2021-2022学年湖北省武汉六中位育中学八年级（下）月考数学试卷（3月份）（含解析）

2021-2022学年湖北省武汉六中位育中学八年级（下）月考数学试卷（3月份）

副标题

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）

1. 的平方根是

A.  B.  C.  D.

2. 二次根式中，的取值范围是

A.  B.  C.  D.

3. 下列式子中，是最简二次根式的是

A.  B.  C.  D.

4. 下列二次根式中，不能与合并的是

A.  B.  C.  D.

5. 下列运算正确的是

A.  B.  C.  D.

6. 以下列各组数据为边，不能组成直角三角形的是

A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，

7. 下面四个命题：对顶角相等；同旁内角互补，两直线平行；全等三角形的对应角相等；如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等，其中逆命题是真命题的个数是

A.  B.  C.  D.

8. 化简二次根式的正确结果是

A.  B.  C.  D.

9. 如图，长方形纸片中，已知，折叠纸片使边与对角线重合，点落在点处，折痕为，且，则的长为

A.
B.
C.
D.

10. 如图，四边形中，，，，，，则的长为

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11. 化简：______；______；______．
12. 已知实数在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为______．
13. 若，，则______．
14. 如图，点，以点为圆心，以的长为半径画弧，交轴的负半轴于点，则点的坐标为______．
    
    
     

15. 如图，中，，以、为直径作半圆和，且，则的长为______．

16. 如图，长方体长为，宽为，高为，已知点与点距离为，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短距离是______．
    
     

三、解答题（本大题共8小题，共72.0分）

17. 计算：
    ；
    ．
    
    
    
    
    
    
     
18. 先化简，再求值：，其中，．
    
    
    
    
    
    
     
19. 如图，、是平行四边形对角线上的点，求证：．

20. 如图，边长为的正方形中，是的中点，是上一点，且，求证：．
    
     

21. 如图，市气象站测得台风中心在市正东方向千米的处，以千米时的速度向北偏西的方向移动，距台风中心千米范围内是受台风影响的区域．
    市是否会受到台风的影响？写出你的结论并给予说明；
    如果市受这次台风影响，那么受台风影响的时间有多长？
    
    
    
    
    
    
     
22. 如图，是由边长为的小正方形组成的网格，其中点、、均在网格的格点上．
    直接写出格点的面积为______；
    在网格中画出使、、、四点构成平行四边形的所有点；
    直接写出线段的长为______．

23. 已知是等腰直角三角形，动点在斜边所在的直线上，以为直角边作等腰，探究并解决下列问题：
    如图，若点在线段上，，，则线段______；______；
    如图，若点在的延长线上，猜想、、的数量关系______，并证明；
    如图，若动点满足，则的值为______．

24. 如图，，，且，为上一动点，为轴上一动点，且．
    的长为______；
    若，求点坐标；
    作于，当点运动时，的长是否变化？若变化，请说明理由，若不变，请求出其值．

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】解：，的平方根为，
的平方根是．
故选：．
先求出的算术平方根为，再求出的平方根即可．
此题考查了平方根，熟练掌握平方根的定义是解本题的关键．
 

2.【答案】
 

【解析】解：由题意可得，
解得．
故选：．
根据二次根式有意义的条件列不等式组求解即可．
本题考查二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件被开方数为非负数是解题关键．
 

3.【答案】
 

【解析】解：、，故本选项不是最简二次根式，不符合题意；
B、，故本选项不是最简二次根式，不符合题意；
C、是最简二次根式，符合题意；
D、，故本选项不是最简二次根式，不符合题意；
故选：．
根据最简二次根式的定义即可得出答案．
本题考查了最简二次根式，掌握最简二次根式的概念：被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式是解题的关键．
 

4.【答案】
 

【解析】解：、，故A能与合并；
B、，故B能与合并；
C、，故C不能与合并；
D、，故D能与合并；
故选：．
根据二次根式的乘除法，可化简二次根式，根据最简二次根式的被开方数相同，可得答案．
本题考查了同类二次根式，被开方数相同的最简二次根式是同类二次根式．
 

5.【答案】
 

【解析】解：．与不是同类二次根式，不能进一步计算，此选项错误；
B.，此选项计算错误；
C.，此选项计算正确；
D.，此选项计算错误；
故选：．
根据二次根式的加法、除法、减法及二次根式的性质逐一计算即可．
本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则．
 

