北京市汇文中学2021-2022学年高二下学期期末考试数学试题（解析版）

2021-2022学年北京市汇文中学高二（下）期末数学试卷

一､选择题（共12小题，每小题5分，共60分）

1. 集合，，则（    ）．

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

先求出集合，再求交集运算.

【详解】,

故选：C

2. 集合，，若，则的值为．

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【详解】因为，所以，选D.

3. 设，或，则是成立的（    ）

A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件

C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】由已知判断，，的推出关系即可判断充分及必要性.

【详解】因为，或，

即成立时，一定成立，但成立时，不一定成立，

故是成立的充分不必要条件.

故选：B.

4. 下列函数中，定义域是且为增函数的是

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【详解】试题分析：对于，为减函数，故A错误；对于B定义域为且为增函数，故B正确；对于的定义域为，故C错误；对于先减后增，故D错误；故选项为B.

考点：函数的单调性.

5. 下列函数中，在区间上存在最小值的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据函数的单调性即可判断.

【详解】对A，在单调递减，在单调递增，所以函数在取得最小值，故A正确；

对BCD，，，在单调递增，且在不能取到，所以不存在最小值，故BCD错误.

故选：A.

6. 下列函数中，满足“任意，，且，都有”的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】由已知条件、单调函数的定义可得函数在区间上为减函数，然后我们对答案中的四个函数逐一进行分析，即可得到答案.

【详解】若对任意，，都有，

则在区间上为减函数，

选项A中，在区间上为减函数，满足条件；

选项B中，在区间上为增函数，不满足条件；

选项C中，在区间上为增函数，不满足条件；

选项D中，在区间上为增函数，不满足条件.

故选：A.

7. 函数在闭区间上的最大值、最小值分别是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】先研究函数在区间上的单调性，再根据单调性求最值即可.

【详解】解：，解得，

再根据二次函数性质得在上，

在上，所以函数在单调递增，

在单调递减，所以，

，，

所以.

所以函数在闭区间上的最大值、最小值分别是.

故选：B.

【点睛】本题考查利用导数求函数在闭区间上的最值问题，是基础题.

8. 定义新运算 ：当时， ；当时， ，则函数的最大值等于（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】当和时，分别求出函数的表达式，然后利用函数单调性或导数求出函数的最大值.

【详解】解：由题意知

当-2≤x≤1时，f（x）=x-2，当1＜x≤2时，f（x）=-2，

又∵f（x）=x-2，f（x）=x3-2在定义域上都为增函数，∴f（x）的最大值为f（2）=-2=6．

故选C．

【点睛】该题考查的是有关新定义运算以及函数最值的求解问题，在解题的过程中，需要对题中所给的条件正确转化，再者就是对函数最值的求解方法要灵活掌握.

9. 函数定义域为，则实数的取值范围为（    ）

A. 或 B. 或

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】的定义域要使给出的分式函数定义域为实数集，是指对任意实数分式的分母恒不等于0，对分母的二次三项式进行分类讨论，分，和讨论，当时，需要二次三项式对应的二次方程的判别式小于0.

【详解】函数的定义域为，

对恒不为零，

当时，成立；

当时，需△，解得.

综上，使函数的定义域为的实数的取值范围为.

故选：C

10. 已知集合，集合，（    ）.

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】化简集合，化简集合，再根据交集运算可得答案.

【详解】因为，所以，

因为，所以，所以，

故.

故选:B.

【点睛】本题考查了集合的交集运算，属于基础题.

11. 已知且，，当时均有，则实数的取值范围是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】由题意只需对一切恒成立，作出与的图象，数形结合即可求解．

【详解】只需对一切恒成立，作出与的图象如下：

由图象可得：当时，，解得.

当时，，解得

故选：C

12. 关于函数，其中，，给出下列四个结论：

甲：6是该函数的零点；

乙：4是该函数的零点；

丙：该函数的零点之积为0；

丁：方程有两个根.

若上述四个结论中有且只有一个结论错误，则该错误结论是（    ）

A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁

【答案】B

【解析】

【分析】由已知函数的单调性判断甲､乙中有一个错误，由其中一个正确，结合丙正确求得与的值，得到函数解析式，再判断丁是否正确，则答案可求.

【详解】当，时，为增函数，

当，时，为减函数，故6和4只有一个是函数的零点，

即甲乙中有一个结论错误，一个结论正确，而丙､丁均正确.

由两零点之积为0，则必有一个零点为0，则，得，

若甲正确，则，即，，

可得，由，

可得或，解得或，方程有两个根，故丁正确.

故甲正确，乙错误.

若乙正确，甲错误，则，则，，

可得，由，

可得或，解得或（舍去），方程只有一个根，则丁错误，不合题意．.

故选：B.

二､填空题（共6小题，每小题5分，共30分）

13. 已知对不同的值，函数的图象恒过定点，则点的坐标是___________.

【答案】

【解析】

【分析】根据指数函数的性质，我们易得指数函数的图象恒过点，再根据函数图象的平移变换法则，求出平移量，进而可以得到函数图象平移后恒过的点的坐标

【详解】由指数函数的图象恒过点

而要得到函数的图象，

可将指数函数的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位.

