2022届江苏省盐城市阜宁中学高三下学期期中数学试题含解析

2022届江苏省盐城市阜宁中学高三下学期期中数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】理解集合的含义，由并集的概念运算

【详解】，，则

故选：D

2．已知复数（其中为虚数单位），则其共轭复数的虚部为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据复数的乘法和除法运算进行化简求出，再根据共轭复数的定义得出，从而得出的虚部.

【详解】解：，

所以，所以的虚部为.

故选：B．

3．若关于的不等式的解集为，其中，为常数，则不等式的解集是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】首先由解集为计算出的值，然后再求一元二次不等式的解集.

【详解】因为的解集为，所以，解得，所以，所以，解得，

故选B.

【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，难度较易.若一元二次不等式的解集为，则一元二次方程的两个根为.

4．已知扇形的周长是6，面积是2，则扇形的圆心角的弧度数α是（       ）

A．1 B．4 C．1或4 D．2或4

【答案】C

【分析】根据扇形的弧长公式和面积公式，列出方程组，求得的值，即可求解.

【详解】设扇形所在圆的半径为，

由扇形的周长是6，面积是2，可得，解得或，

又由弧长公式，可得，即，

当时，可得；

当时，可得，

故选：C.

5．已知，则=（       ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】由于，进而结合诱导公式和二倍角公式求解即可.

【详解】解：因为，

所以.

故选：B

6．过双曲线上一点P作y轴的垂线，l与C的两条渐近线分别交于A，B两点，若A是PB的中点，则t=（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】先求出双曲线的渐进线方程，与联立解出，由A是PB的中点，求出点的坐标，在双曲线上，代入双曲线的方程即可求出的值.

【详解】双曲线的渐近线方程为：，因为l与C的两条渐近线分别交于A，B两点，所以，解得：，因为A是PB的中点，所以，又因为在双曲线上，所以，则，因为，所以.

故选：D.

7．已知函数，直线是曲线的一条切线，则的取值范围是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】设切点为，求得曲线在切点处的切线方程为，进一步求得表达式，讨论的单调性即可求其取值范围.

【详解】设切点为，，

曲线在切点处的切线方程为，

整理得，令，，令，，

所以．

令，则．

当时，，单调递减；

当时，，单调递增．故，

则的取值范围是．

故选：D.

8．已知数列满足，若对于任意的都有成立，则实数a的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由，得数列递增，所以满足，解不等式组即可.

【详解】因为对于任意的都有成立，

所以数列递增，

所以满足，

解得．

故实数a的取值范围是．

故选：A.

二、多选题

9．2021年7月1日是中国共产党建党100周年，某单位为了庆祝中国共产党建党100周年，组织了学党史、强信念、跟党走系列活动，对本单位200名党员同志进行党史测试并进行评分，将得到的分数分成6组：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图.下列说法正确的是（       ）

A．

B．得分在的人数为4人

C．200名党员员工测试分数的众数约为87.5

D．据此可以估计200名党员员工测试分数的中位数为85

【答案】ACD

【分析】A：根据频率分布直方图小矩形面积表示频率，总频率为1进行计算；

B：算出得分在之间的频率，用该频率乘以200即可；

C：频率分布直方图众数为最高的矩形的中间值；

D：根据中位数左右两边的矩形面积均为0.5进行计算.

【详解】，得，A正确；

得分在的人数为，B错误；

200名党员员工测试分数的众数约为87.5，C正确；

∵(0.025+0.035+0.040)×5=0.1×5=0.5，所以估计200名党员员工测试分数的中位数为85，D正确．

10．已知圆和直线，则（       ）

A．直线与圆的位置关系无法判定

B．当时，圆上的点到直线的最远距离为

C．当圆上有且仅有3个点到直线的距离等于1时，

D．如果直线与圆相交于两点，则弦的中点的轨迹是一个圆

【答案】BCD

【分析】对于A，由于直线恒过定点，所以判断此定点与圆的位置关系即可；对于B，求出圆心到直线的距离再加上圆的半径即可；对于C，由题意可得只要圆心到直线的距离为1即可；对于D，设弦的中点为，由垂径定理知，从而可得结论.

【详解】解：由题知，圆的圆心为，半径为，

直线，故直线过定点，

对于A选项，由于点在圆内，故直线与圆相交，A错误；

对于B选项，当时，直线，圆心到直线的距离为，故圆上的点到直线的最远距离为，B正确；

对于C选项，当圆上有且仅有3个点到直线的距离等于1时，圆心到直线的距离为

，解得，C正确；

对于D选项，由于直线过定点，设弦的中点为，则，即点的轨迹为以为直径的圆，故D正确.

