2023年山东省菏泽市成武县育青中学中考数学一模试卷（含解析）

2023年山东省菏泽市成武县育青中学中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列各数，是无理数的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  医学家发现新冠病毒直径约为米，数据用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列四个图案中，不是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  函数中，自变量的取值范围是(    )

A.  B. 且 C.  D. 且

5.  如图，在中，，分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点，，直线分别交，于点，，若，，则的面积为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  如图，一条抛物线与轴相交于、两点点在点的左侧，其顶点在线段上移动．若点、的坐标分别为、，点的横坐标的最大值为，则点的横坐标的最小值为(    )
 

A.  B.  C.  D.

7.  如图，与是位似图形，相似比为：，已知，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，在中，，，动点在线段上从顶点出发以每秒个单位的速度向终点点运动，动点在线段上从顶点出发以每秒个单位的速度向终点运动，两点同时出发，有一点到达终点后两点都停止运动．设运动的时间为秒，的面积为，则关于的函数图象大致是(    )

A.  B.
C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

9.  分解因式： ______ ．

10.  如图所示，中，，，点在上，以为圆心的半圆分别与、相切于、两点，且的长度为，则图中的阴影部分面积为______．

11.  已知关于的方程的判别式等于，且是方程的根，则的值为______ ．

12.  如图，在中，直角边、分别在轴的负半轴和轴的正半轴上，将绕点逆时针旋转后，得到，且反比例函数的图象恰好经过斜边的中点，若，，则______．

13.  如图，两个边长为的正方形重叠在一起，点是其中一个正方形的中心，则图中阴影部分的面积为______．

三、解答题（本大题共10小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

14.  本小题分
计算：．

15.  本小题分
先化简，再求值：，其中是不等式组的整数解．

16.  本小题分
在菱形中，，如图，是延长线上一点，连接，交于点是上一点且，连接，，，求的长．

17.  本小题分
春节期间，小明发现远处大楼的大屏幕时出现了“新年快乐”几个大字，小明想利用刚学过的知识测量“新”字的高度：如图，小明先在处，测得“新”字底端的仰角为，再沿着坡面向上走到处，测得“新”字顶端的仰角为，坡面的坡度：，，假设、、、、在同一平面内．
求点的高度；
求“新”字的高度长保留一位小数，参考数据

18.  本小题分
疫情期间，某学校需购买，两种消毒剂，负责人小李调查发现：

若种消毒剂每瓶原价比种消毒剂每瓶原价少元，用元以原价购买种消毒剂与用元以原价购买种消毒剂的数量相同．
求，两种消毒剂每瓶原价各为多少元？
该学校预计购买，两种消毒剂共瓶，且种消毒剂不少于种消毒剂数量的，如何购买使所需费用最少，最少费用为多少元？

19.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限内的、两点，与轴交于点．点为轴负半轴上一点，连接，延长交反比例函数于点，连接已知，，．
求反比例函数和直线的解析式；
求的面积．

20.  本小题分
教育部去年月份发布关于进一步加强中小学生睡眠管理工作的通知，提出多项措施改善和保证学生睡眠时间．今年年初，某中学为了解九年级学生的睡眠状况，从九年级学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，睡眠时间时，分为：，：，：，：四个睡眠时间段．请根据两幅统计图中的信息回答下列问题：

本次抽样调查共抽取了______名学生，请补全条形统计图；
若该中学九年级共有名学生，请你估计该中学九年级学生中睡眠时间段为的学生有多少名？
若从睡眠时间段为的名男生名女生中随机的抽取名学生，了解睡眠时间较少的原因，求所抽取的两人恰好都是女生的概率．

21.  本小题分
如图，四边形内接于，，、的延长线交于点，点在上，且．
求证：是的切线；
若，，，求．

22.  本小题分
在习题课上，老师让同学们以课本一道习题“如图，，，，四家工厂分别坐落在正方形城镇的四个角上．仓库和分别位于和上，且证明两条直路且”为背景开展数学探究．
独立思考：将上题条件中的去掉，将结论中的变为条件，其他条件不变，那么还成立吗？请写出答案并说明理由；
合作交流：“祖冲之”小组的同学受此问题的启发提出：如图，在正方形内有一点，过点作，点、分别在正方形的对边、上，点、分别在正方形的对边、上，那么与相等吗？并说明理由．
拓展应用：“杨辉”小组的同学受“祖冲之”小组的启发，想到了利用图的结论解决以下问题：
如图，将边长为的正方形纸片折叠，使点落在的中点处，折痕为，点在边上，点在边上．请你画出折痕，则折痕的长是______；线段的长是______．
 

