2021-2022学年江苏省盐城市阜宁中学等四校高二下学期期中数学试题含解析

2021-2022学年江苏省盐城市阜宁中学等四校高二下学期期中数学试题

一、单选题

1．在空间直角坐标系中，关于轴的对称点为点，若点关于平面的对称点为点，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】写出关于轴的对称点，点关于平面的对称点，再计算的值．

【详解】空间直角坐标系中，关于轴的对称点为，

点关于平面的对称点为点，

所以．

故选：B．

2．若，则正整数（       ）

A．7 B．8 C．9 D．10

【答案】B

【分析】利用组合数、排列数的定义直接展开，解方程即可求得.

【详解】因为，

所以，解得：.

故选：8

3．随机变量的分布列如下：

其中，，成等差数列，则的最大值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】因为，，成等差数列，

，

.

则的最大值为

4．的展开式中有理项的项数为（       ）

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】C

【分析】先化简原二项式为，再由二项式的展开式的通项公式可得选项.

【详解】解：.

又的展开式的通项，所以.

当x的指数是整数时，该项为有理项，所以当，2，4，6，8时，该项为有理项，即有理项的项数为5.

故选：C.

5．已知双曲线与直线交于两点，过原点与线段中点所在直线的斜率为，则的值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】设M（x1，y1），N（x2，y2），线段MN中点P（x0，y0），利用点差法能求出的值．

【详解】设M（x1，y1），N（x2，y2），线段MN中点P（x0，y0）．

由题意得，两式相减得m（）-n（）＝0．

又x1+x2＝2x0，y1+y2＝2y0，即，

又∵直线，∴＝1，化简为mx0-ny0＝0，

∵＝＝．∴．

故选：D．

【点睛】本题考查实数值比值的求法，直线的斜率和点差法的合理运用，属于中档题，．

6．《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.如图，在堑堵中，分别是的中点，是的中点，若，则（       ）

A．1 B． C． D．

【答案】C

【分析】连接，由，即可求出答案.

【详解】连接如下图：

由于是的中点，

.

根据题意知.

.

故选：C.

7．为了宣传2022年北京冬奥会和冬残奥会，某学校决定派小明和小李等共5名志愿者将两个吉样物“冰墩墩”和“雪容融”安装在学校的体育广场，每人参与且只参与一个吉样物的安装，每个吉样物都至少由两名志愿者安装，若小明和小李必须安装不同的吉祥物，则不同的分配方案种数为（       ）

A．8种 B．10种 C．12种 D．15种

【答案】C

【分析】由已知，只需将这五个人分成两组，并且分成人数为2、3或3、2两组，同时小明与小李分在不同组，由此结合计数原理求解.

【详解】按除去小明和小李后，剩余3人与小明同组的人数确定分组方法：即种方法，这两组安装吉祥物的方法为，故按要求这五人共有6×2=12种方法.

故选：C.

8．已知圆台上底面半径为3，下底面半径为4，高为7，若点A、B、C在下底面圆的圆周上，且，点Р在上底面圆的圆周上，则的最小值为（       ）

A．246 B．226 C．208 D．198

【答案】D

【分析】问题可转化为三棱锥且三棱锥有外接球，求转化为求的最值，再转化为利用向量求解即可.

【详解】如图，

ABC的外心是AC中点，点P到底面ABC的距离为7，设Р所在截面圆的圆心为，此截面与平面ABC平行，球心在上，

，

则，

设P在平面ABC上的射影为Q，则Q在以为圆心，3为半径的圆，因为PQ⊥平面ABC，所以PQ与平面ABC内所有直线都垂直，PQ=7,

所以

，

当反向时，取得最小值-12，

所以的最小值

故选：D

二、多选题

9．已知数列的前项和为，下列说法正确的是（       ）

A．若，则是等差数列

B．若，则是等比数列

C．若是等差数列，则

D．若是等比数列，且，，则

【答案】BC

【分析】A.先根据求解出在时的通项，然后验证是否符合，由此即可判断；

B.同A，先根据计算出的通项公式，然后根据通项即可判断；

C.根据等差数列的前项和公式进行化简计算并判断；

D.采用作差法化简计算的结果，根据结果进行判断即可.

【详解】若，当时，，不满足，故A错误.

若，当时，，且，则，

又满足，所以是等比数列，故B正确.

若是等差数列，则，故C正确.

，故D错误.

故选：BC.

