2022年山东省济宁学院附中中考数学二模试卷(word版含答案)

2022年山东省济宁学院附中中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30分）

1. 实数的平方根是

A.  B.  C.  D.

2. 下列计算正确的是

A.  B.  C.  D.

3. 下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是

A.  B.  C.  D.

4. 当为任意实数时，下列分式有意义的是

A.  B.  C.  D.

5. 如图，，，则等于

A.
B.
C.
D.

6. 如图，如果从半径为的圆形纸片剪去圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥接缝处不重叠，那么这个圆锥的高为

A.  B.  C.  D.

7. 已知，是方程的两个实数根，则的值是

A.  B.  C.  D.

8. 如图，，将绕点旋转得到，则此时点的对应点的坐标为

A.
B.
C. 或
D. 或
 

9. 如图，抛物线与轴交于点，与轴的交点为，已知，顶点坐标为，则下列结论正确的是

A.
B.
C. 对于任意实数，不等式恒成立
D. 关于的方程没有实数根

10. 如图，有一张矩形纸片，已知，，现将纸片进行如下操作：现将纸片沿折痕进行折叠，使点落在边上的点处，点在上如图；然后将纸片沿折痕进行第二次折叠，使点落在第一次的折痕上的点处，点在上如图，给出四个结论：的长为；的周长为；；的长为，其中正确的结论有

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15分）

11. 芝麻被称为“八谷之冠”，是世界上最古老的油料作物之一，它作为食品和药物，得到广泛的使用，经测算，一粒芝麻的质量约为千克，将用科学记数法表示为______．
12. 分解因式：______．
13. 如图，在矩形中，按以下步骤作图：分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和；作直线交于点若，，则矩形的对角线的长为______．
    
     

14. 三棱柱的三视图如图所示，中，，，，则的长为______．

15. 如图，在平面直角坐标系内，，，以为直角边向外作，使，，以为直角边向外作，使，，按此方法进行下去，得到，，，，若点，则点的纵坐标为______．

三、计算题（本大题共1小题，共7分）

16. 计算：．
    先化简，再求值：，其中是满足不等式组的整数解．
    
    
    
    
    
    
     

四、解答题（本大题共6小题，共48分）

17. 为庆祝中国共产党建党周年，某校开展了“党在我心中”党史知识竞赛，竞赛得分为整数，王老师为了解竞赛情况，随机抽取了部分参赛学生的得分并进行整理，绘制成不完整的统计图表．

请你根据统计图表提供的信息解答下列问题：
上表中的 ______ ， ______ ， ______ ．
这次抽样调查的成绩的中位数落在哪个组？请补全频数分布直方图．
已知该校有名学生参赛，请估计竞赛成绩在分以上的学生有多少人？
现要从组随机抽取两名学生参加上级部门组织的党史知识竞赛，组中的小丽和小洁是一对好朋友，请用列表或画树状图的方法求出恰好抽到小丽和小洁的概率．

18. 直线与双曲线交于点，并分别与轴、轴交于点、．
    直接写出______，______．
    根据图象直接写出不等式的解集为______．
    连接，求的正弦值．

19. 为做好新冠疫情的防控工作，某单位需购买甲、乙两种消毒液，经了解每桶甲种消毒液的零售价比乙种消毒液的零售价多元，该单位以零售价分别用元和元采购了相同桶数的甲、乙两种消毒液．
    求甲、乙两种消毒液的零售价分别是每桶多少元？
    由于疫情防控进入常态化，该单位需再次购买两种消毒液共桶，且甲种消毒液的桶数不少于乙种消毒液桶数的由于购买量大，甲、乙两种消毒液分别获得了元桶、元桶的批发价求甲种消毒液购买多少桶时，所需资金总额最少？最少总金额是多少元？
    
    
    
    
    
    
     
20. 如图，是的直径，是的中点，的切线交的延长线于点，是的中点，的延长线交切线于点，交于点，连接．
    求证：；
    若，求的长．
    
    
    
     

21. 如图，点为的平分线上一点，以为顶点的角的两边分别与射线，交于，两点，如果绕点旋转时始终满足，我们就把叫做的智慧角．
    如图，已知，点为的平分线上一点，以为顶点的角的两边分别与射线，交于，两点，且求证：是的智慧角．
    如图，已知，若是的智慧角，连结，用含的式子表示的度数．
    如图，是函数图象上的一个动点，过的直线分别交轴和轴于，两点，且满足，请求出的智慧角的顶点的坐标．

