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2023年山东省枣庄市薛城区中考数学一模试卷（含解析）
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这是一份2023年山东省枣庄市薛城区中考数学一模试卷（含解析），共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年山东省枣庄市薛城区中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列实数中，最小的数是( )
A. 1 B. −13 C. − 2 D. −3
2. 下列运算正确的是( )
A. (x+1)2=x2+1 B. (−m)3⋅m7=m10
C. (x3y)5=x8y5 D. a10÷a8=a2
3. 如图的两个几何体分别由7个和6个相同的小正方体搭成，比较两个几何体的三视图，正确的是( )
A. 仅主视图不同 B. 仅俯视图不同
C. 仅左视图不同 D. 主视图、左视图和俯视图都相同
4. 如图，直线l1//l2，点C、A分别在l1、l2上，以点C为圆心，CA长为半径画弧，交l1于点B，连接AB.若∠BCA=160°，则∠1的度数为( )
A. 10° B. 15° C. 20° D. 30°
5. 在学校开展的“争做最优秀中学生”的一次演讲比赛中，编号分别为1，2，3，4，5的五位同学最后成绩如下表所示：
参赛者编号
1
2
3
4
5
成绩(分)
96
88
86
93
86
那么这五位同学演讲成绩的众数与中位数依次是( )
A. 96，88 B. 92，88 C. 88，86 D. 86，88
6. 如图，AB，CD是⊙O的弦，延长AB，CD相交于点P.已知∠P=31°，∠AOC=82°，则的BD度数是( )
A. 10° B. 20° C. 25° D. 30°
7. 我们知道，若ab>0.则有a>0b>0或a<0b<0.如图，直线y=kx+b与y=mx+n分别交x轴于点A(−0.5,0)、B(2,0)，则不等式(kx+b)(mx+n)>0的解集是( )
A. x>2
B. −0.5
8. 如图，在平面直角坐标系中，点A是x轴正半轴上的一个动点，点C是y轴正半轴上的点，BC⊥AC于点C.已知AC=16，BC=6.点B到原点的最大距离为( )
A. 22
B. 18
C. 14
D. 10
9. 足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h(单位：m)与足球被踢出后经过的时间t(单位：s)之间的关系如下表：
t
0
1
2
3
4
5
6
7
…
h
0
8
14
18
20
20
18
14
…
下列结论：①足球距离地面的最大高度为20m；②足球飞行路线的对称轴是直线t=92；③足球被踢出9s时落地；④足球被踢出1.5s时，距离地面的高度是11m.其中正确结论的个数是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
10. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，CD平分∠ACB.边AB的垂直平分线DE分别交CD，AB于点D，E，以下说法正确的个数是( )
①∠BAC=60°；②CD=2BE；③DE=AC；④ 2CD=BC+12AB．
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 如图，一束光线AB先后经平面镜OM，ON反射后，反射光线CD与AB平行，当∠ABM=30°时，cos∠DCN= ______ ．
12. 《九章草术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？译文：若3人坐一辆车，则两辆车是空的；若2人坐一辆车，则9人需要步行，问：人与车各多少？设有x辆车，人数为y，根据题意可列方程组为______．
13. 如图，在平面直角坐标系内，四边形OABC是矩形，四边形ADEF是正方形，点A，D在x轴的负半轴上，点F在AB上，点B，E均在反比例函数y=kx(x<0)的图象上，若点B的坐标为(−1,6)，则正方形ADEF的周长为______ ．
14. 如图，在等边三角形ABC中，AB=2 3，点D为AC的中点，点P在AB上，且BP=1，将BP绕点B在平面内旋转，点P的对应点为点Q，连接AQ，DQ.当∠ADQ=90°时，AQ的长为 ．
15. 将关于x的一元二次方程x2−px+q=0变形为x2=px−q，就可以将x2表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如x3=x⋅x2=x(px−q)=…，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”.已知：x2+x−1=0，且x>0.则x4−2x3+3x的值为______．
16. 如图，在边长为3的正方形ABCD中，点E是边AB上的点，且BE=2AE，过点E作DE的垂线交正方形外角∠CBG的平分线于点F，交边BC于点M，连接DF交边BC于点N，则MN的长为______．
三、解答题（本大题共8小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题8.0分)
以下是某同学化简分式(x+1x2−4−1x+2)÷3x−2的部分运算过程：
解：原式=[x+1(x+2)(x−2)−1x+2]×x−23①；
=[x+1(x+2)(x−2)−x−2(x+2)(x−2)]×x−23②；
=x+1−x−2(x+2)(x−2)×x−23③；
=…
(1)上面的运算过程中第______ 步出现了错误；
(2)请你写出完整的解答过程，并求出当x=( 2023−1)0−2时该分式的值．
18. (本小题8.0分)
如图，在△ABC中，AB=BC．
(1)尺规作图：在边AC上作出一点E，使点E到AB、BC边的距离相等(保留作图痕迹，不写作法)；
(2)在(1)的结果下，若AC=2，BC=5，求△BCE的周长．
19. (本小题8.0分)
某校组织全校学生进行了“航天知识竞赛”，教务处从中随机抽取了n名学生的竞赛成绩(满分100分，每名学生的成绩记为x分)分成如表中四组，并得到如下不完整的频数分布表、频数分布直方图和扇形统计图.根据图中信息，解答下列问题：
分组
频数
A：60≤x<70
a
B：70≤x<80
18
C：80≤x<90
24
D：90≤x≤100
b
(1)n的值为______ ，a的值为______ ，b的值为______ ；
(2)请补全频数分布直方图并计算扇形统计图中表示“C”的圆心角的度数为______ °；
(3)竞赛结束后，九年级一班从本班获得优秀(x≥80)的甲、乙、丙、丁四名同学中随机为抽取两名宣讲航天知识，请用列表或画树状图的方法求恰好抽到甲、乙两名同学的概率．
20. (本小题8.0分)
脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活．如图①是政府给贫困户新建的房屋，如图②是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高AB所在的直线，为了测量房屋的高度，在地面上C点测得屋顶A的仰角为35°，此时地面上C点、屋檐上E点、屋顶上A点三点恰好共线，继续向房屋方向走8m到达点D时，又测得屋檐E点的仰角为60°，房屋的顶层横梁EF=12m，EF//CB，AB交EF于点G(点C，D，B在同一水平线上).(参考数据：sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7， 3≈1.7)
(1)求屋顶到横梁的距离AG；
(2)求房屋的高AB(结果精确到1m)．
21. (本小题8.0分)
大学生小张利用暑假50天在一超市勤工俭学，被安排销售一款成本为40元/件的新型商品，此类新型商品在第x天的销售量y件与销售的天数x(x为整数)的关系如表：
x(天)
1
2
3
…
50
y
118
116
114
…
20
销售单价m(元/件)与x满足：当1≤x≤24时，m=x+60；当24
(2)这50天中，该超市第几天获得利润最大？最大利润为多少元？
(3)求出该超市暑假期间利润不低于3000元的天数．
22. (本小题8.0分)
如图，AB、CD为⊙O的直径，弦AE//CD，连接BE交CD于点F，过点E作直线EP与CD的延长线交于点P，使∠PED=∠C．
(1)求证：PE是⊙O的切线；
(2)如果PE=BE，求证：∠P=30°；
(3)若⊙O的半径为5，CF=2EF，求PD的长．
23. (本小题8.0分)
