2022学年新高考数学 专题10 圆锥曲线中的向量问题-新高考数学圆锥曲线专项练习

圆锥曲线中的向量问题

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一、解答题

1．已知椭圆（）的长轴长为，右顶点到左焦点的距离为，直线与椭圆交于、两点，为坐标原点．

（1）求椭圆的方程；

（2）若为椭圆的上顶点，为中点，连接并延长交椭圆于，，求实数的值；

（3）若直线与圆相切，且，当时，求的面积的取值范围．

2．如图，已知椭圆，，分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆的上顶点，直线交椭圆于另一点．

（1）若，求椭圆的离心率．

（2）若椭圆的焦距为2，且，求椭圆的方程．

3．椭圆的左项点为，左焦点为，下顶点为，上顶点为，若，.

（1）求和的值.

（2）纵截距为2的动直线与椭圆交于，两点，设，其中为坐标原点，是否存在直线使得点也在椭圆上?若存在，试确定的方程；若不存在，请说明理由.

4．已知离心率为的椭圆的上顶点为，右焦点为，点且.

（1）求椭圆的方程；

（2）过点作直线交椭圆于、两点（在与之间），与直线交于点.记，，求的值.

5．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过且与轴垂直的直线被椭圆和圆截得的弦长分别为2和.

（1）求的标准方程；

（2）已知动直线与抛物线：相切（切点异于原点），且与椭圆相交于，两点，问：椭圆上是否存在点，使得，若存在求出满足条件的所有点的坐标，若不存在，请说明理由.

6．已知，直线不过原点且不平行于坐标轴，与有两个交点，，线段的中点为．

（1）若，点在椭圆上，、分别为椭圆的两个焦点，求的范围；

（2）若过点，射线与椭圆交于点，四边形能否为平行四边形？若能，求此时直线斜率；若不能，说明理由．

7．已知抛物线，过抛物线的焦点且垂直于轴的直线交抛物线于两点，.

（1）求抛物线的方程，并求其焦点的坐标和准线的方程；

（2）过抛物线的焦点的直线与抛物线交于不同的两点，直线与准线交于点.连接，过点作的垂线与准线交于点.求证：三点共线.

8．已知椭圆：的两个焦点为，，焦距为，直线：与椭圆相交于，两点，为弦的中点.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若直线：与椭圆相交于不同的两点，，，若（为坐标原点），求的取值范围.

9．已知、分别为椭圆:的上、下焦点，其中也是抛物线的焦点，点是与在第二象限的交点，且.

（1）求椭圆的方程;

（2）已知点和圆:，过点的动直线与圆相交于不同的两点，在线段上取一点，满足:，，(且).求证:点总在某定直线上.

10．已知点E（﹣2，0），椭圆C：（a＞b＞0）的右焦点F（2，0），过F的直线l交椭圆C交于A，B两点，△ABE的周长为12.

（1）求椭圆C的方程；

（2）若直线l交y轴于点N，已知＝m，＝n，求m+n的值.

11．等腰直角△内接于抛物线()，其中为抛物线的顶点，，△的面积是16.

（1）求抛物线的方程；

（2）抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于､两点，交轴于点，若，，证明：是一个定值.

12．已知动圆与圆：外切且与轴相切.

（1）求圆心的轨迹的方程；

（2）过作斜率为的直线交曲线于，两点，

①若，求直线的方程；

②过，两点分别作曲线的切线，，求证：，的交点恒在一条定直线上.