10．甲盒中有3个红球和2个白球，乙盒中有2个红球和3个白球．先从甲盒中随机取出一球放入乙盒．用事件E表示“从甲盒中取出的是红球”，用事件F表示“从甲盒中取出的是白球”；再从乙盒中随机取出一球，用事件G表示“从乙盒中取出的是红球”，则下列结论正确的是（       ）

A．事件F与G是互斥事件 B．事件E与G不是相互独立事件

C． D．

【答案】BCD

【分析】利用互斥事件定义可判断选项A，利用独立事件概率公式可判断选项B，利用古典概型概率计算公式求出可判断选项C，利用条件概率计算公式求出可判断选项D．

【详解】对选项A：事件F与事件G能同时发生，故A错误；

对选项C：，故C正确；

对选项D：，故D正确；

对选项B：因为，，

所以，所以事件E与事件G不是独立事件，故B正确；

故选：BCD.

11．已知，若，则有（       ）

A．

B．

C．

D．

【答案】BCD

【分析】令，已知式变为，可求得，然后二项式变形为，并令二项式化为，可求得，二项式两边都对求导后令可求得，从而判断各选项．

【详解】令，则，已知式变为，

解得，

，，

，

，

令，则有，

两边对求导得，

再令得，

所以，

故选：BCD．

12．如图，在长方体中，，，点P，E分别为AB，的中点，点M为直线上的动点，点N为直线上的动点，则（       ）

A．对任意的点N，一定存在点M，使得

B．向量，，共面

C．异面直线PM和所成角的最小值为

D．存在点M，使得直线PM与平面所成角为

【答案】BCD

【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量的方法可判断ACD的正误，利用中位线和长方体的性质可判断B的正误.

【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，

则，

，

故，设，，，

而，故即，

故，

若，则即，

当时，不存在，故当为中点，不存在，使得，故A错误.

连接，则，由长方体可得，故，

故，，即，，共面，故B正确.

，故

，

当时，，此时；

当时，，

令，设，则，

故，

所以异面直线PM和所成角的范围为，故直线PM和所成角的最小值为，

故C正确.

平面的法向量为，

故，

若直线PM与平面所成角为，则，

故，所以或，故D正确.

故选：BCD.

【点睛】思路点睛：空间位置关系中的最值问题，可通过建立空间直角坐标系，把角的最值问题或存在性问题转化为函数的最值或方程的解的问题.

三、填空题

13．已知函数的极大值为1，则实数a＝_______．

【答案】

【分析】求出导函数，由的解是极值点，利用极大值为1，求得值，然后证明满足题意，是极大值即得．

【详解】，由题意在上有解，且，

，所以，

，当时，，递增，时，，递减，

所以时，取得极大值，所以最大值．

故答案为：．

14．设随机变量，随机变量，若，则_________.

【答案】6

【详解】因，故，即，则，又随机变量，所以， ，应填答案．

15．已知AB是圆柱底面圆的一条直径，OP是圆柱的一条母线，C为底面圆上一点，且，，则直线PC与平面PAB所成角的正弦值为________．

【答案】

【分析】先证明是正方形，然后以为轴建立空间直角坐标系，设，写出各点坐标，用空间向量法求线面角．

【详解】是底面圆直径，则，又是圆柱母线，则平面，

以为轴建立空间直角坐标系，设，则，所以，

，所以，而，所以四边形是正方形，

，，，，

，，，

设平面的一个法向量为，

则，取得，，

设直线PC与平面PAB所成角为，

所以，

故答案为：．

16．为有效阻断新冠肺炎疫情传播除径，构筑好免疫屏障，从2022年1月13日开始，某市启动新冠病毒疫苗加强针接种工作，凡符合接种第三针条件的市民，要求尽快接种．该市有3个疫苗接种定点医院，现有8名志愿者将被派往这3个医院协助新冠疫苗接种工作，每个医院至少2名至多4名志愿者，则不同的安排方法共有_________（用数字作答）

【答案】2940

【分析】先把8名医生分成三组，再把三组分到三个医院，即可求解.

【详解】先把8名医生分成三组，有2，2，4和2，3，3两种情况：.

再把三组分到三个医院，有.

所以一共有种.

故答案为：2940.

四、解答题

17．已知数列满足，．

(1)设，证明：是等差数列；

(2)设数列的前n项和为，求．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）通过计算来证得是等差数列.

（2）先求得，然后利用裂项求和法求得.

【详解】(1)因为，

所以数列是以1为公差的等差数列．

(2)因为，所以，

由得．

故，

所以，

，

，

．

18．设函数．

(1)当时，求f（6，y）的展开式中二项式系数最大的项；

(2)若且，求．

【答案】(1)；

(2)81.