如图，已知抛物线y=ax2+bx+12经过两点A(−2,0)，B(6,0)，C是抛物线与y轴的交点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点N在y轴正半轴上运动，是否存在点N使得△AON与△OBC相似，如果存在，请求出点N的坐标；
(3)点P的横坐标为m，且在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，设△PBC的面积为S，求S关于m的函数表达式和S的最大值．
24. (本小题8.0分)
如图1，在矩形ABCD中，AB=10，AD=8，E是AD边上的一点，连接CE，将矩形ABCD沿CE折叠，顶点D恰好落在AB边上的点F处，延长CE交BA的延长线于点G．
(1)求线段AE的长；
(2)求证四边形DGFC为菱形；
(3)如图2，M，N分别是线段CG，DG上的动点(与端点不重合)，且∠DMN=∠DCM，设DN=x，是否存在这样的点N，使△DMN是直角三角形？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：∵−3<− 2<−13<1，
∴最小的数是−3，
故选：D．
先根据实数的大小比较法则比较数的大小，再得出答案即可．
本题考查了实数的大小比较和算术平方根，能根据实数的大小比较法则比较数的大小是解此题的关键，注意：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个负数比较大小，其绝对值大的反而小．
2.【答案】D
【解析】解：A.(x+1)2=x2+2x+1，原选项计算错误，故A不符合题意；
B. (−m)3⋅m7=−m10，原选项计算错误，故B不符合题意；
C. (x3y)5=x15y5，原选项计算错误，故C不符合题意；
D.a10÷a8=a2，计算正确，故D符合题意，
故选：D．
根据完全平方公式，同底数幂的乘除法，积的乘方与幂的乘方运算法则分别判断即可．
本题考查了完全平方公式，同底数幂的乘除法，积的乘方与幂的乘方，熟练掌握这些知识是解题的关键
3.【答案】D
【解析】解：从正面看，两个几何体均为第一层和第二层都是两个小正方形，故主视图相同；
从左面看，两个几何体均为第一层和第二层都是两个小正方形，故左视图相同；
从上面看，两个几何体均为第一层和第二层都是两个小正方形，故俯视图相同．
故选：D．
根据主视图是从物体的正面看得到的视图，俯视图是从上面看得到的图形，左视图是左边看得到的图形，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，利用三视图的意义是解题关键．
4.【答案】A
【解析】解：由题意可得AC=BC，
∴∠CAB=∠CBA，
∵∠BCA=160°，∠BCA+∠CAB+∠CBA=180°，
∴∠CAB=∠CBA=10°，
∵l1//l2，
∴∠1=∠CBA=10°．
故选：A．
由题意可得AC=BC，则∠CAB=∠CBA，由∠BCA=160°，∠BCA+∠CAB+∠CBA=180°，可得∠CAB=∠CBA=10°，再结合平行线的性质可得∠1=∠CBA=10°．
本题考查作图−基本作图、平行线的性质、三角形内角和定理，能根据题意得出BC=AC是解答本题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：数据86出现了2次最多为众数，
按大小排列86，86，88，93，96，
故88处在第3位为中位数．所以本题这组数据的中位数是88，众数是86．
故选：D．
找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数(或两个数的平均数)为中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．
本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数和众数的能力．一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而误选其它选项，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．
6.【答案】B
【解析】解：连接BC，
∵∠AOC=82°，
∴∠ABC=12∠AOC=41°，
∵∠P=31°，∠ABC=∠P+∠BCD，
∴∠BCD=41°−31°=10°，
∴BD的度数是20°．
故选：B．
连接BC，根据圆周角定理求出∠ABC的度数，再由三角形外角的性质即可得出结论．
本题考查的是圆心角、弧、弦的关系及圆周角定理，根据题意作出辅助线，构造出圆周角是解题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：∵若ab>0.则有a>0b>0或a<0b<0，
∴若不等式(kx+b)(mx+n)>0，则kx+b>0mx+n>0或kx+b<0mx+n<0．
当kx+b>0mx+n>0，由图得：x<−0.5x>2，此时该不等式无解．
当kx+b<0mx+n<0，由图得：x>−0.5x<2，此时不等式组的解集为−0.5
由若不等式(kx+b)(mx+n)>0，则kx+b>0mx+n>0或kx+b<0mx+n<0，然后分类讨论，分别根据函数图象求得解集．
本题主要考查一次函数图象与一元一次不等式，熟练掌握一次函数图象与一元一次不等式是解决本题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：取AC的中点D，连接OD，BD，OB，如图，
∵D为AC的中点，∠AOC=90°，
∴OD=CD=12AC=8．
∵∠ACB=90°，
∴BD= BC2+CD2= 62+82=10．
当O，D，B三点不在一条直线上时，OB
∴当O，D，B三点在一条直线上时，点B到原点的最大距离为18．
故选：B．
取AC的中点D，连接OD，BD，OB，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得OD，利用勾股定理求得BD，利用三角形两边之和大于第三边，可知当O，D，B三点在一条直线上时，点B到原点的距离取得最大值，结论可求．
本题主要考查了坐标与图形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线的性质，三角形三边之间的关系定理，利用当O，D，B三点在一条直线上时，点B到原点的距离取得最大值解答是解题的关键．
9.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查二次函数的应用．由题意，抛物线经过(0,0)，(9,0)，所以可以假设抛物线的解析式为h=at(t−9)，把(1,8)代入可得a=−1，可得h=−t2+9t=−(t−4.5)2+20.25，由此即可一一判断．
【解答】
解：根据抛物线的对称性可得抛物线经过(9,0)，设抛物线的解析式为h=at(t−9)，把(1,8)代入可得a=−1，
∴h=−t2+9t=−(t−4.5)2+20.25，
∴足球距离地面的最大高度为20.25m，故①错误，
∴抛物线的对称轴t=4.5，故②正确，
∵t=9时，h=0，
∴足球被踢出9s时落地，故③正确，
∵t=1.5时，h=11.25，故④错误．
∴正确的有②③．
10.【答案】C
【解析】解：如图，连接BD、AD，过点D作DM⊥BC于M，DN⊥CA的延长线于N，
①、在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，
∴∠BAC=60°.故①说法正确；
②∵DM⊥BC，DN⊥CA，
∴∠DNC=∠DMC=90°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠DCN=∠DCM=45°，
∴∠DCN=∠CDN=45°，
∴CN=DN，
则△CDN是等腰直角三角形．
同理可证：△CDM也是等腰直角三角形，
∴CD= DN2+CN2= 2DN.CD= DM2+CM2= 2DM，
∴DM=DN=CM=CN，∠MDN=90°，
∵DE垂直平分AB，
∴BD=AD，AB=2BE，
∴Rt△BDM≌Rt△ADN(HL)，
∴∠BDM=∠ADN，
∴∠BDM+∠ADM=∠ADN+∠ADM=∠MDN，
∴∠ADB=90°，
∴AB= BD2+AD2= 2AD，
即2BE= 2AD，
在Rt△AND中，AD是斜边，DN是直角边，
∴AD>DN，则 2AD> 2DN，
∴2BE>CD.故②说法错误．
③、∵BD=AD，∠ADB=90°，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴DE=12AB，
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，
