江苏省盐城市2022-2023学年高三上学期期中复习数学试题（解析版）

江苏省盐城市2022-2023学年高三（上）期中复习数学试卷

一、单选题（本大题共8小题.共40分.在每小题列出的选项中.选出符合题目的一项）

1. 已知复数，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

利用复数的除法运算化简，再利用复数模长公式求出结果.

【详解】解：，

故选：．

【点睛】本题考查复数的除法运算和复数的模长运算.

复数的除法运算关键是分母“实数化”，其一般步骤如下：

(1)分子、分母同时乘分母的共轭复数；

(2)对分子、分母分别进行乘法运算；

(3)整理、化简成实部、虚部分开的标准形式．

复数的模等于复数在复平面上对应的点到原点的距离，也等于复数对应的向量的模．

2. 设集.集合.则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】解不等式得到集合，再利用集合的交集求解.

【详解】

又，所以

故选：B

3. 若且.则成立的一个充分非必要条件是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据充分非必要条件的定义，依次排除选项.

【详解】A.当时，，则，故A错误；

B.当时，不满足，故B错误；

C.当时，，则，反过来，时， ，推不出，所以是成立的一个充分非必要条件，故C正确；

D.当时，不满足，故D错误.

故选：C

4. 已知，且在第三象限，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】由同角三角函数的商数关系和平方关系列和的方程组，结合的象限，可求出的值.

【详解】为第三象限角，则，，

由题意得，解得，故选B.

【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系，解题时要注意根据角的象限判定所求函数值的符号，考查运算求解能力，属于基础题.

5. 已知向量，，两两所成的角相等.且.则（    ）

A.  B.  C. 6或 D. 或6

【答案】D

【解析】

【分析】根据题意可得向量，，同向，或两两夹角为，然后分别计算即可.

【详解】因为向量，，两两所成的角相等，

所以向量，，同向，或两两夹角为，

当向量，，同向时，

因为，

所以，

当向量，，两两夹角为时，

因为，

所以

，

综上，的值为6或，

故选：D.

6. 设a∈R，函数f(x)＝ex＋a·e－x的导函数f ′(x)是奇函数，若曲线y＝f(x)的一条切线的斜率是，则切点的横坐标为

A. － B. －ln 2 C.  D. ln 2

【答案】D

【解析】

【详解】分析：由函数为奇函数，得，求的，设曲线上切点的横坐标为，解得，即可求得切点的横坐标的值.

详解：由题意，函数为奇函数，则必有，

解得，即 ，所以，

设曲线上切点的横坐标为，则根据题意得，解得，

故切点横坐标，故选D.

点睛：曲线的切线的求法：若已知曲线过点，求曲线过点的切线，则需分点是切点和不是切点两种情况求解．

（1）当点是切点时，切线方程为；

（2）当点不是切点时，可分以下几步完成：

第一步：设出切点坐标；

第二步：写出过的切线方程为；

第三步：将点的坐标代入切线方程求出；

第四步：将的值代入方程，可得过点的切线方程．

7. 观察下列恒等式：

，

…②，

，

由此可知： 

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据题目所给的公式反复运用即可.

【详解】 ；

故选：D.

8. 下列关系式中正确的是

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【详解】试题分析：先根据诱导公式得到sin168°=sin12°和cos10°=sin80°，再结合正弦函数的单调性可得到sin11°＜sin12°＜sin80°从而可确定答案．

解：∵sin168°=sin（180°﹣12°）=sin12°，

cos10°=sin（90°﹣10°）=sin80°．

又∵y=sinx在x∈[0，]上是增函数，

∴sin11°＜sin12°＜sin80°，即sin11°＜sin168°＜cos10°．

故选C．

考点：正弦函数的单调性．

二、多选题（本大题共4小题.共20分.在每小题有多项符合题目要求）

9. 已知复数，则（    ）

A. 的虚部为 B. 在复平面内对应的点位于第二象限

C.  D.

【答案】CD

【解析】

【分析】先根据复数的乘法和除法运算化简，然后再逐项进行分析即可.

【详解】因为，

A．的虚部为，故错误；

B．在复平面内对应的点为，位于第四象限，故错误；

C．，故正确；

D．，所以，故正确，

故选：CD.

