福建省龙岩市永定二中集团校2021-2022学年九年级（下）期中数学试卷（含解析）

福建省龙岩市永定二中集团校2021-2022学年九年级（下）期中数学试卷

一．选择题（本题共10小题，共40分）

1. 的相反数是

A.  B.  C.  D.

2. 以下由两个等腰直角三角形组合成的图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是

A.  B.
C.  D.

3. 如图所示空心圆柱体，则该几何体的主视图是

A.
B.
C.
D.

4. 不等式组的解集是

A.  B.  C.  D.

5. 下列说法正确的是

A. “每天太阳从西边出来”是随机事件
B. 数据，，，，的中位数是
C. 甲、乙两人射中环数的方差分别是，，说明甲的射击成绩更稳定
D. 为了解全国中学生视力和用眼卫生情况，适宜采用全面调查

6. 如图，平分，，为垂足，，则的度数是

A.
B.
C.
D.

7. 在学完八上三角形一章后，某班组织了一次数学活动课，老师让同学们自己谈谈对三角形相关知识的理解．
   小峰说：“存在这样的三角形，他的三条高的比为：：”
   小慧说：“存在这样的三角形，其一边上的中线不小于其他两边和的一半．”
   对以上两位同学的说法，你认为

A. 两人都不正确 B. 小慧正确，小峰不正确
C. 小峰正确，小慧不正确 D. 两人都正确

8. 某小区有人需要进行核酸检测，由于组织有序，居民也积极配合，实际上每小时检测人数比原计划增加人，结果提前小时完成检测任务．假设原计划每小时检测人，则依题意，可列方程为

A.  B.
C.  D.

9. 如图，直线分别与轴、轴相交于点，，，点，则长度的最小值是

A.  B.  C.  D.

10. 对于一个函数：当自变量取时，其函数值也等于，我们称为这个函数的不动点．若二次函数为常数有两个不相等且都小于的不动点，则的取值范围是

1.  B.  C.  D.

二．填空题（本题共106小题，共24分）

11. 因式分解：______．
12. 如图，在中，，于点，若，则______．
    
     

13. 历经天，年月日，太空“出差”三人组顺利凯旋，平安降落在内蒙古东风着陆场．三人顺利回家，这也意味着，我国将进入空间站工程的建造阶段．中国空间站离地球有千米远．千米用科学记数法表示为______米．
14. 如图，将一个正六边形与一个正五边形如图放置，顶点、、、四点共线，为公共顶点．则______．
     

15. 在平面直角坐标系中，我们把横坐标、纵坐标都是整数的点叫做“格点”，已知点在反比例函数第一象限的图象上，若点是格点，则的坐标为______．
16. 在菱形中，，，为菱形内部一点，且，连接，点为中点，连接，取中点，连接，则的最大值为______．
    
    
    
     

三．计算题（本题共1小题，共8分）

17. 计算：．
    
    
    
    
    
    
     

四．解答题（本题共8小题，共78分）

18. 如图，已知点是正方形的边上一点，连接，过点作，垂足为点，交于点．
    求证：．
    
     

19. 先化简再求值：，其中．
    
    
    
    
    
    
     
20. 九章算术是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十二两，问金、银一枚各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金枚每枚黄金重量相同，乙袋中装有白银枚每枚白银重量相同，称重两袋相等，两袋互相交换枚后，甲袋比乙袋轻了两袋子重量忽略不计．
    问：黄金、白银每枚各重多少两？
    现有一袋黄金和白银共重两，总数不超过枚．请你算算黄金、白银各有多少枚？
    
    
    
    
    
    
     
21. 如图矩形．
    
    仅用圆规在上找一点，使平分写出作法，并证明
    在的条件下，当，时，求的面积．
    
    
    
    
    
    
     
22. 年月日是第七个全民国家安全教育日．为增强师生的国家安全意识，我区某中学组织了“国家安全知识竞赛”，根据学生的成绩划分为、、、四个等级，并绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图：
    
    根据图中提供的信息，回答下列问题：
    参加知识竞赛的学生共有______人；
    扇形统计图中，______，等级对应的圆心角为______度；
    小永是四名获等级的学生中的一位，学校将从获等级的学生中任选人，参加区举办的知识竞赛，请用列表法或画树状图，求小永被选中参加区知识竞赛的概率．
    