∴AC=12AB.∴DE=AC.故③说法正确．
④、∵△BDM≌△ADN，
∴BM=AN，
∴CN=AC+AN=AC+BM=CM，
∴BC=BM+CM=AC+2BM，
∵CD= 2CN，
∴ 2CD=2CN=2AC+2BM=AC+2BM+AC，
∵AC=12AB，
∴ 2CD=12AB+BC.故④说法正确．
故选：C．
利用直角三角形的性质、三角形内角和定理、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识对各选项的说法分别进行论证，即可得出结论．
本题属于三角形综合题，考查了直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，难度较大，准确作出辅助线并灵活运用所学知识是解题的关键．
11.【答案】12
【解析】解：由反射定律可知∠CBO=∠ABM=30°，∠BCO=∠DCN，
∴∠ABC=180°−∠ABM−∠CBO=120°，
∵AB//CD，
∴∠BCD=180°−∠ABC=60°，
∴∠BCO=∠DCN=180°−∠BCD2=60°，
∴cos∠DCN=cos60°=12，
故答案为：12．
根据反射定律和平角的定义求出∠ABC=120°，由平角的定义求出∠BCD=60°，进而求出∠DCN=60°，由此即可得到答案．
本题主要考查了求角的正切值，平行线的性质，正确求出∠DCN=60°是解题的关键．
12.【答案】y=3(x−2)y=2x+9．
【解析】解：依题意得：y=3(x−2)y=2x+9．
故答案为：y=3(x−2)y=2x+9．
根据“如果每3人坐一辆车，那么有2辆空车；如果每2人坐一辆车，那么有9人需要步行”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
13.【答案】8
【解析】解：设正方形的边长是a(a>0)，
∵B在反比例函数y=kx(x<0)的图象上，点B的坐标为(−1,6)，
∴6=k−1，
∴k=−6，
∵OD=OA+AD=a+1，
∴E的坐标是(−1−a,a)，
把E(−1−a,a)代入y=−6x，
∴a=−6−1−a，
∴a=2或a=−3(舍)，
∴正方形的周长是4a=8．
故答案为：8．
设正方形的边长是a(a>0)，表示出E的坐标是(−1−a,a)，把B的坐标代入y=kx(x<0)得到y=−6x，把E的坐标(−1−a,a)代入y=−6x得到关于a的方程，求出a的值即可．
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，关键是把E(−1−a,a)代入y=−6x，列出关于a的方程．
14.【答案】 7或 19
【解析】解：∵△ABC为等边三角形，点D为AC的中点，
∴BD⊥AC，即∠ADB=90°，
∴可分两种情况，当点Q在BD上时或当点Q在BD的反向延长线上时，
①当点Q在BD上时，如图，
∵在等边三角形ABC中，AB=2 3，点D为AC的中点，
∴∠ADB=90°，AD= 3，
在Rt△ABD中，由勾股定理得BD= AB2−AD2=3，
∵BP=1，将BP绕点B在平面内旋转，点P的对应点为点Q，
∴BQ=1，
∴QD=BD−BQ=2，
在Rt△AQD中，由勾股定理得AQ= AD2+QD2= 7；
②当点Q在BD的反向延长线上时，如图，
∵在等边三角形ABC中，AB=2 3，点D为AC的中点，
∴∠ADB=90°，AD= 3，
在Rt△ABD中，由勾股定理得BD= AB2−AD2=3，
∵BP=1，将BP绕点B在平面内旋转，点P的对应点为点Q，
∴BQ=1，
∴QD=BD+BQ=4，
在Rt△AQD中，由勾股定理得AQ= AD2+QD2= 19；
综上，AQ的长为 7或 19．
故答案为： 7或 19．
根据题意可分两种情况讨论：①当点Q在BD上时，先根据勾股定理求出BD=3，再由旋转的性质可得BQ=1，则QD=2，再根据勾股定理即可求解；②当点Q在BD的反向延长线上时，先根据勾股定理求出BD=3，再由旋转的性质可得BQ=1，则QD=4，再根据勾股定理即可求解．
本题主要考查等边三角形的性质、勾股定理、旋转的性质，解题关键是理解题意，利用分类讨论思想解决问题．
15.【答案】6−2 5
【解析】解：∵x2+x−1=0，
∴x2+x=1，x2=1−x．
∴x4−2x3+3x
=x4+x3−3x3+3x
=x2(x2+x)−3x⋅x2+3x
=x2−3x(1−x)+3x
=1−x−3x+3x2+3x
=1−x−3x+3(1−x)+3x
=1−x−3x+3−3x+3x
=4−4x．
∵方程x2+x−1=0，且x>0的解为：x=−1+ 52．
∴原式=4−4⋅−1+ 52
=4−2(−1+ 5)
=4+2−2 5
=6−2 5．
故答案为：6−2 5．
先求得x2=−x+1，再代入x4−2x3+3x得到原式=4−4x，然后解方程x2−x+1=0求出x，再代入求值即可．
本题考查了整式的变形和解一元二次方程，读懂题意理解“降次法”是解决本题的关键．
16.【答案】56
【解析】解：作FH⊥BG交于点H，作FK⊥BC于点K，
∵BF平分∠CBG，∠KBH=90°，
∴四边形BHFK是正方形，
∵DE⊥EF，∠EHF=90°，
∴∠DEA+∠FEH=90°，∠EFH+∠FEH=90°，
∴∠DEA=∠EFH，
∵∠A=∠EHF=90°，
∴△DAE∽△EHF，
∴ADHE=AEFH，
∵正方形ABCD的边长为3，BE=2AE，
∴AE=1，BE=2，
设FH=a，则BH=a，
∴32+a=1a，
解得a=1；
∵FK⊥CB，DC⊥CB，
∴△DCN∽△FKN，
∴DCFK=CNKN，
∵BC=3，BK=1，
∴CK=2，
设CN=b，则NK=2−b，
∴31=b2−b，
解得b=32，
即CN=32，
∵∠A=∠EBM，∠AED=∠BME，
∴△ADE∽△BEM，
∴ADBE=AEBM，
∴32=1BM，
解得BM=23，
∴MN=BC−CN−BM=3−32−23=56．
故答案为：56．
根据正方形的性质、相似三角形的判定和性质，可以求得CN和BN的长，然后根据BC=3，即可求得MN的长．
本题考查正方形的性质、相似三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
17.【答案】③
【解析】解：(1)第③步应为：x+1−(x+2)(x+2)(x−2)⋅x−23，
故答案为：③；
(2)原式=[x+1(x+2)(x−2)−1x−2]⋅x−23
=[x+1(x+2)(x−2)−x−2(x+2)(x−2)]⋅x−23
=x+1−(x−2)(x+2)(x−2)⋅x−23
=x+1−x+2(x+2)(x−2)⋅x−23
=3(x+2)(x−2)⋅x−23
=1x+2；
∵x=( 2023−1)0−2
=1−2
=−1，
∴原式=1−1+2
=1．
(1)根据解答过程逐步分析即可；
(2)根据分式混合运算的法则计算，再把x=( 2023−1)0−2化简后代入计算即可．
本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解答本题的关键．
18.【答案】解：(1)如图所示，点E即为所求．
(2)由题意可知，BE是∠ABC的平分线，
∵AB=BC，
∴CE=12AC=1，∠BEC=90°．
在Rt△BCE中，BE= BC2−CE2=2 6，
∴△BCE的周长是BC+CE+BE=2 6+1+5=6+2 6．
【解析】(1)以点B为圆心，以任意长为半径画弧，交AB，BC于点D，F，再分别以点D，F为圆心，以大于12DF为半径画弧，交于点G，作射线BG，交AC于点E，可知点E即为所求作的点；
(2)根据等腰三角形的性质得∠BEC=90°，CE=12AC=1，再根据勾股定理求出BE，即可得出答案．
本题主要考查了尺规作角平分线，等腰三角形的性质，勾股定理等，理解角平分线的性质定理是解题的关键．
19.【答案】60 6 12 144
【解析】解：(1)n=18÷30%=60，
∴a=60×10%=6，
∴b=60−6−18−24=12，
故答案为：60，6，12；
(2)补全频数分布直方图如下：
扇形统计图中表示“C”的圆心角的度数为：360°×2460=144°，
故答案为：144；
(3)画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中恰好抽到甲、乙两名同学的结果有2种，
∴恰好抽到甲、乙两名同学的概率为212=16．
(1)由B的人数除以所占百分比得出n的值，即可求出a、b的值；
(2)由(1)的结果补全频数分布直方图，再由360°乘以“C”所占的比例即可；
(3)画树状图，共有12种等可能的结果，其中恰好抽到甲、乙两名同学的结果有2种，再由概率公式求解即可．
此题主要考查了树状图法求概率以及频数分布直方图和扇形统计图等知识，树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
