课时质量评价11　对数与对数函数-2022届高三数学一轮复习检测（新高考）

课时质量评价(十一)

(建议用时：45分钟)

A组　全考点巩固练

1．函数y＝的定义域是(　　)

A．[1,2] B．[1,2)

C．   D．

D　解析：由log(2x－1)≥0，得0<2x－1≤1.所以<x≤1.

2．若0<x<1，则下列结论正确的是(　　)

A．>2x>lg x B．2x>lg x>

C．2x>>lg x D．lg x>>2x

C　解析：因为0<x<1，所以2x>1,0<<1，lg x<0，所以2x>>lg x．故选C．

3．(2020·天津卷)设a＝30.7，b＝，c＝log0.70.8，则a，b，c的大小关系为(　　)

A．a<b<c B．b<a<c

C．b<c<a D．c<a<b

D　解析：a＝30.7>1，b＝＝30.8>1，且a<b，c＝log0.70.8<log0.70.7＝1，所以c<a<b.

4．若函数f (x)与g(x)的图象关于直线y＝x对称，函数f (x)＝，则f (2)＋g(4)＝(　　)

A．3  B．4  C．5  D．6

D　解析：(方法一)因为函数f (x)与g(x)的图象关于直线y＝x对称，又f (x)＝＝2x，所以g(x)＝log2x，所以f (2)＋g(4)＝22＋log24＝6.

(方法二)因为f (x)＝，所以f (2)＝4，即函数f (x)的图象经过点(2,4)．因为函数f (x)与g(x)的图象关于直线y＝x对称，所以函数g(x)的图象经过点(4,2)，所以f (2)＋g(4)＝4＋2＝6.

5．(多选题)在同一直角坐标系中，f (x)＝kx＋b与g(x)＝logbx的图象如图，则(　　)

A．k＞0,0＜b＜1 

B．k＞0，b＞1

C．f g(1)＞0(x＞0) 

D．x＞1时，f (x)－g(x)＞0

AD　解析：由直线方程可知，k＞0,0＜b＜1，故选项A正确，选项B不正确；而g(1)＝0，故选项C不正确；当x＞1时，g(x)＜0，f (x)＞0，所以f (x)－g(x)＞0，故选项D正确．

6．若函数y＝a|x|(a>0，且a≠1)的值域为[1，＋∞)，则函数y＝loga|x|的大致图象是(　　)

B　解析：由于y＝a|x|的值域为[1，＋∞)，所以a>1，则y＝logax在(0，＋∞)上是增函数．又函数y＝loga|x|的图象关于y轴对称，所以y＝loga|x|的大致图象应为选项B．

7．根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.下列各数中与最接近的是(　　)

(参考数据：lg 3≈0.48)

A．1033  B．1053  C．1073  D．1093

D　解析：设＝x＝，两边取对数，得lg x＝lg ＝lg 3361－lg1080＝361×lg 3－80≈93.28.所以x＝1093.28，即最接近1093.故选D．

8．已知函数f (x)＝log2(x2＋a)．若f (3)＝1，则a＝________.

－7　解析：因为f (x)＝log2(x2＋a)，且f (3)＝1，所以f (3)＝log2(9＋a)＝1，所以a＋9＝2，所以a＝－7.

9．已知函数y＝loga(x＋3)－(a>0，a≠1)的图象恒过定点A，则点A的坐标为________；若点A也在函数f (x)＝3x＋b的图象上，则f (log32)＝________.

　1　解析：令x＋3＝1可得x＝－2，此时y＝loga1－＝－，所以定点A的坐标为. 因为点A在函数f (x)＝3x＋b的图象上，故－＝3－2＋b，解得b＝－1.所以f (x)＝3x－1，则f (log32)＝3－1＝2－1＝1.

10．若函数f (x)＝x2－(a－2)x＋1(x∈R)为偶函数，则loga＋log＝________.

－2　解析：因为函数f (x)为偶函数，所以f (x)＝f (－x)，即x2－(a－2)x＋1＝x2＋(a－2)x＋1恒成立，所以a－2＝0，即a＝2，所以loga＋log＝log2＋log2＝log2＝log2＝－2.

11．设f (x)＝loga(1＋x)＋loga(3－x)(a＞0，且a≠1)，且f (1)＝2.

(1)求a的值及f (x)的定义域；

(2)求f (x)在区间上的最大值．

解：(1)因为f (1)＝2，所以loga4＝2(a＞0，且a≠1)，所以a＝2.

由得－1＜x＜3.

所以函数f (x)的定义域为(－1,3)．

(2)f (x)＝log2(1＋x)＋log2(3－x)＝log2[(1＋x)·(3－x)]＝log2[－(x－1)2＋4](－1<x<3)．

所以当x∈(－1,1]时，f (x)单调递增；当x∈(1,3)时，f (x)单调递减．

故函数f (x)在上的最大值是f (1)＝log24＝2.

