2022学年新高考数学 专题05 切线问题-新高考数学圆锥曲线专项练习

圆锥曲线中的切线问题

1．抛物线上一点到直线的距离最短的点的坐标是( )

A． B． C． D．

2．抛物线上的点到直线距离的最小值是 （ ）

A． B． C． D．3

3．    已知点A(－2,3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为(  )

A．  B．   C．   D．

4．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，点的纵坐标为8，且.

（1）求抛物线的方程；

（2）若点是抛物线准线上的任意一点，过点作直线与抛物线相切于点，证明：.

5．已知椭圆的一个焦点为，离心率为.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若动点为椭圆外一点，且点到椭圆的两条切线相互垂直，求点的轨迹方程.

参考答案

1．D

【分析】

设抛物线y=x2上一点为A（x0，x02），点A（x0，x02）到直线2x-y-4=0的距离由此能求出抛物线y=x2上一点到直线2x-y-4=0的距离最短的点的坐标．

【详解】

设抛物线y=x2上一点为A（x0，x02），
点A（x0，x02）到直线2x-y-4=0的距离

∴当x0=1时，即当A（1，1）时，抛物线y=x2上一点到直线2x-y-4=0的距离最短．
故选D．

【点睛】

本题考查抛物线上的点到直线的距离最短的点的坐标的求法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．

2．A

【解析】

为抛物线上任意一点. 则.

∴点P到直线的距离为 ∴.

数形结合法:设把已知直线平移到与抛物线相切,然后求出两条平行线间的距离即为所求的最小距离.

3．D

【解析】

试题分析：由于点在抛物线C：的准线上，所以，设直线AB的方程为，将与联立，即，则（负值舍去），将k=2代入得y=8，即可求出x=8，故B（8,8），所以，故选D.

考点：1.直线与抛物线的位置关系；2.斜率公式.

4．(1) (2)详见解析

【分析】

(1) 由抛物线定义知，求出即可写出抛物线方程(2)设切点为，，利用导数求出切线方程，令求出，利用向量即可证明.

【详解】

（1）由题意可知，抛物线的准线方程为

又点的纵坐标为8，且｜PF｜=9，于是8+=9，所以

故抛物线的方程为

（2）设点M(m，-1)，，，因为，所以

切线方程为，即

令，可解得，所以

又所以，

所以

【点睛】

本题主要考查了抛物线的标准方程的求法，直线与抛物线相切，利用向量证明垂直，属于中档题.

5．（1）；（2）.

【详解】

试题分析：（1）利用题中条件求出的值，然后根据离心率求出的值，最后根据、、三者的关系求出的值，从而确定椭圆的标准方程；（2）分两种情况进行计算：第一种是在从点所引的两条切线的斜率都存在的前提下，设两条切线的斜率分别为、，并由两条切线的垂直关系得到，并设从点所引的直线方程为，将此直线的方程与椭圆的方程联立得到关于的一元二次方程，利用得到有关的一元二次方程，最后利用以及韦达定理得到点的轨迹方程；第二种情况是两条切线与坐标轴垂直的情况下求出点的坐标，并验证点是否在第一种情况下所得到的轨迹上，从而得到点的轨迹方程.

（1）由题意知，且有，即，解得，

因此椭圆的标准方程为；

（2）①设从点所引的直线的方程为，即，

当从点所引的椭圆的两条切线的斜率都存在时，分别设为、，则，

将直线的方程代入椭圆的方程并化简得，

，

化简得，即，

则、是关于的一元二次方程的两根，则，

化简得；

②当从点所引的两条切线均与坐标轴垂直，则的坐标为，此时点也在圆上.

综上所述，点的轨迹方程为.

考点：本题以椭圆为载体，考查直线与圆锥曲线的位置关系以及动点的轨迹方程，将直线与二次曲线的公共点的个数利用的符号来进行转化，计算量较大，从中也涉及了方程思想的灵活应用.