课时质量评价13　函数与方程-2022届高三数学一轮复习检测（新高考）

课时质量评价(十三)

(建议用时：45分钟)

A组　全考点巩固练

1．函数f (x)＝ex＋x－3在区间(0,1)上的零点个数是(　　)

A．0 B．1 

C．2 D．3

B　解析：由题知函数f (x)是增函数．根据函数零点存在定理及f (0)＝－2＜0，f (1)＝e－2>0，可知函数f (x)在区间(0,1)上有且只有一个零点．故选B．

2．函数f (x)＝1－xlog2x的零点所在区间是(　　)

A． B．

C．(1，2) D．(2，3)

C　解析：f ＝1－log2＝1＋＝>0，f ＝1－log2＝1＋＝>0，f (1)＝1－0>0，f (2)＝1－2log22＝－1<0.由f (1)·f (2)<0知选C项．

3．若函数f (x)＝2x－－a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是(　　)

A．(1,3) B．(1,2)

C．(0,3) D．(0,2)

C　解析：由条件可知f (1)f (2)＜0，即(2－2－a)·(4－1－a)＜0，即a(a－3)＜0，解得0＜a＜3.

4．(2019·全国卷Ⅲ)函数f (x)＝2sin x－sin 2x在[0,2π]的零点个数为(　　)

A．2 B．3

C．4 D．5

B　解析：令f (x)＝0，得2sin x－sin 2x＝0，即2sin x－2sin xcos x＝0，所以2sin x(1－cos x)＝0，所以sin x＝0或cos x＝1.又x∈[0,2π]，由sin x＝0得x＝0，π或2π；由cos x＝1得x＝0或2π.故函数f (x)的零点为0，π，2π，共3个．故选B．

5．函数f (x)＝|x－2|－ln x在定义域内的零点的个数为(　　)

A．0  B．1  C．2  D．3

C　解析：由题意可知f (x)的定义域为(0，＋∞)．在同一平面直角坐标系中作出函数y＝|x－2|(x>0)，y＝ln x(x>0)的图象如图所示．

由图可知函数f (x)在定义域内的零点个数为2.

6．设f (x)在区间[－1,1]上单调递增，且f ·f <0，则方程f (x)＝0在区间[－1,1]内(　　)

A．可能有3个实数根 

B．可能有2个实数根

C．有唯一的实数根 

D．没有实数根

C　解析：因为f (x)在区间[－1,1]上单调递增，且f ·f <0，所以f (x)在区间上有唯一的零点. 所以方程f (x)＝0在区间[－1,1]内有唯一的实数根．

7．已知函数f (x)＝(a∈R)．若函数f (x)在R上有两个零点，则实数a的取值范围是(　　)

A．(0,1] B．[1，＋∞)

C．(0,1) D．(－∞，1]

A　解析：画出函数f (x)的大致图象如图所示．

因为函数f (x)在R上有两个零点，所以f (x)在(－∞，0]和(0，＋∞)上各有一个零点．当x≤0时，f (x)有一个零点，需1－a≥0，即a≤1；当x>0时，f (x)有一个零点，需－a<0，即a>0.综上，0<a≤1.

8．方程log0.5(a－2x)＝2＋x有解，则a的最小值为________．

1　解析：若方程log0.5(a－2x)＝2＋x有解，则＝a－2x有解，即×＋2x＝a有解．因为×＋2x＝×＋2x≥2＝1，当且仅当x＝－1时，等号成立，故a的最小值为1.

9．若x1是方程xex＝1的解，x2是方程xln x＝1的解，则x1x2等于________．

1　解析：考虑到x1，x2是函数y＝ex、函数y＝ln x分别与函数y＝的图象的公共点A，B的横坐标，而A，B两点关于直线y＝x对称，因此x1x2＝1.

10．已知函数f (x)＝若f (x0)＝－1，则x0＝________；若关于x的方程f (x)＝k有两个不同零点，则实数k的取值范围是________．

－1　(0,1)　解析：由f (x0)＝－1，得或解得x0＝－1.关于x的方程f (x)＝k有两个不同零点等价于y＝f (x)的图象与直线y＝k有两个不同交点，如图．观察图象可知，当0＜k＜1时y＝f (x)的图象与直线y＝k有两个不同交点，即k∈(0,1)．

11. 已知二次函数f (x)＝ax2＋bx＋c满足a＞b＞c，且f (1)＝0，函数g(x)＝f (x)＋bx.

(1)证明：函数y＝g(x)必有两个不相等的零点；

(2)设函数y＝g(x)的两个零点为x1，x2 ，求|x1－x2|的取值范围．

解：(1)由f (1)＝0得a＋b＋c＝0，所以b＝－(a＋c)，g(x)＝f (x)＋bx＝ax2＋2bx＋c.