20.【答案】解：
(1)∵房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高AB所在的直线，EF//BC，
∴AG⊥EF，EG=12EF，∠AEG=∠ACB=35°，
在Rt△AGE中，∠AGE=90°，∠AEG=35°，
∵tan∠AEG=tan35°=AGEG，EG=6，
∴AG=EG×tan35°≈6×0.7=4.2(米)；
答：屋顶到横梁的距离AG为4.2米；
(2)过E作EH⊥CB于H，
则GB=EH，
设EH=x，
在Rt△EDH中，∠EHD=90°，∠EDH=60°，
∵tan∠EDH=EHDH，
∴DH=xtan60∘，
在Rt△ECH中，∠EHC=90°，∠ECH=35°，
∵tan∠ECH=EHCH，
∴CH=xtan35∘，
∵CH−DH=CD=8，
∴xtan35∘−xtan60=8，
解得：x≈9.52，
∴AB=AG+GB=13.72≈14(米)，
答：房屋的高AB为14米．
【解析】本题考查了解直角三角形的应用，轴对称图形，解题的关键是借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．
(1)根据题意得到AG⊥EF，EG=12EF，∠AEG=∠ACB=35°，解直角三角形即可得到结论；
(2)过E作EH⊥CB于H，则GB=EH，设EH=x，结合CH−DH=CD=8，解直角三角形即可得到结论．
21.【答案】解：(1)设销售量y件与销售的天数x的函数解析式为y=kx+b，
代入(1,118)，(2,116)得，k+b=1182k+b=116，
解得k=−2b=120，
因此销售量y件与销售的天数x的函数解析式为y=−2x+120；
(2)设销售利润为w元，
当1≤x≤24时，w=(60+x−40)(−2x+120)=−2x2+80x+2400，
即：w=−2(x−20)2+3200，
当x=20时，w最大为3200；
当24
所以超市第20天获得利润最大，最大利润3200元；
(3)求出该超市暑假期间利润不低于3000元的天数，
令w=3000，
当1≤x≤24时，w=−2(x−20)2+3200，
即有：w=−2(x−20)2+3200=3000，
解得x1=10，x2=30，
又∵1≤x≤24，抛物线开口向下，
∴10≤x≤24，即此时共15天；
当24
解得：x≤2623，
又∵24
∴一共有17天．
【解析】(1)设销售量y件与销售的天数x的函数解析式为y=kx+b，利用待定系数法即可求解；
(2)设销售利润为w元，当1≤x≤24时，可得w=−2(x−20)2+3200；当24
22.【答案】(1)证明：如图，连接OE．
∵CD是圆O的直径，
∴∠CED=90°．
∵OC=OE，
∴∠1=∠2．
又∵∠PED=∠C，即∠PED=∠1，
∴∠PED=∠2，
∴∠PED+∠OED=∠2+∠OED=90°，即∠OEP=90°，
∴OE⊥EP，
又∵点E在圆上，
∴PE是⊙O的切线；
(2)证明：∵AB，CD是直径，
∴∠AEB=∠CED=90°，
∴∠3=∠4，
∵AE//CD，
∴∠1=∠3，
∴∠1=∠4，
∵∠CEF+∠4=90°，
∴∠1+∠CEF=90°，
∴∠CFE=∠EFP=90°，
∴BE⊥CD，
∵CD是直径，
∴EF=FB，
∵EP=EB，
∴PE=2EF，
∴∠P=30°；
(3)解：设EF=x，则CF=2x，
∵⊙O的半径为5，
∴OF=2x−5，
在Rt△OEF中，OE2=OF2+EF2，即52=x2+(2x−5)2，
解得x=4，
∴EF=4，
∴BE=2EF=8，CF=2EF=8，
∴DF=CD−CF=10−8=2，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∵AB=10，BE=8，
∴AE=6，
∵∠BEP=∠A，∠EFP=∠AEB=90°，
∴△AEB∽△EFP，
∴PFBE=EFAE，即PF8=46，
∴PF=163，
∴PD=PF−DF=163−2=103．
【解析】(1)如图，连接OE.欲证明PE是⊙O的切线，只需推知OE⊥PE即可；
(2)证明PE=2EF，∠PFE=90°，可得结论；
(3)设EF=x，则CF=2x，在Rt△OEF中，根据勾股定理得出52=x2+(2x−5)2，求得EF=4，进而求得BE=8，CF=8，在Rt△AEB中，根据勾股定理求得AE=6，然后根据△AEB∽△EFP，得出PF8=46，求得PF=163，即可求得PD的长．
本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理的应用，勾股定理的应用，三角形相似的判定和性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
23.【答案】解：(1)把A(−2,0)，B(6,0)代入抛物线y=ax2+bx+12，
可得：4a−2b+12=036a+6b+12=0，
解得：a=−1b=4，
∴y=−x2+4x+12；
(2)存在点N使得△AON与△OBC相似，
由(1)可知OC=12，OA=2，OB=6，
第一种情况：OAOB=ONOC，
解得：ON=4，
∴N(0,4)，
第二种情况：OAOC=ONOB，
解得：ON=1，
∴N(0,1)，
∴N(0,4)或N(0,1)；
(3)连接OP，
∵P的横坐标为m且在第一象限，
∴6>m>0，
∴P的纵坐标为−m2+4m+12，
∵S△PCO=12×12×m=6m，S△PCO=12×6×(−m2+4m+12)=−3m2+12m+36，S△COB=12×12×6=30，
∴S△PCO=S△PCO+S△PCO−S△COB=−3m2+18m+6，
∴S=−3m2+18m+6，
∴S=−3(m−3)2+33，
当m=3时，最大值为33．
【解析】(1)把A(−2,0)，B(6,0)代入抛物线y=ax2+bx+12，即可解得；
(2)存在点N使得△AON与△OBC相似，由(1)可知OC=12，OA=2，OB=6，分情况讨论相似，即可解得；
(3)连接OP，P的纵坐标为−m2+4m+12，根据图形可得S△PCO=S△PCO+S△PCO−S△COB，表示出函数表达式即可解得．
本题考查了二次函数的综合应用，掌握求三角形面积，二次函数解析式是解题的关键．
24.【答案】(1)解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB=∠B=∠ADC=90°，CD=BD=10，BC=AD=8，
在Rt△BCF中，CF=CD=10，BC=8，
∴BF=6，
∴AF=AB−BF=4，
设AE=x，则EF=DE=8−x，
在Rt△AEF中，由勾股定理得，
EF2−AE2=AF2，
∴(8−x)2−x2=42，
∴x=3，
∴AE=3；
(2)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB//CD，
∴△AGE∽△DCE，
∴AGCD=AEDE，
由(1)得：AE=3，
∴DE=8−3=5，
∴AG10=35，
∴AG=6，
∴FG=AF+AG=4+6=10，
∴FG=CD，
∴四边形DGFC是平行四边形，
∵CD=CF，
∴▱DGFC是菱形；
(3)解：∵四边形FGDC是菱形，
∴∠DGC=∠DCG=∠FGC=12∠DFG，DG=CD=10，
在Rt△BCG中，BC=8，BG=BF+FG=6+10=16，
∴tan∠FGC=BCBG=12，CG= BC2+BG2= 82+162=8 5，
∴sin∠FCG=BCCG=88 5= 55，
如图1，
当∠MDN=90°时，
在Rt△GDM中，
DM=DG⋅tan∠DGM=10⋅tan∠FGC=10×12=5，
在Rt△DMN中，
DN=DM⋅tan∠DMN，
∵∠DMN=∠DCM，∠DCM=∠FGC，
∴DN=DM⋅tan∠FGC=5×12=52，
如图2，
当∠MND=90°时，∠DMN+∠GDM=90°，
∵∠DMN=∠DCM=∠DGM，
∴∠DGM+∠GDM=90°，
∴∠DMG=90°，
∴DM=DG⋅sin∠DGM=10× 55=2 5，
在Rt△DMN中，
DN=DM⋅sin∠DMN=DM⋅sin∠FGC=2 5× 55=2，
综上所述：DN=52或2．
【解析】(1)在直角三角形BCF中，由勾股定理求出BF=6，进而求得AF=4，设AE=x，则EF=DE=8−x，在直角三角形AEF，根据勾股定理累出关于x的方程；
(2)根据CD//AB得出△AGE∽△DCE，从而得出AGCD=AEDE，求出AG=6；
(3)先求得∠BGC的正切和正弦值，当∠MDN=90°时，解直角三角形DGM和直角三角形DMN；当∠DMN=90°时，解直角三角形DMG和直角三角形DMN．