6.【答案】
 

【解析】解：、，是直角三角形，不符合题意；
B、，不是直角三角形，符合题意；
C、，是直角三角形，不符合题意；
D、，是直角三角形，不符合题意．
故选：．
欲判断三条线段是否能构成直角三角形的三边，就是判断三边的长是否为勾股数，需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．
本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
 

7.【答案】
 

【解析】解：对顶角相等的逆命题为相等的角为对顶角，错误，为假命题，不符合题意；
同旁内角互补，两直线平行的逆命题为两直线平行，同旁内角互补，正确，为真命题；
全等三角形的对应角相等的逆命题为对应角相等的三角形全等，错误，为假命题，符合题意；
如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等的逆命题为如果两个实数相等，那么这两个实数的平方也相等，正确，为真命题，
真命题有个，
故选：．
利用平行线的判定、全等三角形的性质、实数的性质分别判断后即可确定正确的选项．
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行线的判定、全等三角形的性质、实数的性质，属于基础知识，比较简单．
 

8.【答案】
 

【解析】解：根据代数式有意义得：，，
，
原式


．
故选：．
根据分母不等于和被开方数大于等于，得到是负数，然后化简即可．
本题考查了二次根式，解题的关键是根据代数式有意义得到是负数．
 

9.【答案】
 

【解析】解：四边形是矩形，，
，
是翻折而成，
，，是直角三角形，
，
在中，，
设，
在中，，即，解得，
故选：．
先根据矩形的性质求出的长，再由翻折变换的性质得出是直角三角形，利用勾股定理即可求出的长，再在中利用勾股定理即可求出的长．
本题考查的是翻折变换及勾股定理，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解答此题的关键．
 

10.【答案】
 

【解析】解：如图，把绕点逆时针旋转度，得到，连接，过点作延长线于点，

根据旋转可知：，，，
根据四边形的内角和，
，
，，
，
，
，
，
在中，，
，，
在中，
，
．
故选：．
把绕点逆时针旋转得到，连接，作于，则，结合旋转的性质求得，在中，，然后利用含角的直角三角形性质及勾股定理列方程求解即可．
本题考查图形的旋转，三角形全等的判定和性质，直角三角形的性质．解题的关键是把绕点逆时针旋转得到，证明出．
 

11.【答案】   
 

【解析】解：，
，
，
故答案为：；；．
根据二次根式的性质、二次根式的乘法法则计算即可．
本题考查的是二次根式的乘法，掌握二次根式的乘法法则、二次根式的性质是解题的关键．
 

12.【答案】
 

【解析】解：由图可知，，
，，
原式．
故答案为：．
根据点在数轴上的位置判断出及的符号，再去绝对值符号，合并同类项即可．
本题考查了二次根式的性质与化简：根据点在数轴上的位置判断出及的符号是解决此类问题的关键．
 

13.【答案】
 

【解析】解：，，
；
故答案为：．
根据平方差公式直接计算即可．
本题考查了平方差公式在整式乘法中的应用，属于基础知识的考查，比较简单．
 

14.【答案】
 

【解析】解：点坐标为，
，
点、均在以点为圆心，以为半径的圆上，
，
点在轴的负半轴上，
点的坐标为，
故答案为：．
先根据勾股定理求出的长，由于，故得出的长，再根据点在轴的负半轴上即可得出结论．
本题考查的是勾股定理及估算无理数的大小，根据题意利用勾股定理求出的长是解答此题的关键．
 

15.【答案】
 

【解析】解：由勾股定理得，，
，
，
，
故答案为：．
由勾股定理得，，则，可得答案．
本题主要考查了勾股定理，半圆面积的求法等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
 

16.【答案】
 

【解析】解：如图：；

；

．

，
需要爬行的最短距离是，
故答案为：．
要求正方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将正方体展开，然后利用两点之间线段最短解答．
本题主要考查平面展开最短路线问题，两点之间线段最短，关键是将长方体侧面展开，然后利用两点之间线段最短解答．
 

17.【答案】解：原式

；

原式

．
 

【解析】直接化简二次根式，进而合并得出答案；
直接利用二次根式的乘除运算法则计算得出答案．
此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．
 

