山西省运城市景胜中学2020-2021学年高二上学期期中数学试题（理）（含答案）.
展开山西省运城市景胜中学2020-2021学年度第一学期高二期中数学试题（文）
一、选择题（本题共计 12 小题，每题 5 分，共计60分，）
1. 在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标是( )
A. B. C. D.
2. 若为圆的弦的中点，则直线的方程是
A. B. C. D.
3. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
A. B. C. D.
4. 已知等腰直角三角形的斜边所在的直线是，直角顶点是，则两条直角边，的方程是
A.，
B.，
C.，
D.，
5. 圆与圆的公共弦的长为
A. B. C. D.
6. 在空间中，有如下四个命题：
①若平面垂直平面，则平面内的任意一条直线垂直于平面；
②平行于同一个平面的两条直线是平行直线；
③垂直于同一条直线的两个平面是平行平面；
④过平面的一条斜线有且只有一个平面与平面垂直．
其中正确的两个命题是( )
A.①、③ B.②、④ C.③、④ D.②、③
7. 某三棱锥的三视图如图所示（网格纸上小正方形的边长为），则该三棱锥中最长的棱长为
A. B. C. D.
8. 三棱锥的高为，若三个侧面两两垂直，则为的（）
A.内心 B.外心 C.垂心 D.重心
9. 在四面体中，平面，，，，则该四面体的外接球的表面积为( )
A. B. C. D.
10. 已知方程，则的最大值是( )
A. B. C. D.
11. 圆关于直线对称，则的最小值是( )
A. B. C. D.
12. 如图，已知正方体的棱长为，点在线段上，且，平面经过点，，，则正方体被平面截得的截面面积为( )
A. B. C. D.
二、填空题（本题共计 4 小题，每题 5 分，共计20分，）
13. 圆锥底面半径为，高为，其中有一个内接正方体，则这个内接正方体的棱长为________.
14. 直线被圆所截的弦长的最小值为________.
15. 圆＝上恰有两点到直线＝的距离为，则实数的取值范围是________．
16. 若为直线上一个动点，从点引圆的两条切线，（切点为，），则的最小值是________.
三、解答题（本题共计 6 小题，共计70分，）
17.(10分) 已知圆的方程为.
求过点且与圆相切的直线的方程；
直线过点，且与圆交于、两点，若，求直线的方程.
18.(12分) 如图，四棱锥的底面为正方形，平面平面，且，.
证明：平面；
求点到平面的距离．
19.(12分) 已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为.
求边所在直线方程；
求过顶点且与平行的直线．
20.(12分) 如图，已知平面，，，，，，点，分别为，的中点．
求证：平面；
求证：平面平面；
求直线与平面所成角的大小．
21.(12分) 如图，几何体中，，均为边长为的正三角形，且平面平面，四边形为正方形.
若平面平面，求证：平面平面；
若二面角为，求直线与平面所成角的正弦值.
22.(12分) 在平面直角坐标系中，已知，直线．圆的半径为，圆心在直线上．
若圆心又在直线上，过点作圆的切线，求切线方程；
若圆上存在一点满足，求圆心的横坐标的范围．
景胜中学高二期中考试数学抽考试题答案（理）
一、选择题
1.BAABC 6 CDCCD 11 CB
二、填空题
13.
14.
15.
16.
三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，共计70分 ）
17.解：当斜率不存在时，
直线方程为，与圆相切，满足题意；
当斜率存在时，
设直线方程为：，即，
∵ 圆圆心坐标为，半径，
∴ 圆心到直线的距离，
解得：，
∴ 直线方程为，
即 .
综上所述：
过点且与圆相切的直线的方程为：或 .
由知，直线斜率存在，可设其方程为，
设圆心到直线距离为，
∵ ，
∴ ，
即，
解得：或，
∴ 直线的方程为或，
即或.
【解答】
解：当斜率不存在时，
直线方程为，与圆相切，满足题意；
当斜率存在时，
设直线方程为：，即，
∵ 圆圆心坐标为，半径，
∴ 圆心到直线的距离，
解得：，
∴ 直线方程为，
即 .
综上所述：
过点且与圆相切的直线的方程为：或 .
由知，直线斜率存在，可设其方程为，
设圆心到直线距离为，
∵ ，
∴ ，
即，
解得：或，
∴ 直线的方程为或，
即或.
18.