22. 如图，已知二次函数的图象与轴交于点、，与轴的正半轴交于点．
    求二次函数的表达式；
    点是线段上一动点，过点作轴的平行线，与交于点，与抛物线交于点，连接，探究是否存在点使得为直角三角形？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由；
    若点在二次函数图象上，是否存在以为圆心，为半径的圆与直线相切，若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由．

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】解：，
的平方根是，
故选：．
先将原数化简，然后根据平方根的性质即可求出答案．
本题考查平方根的概念，解题的关键是将原数进行化简，属于基础题型．
 

2.【答案】
 

【解析】解：与不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；
B.，故本选项符合题意；
C.，故本选项不合题意；
D.，故本选项不合题意；
故选：．
选项A根据同类项以及合并同类项法则判断即可；
选项B根据幂的乘方运算法则判断即可，幂的乘方法则：底数不变，指数相乘；
选项C根据同底数幂的乘法法则判断即可，同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；
选项D根据同底数幂的除法法则判断即可，同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减．
本题考查了合并同类项，同底数幂的乘除法以及幂的乘方，掌握相关运算法则是解答本题的关键．
 

3.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后两部分重合．
根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】
解：、是轴对称图形但不是中心对称图形，故本选项正确；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误．
故选：．  

4.【答案】
 

【解析】解：、当时，故本选项不符合题意．
B、当时，故本选项不符合题意．
C、当时，故本选项不符合题意．
D、无论为何值，，故本选项符合题意．
故选：．
当为任意实数时分式一定有意义的条件是：分母，
此题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零．
 

5.【答案】
 

【解析】

【分析】
此题考查的是平行公理的推论以及平行线的性质，通过分析已知条件结合图形特征正确作出辅助线很关键过点作，由平行公理推论易证，再根据两直线平行，内错角相等分别求出和的度数，继而利用角的和差关系即可求出的度数．
解：过点作，

，
，
，，
．
故选B．  

6.【答案】
 

【解析】解：从半径为的圆形纸片剪去圆周的一个扇形，
剩下的扇形的角度，
留下的扇形的弧长，
圆锥的底面半径，
圆锥的高．
故选B．
因为圆锥的高，底面半径，母线构成直角三角形，则留下的扇形的弧长，所以圆锥的底面半径，所以圆锥的高．
主要考查了圆锥的性质，要知道圆锥的高，底面半径，母线构成直角三角形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
 

7.【答案】
 

【解析】解：是方程的实数根，
，
，
，
，是方程的两个实数根，
，
．
故选：．
先根据一元二次方程的解得的定义得到，则可化为，再根据根与系数的关系得到，然后利用整体代入的方法计算．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，，．
 

8.【答案】
 

【解析】解：，，
，
与轴正半轴夹角为，与轴正半轴夹角为，
，
根据勾股定理，，
，
如图，顺时针旋转时，
，
点、关于原点成中心对称，
点；
如图，逆时针旋转时，
，
点在轴负半轴上，
点的坐标是．
综上所述，点的坐标为或．
故选C．
根据点、的坐标求出与轴正半轴夹角为，与轴正半轴夹角为，从而得到，再利用勾股定理求出、的长度，然后分顺时针旋转时，点与点关于坐标原点成中心对称，然后根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数解答；逆时针旋转时，点在轴负半轴上，然后写出点的坐标即可．
本题考查了坐标与图形的变化旋转，根据角度度数判断出点的位置是解题的关键，要注意分情况讨论求解．
 

9.【答案】
 

【解析】解：、抛物线的顶点坐标为，
，
，
由图象可知：抛物线开口向上，有最小值是，
，
，结论A错误；
B、抛物线的顶点坐标为，
，
，
抛物线与轴交于点，
，
，
，
，结论B正确；
C、，顶点坐标为，
，且，
对于任意实数，总成立，结论C错误；
D、抛物线的顶点坐标为，
抛物线与直线只有一个交点，
抛物线开口向上，
抛物线与直线有两个交点，
关于的方程有两个不相等的实数根，结论D错误．
故选：．
A、由抛物线的顶点坐标代入可得，由最小值为可知，可得结论A错误；
B、利用对称轴可得，结合点的坐标，可得，代入已知中的不等式中，可判定结论B正确；
C、由抛物线的顶点坐标及，可得出，且，进而可得出对于任意实数，总成立，结论C错误；
D、由抛物线的顶点坐标可得出抛物线与直线只有一个交点，将直线上移可得出抛物线与直线有两个交点，进而可得出关于的方程有两个不相等的实数根．
本题考查了二次函数图象与系数的关系、抛物线与轴的交点以及二次函数的性质，观察函数图象，逐一分析四个结论的正误是解题的关键．
 