故选：BCD

11．已知函数，直线为图象的一条对称轴，为图象的一个对称中心，且在区间上单调递增，则下列说法正确的是（       ）

A．

B．

C．在区间上的最大值为2

D．若为偶函数，则

【答案】AD

【分析】由题意先求出的周期，进而求得的值，根据三角函数的性质求得在区间上值域，以及为偶函数时的值，即可得出答案.

【详解】因为在区间上单调递增，故，则，又因为直线为图象的一条对称轴，为图象的一个对称中心，所以或，解得：或.当时，，此时，得，，显然不符合，故.

对于A，，故A正确；

对于B，当，则，因为为图象的一个对称中心，所以得，，因为，则时，符合题意，此时，故B不正确.

对于C，当，，当时，，故C不正确.

对于D， ，若为偶函数，则，所以，故D正确.

故选：AD.

12．如图，已知正四棱柱的底面边长为1，侧棱长为2，点，分别在半圆弧，（均不含端点）上，且，，，在球上，则（       ）

A．当点在中点处，三棱锥的体积为定值

B．当点在中点处，过，，三点的平面截正四棱柱所得的截面的形状都是四边形

C．球的表面积的取值范围为

D．当点在的三等分点处，球的表面积为

【答案】AD

【分析】取中点，中点，中点，设，可得求得范围，进而判断C；点在的三等分点处，可求出半径，得出表面积，判断D；当点在中点，作出截面可判断B；由求出体积可判断A.

【详解】如图1所示，取中点，中点，中点，

根据题意，求出在线段上，设，

则由余弦定理可得，

设，则，所以，

因为（为球的半径），所以，

所以，故球的表面积，故C错误；

当点在的三等分点处，，则，

所以，

故球的表面积，故D正确；

如图2，当点在弧上时，连接，

在平面上，过点作的平行线，与线段分别交于，

延长与CB延长线相交，连接交点与点N交AB于S，

此时当点在中点处，过，，三点的平面截正四棱柱所得的截面为五边形，故B错误；

当在中点处，三棱锥的体积为为定值，故A正确.

故选：AD.

三、填空题

13．_______.

【答案】

【分析】由，采用裂项相消法可得结果.

【详解】，

.

故答案为：.

14．已知函数为奇函数，则函数在区间上的最大值为______.

【答案】

【分析】用奇偶性的定义，求出m，并判断函数的单调性即可.

【详解】函数的定义域为R，且函数为奇函数，

，即 ，解得m=2，

所以；

又在 时，若x增加，则导致增加，从而 增加，

所以 增加， 所以函数在区间上是增函数，

函数在区间上的最大值为，

故答案为：

15．已知抛物线的焦点为F，准线为l，点M是抛物线C上一点，于H，若，则抛物线C的方程为___________.

【答案】

【分析】根据题意，得到，推出为正三角形，求出，记准线与轴交于点，根据即可求出结果.

【详解】因为抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，

所以，又，

所以为正三角形，所以，

记准线与轴交于点，则，

所以，

所以该抛物线方程为：.

故答案为：.

16．已知直三棱柱的侧棱长为，底面为等边三角形.若球O与该三棱柱的各条棱都相切，则球O的体积为__________.

【答案】

【分析】设正三棱柱下底面和上底面的中心分别为，则的中点为球心，取棱中点，则为棱与球的切点，为球半径，而到棱的距离等于，这样利用勾股定理可求得半径，从而得体积．

【详解】由题意三棱柱是正三棱柱，分别是棱柱下底面和上底面的中心，由对称性知中点为球的球心，取中点（为切点），则（等于到棱距离．设球半径为，

由正三角形性质知，

与底面垂直，则必与底面上直线垂直，因此，解得，

球体积为．

故答案为：．

【点睛】关键点点睛：本题考查求球的体积，解题关键是利用对称性确定球心位置求得球的半径．从而求得球的体积．利用对称性知正三棱柱上下底面中心连线的中点为球心，而各棱与球相切的切点为各棱中点．从而易求得结论．

四、解答题

17．如图，在四边形中，，，.

(1)求；

(2)若，求周长的最大值.

【答案】(1)

(2)12

【分析】（1）在中，利用正弦定理可求得结果；

（2）在中，由余弦定理可求得，在中，，设，由余弦定理得，即，利用基本不等式求得，进而求出周长的最大值.

【详解】(1)在中，，且

利用正弦定理得：，

又为钝角，为锐角，

(2)在中，由余弦定理得

故

解得：或（舍去）

在中，，设

由余弦定理得，即

整理得：，又

利用基本不等式得：，即，

即，当且仅当时，等号成立，即，

所以

所以周长的最大值为12

18．已知等差数列的公差为2，前项和为，且成等比数列．

（1）求数列的通项公式；

（2）令，求数列的前项和．

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）根据等差数列的性质得出运用通项公式求解即可．

（2）由（1）可得.对n分类讨论“裂项相消求和”即可得出.