10. 小冰家向银行贷款万元，贷款时间为年，如果贷款月利率为，那么按照等额本金方式还款，她家从起始月开始，每月应还本金万元，每月支付给银行的利息（单位：万元）依次为 若小冰家完全按照合同还款（银行利率保持不变，也未提前还贷），则小冰家的还款情况下列叙述正确的是（    ）

A. 小冰家每月的还款额是相等的

B. 小冰家总共还款次数是次

C. 小冰家最后一个月应还款是万元

D. 小冰家还完款，付的利息总额是万元

【答案】BCD

【解析】

【分析】小冰家每月还款分二种金额，固定的本金和变动的利息.

【详解】对于A：

由于利息是变动的，所以每月还款额不相等，故A错误；

对于B：

贷款时间为n年，所以还款次数为12n，故B正确；

对于C：

最后一个月，还款额为 ，故C正确；

对于D：

小冰家还完款，付的利息总额为

，故D正确.

故选：BCD

11. 已知是的前项和，，则下列选项错误的是（    ）

A.  B.

C.  D. 是以为周期的周期数列

【答案】AC

【解析】

【分析】推导出，利用数列的周期性可判断各选项的正误.

【详解】因为，，则，，，

以此类推可知，对任意的，，D选项正确；

，A选项错误；

，B选项正确；

，C选项错误.

故选：AC.

12. 已知实数为函数|的两个零点，则下列结论正确的是（    ）

A  B.

C.  D.

【答案】AB

【解析】

【分析】

分别作图与得，又因为即可判断出结果.

【详解】令则 ，分别作图与如图所示：

由图可得 ，所以成立，故A正确；

由于

所以故B正确，C、D错误；

故选：AB

【点睛】方法点晴：将函数零点问题转化为两个函数图象交点问题处理.

三、填空题（本大题共4小题.共20分）

13. 如图，在空间四边形中，和为对角线，为的重心是上一点，以为基底，则__________．

【答案】

【解析】

【详解】由题意，连接 则

．
.

故答案.

14. 如图，半径为2的半球内接一个圆柱，这个圆柱侧面积的最大值为_______.

【答案】

【解析】

【分析】设圆柱底面半径为，求得圆柱侧面积的表达式，利用二次函数的性质求得最大值.

【详解】设圆柱底面半径为，则高为，

所以圆柱的侧面积为

，

所以当时，圆柱的侧面积取得最大值为.

故答案为：

15. 已知曲线在点处的切线与曲线也相切.则______．

【答案】1

【解析】

【分析】由导数的几何意义求解，

【详解】令，，

则，，，则点处的切线方程为

令，，

由题意得，解得，

故答案为：1

16. 已知，且，则__________；__________.

【答案】    ①.     ②.

【解析】

【分析】利用三角函数的诱导公式，同角基本关系式以及三角恒等变换求解.

【详解】因为，，

所以，

所以.

因为，

所以.

因为，所以.

故.

故答案为：，

四、解答题（本大题共6小题.共70分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤）

17. 已知．

（1）求的值；

（2）求向量与夹角的余弦值．

【答案】（1）；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）根据即可求；

（2）设向量与大角为,.

【小问1详解】

，

，，；

【小问2详解】

,
，
,
，
设向量与大角为,
.

18. 已知数列满足，．

（1）写出该数列的前4项，并归纳出数列的通项公式；

（2）证明：．

【答案】（1）（2）证明见解析.

【解析】

【分析】（1）由数列的递推公式，分别求得，及，并根据前4项归纳出数列的通项公式；

（2）根据数列的递推公式即可证明等式成立．

【详解】（1），

当时，，

当时，，

当时，．

因为，，，，，归纳得．

数列的通项公式；

（2）证明：因为，所以．

【点睛】本题考查数列递推公式的应用，考查等比数列的证明，考查计算能力．

19. 如图，平面四边形中，，，，，．

（1）；

（2）△的面积.

【答案】（1）；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）△中正弦定理得到，在△中余弦定理得，即可求解；

（2）由题设得，求，利用三角形的面积公式求△的面积.

