2021-2022学年福建省福州市县域联考九年级（下）期中数学试卷（含解析）

2021-2022学年福建省福州市县域联考九年级（下）期中数学试卷

一．选择题（本题共10小题，共40分）

1. 在实数，，，，比小的数是

A.  B.  C.  D.

2. 截至年月日，新冠疫情形势依然严峻，全球累计确诊新冠肺炎病例例，将其用科学记数法表示为，则等于

A.  B.  C.  D.

3. 某个几何体的三视图如图所示，该几何体是

A.
B.
C.
D.

4. 下列运算正确的是

A.  B.
C.  D.

5. 年冬季奥运会将在北京市张家口举行，下表记录了四名短道速滑选手几次选拔赛成绩的平均数和方差：

根据表中数据，可以判断小红是这四名选手中成绩最好且发挥最稳定的运动员，则，的值可以是

A. ， B. ，
C. ， D. ，

6. 中，，，，则的长最接近的整数是

A.  B.  C.  D.

7. 九章算术是中国传统数学的重要著作，书中有一道题“今有五雀六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻；一雀一燕交而处，衡适平；并燕雀重一斤问：燕雀一枚，各重几何？”译文：“五只雀、六只燕，共重斤古时斤两雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重，问：每只雀、燕重量各为多少？”设雀重两，燕重两，可列出方程组

A.  B.
C.  D.

8. 如图，是的外接圆直径，则一定可表示为

A.
B.
C.
D.

9. 若不等式的解集是，则下列各点可能在一次函数图象上的是

A.  B.  C.  D.

10. 已知，是上的两点，则下列命题正确的是

1. 若时，，则开口一定向下
   B. 若时，，则开口一定向上
   C. 若时，，则开口一定向上
   D. 若时，，则开口一定向下

二．填空题（本题共6小题，共24分）

11. 某不等式的解集在数轴上的表示如图所示，则该不等式的解集是______ ．
     
12. 为了解某校中学生喜爱冬奥会吉祥物冰墩墩和雪容融情况，随机抽取名学生，其中有位学生喜欢冰墩墩，根据所学的统计知识可以估计该校喜欢冰墩墩的学生的人数是______．
13. 如图，在菱形中，过点作，交对角线于点，若，则点到的距离是______．
     

14. 已知，则的值是______．
15. 如图，在正五边形中，连结，以点为圆心，为半径画圆弧交于点，连接则的度数是______．
    
    
     

16. 如图，矩形的顶点，分别在轴，轴正半轴上，反比例函数的图象分别与矩形两边，交于点，，沿直线将翻折得到，且点恰好落在直线上．下列四个结论：；；；；其中结论一定正确的有______填序号即可．

三．解答题（本题共9小题，共86分）

17. 计算：．
18. 如图，在正方形中，，分别是，的中点，连接，求证：．
    
    
    
     

19. 先化简，再求值：，其中．
20. 某省疾控中心将一批万剂疫苗运往，两城市，根据预算，运往城的费用为元万剂，运往城的费用为元万剂．
    若总费用为元，则运往城、运往城疫苗各多少万剂？
    根据实际情况，城的需求量不高于城的需求量的倍，怎样调配疫苗的数量，才能使总费用最少？最少费用是多少？
21. 如图，在中，．
    分别在，边求作点，，使，且；要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹
    在的条件下，，，求的长．
     

22. 如图，在中，，沿方向平移长，得，连接．
    求的度数；
    在取一点，且，连接，求证：．
    
    
    
     

23. 小明参加某个智力竞答节目，答对最后两道单选题就顺利通关．第一道单选题有个选项，第二道单选题有个选项，这两道题小明都不会，不过小明还有一个“求助”没有用使用“求助”可以让主持人去掉当前题的一个错误选项，然后选手在剩下选项中作答．
    如果小明第一题不使用“求助”，那么小明答对第一道题的概率是______；
    如果小明将“求助”留在第二题使用，请用树状图或者列表分析小明顺利通关的概率；
    从概率的角度分析，你建议小明在第几题使用“求助”？并说明理由．
24. 如图，在中，，绕点顺时针旋转得到在，连接并延长交于点．
    求证：；
    若，求的值．