【详解】（1）∵等差数列{an}的公差为2，前n项和为Sn，且S1、S2、S4成等比数列．

∴Sn＝na1+n（n﹣1）

（2a1+2）2＝a1（4a1+12），a1＝1，∴an＝2n﹣1；

（2）∵由（1）可得，

当n为偶数时，Tn＝

．

当n为奇数时，

．

．

【点睛】本题考查了等差数列等比数列的定义，性质，公式，分类讨论思想，裂项相消求和，属于中档题．

19．如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，为线段的动点.

(1)若直线平面，求证：为的中点；

(2)若平面与平面夹角的余弦值为，求的值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）由线面平行的性质得出，再由中位线定理得出为的中点；

（2）以点A为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐标系，利用向量法结合平面与平面夹角的余弦值得出的值.

【详解】(1)连接交于点，再连接，

由直线平面，平面，平面平面，，又为的中点，为的中点；

(2)以点A为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐标系

设，则

设，，

设平面的法向量为，则，即

取，则.

设平面的法向量，则，即，

可得平面的法向量，

设平面与平面夹角为

，整理得，

20．某网络科技公司在年终总结大会上，为增添喜悦､和谐的气氛，设计了闯关游戏这一环节，闯关游戏必须闯过若干关口才能成功.其中第一关是答题，分别设置“文史常识题”“生活常识题”“影视艺术常识题”这道题目，规定有两种答题方案：

方案一：答题道，至少有两道答对；

方案二：在这道题目中，随机选取道，这道都答对.

方案一和方案二中只要完成一个，就能通过第一关.假设程序员甲和程序员乙答对这3道题中每一道题的概率都是，且这道题是否答对相互之间没有影响.程序员甲选择了方案一，程序员乙选择了方案二.

(1)求甲和乙各自通过第一关的概率；

(2)设甲和乙中通过第一关的人数为，是否存在唯一的的值，使得？并说明理由.

【答案】(1)甲通过第一关的概率为，乙通过第一关的概率为；

(2)存在，理由见解析.

【分析】设答对题目的个数为，由题意，得，进而可直接求出甲和乙各自通过第一关的概率；

的可能取值为，，，并写出相应概率及期望，结合导函数研究单调性，进而判断出存在唯一的的值，使得.

【详解】(1)解：设答对题目的个数为，由题意，得.

甲通过第一关的概率为；

乙通过第一关的概率为.

(2)的可能取值为，，，

则，

，

，

所以

.

设，则，

从而当时，为增函数，又，，

所以存在唯一的的值，使得，即.

21．已知椭圆的左、右焦点分别为，点E为椭圆C上一动点，O为坐标原点.

(1)若，求△的面积；

(2)若过点E的斜率为k的直线l与椭圆C相交于另一点F，，M为线段EF的中点，射线OM与椭圆C相交于点N，△NMF与△EMO的面积分别为，求的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由椭圆定义与余弦定理解出，再由面积公式求解

（2）由几何关系化简面积之比，待定系数法设直线方程，由韦达定理与中点坐标公式表示坐标，再解出点坐标，转化为函数求值域

【详解】(1)由椭圆方程知：

，

在△中

即

的面积为

(2)因为M为线段EF的中点，所以，

设直线l的方程为

由，消去y得，

所以，

所以，因为，所以，

所以，即，

化简得，经检验满足.

①当k=0时，，此时，

②当时，射线OM所在直线方程为

由，化简得

所以，

综上，的取值范围为

22．已知函数（a，），曲线在点处的切线方程为．

(1)求实数a，b的值；

(2)当时，（）恒成立，求c的最小值．

【答案】(1)，

(2)1

【分析】（1）求出导函数，由，求得；

（2）求出导函数，并设，再求导函数，确定的单调性，得存在零点，即的极大值点，求出的范围，再由不等式恒成立得的范围，最小值．

【详解】(1)因为，             

所以       

解得；

(2)因为，，

所以，设

．             

当时，，，所以；

当时，，，所以．

所以，当时，，即单调递减．       

因为，，

因为，所以，所以．       

所以，使得，即．       

所以，当时，，单调递增；

当时，，单调递减．       

所以．

因为，所以，所以，

所以．       

由题意知，，所以，整数c的最小值为1．

【点睛】本题考查导数的几何意义，考查不等式恒成立问题，解决不等式恒成立问题的解题难点是需要对导函数再一次求导，确定单调性后，得出零点有存在性，而不是具体的值，由零点存在性得出函数的极大值，并求出极大值的范围，然后再由不等式恒成立得出结论．本题属于难题．