令g(x)＝0，即ax2＋2bx＋c＝0，则Δ＝4b2－4ac＝4(a＋c)2－4ac＝4(a2＋2ac＋c2－ac)＝4＋3c2＝4＋3c2＞0，即ax2＋2bx＋c＝0有两个不等实根．

所以函数y＝g(x)必有两个不相等的零点．

(2)由(1)知y＝g(x)的两个零点，即方程ax2＋2bx＋c＝0的两个实根，

所以

所以|x1－x2|

＝

＝＝2

＝2

＝2

＝2.

因为f (1)＝a＋b＋c＝0，且a＞b＞c，

所以a＞0，c＜0.

当a＞0，c＜0且＝－时，|x1－x2|min＝.

所以|x1－x2|的取值范围为[，＋∞)．

B组　新高考培优练

12．(多选题)已知函数f (x)＝g(x)＝f (x)＋x＋a，则函数g(x)的零点个数可能为(　　)

A．0  B．1  C．2  D．3

BC　解析：画出函数f (x)的图象，y＝ex在y轴右侧的去掉，如图，再画出直线y＝－x，之后上下移动直线y＝－x.可以发现直线与函数图象有两个或一个交点．

13．设函数f (x)的定义域为R，f (－x)＝f (x)，f (x)＝f (2－x)．当x∈[0,1]时，f (x)＝x3，则函数g(x)＝|cos πx|－f (x)在区间上零点的个数为(　　)

A．3  B．4  C．5  D．6

C　解析：由f (－x)＝f (x)，得f (x)的图象关于y轴对称．由f (x)＝f (2－x)，得f (x)的图象关于直线x＝1对称．当x∈[0,1]时，f (x)＝x3，所以f (x)在[－1,2]上的图象如图．

令g(x)＝|cos πx|－f (x)＝0，

得|cos πx|＝f (x)，

函数y＝f (x)与y＝|cos πx|的图象在上的交点有5个．

14．已知函数f (x)＝ax＋x－b的零点x0∈(n，n＋1)(n∈Z)，其中常数a，b满足2a＝3,3b＝2，则n＝________.

－1　解析：a＝log23>1，0<b＝log32<1.令f (x)＝0，得ax＝－x＋b.在同一平面直角坐标系中画出函数y＝ax和y＝－x＋b的图象，如图所示．

由图可知，两函数的图象在区间(－1,0)内有交点，所以函数f (x)在区间(－1，0)内有零点，所以n＝－1.

15．若曲线y＝log2(2x－m)(x>2)上至少存在一点与直线y＝x＋1上的一点关于原点对称，则m的取值范围为________．

(2,4]　解析：直线y＝x＋1关于原点对称的直线为y＝x－1.依题意方程log2(2x－m)＝x－1在(2，＋∞)上有解．则m＝2x－1在x∈(2，＋∞)上有解，所以m>2.又2x－m>0恒成立，则m≤(2x)min，即m≤4.所以实数m的取值范围为(2,4]．

16．已知函数f (x)＝若方程f (x)＝kx－2有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是________．

[3，＋∞)　解析：由题意知函数f (x)的图象与恒过定点(0，－2)的直线y＝kx－2有两个交点，作出y＝f (x)与y＝kx－2的图象，如图所示．

当直线y＝kx－2过点(1,1)时，k＝3.

结合图象知，当k≥3时，直线与y＝f (x)的图象有两个交点．

17．已知a∈R，函数f (x)＝log2.

(1)当a＝5时，解不等式f (x)＞0；

(2)若函数g(x)＝f (x)＋2log2x只有一个零点，求实数a的取值范围；

解：(1)当a＝5时，f (x)＝log2.

由f (x)＞0，即log2＞0，可得＋5＞1，解得x＜－或x＞0.

即不等式f (x)＞0的解集为∪(0，＋∞)．

(2)g(x)＝f (x)＋2log2x＝log2＋2log2x＝log2·x2(其中x＞0)．

因为函数g(x)＝f (x)＋2log2x只有一个零点，即g(x)＝0只有一个根，

即·x2＝1在(0，＋∞)上只有一个解，

即ax2＋x－1＝0在(0，＋∞)上只有一个解．

①当a＝0时，方程x－1＝0，解得x＝1，符合题意．

②当a≠0时，设函数y＝ax2＋x－1.

当a＞0时，此时函数y＝ax2＋x－1与x轴的正半轴，只有一个交点，符合题意；

当a＜0时，要使得函数y＝ax2＋x－1与x轴的正半轴只有一个交点，

则满足解得a＝－ .

综上可得，实数a的取值范围是∪[0，＋∞)．