    
    
    
    
    
     
23. 如图，是的边上一点，，以为直径的交于点，若．
    求证：是的切线；
    若的半径为，，求的长．

24. 【阅读理解】
    在一个三角形中，如果有两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“亚直角三角形”根据这个定义，显然，则这个三角形的第三个角为，这就是说“亚直角三角形”是特殊的钝角三角形．
    【尝试运用】
    若某三角形是“亚直角三角形”，且一个内角为，请求出它的两个锐角的度数；
    如图，在中，，，，点在边上，连接，且不平分若是“亚直角三角形”，求线段的长；
    【素养提升】
    如图，在钝角中，，，，的面积为，求证：是“亚直角三角形”．

已知抛物线经过点，，与轴交于点．
若抛物线经过点，求的值；
当，且时，的最小值为．
求抛物线的解析式；
直线与抛物线交于点，与直线交于点，连接，当时，求的值．







答案和解析

1.【答案】
 

【解析】解：的相反数为．
故选：．
根据相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，进而得出答案．
此题主要考查了相反数，正确掌握相反数的定义是解题的关键．
 

2.【答案】
 

【解析】解：、不是中心对称图形，也不是轴对称图形．本选项不符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形．本选项不符合题意；
C、是中心对称图形，不是轴对称图形．本选项不符合题意；
D、既是轴对称图形又是中心对称图形．本选项符合题意．
故选：．
根据轴对称图形，中心对称图形的定义判断即可．
本题考查利用旋转，轴对称设计图案，解题的关键是理解中心对称图形，轴对称图形的定义，属于中考常考题型．
 

3.【答案】
 

【解析】解：从前面观察物体可以发现：它的主视图应为矩形，又因为该几何体为空心圆柱体，故矩形的内部有两条纵向的虚线，
故选：．
找到从前面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图；注意看得到的棱画实线，看不到的棱画虚线．
 

4.【答案】
 

【解析】解：由，得：，
由，得：，
则不等式组的解集为，
故选：．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

5.【答案】
 

【解析】解：、“每天太阳从西边出来”是不可能事件，不符合题意；
B、数据，，，，按照从小到大排列顺序为：，，，，，中间的数字是，则中位数是，符合题意；
C、甲、乙两人射中环数的方差分别是，，说明乙的射击成绩更稳定，不符合题意；
D、为了解全国中学生视力和用眼卫生情况，适宜采用抽样调查，不符合题意；
故选：．
根据事件发生的可能性大小、全面调查的、方差的意义以及中位数的概念进行分析判断．
本题综合考查了随机事件，中位数以及方差等知识点，中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的移动对中位数没有影响，中位数可能出现在所给数据中也可能不在所给的数据中出现，当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述其趋势．
 

6.【答案】
 

【解析】本题考查了直角三角形两锐角互余的性质，角平分线的定义，熟记性质是解题的关键．根据直角三角形两锐角互余求出，再根据角平分线的定义解答．

解：，，
，
平分，
．
故选D．
 

7.【答案】
 

【解析】解：假设存在这样的三角形，它的三条高的比是：：，根据等积法，得到此三角形三边比为：：，这与三角形三边关系相矛盾，故假设错误，所以这样的三角形不存在；
假设存在这样的三角形，其一边上的中线不小于其他两边和的一半，延长中线成倍，利用三角形全等，可得到三角形中中线的倍不小于其它两边和，这与三角形三边关系矛盾，故假设错误，所以这样的三角形不存在．
故两人都不正确．
故选：．
要判断是否存在这样的三角形，可以利用反证法，从各自的已知条件入手进行推理，看能否推出矛盾，得出矛盾的说明不存在这样的三角形，不出现矛盾的说明存在这样的三角形．
本题考查了三角形的角平分线、中线和高；反证法是一种很重要的方法，在解决一些特殊问题时非常有用，注意学习掌握．
 

8.【答案】
 

【解析】解：实际上每小时检测人数比原计划增加人，且原计划每小时检测人，
实际每小时检测人．
依题意得：．
故选：．
由实际与原计划每小时检测人数之间的关系可得出实际每小时检测人，利用检测实际该小区需要核算检测的总人数每小时检测人数，结合实际比原计划提前小时完成检测任务，即可得出关于的分式方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
 

