高考数学一轮复习课时质量评价13函数与方程含答案

课时质量评价(十三)

A组　全考点巩固练

1．已知函数f(x)＝－log2x，则f(x)的零点所在的区间是(　　)

A．(0,1) B．(2,3)

C．(3,4) D．(4，＋∞)

C　解析：易知f(x)是单调函数，f(3)＝2－log23>0，f(4)＝－log24＝－2＝－<0，故f(x)的零点所在的区间是(3,4)．

2．(2021·湖南永州模拟)若函数f(x)＝2|x|－k存在零点，则k的取值范围是(　　)

A．(－∞，0) B．[0，＋∞)

C．(－∞，1) D．[1，＋∞)

D　解析：由函数f(x)＝2|x|－k存在零点，得2|x|＝k有解，作出函数y＝2|x|的图象如图所示，则由图象可知，要使函数f(x)＝2|x|－k存在零点，只需y＝2|x|与y＝k的图象有交点，则k≥1．故选D．

3．已知函数f(x)＝若函数y＝f(x)－1恰有一个零点，则实数k的取值范围是(　　)

A．(1，＋∞) B．[1，＋∞)

C．(－∞，1) D．(－∞，1]

B　解析：当x≥1时，若f(x)＝ln  x＝1，则x＝e，因此函数y＝f(x)－1在x≥1时有一个零点，从而在x<1时无零点．当x<1时，2－x>1，f(x)＝f(2－x)＋k＝ln(2－x)＋k，它是减函数，值域为(k，＋∞)，要使f(x)＝1无解，则k≥1．

4．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若f(1)>0，f(2)<0，则f(x)在(1,2)上零点的个数为(　　)

A．至多有一个

B．有一个或两个

C．有且仅有一个

D．一个也没有

C　解析：因为f(1)>0，f(2)<0，所以f(x)在(1,2)上必有零点，又因为函数为二次函数，所以有且仅有一个零点．故选C．

5．设f(x)在区间[－1,1]上单调递增，且f ·f <0，则方程f(x)＝0在区间[－1,1]内(　　)

A．可能有3个实数根 B．可能有2个实数根

C．有唯一的实数根 D．没有实数根

C　解析：因为f(x)在区间[－1,1]上单调递增，且f ·f <0，所以f(x)在区间上有唯一的零点． 所以方程f(x)＝0在区间[－1,1]内有唯一的实数根．

6．若函数f(x)＝x2－ax＋1在区间上有零点，则实数a的取值范围是________．

　解析：由题意知方程ax＝x2＋1在上有解，即a＝x＋在上有解．设t＝x＋，x∈，则t的取值范围是，所以实数a的取值范围是．

7．方程log0.5(a－2x)＝2＋x有解，则a的最小值为________．

1　解析：若方程log0.5(a－2x)＝2＋x有解，则＝a－2x有解，即×＋2x＝a有解．因为×＋2x＝×＋2x≥2＝1，当且仅当x＝－1时，等号成立，故a的最小值为1．

8．已知函数f(x)＝ax＋x－b的零点x0∈(n，n＋1)(n∈Z)，其中常数a，b满足2a＝3,3b＝2，则n＝________．

－1　解析：a＝log23>1,0<b＝log32<1．令f(x)＝0，得ax＝－x＋b．在同一平面直角坐标系中画出函数y＝ax和y＝－x＋b的图象，如图所示．

由图可知，两函数的图象在区间(－1,0)内有交点，所以函数f(x)在区间(－1,0)内有零点，所以n＝－1．

9．设函数f(x)＝

(1)若a＝1，求f(x)的最小值；

(2)若f(x)恰有2个零点，求实数a的取值范围．

解：(1)若a＝1，则f(x)＝

作出函数f(x)的图象如图所示，由图可得f(x)的最小值为－1．

(2)当x<1时，f(x)∈(－a,2－a)，所以当a≥1时，要使f(x)恰有2个零点，需满足21－a≤0，即a≥2；

当a<1时，要使f(x)恰有2个零点，需满足解得≤a<1．

综上，实数a的取值范围为∪[2，＋∞)．

10．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c满足a＞b＞c，且f(1)＝0，函数g(x)＝f(x)＋bx．

