或y＝－2　解析：直线x－y＋4＝0的倾斜角α＝45°，所以过点(3，－2)且与直线x－y＋4＝0相交成45°角的直线方程的倾斜角为0°或90°，则直线方程为x＝3或y＝－2.

8．k取任意实数时，直线2(k－1)x＋(k－6)y－k－4＝0恒经过定点P，则点P的坐标为________．

(1，－1)　解析：直线方程可整理为(2x＋y－1)k－(2x＋6y＋4)＝0.

令解得即定点P的坐标为(1，－1)．

9．(1)求过点A(1,3)，斜率是直线y＝－4x的斜率的的直线方程；

(2)求经过点A(－5,2)，且在x轴上的截距等于在y轴上截距的2倍的直线方程．

解：(1)设所求直线的斜率为k，

依题意k＝－4×＝－.

又直线经过点A(1,3)，

因此所求直线方程为y－3＝－(x－1)，

即4x＋3y－13＝0.

(2)当直线不过原点时，设所求直线方程为＋＝1.将(－5,2)代入方程，解得a＝－，所以直线方程为x＋2y＋1＝0；当直线过原点时，设直线方程为y＝kx，则－5k＝2，解得k＝－，所以直线方程为y＝－x，即2x＋5y＝0.故所求直线方程为2x＋5y＝0或x＋2y＋1＝0.

B组　新高考培优练

10．(2020·合肥期中高三检测)数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线．已知△ABC的顶点为A(0,0)，B(4,0)，C(3，)，则该三角形的欧拉线方程为(　　)

A．x－y－2＝0

B．x－y－2＝0

C．x－y－2＝0

D．x－y－2＝0

A　解析：△ABC的顶点为A(0,0)，B(4，0)，C(3，)，所以重心G.设△ABC的外心为W(2，a)，则|AW|＝|WC|，即＝，解得a＝0，所以W(2,0)．所以该三角形的欧拉线即直线GW，方程为y－0＝(x－2)，化简得x－y－2＝0.故选A．

11．已知数列{an}的通项公式为an＝(n∈N*)，其前n项和Sn＝，则直线＋＝1与坐标轴所围成的三角形的面积为(　　)

A．36  B．45  C．50  D．55

B　解析：由an＝可知an＝－，

所以Sn＝＋＋＋…＋＝1－.

又知Sn＝，所以1－＝，解得n＝9.

所以直线方程为＋＝1，与坐标轴的交点为(10,0)和(0,9)，所以直线与坐标轴所围成的三角形的面积为×10×9＝45.

12．设点A(－1,0)，B(1,0)，直线2x＋y－b＝0与线段AB相交，则b的取值范围是________．

[－2,2]　解析：b为直线y＝－2x＋b在y轴上的截距．如图，

当直线y＝－2x＋b过点A(－1,0)和点B(1,0)时，b分别取得最小值和最大值，所以b的取值范围是[－2，2]．

13．经过点P(2，－2)，并且在y轴上的截距比在x轴上的截距大1的直线l的方程为________．

x＋2y＋2＝0或2x＋y－2＝0

解析：显然直线不过原点，截距不为0，设直线l的方程为＋＝1.

因为直线l过点P(2，－2)，所以＋＝1，解得a＝－2或1，所以直线l的方程为＋＝1或＋＝1，即x＋2y＋2＝0或2x＋y－2＝0.

14．已知直线l经过点(0，－2)，其倾斜角为30°.

(1)求直线l的方程；

(2)求直线l与两坐标轴围成三角形的面积．

解：(1)根据题意，直线l的倾斜角为30°，则其斜率k＝tan 30°＝.

又直线经过点(0，－2)，

则其方程为y＋2＝(x－0)，即y＝x－2.

(2)由(1)知，直线l的方程坐标为y＝x－2，

与y轴交点坐标为(0，－2)，与x轴的交点为(2，0)，

则直线l与两坐标轴围成三角形的面积S＝×2×2＝2.

15．已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．

(1)证明：直线l过定点；

(2)若直线不经过第四象限，求k的取值范围；

(3)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，△AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值并求此时直线l的方程．

(1)证明：直线l的方程可化为k(x＋2)＋(1－y)＝0.

令解得

所以无论k取何值，直线总经过定点(－2,1)．

(2)解：由方程知，当k≠0时直线在x轴上的截距为－，在y轴上的截距为1＋2k，要使直线不经过第四象限，则必须有解得k>0；

当k＝0时，直线为y＝1，符合题意．故k的取值范围是[0，＋∞)．

(3)解：由题意可知k≠0，再由l的方程，得A，B(0,1＋2k)且k>0.

因为S＝·|OA|·|OB|＝··|1＋2k|＝·＝≥×(2×2＋4)＝4，

等号成立的条件是k>0且4k＝，即k＝，

所以Smin＝4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0.