本题考查了矩形性质，菱形的判定和性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是正确分类，考虑全面，充分利用解直角三角形或相似三角形的知识．
2023年山东省枣庄市薛城区中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列实数中，最小的数是( )
A. 1 B. −13 C. − 2 D. −3
2. 下列运算正确的是( )
A. (x+1)2=x2+1 B. (−m)3⋅m7=m10
C. (x3y)5=x8y5 D. a10÷a8=a2
3. 如图的两个几何体分别由7个和6个相同的小正方体搭成，比较两个几何体的三视图，正确的是( )
A. 仅主视图不同 B. 仅俯视图不同
C. 仅左视图不同 D. 主视图、左视图和俯视图都相同
4. 如图，直线l1//l2，点C、A分别在l1、l2上，以点C为圆心，CA长为半径画弧，交l1于点B，连接AB.若∠BCA=160°，则∠1的度数为( )
A. 10° B. 15° C. 20° D. 30°
5. 在学校开展的“争做最优秀中学生”的一次演讲比赛中，编号分别为1，2，3，4，5的五位同学最后成绩如下表所示：
参赛者编号
1
2
3
4
5
成绩(分)
96
88
86
93
86
那么这五位同学演讲成绩的众数与中位数依次是( )
A. 96，88 B. 92，88 C. 88，86 D. 86，88
6. 如图，AB，CD是⊙O的弦，延长AB，CD相交于点P.已知∠P=31°，∠AOC=82°，则的BD度数是( )
A. 10° B. 20° C. 25° D. 30°
7. 我们知道，若ab>0.则有a>0b>0或a<0b<0.如图，直线y=kx+b与y=mx+n分别交x轴于点A(−0.5,0)、B(2,0)，则不等式(kx+b)(mx+n)>0的解集是( )
A. x>2
B. −0.5
8. 如图，在平面直角坐标系中，点A是x轴正半轴上的一个动点，点C是y轴正半轴上的点，BC⊥AC于点C.已知AC=16，BC=6.点B到原点的最大距离为( )
A. 22
B. 18
C. 14
D. 10
9. 足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h(单位：m)与足球被踢出后经过的时间t(单位：s)之间的关系如下表：
t
0
1
2
3
4
5
6
7
…
h
0
8
14
18
20
20
18
14
…
下列结论：①足球距离地面的最大高度为20m；②足球飞行路线的对称轴是直线t=92；③足球被踢出9s时落地；④足球被踢出1.5s时，距离地面的高度是11m.其中正确结论的个数是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
10. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，CD平分∠ACB.边AB的垂直平分线DE分别交CD，AB于点D，E，以下说法正确的个数是( )
①∠BAC=60°；②CD=2BE；③DE=AC；④ 2CD=BC+12AB．
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 如图，一束光线AB先后经平面镜OM，ON反射后，反射光线CD与AB平行，当∠ABM=30°时，cos∠DCN= ______ ．
12. 《九章草术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？译文：若3人坐一辆车，则两辆车是空的；若2人坐一辆车，则9人需要步行，问：人与车各多少？设有x辆车，人数为y，根据题意可列方程组为______．
13. 如图，在平面直角坐标系内，四边形OABC是矩形，四边形ADEF是正方形，点A，D在x轴的负半轴上，点F在AB上，点B，E均在反比例函数y=kx(x<0)的图象上，若点B的坐标为(−1,6)，则正方形ADEF的周长为______ ．
14. 如图，在等边三角形ABC中，AB=2 3，点D为AC的中点，点P在AB上，且BP=1，将BP绕点B在平面内旋转，点P的对应点为点Q，连接AQ，DQ.当∠ADQ=90°时，AQ的长为 ．
15. 将关于x的一元二次方程x2−px+q=0变形为x2=px−q，就可以将x2表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如x3=x⋅x2=x(px−q)=…，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”.已知：x2+x−1=0，且x>0.则x4−2x3+3x的值为______．
16. 如图，在边长为3的正方形ABCD中，点E是边AB上的点，且BE=2AE，过点E作DE的垂线交正方形外角∠CBG的平分线于点F，交边BC于点M，连接DF交边BC于点N，则MN的长为______．
三、解答题（本大题共8小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题8.0分)
以下是某同学化简分式(x+1x2−4−1x+2)÷3x−2的部分运算过程：
解：原式=[x+1(x+2)(x−2)−1x+2]×x−23①；
=[x+1(x+2)(x−2)−x−2(x+2)(x−2)]×x−23②；
=x+1−x−2(x+2)(x−2)×x−23③；
=…
(1)上面的运算过程中第______ 步出现了错误；
(2)请你写出完整的解答过程，并求出当x=( 2023−1)0−2时该分式的值．
18. (本小题8.0分)
如图，在△ABC中，AB=BC．
(1)尺规作图：在边AC上作出一点E，使点E到AB、BC边的距离相等(保留作图痕迹，不写作法)；
(2)在(1)的结果下，若AC=2，BC=5，求△BCE的周长．
19. (本小题8.0分)
某校组织全校学生进行了“航天知识竞赛”，教务处从中随机抽取了n名学生的竞赛成绩(满分100分，每名学生的成绩记为x分)分成如表中四组，并得到如下不完整的频数分布表、频数分布直方图和扇形统计图.根据图中信息，解答下列问题：
分组
频数
A：60≤x<70
a
B：70≤x<80
18
C：80≤x<90
24
D：90≤x≤100
b
(1)n的值为______ ，a的值为______ ，b的值为______ ；
(2)请补全频数分布直方图并计算扇形统计图中表示“C”的圆心角的度数为______ °；
(3)竞赛结束后，九年级一班从本班获得优秀(x≥80)的甲、乙、丙、丁四名同学中随机为抽取两名宣讲航天知识，请用列表或画树状图的方法求恰好抽到甲、乙两名同学的概率．
20. (本小题8.0分)
脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活．如图①是政府给贫困户新建的房屋，如图②是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高AB所在的直线，为了测量房屋的高度，在地面上C点测得屋顶A的仰角为35°，此时地面上C点、屋檐上E点、屋顶上A点三点恰好共线，继续向房屋方向走8m到达点D时，又测得屋檐E点的仰角为60°，房屋的顶层横梁EF=12m，EF//CB，AB交EF于点G(点C，D，B在同一水平线上).(参考数据：sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7， 3≈1.7)
(1)求屋顶到横梁的距离AG；
(2)求房屋的高AB(结果精确到1m)．
21. (本小题8.0分)
大学生小张利用暑假50天在一超市勤工俭学，被安排销售一款成本为40元/件的新型商品，此类新型商品在第x天的销售量y件与销售的天数x(x为整数)的关系如表：
x(天)
1
2
3
…
50
y
118
116
114
…
20
销售单价m(元/件)与x满足：当1≤x≤24时，m=x+60；当24
(2)这50天中，该超市第几天获得利润最大？最大利润为多少元？
(3)求出该超市暑假期间利润不低于3000元的天数．
22. (本小题8.0分)
如图，AB、CD为⊙O的直径，弦AE//CD，连接BE交CD于点F，过点E作直线EP与CD的延长线交于点P，使∠PED=∠C．
(1)求证：PE是⊙O的切线；
(2)如果PE=BE，求证：∠P=30°；
(3)若⊙O的半径为5，CF=2EF，求PD的长．
23. (本小题8.0分)
如图，已知抛物线y=ax2+bx+12经过两点A(−2,0)，B(6,0)，C是抛物线与y轴的交点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点N在y轴正半轴上运动，是否存在点N使得△AON与△OBC相似，如果存在，请求出点N的坐标；