(1)证明：函数y＝g(x)必有两个不相等的零点；

(2)设函数y＝g(x)的两个零点为x1，x2 ，求|x1－x2|的取值范围．

(1)证明：由f(1)＝0得a＋b＋c＝0，所以b＝－(a＋c)，g(x)＝f(x)＋bx＝ax2＋2bx＋c．

令g(x)＝0，即ax2＋2bx＋c＝0，则Δ＝4b2－4ac＝4(a＋c)2－4ac＝4(a2＋2ac＋c2－ac)＝4＋3c2＝4＋3c2＞0，即ax2＋2bx＋c＝0有两个不相等的实数根．所以函数y＝g(x)必有两个不相等的零点．

(2)解：由(1)知y＝g(x)有两个不相等的零点，即方程ax2＋2bx＋c＝0有两个不相等的实数根，

所以

所以|x1－x2|＝

＝＝2＝2

＝2＝2．

因为f(1)＝a＋b＋c＝0，且a＞b＞c，

所以a＞0，c＜0．

当a＞0，c＜0且＝－时，|x1－x2|min＝．

所以|x1－x2|的取值范围为[，＋∞)．

B组　新高考培优练

11．设函数f(x)的定义域为R，f(－x)＝f(x)，f(x)＝f(2－x)．当x∈[0,1]时，f(x)＝x3，则函数g(x)＝|cos πx|－f(x)在区间上零点的个数为(　　)

A．3　　　　　 B．4　　　　　

C．5　　　　　 D．6

C　解析：由f(－x)＝f(x)，得f(x)的图象关于y轴对称．由f(x)＝f(2－x)，得f(x)的图象关于直线x＝1对称．当x∈[0,1]时，f(x)＝x3，所以f(x)在[－1,2]上的图象如图．

令g(x)＝|cos πx|－f(x)＝0，得|cos πx|＝f(x)，函数y＝f(x)与y＝|cos πx|的图象在上的交点有5个．

12．(多选题)已知f(x)是定义域为R的偶函数，在(－∞，0)上单调递减，且f(－3)·f(6)＜0，那么下列结论中正确的是(　　)

A．f(x)可能有三个零点 B．f(3)·f(－4)≥0

C．f(－4)＜f(6) D．f(0)＜f(－6)

AC　解析：因为f(x)是定义域为R的偶函数，又f(－3)·f(6)＜0，所以f(3)·f(6)＜0．又f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以函数f(x)在(0，＋∞)上有一个零点，且f(3)＜0，f(6)＞0，所以函数f(x)在(－∞，0)∪(0，＋∞)上有两个零点．但是f(0)的值没有确定，所以函数f(x)可能有三个零点，故A正确；又f(－4)＝f(4)，4∈(3,6)，所以f(－4)的符号不确定，故B不正确；C项显然正确；由于f(0)的值没有确定，所以f(0)与f(－6)的大小关系不确定，所以D不正确．

13．(多选题)(2022·沈阳质检)已知函数f(x)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝则下列选项正确的是(　　)

A．函数f(x)的最大值为1

B．函数f(x)的最小值为0

C．函数f(x)的零点有无数个

D．函数g(x)＝8[f(x)]2－6f(x)＋1有14个零点

ABC　解析：因为x∈(0,2]时，f(x)＝(x－1)2，当x＞2时，f(x)＝f(x－2)，所以当x∈(0，＋∞)时，将f(x)在区间(0,2]上的图象先向右平移2个单位长度的，再将图象上所有点的纵坐标缩短为原来的，就可以得到函数f(x)在(0，＋∞)上的图象．又f(x)是偶函数，所以f(x)的图象关于y轴对称．作出y＝f(x)的图象如图所示．