23.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、，与轴交于点，点是第一象限内抛物线上的动点．
求抛物线的解析式；
连接与，交于点，求当的值最大时点的坐标；
点与点关于抛物线的对称轴成轴对称，当点的纵坐标为时，过点作直线轴，点为直线上的一个动点，过点作轴于点，在线段上任取一点，当有且只有一个点满足时，请直接写出此时线段的长．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、是分数，属于有理数，故本选项不合题意；
B、是有限小数，属于有理数，故本选项不合题意；
C、是无理数，故本选项符合题意；
D、，是整数，属于有理数，故本选项不合题意；
故选：．
分别根据无理数、有理数的定义即可判定选择项．
此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如，，每两个之间依次多个等形式．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
故选：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
 

3.【答案】 

【解析】解：、是中心对称图形，不符合题意；
B、不是中心对称图形，符合题意；
C、是中心对称图形，不符合题意；
D、是中心对称图形，不符合题意．
故选：．
根据中心对称图形的概念即可求解．
本题考查了中心对称的概念，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
 

4.【答案】 

【解析】解：根据二次根式有意义，分式有意义得：且，
解得：且．
故选：．
根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于，分母不等于，就可以求解．
本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为；二次根式的被开方数是非负数．
 

5.【答案】 

【解析】解：，，，

由作图可知，垂直平分线段，
，，
的面积．
故选：．
利用勾股定理求出，解直角三角形求出，可得结论．
本题考查作图基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

6.【答案】 

【解析】解：根据题意知，
点的横坐标的最大值为，此时对称轴过点，点的横坐标最大，此时的点坐标为，
当对称轴过点时，点的横坐标最小，此时的点坐标为，点的坐标为，
故点的横坐标的最小值为，
故选：．
根据顶点在线段上移动，又知点、的坐标分别为、，分别求出对称轴过点和时的情况，即可判断出点横坐标的最小值．
本题考查了抛物线与轴的交点，二次函数的图象与性质，解答本题的关键是理解二次函数在平行于轴的直线上移动时，两交点之间的距离不变．
 

7.【答案】 

【解析】解：与是位似图形，相似比为：，
，
，
，
故选：．
根据相似图形的相似比的概念计算即可．
本题考查的是位似图形的概念，正确理解位似图形的相似比的概念是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：过点作于点，则在边上的高为，

由题意知，，
，
，
，
，
，
满足条件的图象为选项，
故选：．
当点运动到点时，点还没有到达点，即，过点作于，用表示出的底边和高，即可确定图象．
本题主要考查动点问题的函数图象，关键是要把和之间的函数关系式求出来，再根据关系式即可确定对应的图象．
 

9.【答案】 

【解析】解：


．
故答案为：．
根据，可推断出．
本题主要考查运用公式法进行因式分解，熟练掌握运用公式法进行因式分解是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：如图，连接、、，

半圆分别与，相切于点，．
，，
，
，
，
的长为，
，
，
，
在中，，，
，
，
，



．
故答案为：．
连接、、，根据半圆分别与，相切于点，可得，，由，可得，得，再根据的长为，可得，连接，根据中，，，可得，进而可求图中阴影部分的面积．
本题考查了切线的性质、弧长的计算、扇形面积的计算，解决本题的关键是掌握弧长和扇形面积的计算公式．
 

11.【答案】 

【解析】解：由题意可得：，
即，
再将代入原方程得：，
根据题意得：
两方程相加可得，
解得，
把代入中，
可得，
则．
故答案为．
由得一关于，的方程，再将代入原方程又得一关于，的方程．联立两个方程组成方程组，解方程组即可求出、的值．
此题考查了根的判别式，以及方程的解的定义，把求未知系数的问题转化为解方程组的问题．
 

12.【答案】 

【解析】解：设点坐标为，作交边于点，
，
，
，
，，
≌，
，，
点为斜边的中点，，
，，
，，
．
故答案为．
先根据，求出、的长度，再根据点为斜边的中点，求出点的坐标，点的横纵坐标之积即为值．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键在于读懂题意，作出合适的辅助线，求出点的坐标，然后根据点的横纵坐标之积等于值求解即可．
 

13.【答案】 

【解析】解：如图，连接、，则，

，
是正方形，为正方形的中心，
，，
在和中，
，
≌，
，
，
，
故答案是：．
连接、，证明≌，得阴影部分的面积等于的面积，再由的面积与正方形的面积的关系求得结果．
本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，关键是构造全等三角形得到阴影部分的面积等于的面积．
 

14.【答案】解：原式

． 

【解析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，绝对值的代数意义，以及特殊角的三角函数值计算即可求出值．
此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

15.【答案】解：原式


，
不等式组，
解得：，
不等式组的整数解是或或或，
当，，时，原式没有意义；
当时，原式． 

【解析】先化简式子为，再求解不等式的整数解为，最后将代入化简的式子中即可求解．
本题考查分式的化简，一元一次不等式组的解法；熟练掌握分式的化简技巧，准确解一元一次不等式组是解题的关键．
 

16.【答案】解：作，交的延长线于，作于，
，
点、、、共圆，
，，
四边形是菱形，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
≌，
，
，
，
． 