(3)点P的横坐标为m，且在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，设△PBC的面积为S，求S关于m的函数表达式和S的最大值．
24. (本小题8.0分)
如图1，在矩形ABCD中，AB=10，AD=8，E是AD边上的一点，连接CE，将矩形ABCD沿CE折叠，顶点D恰好落在AB边上的点F处，延长CE交BA的延长线于点G．
(1)求线段AE的长；
(2)求证四边形DGFC为菱形；
(3)如图2，M，N分别是线段CG，DG上的动点(与端点不重合)，且∠DMN=∠DCM，设DN=x，是否存在这样的点N，使△DMN是直角三角形？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：∵−3<− 2<−13<1，
∴最小的数是−3，
故选：D．
先根据实数的大小比较法则比较数的大小，再得出答案即可．
本题考查了实数的大小比较和算术平方根，能根据实数的大小比较法则比较数的大小是解此题的关键，注意：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个负数比较大小，其绝对值大的反而小．
2.【答案】D
【解析】解：A.(x+1)2=x2+2x+1，原选项计算错误，故A不符合题意；
B. (−m)3⋅m7=−m10，原选项计算错误，故B不符合题意；
C. (x3y)5=x15y5，原选项计算错误，故C不符合题意；
D.a10÷a8=a2，计算正确，故D符合题意，
故选：D．
根据完全平方公式，同底数幂的乘除法，积的乘方与幂的乘方运算法则分别判断即可．
本题考查了完全平方公式，同底数幂的乘除法，积的乘方与幂的乘方，熟练掌握这些知识是解题的关键
3.【答案】D
【解析】解：从正面看，两个几何体均为第一层和第二层都是两个小正方形，故主视图相同；
从左面看，两个几何体均为第一层和第二层都是两个小正方形，故左视图相同；
从上面看，两个几何体均为第一层和第二层都是两个小正方形，故俯视图相同．
故选：D．
根据主视图是从物体的正面看得到的视图，俯视图是从上面看得到的图形，左视图是左边看得到的图形，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，利用三视图的意义是解题关键．
4.【答案】A
【解析】解：由题意可得AC=BC，
∴∠CAB=∠CBA，
∵∠BCA=160°，∠BCA+∠CAB+∠CBA=180°，
∴∠CAB=∠CBA=10°，
∵l1//l2，
∴∠1=∠CBA=10°．
故选：A．
由题意可得AC=BC，则∠CAB=∠CBA，由∠BCA=160°，∠BCA+∠CAB+∠CBA=180°，可得∠CAB=∠CBA=10°，再结合平行线的性质可得∠1=∠CBA=10°．
本题考查作图−基本作图、平行线的性质、三角形内角和定理，能根据题意得出BC=AC是解答本题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：数据86出现了2次最多为众数，
按大小排列86，86，88，93，96，
故88处在第3位为中位数．所以本题这组数据的中位数是88，众数是86．
故选：D．
找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数(或两个数的平均数)为中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．
本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数和众数的能力．一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而误选其它选项，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．
6.【答案】B
【解析】解：连接BC，
∵∠AOC=82°，
∴∠ABC=12∠AOC=41°，
∵∠P=31°，∠ABC=∠P+∠BCD，
∴∠BCD=41°−31°=10°，
∴BD的度数是20°．
故选：B．
连接BC，根据圆周角定理求出∠ABC的度数，再由三角形外角的性质即可得出结论．
本题考查的是圆心角、弧、弦的关系及圆周角定理，根据题意作出辅助线，构造出圆周角是解题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：∵若ab>0.则有a>0b>0或a<0b<0，
∴若不等式(kx+b)(mx+n)>0，则kx+b>0mx+n>0或kx+b<0mx+n<0．
当kx+b>0mx+n>0，由图得：x<−0.5x>2，此时该不等式无解．
当kx+b<0mx+n<0，由图得：x>−0.5x<2，此时不等式组的解集为−0.5
由若不等式(kx+b)(mx+n)>0，则kx+b>0mx+n>0或kx+b<0mx+n<0，然后分类讨论，分别根据函数图象求得解集．
本题主要考查一次函数图象与一元一次不等式，熟练掌握一次函数图象与一元一次不等式是解决本题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：取AC的中点D，连接OD，BD，OB，如图，
∵D为AC的中点，∠AOC=90°，
∴OD=CD=12AC=8．
∵∠ACB=90°，
∴BD= BC2+CD2= 62+82=10．
当O，D，B三点不在一条直线上时，OB
∴当O，D，B三点在一条直线上时，点B到原点的最大距离为18．
故选：B．
取AC的中点D，连接OD，BD，OB，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得OD，利用勾股定理求得BD，利用三角形两边之和大于第三边，可知当O，D，B三点在一条直线上时，点B到原点的距离取得最大值，结论可求．
本题主要考查了坐标与图形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线的性质，三角形三边之间的关系定理，利用当O，D，B三点在一条直线上时，点B到原点的距离取得最大值解答是解题的关键．
9.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查二次函数的应用．由题意，抛物线经过(0,0)，(9,0)，所以可以假设抛物线的解析式为h=at(t−9)，把(1,8)代入可得a=−1，可得h=−t2+9t=−(t−4.5)2+20.25，由此即可一一判断．
【解答】
解：根据抛物线的对称性可得抛物线经过(9,0)，设抛物线的解析式为h=at(t−9)，把(1,8)代入可得a=−1，
∴h=−t2+9t=−(t−4.5)2+20.25，
∴足球距离地面的最大高度为20.25m，故①错误，
∴抛物线的对称轴t=4.5，故②正确，
∵t=9时，h=0，
∴足球被踢出9s时落地，故③正确，
∵t=1.5时，h=11.25，故④错误．
∴正确的有②③．
10.【答案】C
【解析】解：如图，连接BD、AD，过点D作DM⊥BC于M，DN⊥CA的延长线于N，
①、在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，
∴∠BAC=60°.故①说法正确；
②∵DM⊥BC，DN⊥CA，
∴∠DNC=∠DMC=90°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠DCN=∠DCM=45°，
∴∠DCN=∠CDN=45°，
∴CN=DN，
则△CDN是等腰直角三角形．
同理可证：△CDM也是等腰直角三角形，
∴CD= DN2+CN2= 2DN.CD= DM2+CM2= 2DM，
∴DM=DN=CM=CN，∠MDN=90°，
∵DE垂直平分AB，
∴BD=AD，AB=2BE，
∴Rt△BDM≌Rt△ADN(HL)，
∴∠BDM=∠ADN，
∴∠BDM+∠ADM=∠ADN+∠ADM=∠MDN，
∴∠ADB=90°，
∴AB= BD2+AD2= 2AD，
即2BE= 2AD，
在Rt△AND中，AD是斜边，DN是直角边，
∴AD>DN，则 2AD> 2DN，
∴2BE>CD.故②说法错误．
③、∵BD=AD，∠ADB=90°，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴DE=12AB，
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，
∴AC=12AB.∴DE=AC.故③说法正确．
④、∵△BDM≌△ADN，
∴BM=AN，
∴CN=AC+AN=AC+BM=CM，
∴BC=BM+CM=AC+2BM，
∵CD= 2CN，
∴ 2CD=2CN=2AC+2BM=AC+2BM+AC，
∵AC=12AB，
