山西省运城市2020-2021学年高一下学期期末数学试题

2020—2021学年第二学期高一年级期末调研测试

数学试题

一、单项选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.设集合，，则（    ）

A. B. C. D.

2.在复平面内，复数对应的点的坐标为，则（为虚单位）的虚部为（    ）

A. B. C.3 D.

3.已知平面，直线，满足，则“”是“”的（    ）

A.充分不必要条件  B.必要不充分条件

C.充要条件  D.既不充分也不必要条件

4.某城市为了了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2017年至2019年期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图.根据折线图，下列说法不正确的是（    ）

A.年接待游客量逐年增加

B.各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月

C.月接待游客量逐月增加

D.各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性小，变化比较平稳

5.向量，，其中，且，则的最小值为（    ）

A.9 B.8 C.7 D.

6.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西方向行驶，到处时测得公路北侧一山顶在西偏北45°的方向上，行驶后到达处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为60°，则此山的高度为（    ）

A.  B.

C.  D.600

7.设函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增，则下列不等式成立的是（    ）

A. B.

C. D.

8.已知向量，，满足，，与的夹角为，，则的最大值为（    ）

A. B. C. D.

二、多选题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.

9.下列结论正确的是（    ）

A.设，是一个随机试验中的两个事件，则

B.概率是客观存在的，与试验次数无关

C.如果事件，互斥，，分别为事件，的对立事件，则与一定互斥

D.若，是相互独立事件，且，，则

10.已知函数，则关于的方程的解可以为（    ）

A.-4 B.0 C.-2 D.

11.已知四边形为等腰梯形，其中，，，分别为，的中点，线段，的交点为，则下列说法正确的是（    ）

A. B.在上的投影向量为

C.  D.

12.正方体的棱长为1，点是的中点，点是的中点，为的中点，点在正方形及其内部运动，若面，则下列说法正确的是（    ）

A.过点，，的截面为菱形

B.三棱锥的体积为定值

C.与平面所成角正切值的最小值为

D.三棱锥外接球的表面积为

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分

13.在中，内角，，对应的边分别为，，，若，，，则角为______.

14.已知样本数据，…，的平均数为5，方差为3，另一组样本数据，…，的平均数为10，方差为4，则样本数据，…，，，…，的方差为______.

15.最早的测雨器记载见于南宋数学家秦九韶所著的《数书九章》（1247年）.该书第二章为“天时类”，收录了有关降水量计算的四个例子，分别是“天池测雨”、“圆罂测雨”、“峻积验雪”和“竹器验雪”.其中“天池测雨”法是下雨时用一个圆台形的天池盆收集雨水来测量平地降雨量（水的体积比盆口面积）.已知天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸.当盆中积水深九寸（注：1尺=10寸）时，平地降雨量是______寸.

16.在中，，已知为内切圆的一条直径，点在的外接圆上，则的最大值为______.

四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

17.（本小题10分）

如图，在四棱锥中，四边形为矩形，平面，是的中点，，.

（1）求证：平面

（2）求点到平面的距离.

18.（本小题12分）

某种产品的质量以其质量指标值衡量，并按照质量指标值划分等级如下：

现在从某企业生产的这种产品中随机抽取了200件作为样本，检验其质量指标值，得到的频率分布直方图如图所示（每组只含最小值，不含最大值）.

（1）求第75百分位数（精确到0.1）；

（2）在样本中，按照产品等级用比例分配的分层随机抽样的方法抽取8件产品，则这8件产品中，一等品的件数是多少；

（3）将频率视为概率，已知该企业的这种产品中每件一等品的利润是10元，每件二等品和三等品的利润都是

6元，试估计该企业销售600件这种产品，所获利润是多少元.

19.（本小题12分）

已知向量，，若函数.

（1）求函数的最小正周期；

（2）将的图象向左平移个单位长度，纵坐标不变，横坐标缩小为原来的一半，得到的图象，求时的取值集合.

20.（本小题12分）

为庆祝建党100周年，某校从全校随机抽取了48名同学参加“党史知识竞赛”，竞赛分选择题（满分140分）和论述题（满分100分）两部分，每位同学两部分都作答，成绩统计如图，代表选择题得分，代表论述题得分，并设置奖励标准：且为一等奖，每人奖励400元；或为三等奖，奖励0元；其余皆为二等奖，每人奖励200元；

（1）估计这部分学生获得奖金的平均数；

（2）鉴于此项活动导向积极、易于组织，其他学校竞相效仿，相继举行此项活动（并设立同样的奖励标准）。若以样本估计总体，从参加此项活动的学生中（人数很多）随机抽取两人，记两人所获奖金之和为，求的概率.

21.（本小题12分）

的内角，，的对边分别为，，，已知的面积为.

（1）求角的大小；

（2）若，求的取值范围.

22.（本小题12分）

如图所示，平面平面，四边形为矩形，四边形为直角梯形，，，，，为的中点.

（1）求证：平面；

（2）若点是线段上一动点，求周长的最小值；

（3）求二面角的大小.

高一数学答案

一、单项选择题

1.D     2.B     3.B     4.C     5.A     6.C     7.D     8.B

二、多项选择题

9.BD     10.AD     11.CD     12.BCD

三、填空题

13.60°或120° 14.9.6 15.3 16.

四、解答题

17.（1）在矩形中，连接交于点，则为的中点，连接.

为的中点

又平面，平面

平面

（2）方法一：

，平面，平面

平面

到平面的距离等于到平面的距离

平面，平面

，又，

平面

又平面

平面平面

过作，则平面即为所求.

在中，，，解得.

方法二：（等体积法）

设到平面的距离为

平面，平面

，又，

平面

又

.

18.解：（1）依题意有，解得.

的频率为0.625，的频率为0.26

则第75百分位数在内

所以第75百分位数为.

（2）由频率分布直方图以及等级划分规则可知，样本中三等品、二等品、一等品的频率分别为，，.

所以在样本中，三等品、二等品、一等品的件数分别为25，100，75，

所以按照产品等级用比例分配分层随机抽样的方法抽取8件产品，则应抽取的一等品的件数分别为3

（3）由（2）知，从该企业的这种产品中任取一件是一等品的概率为0.375，是二等品或三等品的概率为0.625.

故该企业销售600件这种产品，所获利润约为（元）

19.解：（1）

（2）向左平移个单位长度得，再将横坐标缩短为原来的，得.

即

或

20.解（1）由图知一等奖有8人，二等奖有24人，三等奖有16人..

平均数为元

（2）由图可知获一、二、三等奖的概率分别为，，

记两人中，甲获一，二，三等奖分别为事件，，，乙获一，二，三等奖为事件，，

21.解：（1）由题意可知

又

（2）

，

由正弦定理可得

，

原式

原式

又，则

的取值范围为.

22.解（1）证明：在直角梯形中，由题意可得，

.

又平面平面，平面平面，，平面

平面

又平面

又

平面

（2）将棱锥的侧面展开到与平面共面，得平面四边形.当，，三点共线时，值最小此时周长最小.

在平面四边形中，可求得，根据余弦定理可得

周长最小值为

（3）连接，过作，连接，在矩形中可算得

又

平面平面，平面平面，

平面，

又平面

又

平面

平面

又.，且

平面

即为所求

在中可算得

又

二面角的大小为60°