25. 已知直线的解析式为和点
    求证：无论为何值，直线必定经过一点，并求该点的坐标；
    设直线必定经过的点为．
    若直线经过点，且点所在的函数图象经过与点关于原点对称的点，求的取值范围；
    当时，设轴时，点位置为，，，三点共线时，点位置为，求面积的最小值．
    答案和解析

1.【答案】

【解析】解：，，
，
，
在实数，，，，比小的数是：，
故选：．
根据正数大于，大于负数，负数比较，绝对值大的反而小，即可解答．
本题考查了实数大小比较，算术平方根，熟练掌握负数比较，绝对值大的反而小是解题的关键．
 

2.【答案】

【解析】解：．
，
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数，当原数绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

3.【答案】

【解析】解：由三视图可知：该几何体为上下两部分组成，上面是一个圆柱，下面是一个长方体且圆柱的高度和长方体的高度相当．
故选：．
由三视图可知：该几何体为上下两部分组成，上面是一个圆柱，下面是一个长方体．
本题考查了由三视图判断几何体的知识，解题的关键是具有较强的空间想象能力，难度不大．
 

4.【答案】

【解析】解：、，原计算错误，故此选项不符合题意；
B、，原计算错误，故此选项不符合题意；
C、，原计算正确，故此选项符合题意；
D、，原计算错误，故此选项不符合题意；
故选：．
根据有理数的乘方的运算法则、合并同类项法则、同底数幂的乘法的运算法则、完全平方公式逐一判断即可．
本题主要考查了有理数的乘方的运算法、合并同类项、同底数幂的乘法、完全平方公式，熟记相关公式与运算法则是解答本题的关键．
 

5.【答案】

【解析】解：根据小红是这四名选手中成绩最好且发挥最稳定的运动员知，所以符合此条件的是，，
故选：．
根据算术平均数和方差的意义求解即可．
本题主要考查方差，解题的关键是掌握算术平均数和方差的意义．
 

6.【答案】

【解析】解：中，，，，
，
，
的长最接近的整数是，
故选：．
由勾股定理得，进而得出结论．
本题考查了勾股定理，注意：在直角三角形中，两直角边长的平方和等于斜边长的平方．
 

7.【答案】

【解析】解：根据题意，得：
，
故选：．
根据“五只雀、六只燕，共重斤等于两，雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重”，即可得出关于，的二元一次方程组．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
 

8.【答案】

【解析】解：连接，如图，

是直径，
，
，
．
故选：．
连接，由是直径可得，由圆周角定理得，则有，即得解．
本题主要考查圆周角定理，解答的关键是熟记圆周角定理并灵活运用．
 

9.【答案】

【解析】解：根据不等式的解集是可得一次函数的图象大致为：

点在直线的上方，点在直线的上方，点在直线的上方，
可能在一次函数图象上的是．
故选：．
首先根据不等式及其解集得到一次函数大致的图象，然后根据图象即可判断结果．
本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，根据不等式得到一次函数的图象是本题的关键．
 

10.【答案】

【解析】解：、如图中，满足若时，，抛物线的开口向上，故选项A错误，不符合题意．

B、如图中，满足若时，抛物线的开口向下，故选项B错误，不符合题意．

D、如图中，若时，，抛物线的开口向上，故选项D错误，不符合题意．

故选：．
利用图象法，用反例说明，，D错误，即可解决问题．
本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
 

11.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查了在数轴表示不等式的解集，体现了数形结合的思想．
观察数轴得到不等式的解都在 的右侧，根据数轴表示数的方法得到不等式的解集为 ．
【解答】
解：观察数轴可得该不等式的解集为 ．
故答案为： ．   

12.【答案】

【解析】解：根据题意得：
人，
答：估计该校喜欢冰墩墩的学生的人数是人；
故答案为：．
用总人数乘以样本中喜欢冰墩墩的人数所占比例即可得．
本题考查的是通过样本去估计总体，总体平均数约等于样本平均数．
 

13.【答案】

【解析】解：如图所示：连接，
四边形是菱形，
平分，，
在和中，
，
≌，
，
则．
故答案为：．
直接利用菱形的性质结合全等三角形的判定与性质得出，即可得出答案．
此题主要考查了菱形的性质以及全等三角形的判定与性质，正确得出≌是解题关键．
 

14.【答案】

【解析】解：根据题意得：且，
，
．
故答案为：．
根据同类项的定义所含字母相同，相同字母的指数相同列出方程组，求出的值．
本题考查同类项，熟记同类项的定义是解答本题的关键．
 