10.【答案】
 

【解析】解：如图，过点作，分别交、于点、，
四边形为矩形，
，，
由折叠可得，且，
四边形为正方形，
，
故正确；
，
和为等腰直角三角形，且，
设，则，，，
又由折叠的可知，
在中，由勾股定理可得，
即，解得，
，，，
又，
，
，
，
∽，
，即，
，，
，
故正确；
又和为等腰直角三角形，且，，
，，
的周长，
，
故不正确；正确；
综上可知正确的为，
故选：．
过点作，交、于点、，可知四边形为正方形，可求得的长，可判断，且和为等腰三角形，设，则可表示出、、，利用折叠的性质可得到，在中，利用勾股定理可求得，再利用∽，可求得、和，则可求得，容易判断，可得出答案．
本题为四边形的综合应用，涉及知识点有矩形的性质、正方形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定和性质、折叠的性质及方程思想等．过点作的平行线，构造等腰直角三角形，利用方程思想在中得到方程，求得的长度是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．
 

11.【答案】
 

【解析】解：．
故答案为：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
 

12.【答案】
 

【解析】解：，
．
应先提取公因式，再利用平方差公式进行二次分解．
主要考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，分解因式要彻底，直到不能再分解为止．
 

13.【答案】
 

【解析】解：连接，如图，
由作法得垂直平分，
，
在中，，
在中，．
故答案为．
连接，如图，利用基本作图得到垂直平分，则，然后利用勾股定理先计算出，再计算出．
本题考查了作图基本作图：熟练掌握基本作图作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线．
 

14.【答案】
 

【解析】解：过点作于点，
由题意可得出：，
，，
．
故答案为：．
根据三视图的对应情况可得出，中上的高即为的长，进而求出即可．
此题主要考查了由三视图解决实际问题，根据已知得出是解题关键．
 

15.【答案】
 

【解析】解：由题意可以发现规律，点的位置次一循环，点在轴的正半轴上，
，点，，
，
同理，，
，

，
，
，
与的方向一致，
点在轴的负半轴上，
点的纵坐标为，
故答案为：为．
由含角的直角三角形的性质和勾股定理求出，，得出长度变化规律，由图分析得出与的方向重合，即可得出结果．
本题考查了规律型：点的坐标、含角的直角三角形的性质；熟练掌握勾股定理，通过计算得出规律是解决问题的关键．
 

16.【答案】解：原式

；
原式


，
解不等式，可得：，
解不等式，可得：，
不等式组的解集为，
不等式组的整数解为，，
又，，
且，
当时，
原式．
 

【解析】化简二次根式，零指数幂，负整数指数幂，代入特殊角的三角函数值，然后先算乘法，再算减法；
先将小括号内的式子进行通分计算，然后算括号外面的除法，再解不等式组确定的取值范围，从而结合分式有意义的条件选取合适的的值，代入求值．
本题考查分式的化简求值，解一元一次方程组，熟记特殊角的三角函数值，理解，，掌握分式混合运算的运算顺序先算乘方，然后算乘除，最后算加减，有小括号先算小括号里面的和计算法则，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解题关键．
 

17.【答案】   
 

【解析】解：抽取的学生人数为：人，
，
由题意得：，
，
故答案为：，，；
，
这次调查成绩的中位数落在组；
补全频数分布直方图如下：

，
即估计竞赛成绩在分以上的学生有人；
将“小丽”和“小洁”分别记为：、，另两个同学分别记为：、
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中恰好抽到小丽和小洁的结果有种，
恰好抽到小丽和小洁的概率为：．
由组的人数和所占百分比求出抽取的学生人数，即可解决问题；
由中位数的定义求出中位数落在组，再由的结果补全频数分布直方图即可；
由该校参赛人数乘以竞赛成绩在分以上的学生所占的比例即可；
画树状图，共有种等可能的结果，其中恰好抽到小丽和小洁的结果有种，再由概率公式求解即可．
本题考查了用列表法或画树状图法求概率以及频数分布直方图统计图和扇形统计图．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