B组　新高考培优练

12．已知lg a，lg b是方程2x2－4x＋1＝0的两个实根，则lg(ab)·＝(　　)

A．2 B．4 

C．6 D．8

B　解析：由已知得lg a＋lg b＝2，即lg(ab)＝2.又因为lg a·lg b＝，所以lg(ab)·＝2(lg a－lg b)2＝2[(lg a＋lg b)2－4lg a·lg b]＝2×＝2×2＝4.故选B．

13．(2020·全国卷Ⅲ)Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：I(t)＝，其中K为最大确诊病例数．当I(t*)＝0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则t*约为(ln 19≈3)(　　)

A．60 B．63 

C．66 D．69

C　解析：因为I(t)＝，

所以I(t*)＝＝0.95K,

则e＝19，所以0.23(t*－53)＝ln 19≈3，

解得t*≈＋53≈66.

14．已知函数f (x)＝|ln x|.若0<a<b，且f (a)＝f (b)，则a＋4b的取值范围是(　　)

A．(4，＋∞) B．[4，＋∞)

C．(5，＋∞) D．[5，＋∞)

C　解析：由f (a)＝f (b)得|ln a|＝|ln b|.根据函数y＝|ln x|的图象及0<a<b，得－ln a＝ln b，0<a<1<b，所以＝b.

令g(b)＝a＋4b＝4b＋，易得g(b)在(1，＋∞)上单调递增，所以g(b)>g(1)＝5.

15．(多选题)已知函数f (x)＝ln(x－2)＋ln(6－x)，则(　　)

A．f (x)在(2,6)上单调递增

B．f (x)在(2,6)上的最大值为2ln 2

C．f (x)在(2,6)上单调递减

D．y＝f (x)的图象关于直线x＝4对称

BD　解析：f (x)＝ln(x－2)＋ln(6－x)＝ln[(x－2)(6－x)]，定义域为(2,6)．令t＝(x－2)(6－x)，则y＝ln t．因为二次函数t＝(x－2)(6－x)的图象的对称轴为直线x＝4，又f (x)的定义域为(2,6)，所以f (x)的图象关于直线x＝4对称，且在(2,4)上单调递增，在(4,6)上单调递减．当x＝4时，t有最大值，所以f (x)max＝ln(4－2)＋ln(6－4)＝2ln 2.故选BD．

16．(多选题)设x，y，z为正实数，且log2x＝log3y＝log5z＞0，则，，的大小关系可能是(　　)

A．＜＜ B．＝＝

C．＜＜   D．＜＜

ABC　解析：设log2x＝log3y＝log5z＝k＞0，可得x＝2k＞1，y＝3k＞1，z＝5k＞1，所以＝2k－1，＝3k－1，＝5k－1.

①若0＜k＜1，则函数f (x)＝xk－1单调递减，所以＞＞，即＜＜，故C正确；

②若k＝1，则函数f (x)＝xk－1＝1，所以＝＝，故B正确；

③若k＞1，则函数f (x)＝xk－1单调递增，所以＜＜，故A正确.

综上可知，，的大小关系不可能是D．

17．有些银行存款按照复利的方式计算利息，即把前一期的利息与本金加在一起作为本金，再计算下一期利息．假设最开始本金为a元，每期利率为r时，在x期后本息和为f (x)．若f (x)≥2a，则a(1＋r)x≥2a，解得x≥.银行业中经常使用的“70”原则：因为ln 2≈0.693 15，而且当r比较小时，ln(1＋r)≈r，所以≈≈.若r＝3%，f (x)≥2a.则x的最小整数值为(　　)

A．22 B．25 

C．23 D．24

D　解析：依题意可得a(1＋3%)x≥2a，即x≥≈≈＝≈23.3，

所以x的最小整数值为24.故选D．

18．已知函数f (x)＝loga(3－ax)(a>0，且a≠1)．

(1)当x∈[0,2]时，函数f (x)恒有意义，求实数a的取值范围．

(2)是否存在实数a，使得函数f (x)在区间[1,2]上单调递减，并且最大值为1? 如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由．

解：(1)设t(x)＝3－ax，因为a>0，

所以t(x)＝3－ax为减函数．

当x∈[0,2]时，t(x)的最小值为3－2a.

因为当x∈[0,2]时，f (x)恒有意义，

即x∈[0,2]时，3－ax>0恒成立．

所以3－2a>0，所以a<.

又a>0且a≠1，所以0<a<1或1<a<.

所以实数a的取值范围为(0,1)∪.

(2)由(1)知函数t(x)＝3－ax为减函数．

因为f (x)在区间[1,2]上单调递减，

所以y＝logat在[1,2]上单调递增，所以a>1.

当x∈[1,2]时，t(x)的最小值为3－2a，f (x)的最大值为f (1)＝loga(3－a)，

所以即

故不存在实数a，使得函数f (x)在区间[1,2]上单调递减，并且最大值为1.