【答案】
证明：∵ 平面平面，平面平面，
，平面，
∴ 平面．
又∵ 平面，
∴ ．
在中，，，
，
∴ ．
∵ ，，平面，
∴ 平面．
解：如图，设点到平面的距离为，
取的中点，连接，，，作于，
则．
∵ 平面平面，平面平面，
∴ 平面．
∵ ，，
∴ 在中，，
同理，．
∴ 是等腰三角形．
由得：
，
，
解得，
∴ 点到平面的距离为．
【解答】
证明：∵ 平面平面，平面平面，
，平面，
∴ 平面．
又∵ 平面，
∴ ．
在中，，，
，
∴ ．
∵ ，，平面，
∴ 平面．
解：如图，设点到平面的距离为，
取的中点，连接，，，作于，
则．
∵ 平面平面，平面平面，
∴ 平面．
∵ ，，
∴ 在中，，
同理，．
∴ 是等腰三角形．
由得：
，
，
解得，
∴ 点到平面的距离为．
19.
【答案】
解：由边上的高所在直线方程为，
可知.
又，
故边所在直线方程为，
即边所在直线方程为．
联立
解得
所以顶点的坐标为.
又因为所在直线的斜率为，
故所求直线方程为，
即．
【解答】
解：由边上的高所在直线方程为，
可知.
又，
故边所在直线方程为，
即边所在直线方程为．
联立
解得
所以顶点的坐标为.
又因为所在直线的斜率为，
故所求直线方程为，
即．
20.
【答案】
证明：连接，
在中，
∵ 和分别是和的中点，
∴ ，
又∵ 平面，平面，
∴ 平面.
证明：∵ ，为的中点，
∴ ．
∵ 平面，，
∴ 平面.
∵ 平面，
∴ ．
又∵ 平面，平面，，
∴ 平面.
∵ 平面，
∴ 平面平面．
解：取中点和中点，连接，，，
∵ 和分别为和的中点，
∴ 平行且等于，
∴ 平行且等于，
∴ 四边形是平行四边形，
∴ 平行且等于.
又∵ 平面，
∴ 平面，
∴ 即为直线与平面所成角.
在中，可得，
∴ .
∵ ，，
∴ 且.
又由，
∴ .
在中，，
在中，，
∴ ，即直线与平面所成角的大小为.
【解答】
证明：连接，
在中，
∵ 和分别是和的中点，
∴ ，
又∵ 平面，平面，
∴ 平面.
证明：∵ ，为的中点，
∴ ．
∵ 平面，，
∴ 平面.
∵ 平面，
∴ ．
又∵ 平面，平面，，
∴ 平面.
∵ 平面，
∴ 平面平面．
解：取中点和中点，连接，，，
∵ 和分别为和的中点，
∴ 平行且等于，
∴ 平行且等于，
∴ 四边形是平行四边形，
∴ 平行且等于.
又∵ 平面，
∴ 平面，
∴ 即为直线与平面所成角.
在中，可得，
∴ .
∵ ，，
∴ 且.
又由，
∴ .
在中，，
在中，，
∴ ，即直线与平面所成角的大小为.
21.【答案】
证明：如图，取的中点，的中点，连接，，，，
则，又平面平面，
平面平面，
所以平面，
同理平面，
所以，
又，
所以四边形为平行四边形，
所以，平面，
又，平面，
又因为和交于点，
所以平面平面．
解：连结，则，
又，
所以为二面角的平面角，
所以.
因为，，
所以平面，
所以平面平面，且交线为，
又因为，
所以与平面所成的角即为所求.
过在平面中作于，
则平面，
所以即为所求的角.
因为,
即.
所以，
所以.
所以.
【解答】
证明：如图，取的中点，的中点，连接，，，，
则，又平面平面，
平面平面，
所以平面，
同理平面，
所以，
又，
所以四边形为平行四边形，
所以，平面，
又，平面，
又因为和交于点，
所以平面平面．
解：连结，则，
又，
所以为二面角的平面角，
所以.
因为，，
所以平面，
所以平面平面，且交线为，
又因为，
所以与平面所成的角即为所求.
过在平面中作于，
则平面，
所以即为所求的角.
因为,
即.
所以，
所以.
所以.
22.
【答案】
解：联立得：
解得：，
∴ 圆心．
若不存在，不合题意；
若存在，设切线为：，
可得圆心到切线的距离，
即，
解得：或，
则所求切线为或.
设点，由，知：，
化简得：，
∴ 点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，可记为圆，
又∵ 点在圆上，，
∴ 圆与圆的关系为相交或相切，
∴ ，其中，
∴ ，
解得：，
∴ 圆心的横坐标的取值范围为.
【解答】
解：联立得：
解得：，
∴ 圆心．
若不存在，不合题意；
若存在，设切线为：，
可得圆心到切线的距离，
即，
解得：或，
则所求切线为或.
设点，由，知：，
化简得：，
∴ 点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，可记为圆，
又∵ 点在圆上，，
∴ 圆与圆的关系为相交或相切，
∴ ，其中，
∴ ，
解得：，
∴ 圆心的横坐标的取值范围为.
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