18.【答案】   
 

【解析】解：将代入直线中，得：，即，
将代入双曲线解析式得：，即；
故答案为：；；

由图象可得：不等式的解集为；
故答案为：；

过作，垂足为，
对于直线，令求出，即，令求出，即，
，即为等腰直角三角形，
，
，
由点，，得：，
在中，．
将坐标代入直线方程，求出的值，将坐标代入双曲线解析式中，求出的值即可；
由双曲线与直线的交点的横坐标，在图象上找出一次函数在反比例函数下方时的范围即可；
过作，对于直线，分别令与等于，求出与的坐标，得到，且与垂直，得到三角形为等腰直角三角形，利用勾股定理求出的长，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出的长，再由与的坐标，求出的长，在直角三角形中，利用锐角三角函数定义即可求出的正弦值．
此题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上点的坐标特征，函数与不等式的关系，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，待定系数法确定函数解析式，以及锐角三角函数，利用了数形结合的思想，是一道综合性较强的试题．
 

19.【答案】解：设乙种消毒液的零售价为元桶，则甲种消毒液的零售价为元桶，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
．
答：甲种消毒液的零售价为元桶，乙种消毒液的零售价为元桶．
设购买甲种消毒液桶，则购买乙种消毒液桶，
依题意得：，
解得：．
设所需资金总额为元，则，
，
随的增大而增大，
当时，取得最小值，最小值．
答：当甲种消毒液购买桶时，所需资金总额最少，最少总金额是元．
 

【解析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式．
设乙种消毒液的零售价为元桶，则甲种消毒液的零售价为元桶，根据数量总价单价，结合该单位以零售价分别用元和元采购了相同桶数的甲、乙两种消毒液，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
设购买甲种消毒液桶，则购买乙种消毒液桶，根据购进甲种消毒液的桶数不少于乙种消毒液桶数的，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，设所需资金总额为元，根据所需资金总额甲种消毒液的批发价购进数量乙种消毒液的批发价购进数量，即可得出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质即可解决最值问题．
 

20.【答案】证明：连接，
是的中点，是的直径，
，
是的切线，
，
，
，
；

解：是的中点，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
是直径，
，
∽，
，
，
．
 

【解析】连接，由是的中点，是的直径，则，再由是的切线，得，从而得出，即可证明；
根据点是的中点，得，可证明≌，则，即可得出，由勾股定理得出，由是直径，得，可证明∽，即可得出的长．
本题考查了切线的性质以及全等三角形的判定和性质、勾股定理，是中档题，难度不大．
 

21.【答案】证明：如图中，

，为的平分线上一点，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
是的智慧角；

解：如图中，

是的智慧角，
，
，
为的平分线上一点，
，
∽，
，
，
即；

设点，则，过点作于；分两种情况：
当点在轴正半轴上时；当点在轴的负半轴上时，如图所示：

不可能；
当点在轴的正半轴上时，如图所示：

，
，
，
∽，
，
，，
，
是的智慧角，
，
，平分，
点的坐标为：；
当点在轴的负半轴上时，如图所示，

，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
是的智慧角，
，
，平分，
点的坐标为：；
综上所述：点的坐标为：，或
 

【解析】只要证明∽，可得，即可证明；
由是的智慧角，可得 ，即可推出∽，推出，推出；
设点，则，过点作于；发三种情形情况：当点在轴正半轴上时；当点在轴的负半轴上时，如图所示：当点在轴的正半轴上时，如图所示：当点在轴的负半轴上时，如图所示，分别求解即可；
本题考查反比例函数综合题目、角平分线的性质、相似三角形的判定与性质、新定义以及运用、三角形面积的计算、全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，正确寻找相似三角形的条件是突破点，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
 

22.【答案】解：将点、代入，
得：，
解得：，
二次函数解析式为．
存在，理由如下：
二次函数解析式为点的坐标为，
直线的解析式为．
当时，

，可解得点，
此时点坐标为．
当时，

，可解得点，
此时点坐标为．
综上，点的坐标为或．
存在，理由如下：
如图，过点作于点，过点作直线，过点作轴的垂线，交于点，交轴于点．

，
，
直线的解析式为或．
联立直线和抛物线的解析式，得： 或，
解得： 或或 或，
点坐标为或或或
 

【解析】根据点，的坐标，利用待定系数法即可求出二次函数的表达式；
利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点的坐标，由点，的坐标利用待定系数法可求出直线的函数表达式，根据题意，需要分两种情况：当点为直角顶点时；当点为直角顶点时，分别画出图形，根据直角三角形的性质可求得结论；
过点作于点，过点作直线，过点作轴的垂线，交于点，交轴于点，求出的解析式，联立直线和抛物线的函数表达式组成方程组，通过解方程组即可求出点的坐标．
本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、解一元二次方程、平行线的性质以及三角形的面积，解题的关键是：根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；注意需要分类讨论；利用面积法结合平行线的性质，求出直线的解析式．