则点平移后得到点.

则点的坐标是

故答案为：

14. 函数在上的单调递增区间是___________.

【答案】

【解析】

【分析】求的导数，由，即可求得答案.

【详解】，令得：，

.

，函数的单调递增区间为.

故答案为：

15. “”是“”的___________条件.

【答案】充分不必要

【解析】

【分析】分析命题“”，“”的充分性和必要性，综合可得答案.

【详解】当“”时，“”，“”成立，

故“”是“”的充分条件；

当“”时，“”，“”不一定成立，

故“”是“”的不必要条件；

故“”是“”的充分不必要条件；

故答案为：充分不必要.

16. 已知函数若，则实数＝      .

【答案】2

【解析】

【详解】试题分析：由，则，所以，解得.

考点：分段函数的解析式及应用.

17. 设函数f（x）=ex+ae−x（a为常数）．若f（x）为奇函数，则a=________；若f（x）是R上的增函数，则a的取值范围是___________．

【答案】    ①. -1;    ②. .

【解析】

【分析】首先由奇函数的定义得到关于的恒等式，据此可得的值，然后利用导函数的解析式可得a的取值范围.

【详解】若函数为奇函数,则，

对任意的恒成立.

若函数是上的增函数,则恒成立,.

即实数的取值范围是

【点睛】本题考查函数的奇偶性､单调性､利用单调性确定参数的范围.解答过程中,需利用转化与化归思想,转化成恒成立问题.注重重点知识､基础知识､基本运算能力的考查.

18. 下列关于函数的判断正确的是___________（填写所有正确的序号）.

①的解集是；②是极小值，是极大值；③没有最小值，有最大值.

【答案】①②③

【解析】

【分析】转化为解不等式可判断①；利用导数判断出函数的单调性可判断②；根据、的变化趋势可判断③.

【详解】对于①：，，即，

即，解得，其解集为，故①正确；

对于②：，由得，

即函数在上单调递增；由得或，

即函数在和，上单调递减，

当时，取得极小值；当时，取得极大值，故②正确；

对于③：由②得当时，；当时，，

没有最小值，但是有最大值，故③正确，

综上所述，①②③正确.

故答案为：①②③.

  【点睛】关键点点睛：利用导数判断出函数单调性是解题的关键点，本题考查利用导数研究函数的单调性､极值与最值，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力.

三､解答题（共4小题，共60分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）

19. 已知集合，且满足，，求实数，的值.

【答案】，.

【解析】

【分析】先求出集合，然后结合集合的交集，并集运算及方程的根与系数关系可求.

【详解】因为，，

又，，

故，即，是方程的根，

所以，，

故，.

20. 已知，设命题：函数为减函数．命题：当时，函数恒成立．如果“或”为真命题，“且”为假命题，求的取值范围．

【答案】．

【解析】

【分析】根据指数函数图象和性质，可求出命题真是的范围，根据对勾函数的图象和性质，可求出命题真是的范围，再由，一真一假，可得的取值范围.

【详解】由命题知：，由命题知：，

要使此式恒成立，则，即，

又由或为真，且为假知，必有一真一假，

当为真，为假时，的取值范围为，

当为假，为真时，．

综上，的取值范围为．

21. 设

（1）求函数的单调递增、递减区间；

（2）当时，恒成立，求实数m的取值范围．

【答案】（1）单调递增区间为和，递减区间；（2）.

【解析】

【分析】

（1）求导，分别由和求解.

（2）根据时，恒成立，则由求解即可.

【详解】（1），

令，解得或，

当或时，，为增函数，

当时， ，为减函数

综上：函数的单调递增区间为和，递减区间为.

（2）当时，恒成立，

只需使上最大值小于m即可

由（1）知最大值为、端点值中的较大者.

∴在上最大值为,

∴，

所以实数m的取值范围是

【点睛】方法点睛：恒成立问题的解法：

若在区间D上有最值，则；；

若能分离常数，即将问题转化为：（或），则；.

22. 设函数,已知和为的极值点.

(Ⅰ)求和的值;

(Ⅱ)讨论函数的单调性;

(Ⅲ)设,比较与的大小.

【答案】(Ⅰ),.

(Ⅱ)在和上是单调递增,在和上是单调递减.

(Ⅲ)

【解析】

【分析】(Ⅰ)根据已知和为的极值点，易得，，从而解出，的值；

 (Ⅱ)利用导数求解函数单调的方法步骤，进行求解即可；

(Ⅲ)比较大小，做差，构造新函数，在定义域内，

求解与的关系，即可求解.

【详解】(Ⅰ)因为,

又和为的极值点,所以,

因此，解得,.

经检验，,，合题意

所以,.

（Ⅱ）因为,,所以,

令,解得,,．

因为当时，；

当时,．

所以在和上是单调递增；在和上是单调递减.

（Ⅲ）由（Ⅰ）可知,

所以，

令，则.

令,得,因为

当时，；

当时，；

所以在上单调递减，在上单调递减.

所以当时，取得极小值，即为最小值.

;

所以对任意,恒有,又，因此,

故对任意，恒有.