由图可知选项A，B，C正确．令g(x)＝0，得f(x)＝或f(x)＝，易知直线y＝与y＝f(x)的图象有6个交点，直线y＝与函数y＝f(x)的图象有10个交点，所以函数g(x)共有16个零点，选项D不正确．故选ABC．

14．(多选题)已知函数f(x)＝若存在实数m使得方程f(x)＝m有四个互不相等的实数根x1，x2，x3，x4(x1<x2<x3<x4)，则下列叙述中正确的有(　　)

A．x1＋x2<0

B．x3x4＝4

C．f(3)<m

D．f(x2)＋x3有最小值

ABD　解析：作出函数f(x)的图象如图：

由条件知x1<0,0<x2<1,1<x3<2,2<x4,0<m<1．

由f(x1)＝f(x2)＝m得|2x1－1|＝|2x2－1|，

即1－2x1＝2x2－1, 得2x1＋2x2＝2，

得 2>2＝2，

则2 <1，即 x1＋x2<0成立，故A正确；

由f(x3)＝f(x4)＝m知x3，x4是方程x＋－4＝m，即x2－(4＋m)x＋4＝0的两个根，则x3x4＝4，故B正确；

f(3)＝3＋－4＝， 而0<m<1，两者无法比较大小，故C错误；

∵f(x2)＝f(x3)＝m，∴f(x2)＋x3＝f(x3)＋x3＝x3＋－4＋x3＝2x3＋－4≥2－4＝4－4，

当且仅当2x3＝，即 x3＝时，取等号，即f(x2)＋x3有最小值，故D正确．故选ABD．

15．已知函数f(x)＝若f(x0)＝－1，则x0＝_________；若关于x的方程f(x)＝k有两个不同的零点，则实数k的取值范围是________．

－1　(0,1)　解析：由f(x0)＝－1，得或解得x0＝－1．关于x的方程f(x)＝k有两个不同的零点等价于y＝f(x)的图象与直线y＝k有两个不同的交点，如图．观察图象可知，当0＜k＜1时y＝f(x)的图象与直线y＝k有两个不同的交点，即k∈(0,1)．

16．已知函数f(x)＝－x2－2x，g(x)＝

(1)求g(f(1))的值；

(2)若方程g(f(x))－a＝0有4个实数根，求实数a的取值范围．

解：(1)因为f(1)＝－1－2＝－3，所以g(f(1))＝g(－3)＝－3＋1＝－2．

(2)令f(x)＝t，则原方程化为g(t)＝a，易知当t∈(－∞，1)时，方程f(x)＝t有2个不同的解，则原方程有4个解等价于函数y＝g(t)(t＜1)与y＝a的图象有2个不同的交点，作出函数y＝g(t)(t＜1)的图象(如图)，

由图象可知，当1≤a＜时，函数y＝g(t)(t＜1)与y＝a有2个不同的交点，即所求a的取值范围是．

17．已知a∈R，函数f(x)＝log2．

(1)当a＝5时，解不等式f(x)＞0；

(2)若函数g(x)＝f(x)＋2log2x只有一个零点，求实数a的取值范围．

解：(1)当a＝5时，f(x)＝log2．

由f(x)＞0，即log2＞0，可得＋5＞1，解得x＜－或x＞0．

即不等式f(x)＞0的解集为∪(0，＋∞)．

(2)g(x)＝f(x)＋2log2x＝log2＋2log2x＝log2(其中x＞0)．

因为函数g(x)＝f(x)＋2log2x只有一个零点，即g(x)＝0只有一个根，

即·x2＝1在(0，＋∞)上只有一个解，

即ax2＋x－1＝0在(0，＋∞)上只有一个解．

①当a＝0时，方程x－1＝0，解得x＝1，符合题意．

②当a≠0时，设函数y＝ax2＋x－1．

当a＞0时，此时函数y＝ax2＋x－1与x轴的正半轴，只有一个交点，符合题意．

当a＜0时，要使得函数y＝ax2＋x－1与x轴的正半轴只有一个交点，

则满足解得a＝－ ．

综上可得，实数a的取值范围是．