18.【答案】解：，，
原式
，
当，时，原式．
 

【解析】先把各二次根式化为最简二次根式，再合并得到原式，然后把、的值代入计算．
本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．
 

19.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
．
，
．
在和中，
，
≌，
；
 

【解析】根据平行四边形的性质，可得与的关系，与的关系，根据补角的性质，可得与的关系，根据全等三角形的判定与性质，可得答案；
本题考查了平行四边形的判定与性质，利用了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质；利用了平行四边形的判定：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
 

20.【答案】解：设，
，
，，
在正方形中，
，
是的中点，
，
在中，根据勾股定理，得，
在中，根据勾股定理，得，
在中，根据勾股定理，得，
，
，
．
 

【解析】设，根据正方形性质得出，再根据勾股定理表示、、，再根据勾股逆定理判断．
本题主要考查了正方形性质、勾股定理、勾股逆定理，掌握正方形性质、勾股定理、勾股逆定理的综合应用，其中勾股逆定理的应用是解题关键．
 

21.【答案】解：市会受到台风的影响．
理由：过点作于
中，，
，
市会受到台风的影响；

以为圆心，为半径画弧交于点、
在中，，

市受这次台风影响的时间为：小时．
 

【解析】根据题意得出的长，进而得出答案；
首先求出的长，进而得出的长，进而求出市受这次台风影响的时间．
此题主要考查了勾股定理的应用，根据题意正确构造直角三角形是解题关键．
 

22.【答案】 或
 

【解析】解：，
故答案为：；
如图，点，，即为所求；

，．
故答案为：或．
把三角形的面积看成矩形的面积减去周围的三个三角形面积即可；
根据平行四边形的定义画出图形即可；
利用勾股定理求解．
本题考查作图应用与设计作图，平行四边形的判定和性质等知识，解题关键是学会用割补法求三角形面积，学会用分类讨论的思想思考问题．
 

23.【答案】     或
 

【解析】解：如图所示：
是等腰直直角三角形，，
，
，
，
和均为等腰直角三角形，
，，，
，
在和中，
，
≌．
，．
为直角三角形．
，
．
故答案为：，；
．
证明：如图：过点作，垂足为．
为等腰直角三角形，，
．
，
，
，
在中，由勾股定理可知：，
．
故答案为：．
如图：过点作，垂足为．
当点位于点处时．
，
．
．
在中，由勾股定理得：，
在中，由勾股定理得：，
．
当点位于点处时．
，
．
在中，由勾股定理得：，
在中，由勾股定理得：，
．
综上所述，的比值为或；
故答案为：或．
由勾股定理先求得的长，然后根据的长，可求得的长；过点作，垂足为，从而可求得、的长，然后在三角形中依据勾股定理可求得的长；
过点作，垂足为，则，，可证明，可得出结论；
根据点所在的位置画出图形，然后依据题目中的比值关系求得的长用含有的式子表示，然后在和中由勾股定理求得和的长度即可．
此题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识；解本题的关键是作图辅助线，熟练应用勾股定理和构造全等三角形．
 

24.【答案】
 

【解析】解：，
又，，
，，
解得：，
，，
，
，
故答案为：；

，，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
则；

当点运动时，的值不变化，，
理由为：过作，
，为斜边的中点，
，
为等腰直角三角形，
，，
，
，
，，
，
在和中，
，
≌，
；
根据已知等式，利用非负数的性质求出与的值即可；
由度数及，利用等边对等角及内角和定理求出与的度数，利用外角性质得到一对角相等，利用得到三角形与三角形全等，利用全等三角形对应边相等得到，根据求出的长，即可确定出的坐标；
当点运动时，的值不变化，，理由为：过作垂直于，由，为斜边的中点，利用勾股定理求出的长，利用斜边上的中线等于斜边的一半求出的长，再由三角形为等腰直角三角形，得到，且，根据，利用等边对等角得到一对角相等，利用外角性质及等式性质得到一对角相等，再由一对直角相等，且，利用得到三角形与三角形全等，利用全等三角形对应边相等得到，求出的长即可．
此题属于三角形综合题，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，非负数的性质，外角性质及内角和定理，坐标与图形性质，以及等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．