【小问1详解】

在△中，由正弦定理得：，

在△中，由余弦定理得：，

所以.

【小问2详解】

因为，，所以，

因为，

所以.

20. 已知函数（其中为常数）．

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）当时，设函数的3个极值点为，，证明：．

【答案】（1）单调递减区间为；单调递增区间为；   

（2）证明见解析.

【解析】

【分析】（1）由题可知函数的定义域为，求函数的导数，利用导数与函数单调性的关系即得；

（2）由题可得，经分析有两个零点和，

通过分析法得到等价的命题，构造函数，利用导数即得.

【小问1详解】

当时，，，

则，由，可得，

∵当时，，当时，，当时，，

∴函数的单调递减区间为；单调递增区间为；

【小问2详解】

由题意知，，，

令函数，则，

则函数在单调递减，在单调递增；

∵函数的3个极值点为，.

∴，

∴，

当时，，，

所以函数的递增区间有，递减区间有，

此时有3个极值点，且，

∴当时，是函数的两个零点，

即，消去有，

令，则，

由可得，，

∴函数上单调递减，在上单调递增，

要证明，又，

即证，

构造函数，则，

只需证明函数在上单调递减即可；

∵，

令，，则，

所以在上单调递增，

∴，即函数在上单调递减，

∴当时，.

【点睛】思路点睛：函数不等式证明问题，将所证不等式等价转化，构造新函数，再借助函数的单调性、极(最)值问题处理.

21. 已知函数是常数．

（1）求函数的图象在点处的切线的方程.并证明函数的图象在直线的下方；

（2）讨论函数零点的个数．

【答案】（1）切线的方程为，证明见解析；   

（2）见解析

【解析】

【分析】（1）利用导数的几何意义求出的方程，构造函数求最值，可证结论；

（2）把函数零点的个数看作两个函数的公共点的个数，结合图象进行求解.

【小问1详解】

，，，

所以函数的图象在点处的切线的方程为，即.

证明：令，其中；

，令得.

当时，，为增函数；当时，，为减函数；

所以有最大值，即时，，所以函数的图象在直线的下方.

【小问2详解】

令，即，

由（1）知，当时，直线与曲线相切于点，此时只有一个零点；

作出简图，直线恒过.

当时，直线与的图象有且只有一个交点，即只有一个零点；

当时，直线与的图象有两个交点，即有两个零点；

当时，直线与的图象没有交点，即无零点.

综上可知，当时，无零点；当或时，有且仅有一个零点；当时，有两个零点.

22. 若无穷数列{}满足如下两个条件，则称{}为无界数列：

①（n=1，2，3......）

②对任意的正数，都存在正整数N，使得.

（1）若，（n=1，2，3......），判断数列{}，{}是否是无界数列；

（2）若，是否存在正整数k，使得对于一切，都有成立？若存在，求出k的范围；若不存在说明理由；

（3）若数列{}是单调递增的无界数列，求证：存在正整数m，使得.

【答案】（1）{}是无界数列；{}不是无界数列.   

（2）存在，   

（3）证明见解析

【解析】

【分析】（1）对任意的正整数，取为大于的一个偶数，有，符合无界数列的定义；取，显然，不符合无界数列的定义.

（2）讨论，，都不成立，当时，将变形为：，从而求得k的范围.

（3）观察要证的不等式结构与（2）相似，故应用（2）变形后，再由{}是单调递增的无界正数列证明.

【小问1详解】

{}是无界数列，理由如下：

对任意的正整数，取为大于的一个偶数，有，所以{}是无界数列.

{}不是无界数列，理由如下：

取，显然，不存在正整数，满足，所以{}不是无界数列.

【小问2详解】

存在满足题意的正整数k，且.

当时，，不成立.

当时，，不成立

当时，，不成立

当时，将变形为：

.

即取，对于一切，有成立.

【小问3详解】

因为数列{}是单调递增的无界数列，所以，

所以

.

即

因为{}是无界数列，取，由定义知存在正整数，使所以.

由定义可知{}是无穷数列，考察数列，，…，显然这仍是一个单调递增的无界数列，同上理由可知存在正整数，使得

.

故存在正整数，使得

.

故存在正整数，使得成立