∴ 2CD=12AB+BC.故④说法正确．
故选：C．
利用直角三角形的性质、三角形内角和定理、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识对各选项的说法分别进行论证，即可得出结论．
本题属于三角形综合题，考查了直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，难度较大，准确作出辅助线并灵活运用所学知识是解题的关键．
11.【答案】12
【解析】解：由反射定律可知∠CBO=∠ABM=30°，∠BCO=∠DCN，
∴∠ABC=180°−∠ABM−∠CBO=120°，
∵AB//CD，
∴∠BCD=180°−∠ABC=60°，
∴∠BCO=∠DCN=180°−∠BCD2=60°，
∴cos∠DCN=cos60°=12，
故答案为：12．
根据反射定律和平角的定义求出∠ABC=120°，由平角的定义求出∠BCD=60°，进而求出∠DCN=60°，由此即可得到答案．
本题主要考查了求角的正切值，平行线的性质，正确求出∠DCN=60°是解题的关键．
12.【答案】y=3(x−2)y=2x+9．
【解析】解：依题意得：y=3(x−2)y=2x+9．
故答案为：y=3(x−2)y=2x+9．
根据“如果每3人坐一辆车，那么有2辆空车；如果每2人坐一辆车，那么有9人需要步行”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
13.【答案】8
【解析】解：设正方形的边长是a(a>0)，
∵B在反比例函数y=kx(x<0)的图象上，点B的坐标为(−1,6)，
∴6=k−1，
∴k=−6，
∵OD=OA+AD=a+1，
∴E的坐标是(−1−a,a)，
把E(−1−a,a)代入y=−6x，
∴a=−6−1−a，
∴a=2或a=−3(舍)，
∴正方形的周长是4a=8．
故答案为：8．
设正方形的边长是a(a>0)，表示出E的坐标是(−1−a,a)，把B的坐标代入y=kx(x<0)得到y=−6x，把E的坐标(−1−a,a)代入y=−6x得到关于a的方程，求出a的值即可．
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，关键是把E(−1−a,a)代入y=−6x，列出关于a的方程．
14.【答案】 7或 19
【解析】解：∵△ABC为等边三角形，点D为AC的中点，
∴BD⊥AC，即∠ADB=90°，
∴可分两种情况，当点Q在BD上时或当点Q在BD的反向延长线上时，
①当点Q在BD上时，如图，
∵在等边三角形ABC中，AB=2 3，点D为AC的中点，
∴∠ADB=90°，AD= 3，
在Rt△ABD中，由勾股定理得BD= AB2−AD2=3，
∵BP=1，将BP绕点B在平面内旋转，点P的对应点为点Q，
∴BQ=1，
∴QD=BD−BQ=2，
在Rt△AQD中，由勾股定理得AQ= AD2+QD2= 7；
②当点Q在BD的反向延长线上时，如图，
∵在等边三角形ABC中，AB=2 3，点D为AC的中点，
∴∠ADB=90°，AD= 3，
在Rt△ABD中，由勾股定理得BD= AB2−AD2=3，
∵BP=1，将BP绕点B在平面内旋转，点P的对应点为点Q，
∴BQ=1，
∴QD=BD+BQ=4，
在Rt△AQD中，由勾股定理得AQ= AD2+QD2= 19；
综上，AQ的长为 7或 19．
故答案为： 7或 19．
根据题意可分两种情况讨论：①当点Q在BD上时，先根据勾股定理求出BD=3，再由旋转的性质可得BQ=1，则QD=2，再根据勾股定理即可求解；②当点Q在BD的反向延长线上时，先根据勾股定理求出BD=3，再由旋转的性质可得BQ=1，则QD=4，再根据勾股定理即可求解．
本题主要考查等边三角形的性质、勾股定理、旋转的性质，解题关键是理解题意，利用分类讨论思想解决问题．
15.【答案】6−2 5
【解析】解：∵x2+x−1=0，
∴x2+x=1，x2=1−x．
∴x4−2x3+3x
=x4+x3−3x3+3x
=x2(x2+x)−3x⋅x2+3x
=x2−3x(1−x)+3x
=1−x−3x+3x2+3x
=1−x−3x+3(1−x)+3x
=1−x−3x+3−3x+3x
=4−4x．
∵方程x2+x−1=0，且x>0的解为：x=−1+ 52．
∴原式=4−4⋅−1+ 52
=4−2(−1+ 5)
=4+2−2 5
=6−2 5．
故答案为：6−2 5．
先求得x2=−x+1，再代入x4−2x3+3x得到原式=4−4x，然后解方程x2−x+1=0求出x，再代入求值即可．
本题考查了整式的变形和解一元二次方程，读懂题意理解“降次法”是解决本题的关键．
16.【答案】56
【解析】解：作FH⊥BG交于点H，作FK⊥BC于点K，
∵BF平分∠CBG，∠KBH=90°，
∴四边形BHFK是正方形，
∵DE⊥EF，∠EHF=90°，
∴∠DEA+∠FEH=90°，∠EFH+∠FEH=90°，
∴∠DEA=∠EFH，
∵∠A=∠EHF=90°，
∴△DAE∽△EHF，
∴ADHE=AEFH，
∵正方形ABCD的边长为3，BE=2AE，
∴AE=1，BE=2，
设FH=a，则BH=a，
∴32+a=1a，
解得a=1；
∵FK⊥CB，DC⊥CB，
∴△DCN∽△FKN，
∴DCFK=CNKN，
∵BC=3，BK=1，
∴CK=2，
设CN=b，则NK=2−b，
∴31=b2−b，
解得b=32，
即CN=32，
∵∠A=∠EBM，∠AED=∠BME，
∴△ADE∽△BEM，
∴ADBE=AEBM，
∴32=1BM，
解得BM=23，
∴MN=BC−CN−BM=3−32−23=56．
故答案为：56．
根据正方形的性质、相似三角形的判定和性质，可以求得CN和BN的长，然后根据BC=3，即可求得MN的长．
本题考查正方形的性质、相似三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
17.【答案】③
【解析】解：(1)第③步应为：x+1−(x+2)(x+2)(x−2)⋅x−23，
故答案为：③；
(2)原式=[x+1(x+2)(x−2)−1x−2]⋅x−23
=[x+1(x+2)(x−2)−x−2(x+2)(x−2)]⋅x−23
=x+1−(x−2)(x+2)(x−2)⋅x−23
=x+1−x+2(x+2)(x−2)⋅x−23
=3(x+2)(x−2)⋅x−23
=1x+2；
∵x=( 2023−1)0−2
=1−2
=−1，
∴原式=1−1+2
=1．
(1)根据解答过程逐步分析即可；
(2)根据分式混合运算的法则计算，再把x=( 2023−1)0−2化简后代入计算即可．
本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解答本题的关键．
18.【答案】解：(1)如图所示，点E即为所求．
(2)由题意可知，BE是∠ABC的平分线，
∵AB=BC，
∴CE=12AC=1，∠BEC=90°．
在Rt△BCE中，BE= BC2−CE2=2 6，
∴△BCE的周长是BC+CE+BE=2 6+1+5=6+2 6．
【解析】(1)以点B为圆心，以任意长为半径画弧，交AB，BC于点D，F，再分别以点D，F为圆心，以大于12DF为半径画弧，交于点G，作射线BG，交AC于点E，可知点E即为所求作的点；
(2)根据等腰三角形的性质得∠BEC=90°，CE=12AC=1，再根据勾股定理求出BE，即可得出答案．
本题主要考查了尺规作角平分线，等腰三角形的性质，勾股定理等，理解角平分线的性质定理是解题的关键．
19.【答案】60 6 12 144
【解析】解：(1)n=18÷30%=60，
∴a=60×10%=6，
∴b=60−6−18−24=12，
故答案为：60，6，12；
(2)补全频数分布直方图如下：
扇形统计图中表示“C”的圆心角的度数为：360°×2460=144°，
故答案为：144；
(3)画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中恰好抽到甲、乙两名同学的结果有2种，
∴恰好抽到甲、乙两名同学的概率为212=16．
(1)由B的人数除以所占百分比得出n的值，即可求出a、b的值；
(2)由(1)的结果补全频数分布直方图，再由360°乘以“C”所占的比例即可；
(3)画树状图，共有12种等可能的结果，其中恰好抽到甲、乙两名同学的结果有2种，再由概率公式求解即可．
此题主要考查了树状图法求概率以及频数分布直方图和扇形统计图等知识，树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
20.【答案】解：
(1)∵房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高AB所在的直线，EF//BC，
∴AG⊥EF，EG=12EF，∠AEG=∠ACB=35°，