【解析】(1)

当时，求的展开式有7项，二项式系数最大的项为第4项，

.

(2).

因为，所以.

所以，令，则有，

所以.

19．年辽宁、广东、河北、湖北、湖南、江苏、福建、重庆等八省市将全部采用“”的新高考模式．“”指的是语文、数学、外语，这三门科目考试参加统一高考，由教育部考试中心统一命题，以原始成绩计入考生总成绩；“”指的是物理和历史中的一科，考生必须从物理和历史两个科目中选择一科，由各省自主命题，以原始成绩计入考生总成绩．为了让考生更好的适应新高考模式，某省几个地市进行了统一的高考适应性考试．在所有入考考生中有人选考物理，考后物理成绩(满分分)服从正态分布．

（1）分别估计成绩在和分以上者的人数；（运算过程中精确到，最后结果保留为整数）

附1：，，．

（2）本次考试物理成绩服从正态分布．令，则，若本次考试物理成绩的前划定为优秀等级，试估计物理优秀等级划线分大约为多少分？

附2：若，则．

【答案】（1）成绩在的人数约为人，分以上的人数约为684人；（2）63分．

【分析】（1）根据正态分布的性质计算即可；

（2）设该划线分为，再根据可得，进而可知进行求解即可

【详解】解：（1）正态分布，故均值为55，，又

所以

成绩在的人数约为人

由正态分布曲线的对称性可得：

，

则

所以估计分以上的人数约为人

（2）设该划线分为，由得，

令

由题意因为，，所以

所以，所以

20．已知椭圆的右焦点为F(，0)，且点M(－，)在椭圆上.

(1)求椭圆的方程；

(2)直线l过点F，且与椭圆交于A，B两点，过原点O作l的垂线，垂足为P，若，求λ的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）求得，的值即可确定椭圆方程；

（2）分类讨论直线的斜率存在和斜率不存在两种情况即可确定为定值．

【详解】(1)由题意知：．

根据椭圆的定义得：，即．

，

所以椭圆的标准方程为．

(2)当直线的斜率不存在时，的方程是．

此时，所以．

当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，，

由可得．

显然△，则，

因为，

所以．

所以，

此时．

综上所述，为定值．

21．在四棱连中，平面ABCD⊥平面PCD，底面ABCD为梯形．，，且，，．

(1)求二面角的余弦值；

(2)若M是棱PA的中点，则对于棱BC上是否存在一点F，使得MF与PC平行．

【答案】(1)

(2)线段上不存在点，使得与平行.

【分析】（1）以为原点，以所在的直线分别为轴、轴和轴，建立空间直角坐标系，求得平面和平面的法向量，结合向量的夹角公式，即可求解；

（2）假设上存在点，使得，设，其中，根据，列出方程组，即可得出结论.

【详解】(1)解：在平面内过点作，交于点，

因为平面平面，且平面平面，

可得平面，

又由，所以两两垂直，

以为原点，以所在的直线分别为轴、轴和轴，建立空间直角坐标系，如图所示，由，，，

可得，

则，

设平面的法向量为，则，

取，可得，所以,

因为平面，所以平面的一个法向量为，

则，

所以二面角的余弦值为.

(2)证明：假设上存在点，使得，

设，其中，

因为是棱的中点，可得，

又由，

所以，

设，可得 ，此方程组无解，所以假设不成立，

所以对于上任意一点，与都不平行，

即在线段上不存在点，使得与平行.

22．已知函数，．

(1)讨论的单调性；

(2)当，时，，证明：．

【答案】(1)答案见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）求得，对进行分类讨论，由此求得的单调区间.

（2）化简不等式，构造函数，利用导数研究的最值，由此分离常数，由的不等关系式构造函数，解得导数证得不等式成立.

【详解】(1)的定义域为R，．

①当时，当或时，，单调递增；

当时，，单调递减．

②当时，当或时，，单调递减；

当时，，单调递增．

(2)由，得，因为，所以，

令，则，

设，则，所以在单调递增，

又因为，，

（由（1）知当时，，所以当时，，即．）

所以，存在，使得，即．

所以，当时，，单调递减；当时，，单调递增，

所以，所以．

所以．

设，则，

当时，，单调递增；当时，，单调递减．

所以，所以．

【点睛】利用导数研究函数的单调性，当导函数含有参数时，要注意对参数进行分类讨论，分类标准的制定可以考虑二次函数的开口方向、零点分布等知识.