2022年山东省菏泽市成武县中考数学一模试卷（含解析）

2022年山东省菏泽市成武县中考数学一模试卷

副标题

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）

1. 数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形的是

A.  B.
C.  D.

2. 下列各数为负分数的是

A.  B.  C.  D.

3. 人体中成熟红细胞的平均直径为，用科学记数法表示为

A.  B.  C.  D.

4. 如图，将线段绕点顺时针旋转得到线段，那么的对应点的坐标是

A.
B.
C.
D.

5. 如图，是的直径，点，在上，点是的中点，过点画的切线，交的延长线于点，连接若，则的度数为

A.
B.
C.
D.

6. 如图，在四边形纸片中，，，，将纸片折叠，使点落在边上的点处，折痕为，若，则的长为

A.
B.
C.
D.

7. 如图，在中，是边上的高，平分，，，的度数为

A.
B.
C.
D.

8. 已知反比例函数的图象如图所示，则一次函数和二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是

A.
B.
C.
D.
 

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

9. 计算：______．
10. 在一个不透明的袋中装有若干个红球和个黑球，每个球除颜色外完全相同，摇匀后从中摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，不断重复这一过程，共摸球次，其中有次摸到黑球，估计袋中红球的个数是______．
11. 已知甲、乙两队员射击的成绩如图，设甲、乙两队员射击成绩的方差分别为、，则______填“”、“”、“”．

12. 在平面直角坐标系中，若干个边长为个单位长度的等边三角形，按如图中的规律摆放．点从原点出发，以每秒个单位长度的速度沿着等边三角形的边“”的路线运动，设第秒运动到点为正整数，则点的坐标是______．

13. 如图，正方形内接于，，分别与相切于点和点，的延长线与的延长线交于点已知，则图中阴影部分的面积为______．

14. 分解因式：______．

三、解答题（本大题共9小题，共78.0分）

15. 已知：及其一边上的两点，．
    求作：，使，且点在内部，．
     

16. 计算：；
    解不等式组：．
    
    
    
    
    
    
     
17. 某校数学社团开展“探索生活中的数学”研学活动，准备测量一栋大楼的高度．如图所示，其中观景平台斜坡的长是米，坡角为，斜坡底部与大楼底端的距离为米，与地面垂直的路灯的高度是米，从楼顶测得路灯顶端处的俯角是试求大楼的高度．
    参考数据：，，，，，

18. 某超市经销甲、乙两种品牌的洗衣液，进货时发现，甲品牌洗衣液每瓶的进价比乙品牌高元，用元购进甲品牌洗衣液的数量是用元购进乙品牌洗衣液数量的销售时，甲品牌洗衣液的售价为元瓶，乙品牌洗衣液的售价为元瓶．
    求两种品牌洗衣液的进价；
    若超市需要购进甲、乙两种品牌的洗衣液共瓶，且购进两种洗衣液的总成本不超过元，超市应购进甲、乙两种品牌洗衣液各多少瓶，才能在两种洗衣液完全售出后所获利润最大？最大利润是多少元？
    
    
    
    
    
    
     
19. 如图，在▱中，为边的中点，连接并延长，交的延长线于点，延长至点，使，分别连接，，．
    求证：≌；
    当平分时，四边形是什么特殊四边形？请说明理由．

20. 阅读下面的文字，解答问题，例如：，即，的整数部分是，小数部分是；试求：的整数部分．
    已知小数部分是，且，求的的值．
    
    
    
    
    
    
     
21. 为了解全校学生上学的交通方式，该校九年级班的名同学联合设计了一份调查问卷，对该校部分学生进行了随机调查．按骑自行车、乘公交车、步行、乘私家车、其他方式设置选项，要求被调查同学从中单选．并将调查结果绘制成条形统计图和扇形统计图，根据以上信息，解答下列问题：
    本次接受调查的总人数是______人，并把条形统计图补充完整；
    在扇形统计图中，“步行”的人数所占的百分比是______，“其他方式”所在扇形的圆心角度数是______；
    已知这名同学中有名女同学，要从中选两名同学汇报调查结果．请你用列表法或画树状图的方法，求出恰好选出名男生和名女生的概率．

22. 如图，为的切线，为切点，过点作，垂足为点，交于点，延长与的延长线交于点．
    求证：为的切线；
    若，，求线段和的长．

23. 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，已知抛物线的对称轴是直线，为抛物线上的一个动点，过点作轴于点，交直线于点．
    求抛物线的函数表达式；
    若点在第三象限内，且，求的面积．

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】解：是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B.是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C.既是中心对称图形，也是轴对称图形，符合题意；
D.是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转后与原图重合．
本题考查中心对称图形和轴对称图形的知识，关键是掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．
 

2.【答案】
 

【解析】解：在正分数前面加负号的数叫做负分数，且分数属于有理数，
只有选项符合题意，
故选：．
在正分数前面加负号的数叫做负分数，根据负分数的定义即可判断．
本题主要考查负分数的概念，关键是要牢记负分数的定义．
 