9.【答案】
 

【解析】解：以为直径作，连接并延长交于点，此时的长度最小．
当时，，
点的坐标为；
当时，，
解得：，
点的坐标为．
，点的坐标为．
又点的坐标为，
，
．
故选：．
以为直径作，连接并延长交于点，此时的长度最小，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点，的坐标，进而可得出的长度及点的长度，结合点的坐标可求出的长，再利用，即可求出长度的最小值．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象与几何变换、勾股定理以及圆的认识，牢记点内一点到圆的最短距离半径该点到圆心的距离是解题的关键．
 

10.【答案】
 

【解析】解：由题意知二次函数有两个相异的不动点、是方程的两个不相等实数根，且、都小于，
整理，得：，
由有两个不相等的实数根知：，即，
令，画出该二次函数的草图如下：

而、设在的右侧都小于，即当时，，
联立并解得：；
故选：．
由函数的不动点概念得出、是方程的两个实数根，由知且时，即可求解．
本题主要考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是理解并掌握不动点的概念，并据此得出关于的不等式．
 

11.【答案】
 

【解析】解：．
故答案为：．
根据因式分解的定义，用提公因式法得．
本题主要考查提公因式法进行因式分解，熟练掌握公因式的找法是解题的关键．
 

12.【答案】
 

【解析】解：中，，于点，
，
，
，
故答案为：．
根据等腰三角形的性质直接写出答案即可．
考查了等腰三角形的性质，解题的关键是了解等腰三角形的三线合一的性质，难度不大．
 

13.【答案】
 

【解析】解：千米米米．
故答案为：．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，且比原来的整数位数少，据此判断即可．
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定与的值是解题的关键．
 

14.【答案】
 

【解析】解：由多边形的内角和可得，
，
，
，
，
由三角形的内角和得：
．
故答案为：．
根据多边形的内角和，分别得出，，再根据平角的定义和三角形的内角和算出．
本题考查了多边形的内角和定理，掌握定理是解题的关键．
 

15.【答案】或或或
 

【解析】解：根据题意，反比例函数第一象限的格点坐标有，，，，
点坐标为或或或，
故答案为：或或或．
根据题意写出反比例函数第一象限的格点坐标即可．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，理解“格点”坐标的含义以及熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
 

16.【答案】
 

【解析】解：如图所示：连接交于点，连接，取的中点，连接和，

在菱形中，
为中点，
为中点，
，
当、、、共线时，也为，
为中点、为中点，
，
在菱形中且，
，，
，，
，
，
，
，
，
的最大值为．
故答案为：．
先根据题目条件中的中点可联想中位线的性质，构造中位线将和的长度先求出来，再利用三角形的三边关系判断，当时最大．
本题难点在于辅助线的添加，要根据菱形的性质和题目条件中的中点构造中位线，然后借助三角形的三边关系可判断出当、、三点共线时最大．
 

17.【答案】解：


．
 

【解析】首先计算零指数幂、开方和绝对值，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
 

18.【答案】证明：在正方形中，，，
，
，
，
，
，
≌，
．
 

【解析】根据正方形的性质可知，，再根据，可得，可知≌，根据全等三角形的性质即可得证．
本题考查了正方形的性质，证明≌是解题的关键．
 

19.【答案】解：原式

，
当时，
原式．
 

【解析】将原式小括号内的式子进行通分计算，然后算括号外面的除法，最后代入求值．
本题考查分式的化简求值，分母有理化计算，理解二次根式的性质，掌握分式混合运算的运算顺序先算乘方，然后算乘除，最后算加减，有小括号先算小括号里面的和计算法则是解题关键．
 

20.【答案】解：设每枚黄金重两，每枚白银重两，
由题意得：，
解得：，
答：每枚黄金重两，每枚白银重两．
设黄金有枚，白银有枚，
由题意得：，
整理得：，
，
、为正整数，
或，
又，
，
答：黄金有枚，白银有枚．
 