在Rt△AGE中，∠AGE=90°，∠AEG=35°，
∵tan∠AEG=tan35°=AGEG，EG=6，
∴AG=EG×tan35°≈6×0.7=4.2(米)；
答：屋顶到横梁的距离AG为4.2米；
(2)过E作EH⊥CB于H，
则GB=EH，
设EH=x，
在Rt△EDH中，∠EHD=90°，∠EDH=60°，
∵tan∠EDH=EHDH，
∴DH=xtan60∘，
在Rt△ECH中，∠EHC=90°，∠ECH=35°，
∵tan∠ECH=EHCH，
∴CH=xtan35∘，
∵CH−DH=CD=8，
∴xtan35∘−xtan60=8，
解得：x≈9.52，
∴AB=AG+GB=13.72≈14(米)，
答：房屋的高AB为14米．
【解析】本题考查了解直角三角形的应用，轴对称图形，解题的关键是借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．
(1)根据题意得到AG⊥EF，EG=12EF，∠AEG=∠ACB=35°，解直角三角形即可得到结论；
(2)过E作EH⊥CB于H，则GB=EH，设EH=x，结合CH−DH=CD=8，解直角三角形即可得到结论．
21.【答案】解：(1)设销售量y件与销售的天数x的函数解析式为y=kx+b，
代入(1,118)，(2,116)得，k+b=1182k+b=116，
解得k=−2b=120，
因此销售量y件与销售的天数x的函数解析式为y=−2x+120；
(2)设销售利润为w元，
当1≤x≤24时，w=(60+x−40)(−2x+120)=−2x2+80x+2400，
即：w=−2(x−20)2+3200，
当x=20时，w最大为3200；
当24
所以超市第20天获得利润最大，最大利润3200元；
(3)求出该超市暑假期间利润不低于3000元的天数，
令w=3000，
当1≤x≤24时，w=−2(x−20)2+3200，
即有：w=−2(x−20)2+3200=3000，
解得x1=10，x2=30，
又∵1≤x≤24，抛物线开口向下，
∴10≤x≤24，即此时共15天；
当24
解得：x≤2623，
又∵24
∴一共有17天．
【解析】(1)设销售量y件与销售的天数x的函数解析式为y=kx+b，利用待定系数法即可求解；
(2)设销售利润为w元，当1≤x≤24时，可得w=−2(x−20)2+3200；当24
22.【答案】(1)证明：如图，连接OE．
∵CD是圆O的直径，
∴∠CED=90°．
∵OC=OE，
∴∠1=∠2．
又∵∠PED=∠C，即∠PED=∠1，
∴∠PED=∠2，
∴∠PED+∠OED=∠2+∠OED=90°，即∠OEP=90°，
∴OE⊥EP，
又∵点E在圆上，
∴PE是⊙O的切线；
(2)证明：∵AB，CD是直径，
∴∠AEB=∠CED=90°，
∴∠3=∠4，
∵AE//CD，
∴∠1=∠3，
∴∠1=∠4，
∵∠CEF+∠4=90°，
∴∠1+∠CEF=90°，
∴∠CFE=∠EFP=90°，
∴BE⊥CD，
∵CD是直径，
∴EF=FB，
∵EP=EB，
∴PE=2EF，
∴∠P=30°；
(3)解：设EF=x，则CF=2x，
∵⊙O的半径为5，
∴OF=2x−5，
在Rt△OEF中，OE2=OF2+EF2，即52=x2+(2x−5)2，
解得x=4，
∴EF=4，
∴BE=2EF=8，CF=2EF=8，
∴DF=CD−CF=10−8=2，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∵AB=10，BE=8，
∴AE=6，
∵∠BEP=∠A，∠EFP=∠AEB=90°，
∴△AEB∽△EFP，
∴PFBE=EFAE，即PF8=46，
∴PF=163，
∴PD=PF−DF=163−2=103．
【解析】(1)如图，连接OE.欲证明PE是⊙O的切线，只需推知OE⊥PE即可；
(2)证明PE=2EF，∠PFE=90°，可得结论；
(3)设EF=x，则CF=2x，在Rt△OEF中，根据勾股定理得出52=x2+(2x−5)2，求得EF=4，进而求得BE=8，CF=8，在Rt△AEB中，根据勾股定理求得AE=6，然后根据△AEB∽△EFP，得出PF8=46，求得PF=163，即可求得PD的长．
本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理的应用，勾股定理的应用，三角形相似的判定和性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
23.【答案】解：(1)把A(−2,0)，B(6,0)代入抛物线y=ax2+bx+12，
可得：4a−2b+12=036a+6b+12=0，
解得：a=−1b=4，
∴y=−x2+4x+12；
(2)存在点N使得△AON与△OBC相似，
由(1)可知OC=12，OA=2，OB=6，
第一种情况：OAOB=ONOC，
解得：ON=4，
∴N(0,4)，
第二种情况：OAOC=ONOB，
解得：ON=1，
∴N(0,1)，
∴N(0,4)或N(0,1)；
(3)连接OP，
∵P的横坐标为m且在第一象限，
∴6>m>0，
∴P的纵坐标为−m2+4m+12，
∵S△PCO=12×12×m=6m，S△PCO=12×6×(−m2+4m+12)=−3m2+12m+36，S△COB=12×12×6=30，
∴S△PCO=S△PCO+S△PCO−S△COB=−3m2+18m+6，
∴S=−3m2+18m+6，
∴S=−3(m−3)2+33，
当m=3时，最大值为33．
【解析】(1)把A(−2,0)，B(6,0)代入抛物线y=ax2+bx+12，即可解得；
(2)存在点N使得△AON与△OBC相似，由(1)可知OC=12，OA=2，OB=6，分情况讨论相似，即可解得；
(3)连接OP，P的纵坐标为−m2+4m+12，根据图形可得S△PCO=S△PCO+S△PCO−S△COB，表示出函数表达式即可解得．
本题考查了二次函数的综合应用，掌握求三角形面积，二次函数解析式是解题的关键．
24.【答案】(1)解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB=∠B=∠ADC=90°，CD=BD=10，BC=AD=8，
在Rt△BCF中，CF=CD=10，BC=8，
∴BF=6，
∴AF=AB−BF=4，
设AE=x，则EF=DE=8−x，
在Rt△AEF中，由勾股定理得，
EF2−AE2=AF2，
∴(8−x)2−x2=42，
∴x=3，
∴AE=3；
(2)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB//CD，
∴△AGE∽△DCE，
∴AGCD=AEDE，
由(1)得：AE=3，
∴DE=8−3=5，
∴AG10=35，
∴AG=6，
∴FG=AF+AG=4+6=10，
∴FG=CD，
∴四边形DGFC是平行四边形，
∵CD=CF，
∴▱DGFC是菱形；
(3)解：∵四边形FGDC是菱形，
∴∠DGC=∠DCG=∠FGC=12∠DFG，DG=CD=10，
在Rt△BCG中，BC=8，BG=BF+FG=6+10=16，
∴tan∠FGC=BCBG=12，CG= BC2+BG2= 82+162=8 5，
∴sin∠FCG=BCCG=88 5= 55，
如图1，
当∠MDN=90°时，
在Rt△GDM中，
DM=DG⋅tan∠DGM=10⋅tan∠FGC=10×12=5，
在Rt△DMN中，
DN=DM⋅tan∠DMN，
∵∠DMN=∠DCM，∠DCM=∠FGC，
∴DN=DM⋅tan∠FGC=5×12=52，
如图2，
当∠MND=90°时，∠DMN+∠GDM=90°，
∵∠DMN=∠DCM=∠DGM，
∴∠DGM+∠GDM=90°，
∴∠DMG=90°，
∴DM=DG⋅sin∠DGM=10× 55=2 5，
在Rt△DMN中，
DN=DM⋅sin∠DMN=DM⋅sin∠FGC=2 5× 55=2，
综上所述：DN=52或2．
【解析】(1)在直角三角形BCF中，由勾股定理求出BF=6，进而求得AF=4，设AE=x，则EF=DE=8−x，在直角三角形AEF，根据勾股定理累出关于x的方程；
(2)根据CD//AB得出△AGE∽△DCE，从而得出AGCD=AEDE，求出AG=6；
(3)先求得∠BGC的正切和正弦值，当∠MDN=90°时，解直角三角形DGM和直角三角形DMN；当∠DMN=90°时，解直角三角形DMG和直角三角形DMN．
本题考查了矩形性质，菱形的判定和性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是正确分类，考虑全面，充分利用解直角三角形或相似三角形的知识．
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