3.【答案】
 

【解析】解： ．
故选：．
科学记数法就是将一个数字表示成的次幂的形式，其中，表示整数．为整数位数减，即从左边第一位开始，在首位非零的后面加上小数点，再乘以的次幂．此题，．
用科学记数法表示一个数的方法是
确定：是只有一位整数的数；
确定：当原数的绝对值时，为正整数，等于原数的整数位数减；当原数的绝对值时，为负整数，的绝对值等于原数中左起第一个非零数前零的个数含整数位数上的零．
 

4.【答案】
 

【解析】解：线段绕点顺时针旋转得到线段，
≌，，
．
作轴于，轴于，
．
，
，
．
在和中，
，
≌，
，．
，
，，
，，
．
故选：．
由线段绕点顺时针旋转得到线段可以得出≌，，作轴于，轴于，就可以得出≌，就可以得出，，由的坐标就可以求出结论．
本题考查了旋转的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，等式的性质的运用，点的坐标的运用，解答时证明三角形全等是关键．
 

5.【答案】
 

【解析】解：是的切线，
，
，
，
是的直径，
，
，
点是的中点，
，
，
故选：．
根据切线的性质得到，根据直角三角形的性质求出，根据圆周角定理得到，进而求出，根据垂径定理得到，进而得出答案．
本题考查的是切线的性质、圆周角定理、垂径定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
 

6.【答案】
 

【解析】解：由折叠知：，，
，
，
过点作于，

在中，，
，
，
，
四边形是矩形，
，
．
故选：．
由折叠知：，，得，过点作于，在中，求出的长度，再证四边形是矩形，从而得出，即可解决问题．
本题主要考查了翻折的性质，平行线的性质，矩形的判定与性质，特殊角的三角函数等知识，作辅助线构造直角三角形是解题的关键．
 

7.【答案】
 

【解析】解：，
，

，
，
，
平分，
，
．
故选：．
分别求出，，利用角平分线的性质定理求出，再利用三角形内角和定理求出即可．
本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 

8.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查反比例函数的图象，一次函数图象与系数的关系，二次函数图象与系数的关系．
根据反比例函数的图象得出，逐一分析四个选项，根据二次函数图象的开口以及对称轴与轴的关系，抛物线与轴的交点，即可得出、、的正负，得出一次函数图象经过的象限，即可得出结论．
【解答】
解：反比例函数的图象在二、四象限，
，
A、二次函数图象开口向上，对称轴在轴右侧，交轴于负半轴，
，，，
一次函数的图象应该过第一、二、四象限，A错误；
B、二次函数图象开口向下，对称轴在轴右侧，
，，
与矛盾，B错误；
C、二次函数图象开口向下，对称轴在轴右侧，
，，
与矛盾，C错误；
D、二次函数图象开口向上，对称轴在轴右侧，交轴于负半轴，
，，，
一次函数的图象应该过第一、二、四象限，D正确．  

9.【答案】
 

【解析】解：原式

．
故答案为．
利用乘法的分配律和二次根式的乘法法则运算．
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则是解决问题的关键．
 

10.【答案】
 

【解析】解：设袋中红球的个数是个，根据题意得：
，
解得：，
经检验：是分式方程的解，
即估计袋中红球的个数是个，
故答案为．
估计利用频率估计概率可估计摸到黑球的概率为，然后根据概率公式构建方程求解即可．
本题考查了利用频率估计概率：大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随试验次数的增多，值越来越精确．
 

11.【答案】
 

【解析】解：甲射击的成绩为：，，，，，，，，，，
乙射击的成绩为：，，，，，，，，，，
则，
，


；


；
，
，
故答案为：．
先计算两组数据的平均数，再计算它们的方差，即可得出答案．
此题主要考查了平均数及方差的知识．方差的定义：一般地设个数据，，，的平均数为，则方差，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
 

12.【答案】
 

【解析】解：每个点的纵坐标规律：，，，，，，
，
点的纵坐标为，
动点的横坐标规律：，，，，，，，，
点的横坐标为，
点的坐标，
故答案为．
每个点的纵坐标规律：，，，，，，点的横坐标规律：，，，，，，，，即可求解．
本题考查点的规律；理解题意，根据所给图形的特点，结合平面直角坐标系中点的特点及正三角形边的特点，确定点的坐标规律是解题的关键．
 

13.【答案】
 

【解析】解：连接，，
四边形是正方形，
，
是的直径，，
，分别与相切于点和点，
，
四边形是矩形，
，
矩形是正方形，
，，，
，
是等腰直角三角形，
，
，，
，
，
图中阴影部分的面积，
故答案为：．
连接，，根据已知条件得到是的直径，，根据切线的性质得到，得到是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得到，根据梯形和圆的面积公式即可得到答案．
本题考查了正多边形与圆，正方形的性质，切线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
 