【解析】作，交的延长线于，作于，可推出点、、、共圆，从而，，可推出，从而，进而得出，从而，进而推出≌，从而，进一步得出结果．
本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形．
 

17.【答案】解：坡面的坡度：，
：，
，
；
如图，过作于，
由勾股定理得，，
，
在中，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
答：“新”字的高度约为． 

【解析】由坡度的概念求出即可；
由勾股定理求出，再由锐角三角函数定义求出和，即可解决问题．
本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题、坡度坡角问题，掌握仰角俯角的概念、坡度坡角的概念，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
 

18.【答案】解：设种消毒剂每瓶原价为元瓶、则种消毒剂每瓶原价元瓶，
，
解得，，
经检验，是原分式方程的解，
，
答：，两种消毒剂每瓶原价分别为元瓶，元瓶；
设购买种消毒剂瓶，则购买种消毒剂瓶，费用为元，
种消毒剂不少于种消毒剂数量的，
，
解得，，
则，
随的增大而减小，
当时，取得最小值，此时，，
答：当购买种消毒剂瓶，种消毒剂瓶时，所需费用最少，最少费用为元． 

【解析】根据题意，可以列出相应的分式方程，从而可以得到，两种消毒剂每瓶原价各为多少元；
根据题意，可以列出相应的函数解析式和不等式，然后根据一次函数的性质，即可解答本题．
本题考查一次函数的应用、分式方程的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．
 

19.【答案】解：，则，

则，同理，
故点，则点
故反比例函数表达式为：；
，则一次函数表达式为：，
将点的坐标代入上式并解得：，
故直线的表达式为：；

联立并解得：或，故点，
令，则，故点，而点，
故CE轴，
故的面积． 

【解析】，则，求出，则点；，则一次函数表达式为：，将点的坐标代入上式并解得：，故直线的表达式即可求解；
故的面积即可求解．
本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，确定点的坐标是突破口，难点在于确定与轴垂直，本题难度适中，综合性较好．
 

20.【答案】 

【解析】解：本次抽样调查的学生人数为名，类别人数为名，
补全图形如下：

估计该中学九年级学生中睡眠时间段为的学生有名；
画树状图如图：

共有个等可能的结果，所抽取的两人恰好都是女生的结果有个，
抽取的两人恰好都是女生的概率为．
由类别人数及其所占百分比可得总人数，总人数减去、、人数求出对应人数，从而补全图形；
用总人数乘以样本中对应人数所占比例即可；
画树状图，再由概率公式求解即可．
此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

21.【答案】解：如图，连接，
，
点必在上，即：是直径，
，
，
，
，
，
，
，即：，
点在上，
是的切线；
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
． 

【解析】先判断出是圆的直径，再判断出，即可得出结论；
根据余角的性质和等腰三角形的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，根据勾股定理得到．
此题主要考查了圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质，切线的判定和性质，勾股定理，求出是解本题的关键．
 

22.【答案】  

【解析】解：，
理由如下：，
，
又，，
≌，
；

解：，理由如下：
如图，作交于，作交于，

，，
四边形四边形都是平行四边形，
，，
由知，，
；
解：如图，

为的中点，
，
，
，由可知，
，
设，则．
在中，，
即，
解得．
线段的长为．
故答案为：，．
根据可求出，再由，，可证明≌，则结论得出；
可通过构建与已知条件相关的三角形来求解．作交于，作交于，那么，，中我们已证得、全等，那么，即；
求出长，由可知，设，则将所有未知量转化到直角三角形中，利用勾股定理解答即可．
本题考查了正方形的性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、翻折不变性等知识，熟练掌握正方形的性质，正确作出辅助线是解题的关键．
 

23.【答案】解：抛物线与轴交于点、，
，
解得：，
抛物线的解析式为；
如图，过点作轴，交于，

抛物线的解析式为与轴交于点，
点，
直线解析式为，
设点，则点坐标为，
，
，
，
当时，的值有最大值，
点；
当点在点的右侧，如图，连接，以为斜边，作等腰直角，当以为圆心为半径作圆，与轴相切于，此时有且只有一个点满足，

连接，交于，延长交于，则轴，
设点，
点、，
抛物线的对称轴为直线，
点与点关于抛物线的对称轴成轴对称，
点，轴，
，
，，
，
，
，
又，
≌，
，，
，
，
，
，
，
，
点的坐标，
轴，
，
当点在点的左侧，同理可求，
综上所述：线段的长为或． 

【解析】利用待定系数法可求解析式；
过点作轴，交与，先求出直线的解析式，设点，则点坐标为，可求的长，由平行线分线段成比例可得，利用二次函数的性质可求解；
分两种情况讨论，连接，以为斜边，作等腰直角，当以为圆心为半径作圆，与轴相切于，此时有且只有一个点满足，设点，由“”可证≌，可得，，由勾股定理可求的值，可求点坐标，即可求解．
本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质，全等三角形的判定和性质，圆的有关知识，相似三角形的判定和性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．