【解析】：设每枚黄金重两，每枚白银重两，由题意：甲袋中装有黄金枚每枚黄金重量相同，乙袋中装有白银枚每枚白银重量相同，称重两袋相等，两袋互相交换枚后，甲袋比乙袋轻了两，列出二元一次方程组，解方程组即可；
设黄金有枚，白银有枚，由题意：一袋黄金和白银共重两，列出二元一次方程，求出正整数解，再由总数不超过枚，即可得出答案．
本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；找准等量关系，正确列出二元一次方程．
 

21.【答案】解：如图，以为圆心，长为半径画弧交于点；

由可知，设，则，
在中，，
，
故，
解得，
的面积为．
 

【解析】以为圆心，长为半径画弧交于点即可；
由可得，设，则，根据勾股定理即可求出，进而求出的面积．
本题考查了作图复杂作图、矩形的性质、等腰三角形的性质，解决本题的关键是掌握矩形的性质．
 

22.【答案】   
 

【解析】解：参加知识竞赛的学生共有：人；
故答案为：；

，即；
等级对应的圆心角为：；
故答案为：，；

小永用表示，其他名同学分别用、、表示，
根据题意画图如下：

共有种等可能的情况数，其中小永被选中参加区知识竞赛的有种，
则小永被选中参加区知识竞赛的概率是．
根据等级的人数和所占的百分比即可得出答案；
用等级的人数除以总人数，求出的值，再用乘以等级所占的百分比即可；
根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出小永被选中参加区知识竞赛的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
本题考查条形统计图、扇形统计图的意义和制作方法、列表法树状图法求随机事件发生的概率，从统计图中获取数量和数量之间的关系以及列举出所有可能出现的结果数是解决问题的关键．
 

23.【答案】证明：如图，连接，
是的直径，
，
，，
，
，
，
，
，
是的半径，且，
是的切线；
解：由知，
在中，，，，
，
，
，
，
过点作点作于点，
在中，，，，
，
，
，
是的切线，
，
∽，
，
，
，
．
 

【解析】连接，由是的直径得，由，，得，而，所以，则，即可证明是的切线；
在中，解直角三角形求出，过点作点作于点，在中，解直角三角形求出，证得∽，根据相似三角形的性质即可求出的长．
此题考查圆的切线的判定和性质、等腰三角形的“三线合一”定理、直径所对的圆周角是直角、相似三角形的性质和判定、解直角三角形等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
 

24.【答案】解：由题意，，
解得，
它的两个锐角的度数为，．
解：，
，
又，
，
是“亚直角三角形”，
，
，
∽，
，
，
在中，．
证明：过点作，交的延长线于点．

，，
，
在中，
，
，
，
，，
，
又，
∽，
，
，
，
是“亚直角三角形”．
 

【解析】根据方程组求出，即可．
证明∽，推出，可得结论．
过点作，交的延长线于点利用三角形面积求出，再利用勾股定理求出，再证明∽，可得结论．
本题属于三角形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，“亚直角三角形”的定义等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
 

25.【答案】解：抛物线经过点，，
抛物线的对称轴为直线．
．
，
抛物线经过点，
．
．
．
；
当时，点，，
抛物线的对称轴为直线，，
当时，随的增大而减小．
当，且时，的最小值为，
当时，的最小值为，
抛物线经过点．
，
解得：．
抛物线的解析式为．
抛物线与轴交于点，
．
设直线的解析式为，
，
解得：，
直线的解析式为．
，
．
点与点的横坐标的比为：，
设点栋横坐标为，则点的横坐标为，
点在直线上，
．
．
．
直线是解析式为
．
点在抛物线上，
．
解得：或．
或．
 

【解析】利用抛物线的对称性求得抛物线的对称轴，从而得到与的关系，利用待定系数法将代入解析式，整理即可得出结论；
利用待定系数法解得即可；
利用三角形的面积关系得到点与点的横坐标的关系，设点栋横坐标为，则点的横坐标为，利用解析式表示出点坐标，代入直线中求得值，从而得到点坐标，将点坐标代入抛物线解析式，即可求得值，将值代入的关系式即可求得结论．
本题主要考查了待定系数法确定函数的解析式，二次函数的性质，抛物线上的点的坐标的特征，一次函数图象的性质一次函数图象上点的坐标的特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．