14.【答案】
 

【解析】解：原式

．
故答案为：．
直接提取公因式，再利用平方差公式分解因式，进而得出答案．
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用平方差公式分解因式是解题关键．
 

15.【答案】解：如图，即为所求．

 

【解析】作，过点作于点，即为所求．
本题考查作图复杂作图，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．
 

16.【答案】解：


；
，
解不等式，得：，
解不等式，得：，
该不等式组的解集是．
 

【解析】先算括号内的加法，然后计算括号外的除法即可；
先解出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集．
本题考查分式的混合运算、解一元一次不等式组，熟练掌握分式混合运算的运算法则和解一元一次不等式组的方法是解答本题的关键．
 

17.【答案】解：延长交延长线于，过作于，如图所示：
则四边形是矩形，
，，
在中，，
，，
米，米，
米，
在中，，
，
米，
米，
答：大楼的高度约为米．
 

【解析】延长交延长线于，过作于，则四边形是矩形，得，，由锐角三角函数定义求出、的长，得出的长，然后由锐角三角函数求出的长，即可求解．
本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
 

18.【答案】解：设甲品牌洗衣液每瓶的进价是元，则乙品牌洗衣液每瓶的进价是元，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
元．
答：甲品牌洗衣液每瓶的进价是元，乙品牌洗衣液每瓶的进价是元；
设可以购买甲品牌洗衣液瓶，则可以购买瓶乙品牌洗衣液，设销售利润为，
依题意得：，
解得：．
依题意得：，
，
随的增大而增大，
时，取最大值，．
瓶，
答：超市应购进甲品牌洗衣液瓶，乙品牌洗衣液瓶，才能在两种洗衣液完全售出后所获利润最大，最大利润是元．
 

【解析】本题考查分式方程的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
设甲品牌洗衣液每瓶的进价是元，则乙品牌洗衣液每瓶的进价是元，根据数量总价单价，结合用元购进的甲品牌洗衣液的数量是乙品牌洗衣液数量的，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
设可以购买甲品牌洗衣液瓶，则可以购买瓶乙品牌洗衣液，设销售利润为，根据总价单价数量，结合总费用不超过元，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，再根据一次函数的性质即可得出结论．
 

19.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，
，
为边的中点，
，
在和中，
，
≌；
解：四边形是矩形，理由如下：
四边形是平行四边形，
，，
，
由得：≌，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
平分，
，
，
，
，
，
，
平行四边形是矩形．
 

【解析】本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明≌是解题的关键．
由证明≌即可；
先证四边形是平行四边形，再证，即可得出结论．
 

20.【答案】解：，
，
，
的整数部分为；
小数部分是，
，
，
，
或．
 

【解析】估算无理数的值即可得出答案；
求出的值，代入，根据平方根的定义求即可．
本题考查了无理数的估算，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键．
 

21.【答案】；
，；
画树状图：

由图可知，共有种等可能的结果，其中一男一女有种结果；
则．
 

【解析】

【分析】
此题考查了条形统计图、扇形统计图和概率公式，解题的关键是仔细观察统计图并从中整理出进一步解题的有关信息，条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．概率公式．
根据上学方式为“骑自行”的学生数除以所占的百分比即可求出调查的学生总数；根据总学生数求出上学方式为“步行”的学生数，补全条形统计图即可；
由可以求得在扇形统计图中，“步行”的人数所占的百分比；同理求得“其他方式”所占的百分比，进而求得“其他方式”所在扇形的圆心角度数；
根据题意画出树状图，再根据概率公式计算即可．
【解答】
解：接受调查的总人数是：人，
则步行上学的人数为：人．
故答案是：；
在扇形统计图中，“步行”的人数所占的百分比是：；
“其他方式”所在扇形的圆心角度数是：．
故答案是：；；
见答案．  

22.【答案】证明：连接，则如图，

，
，
是的垂直平分线，
．
在和中，
，
≌，
．
为的切线，为切点，
，
，即，
是的切线；
解：，，
，，
，
，
设，则，
，
，
解得，
，
．
 

【解析】连接，证明≌，由全等三角形的性质得出由切线的性质得出，则，可得出结论；
由勾股定理求出的长，设，则，得出方程，解方程可得出答案．
本题考查了切线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定和性质、勾股定理等知识，证明≌是解题的关键．
 

23.【答案】解：，
，，
根据题意得：，
解得，
抛物线的函数表达式为；
由可得，
设直线为，将代入得：，
，
直线为，
设，，则，，
，，
，
，解得舍去或，
，，
的面积为．
 

【解析】由，得，，由待定系数法即可求抛物线的函数表达式；
由可得，设直线为，将代入得直线为，设，，则，，即得，，根据，可得，解得舍去或，故，，即可得的面积．
本题考查抛物线与轴的交点，二次函数的性质，待定系数法求函数解析式，三角形的面积等知识，关键是求函数解析式．