15.【答案】

【解析】解：正五边形，
，，
，
，
，
，
又，
四边形是平行四边形，
，
，
，
故答案为：．
根据正五边形的性质可求出每个内角的度数为，根据等腰三角形的性质可求出，进而可得四边形是平行四边形，求出的度数，再根据三角形的内角和定理求出答案即可．
本题考查正多边形与圆，掌握正五边形的性质以及三角形的内角和定理是正确解答的前提．
 

16.【答案】

【解析】解：设，，
根据题意，可知点纵坐标为，点横坐标为，分别代入反比例函数解析式，
得，，
，，
四边形是矩形，
，
，
故选项不符合题意；
过点作轴于点，如图所示：

在矩形中，，
则有，
，
根据折叠，，
，
，
∽，
，
，
，
故选项符合题意；
，，且∽，
：：，
，
，
，
垂直平分，
，
故选项符合题意；
，
故选项符合题意；
故答案为：．
设，，表示出和的长，即可判断；过点作轴于点，易证∽，根据相似三角形的性质以及三角函数即可判断；根据相似三角形的性质可知，根据垂直平分线的性质即可判断；根据三角形的面积公式求出的面积即可判断．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，涉及相似三角形的性质和判定，垂直平分线的性质等，构造相似三角形是解题的关键，本题综合性较强．
 

17.【答案】解：原式

．

【解析】先计算、化简绝对值，再代入的值算乘法，最后算加减．
本题考查了实数的混合运算，掌握负整数指数幂的意义、特殊角的三角函数值及绝对值的意义是解决本题的关键．
 

18.【答案】证明：四边形是正方形，
，，
，分别是，的中点，
，
在和中，
，
≌，
．

【解析】由“”可证≌，可得结论．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键．
 

19.【答案】解：


，
当时，原式．

【解析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将的值代入化简后的式子即可解答本题．
本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
 

20.【答案】解：设运往城万剂，则运往城万剂，
根据题意，得，
解得，
答：运往城万剂，运往城万剂．
设运往城万剂，则运往城万剂，总费用为元，
根据题意，得，
解得，
，
，
随着增大而增大，
当时，最小为，
运往城万剂，运往城万剂，总费用最少，最少费用为元．

【解析】设运往城万剂，则运往城万剂，根据疫苗总数量和总费用列二元一次方程组，解方程组即可；
设运往城万剂，则运往城万剂，总费用为元，根据“城的需求量不高于城的需求量的倍”列一元一次不等式，然求出的取值范围，再表示出与的函数关系式，根据函数增减性，即可求出最少费用．
本题考查了一次函数的应用，涉及二元一次方程组，一元一次不等式，一次函数的性质等，根据题意建立关系式是解题的关键．
 

21.【答案】解：图形如图所示：

，
，
，
，
，
，
，．

【解析】作平分交于点，过点作交于点；
利用平行线分线段成比例定理求解即可．
本题考查作图应用与设计作图，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

22.【答案】解：连接，如图，
沿方向平移长，得，
，，
，
为等边三角形，
；
证明：，，
为等边三角形，
，，
，，
，
为等边三角形，
，
在和中，
，
≌，
．

【解析】连接，如图，先根据平移的性质得到，，则利用平行线的性质得到，然后判断为等边三角形得到的度数；
先证明为等边三角形得到，，再证明，然后证明≌，从而得到．
本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行或共线且相等．也考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质．
 

23.【答案】；
画树状图为：

共有种等可能的结果数，其中两个都正确的结果数为，所以明顺利通关的概率为；
建议小明在第一题使用“求助”理由如下：
小明将“求助”留在第一题，
画树状图为：

小明将“求助”留在第一题使用，小明顺利通关的概率，
因为，
所以建议小明在第一题使用“求助”．

【解析】

解： 如果小明第一题不使用“求助”，那么小明答对第一道题的概率 ；
故答案为 ；
见答案；
见答案．
【分析】
直接利用概率公式求解；
画树状图展示所有 种等可能的结果数，再找出两个都正确的结果数，然后根据概率公式求解；
当小明将“求助”留在第一题使用，利用同样方法求出小明顺利通关的概率 ，然后根据 可建议小明在第一题使用“求助”．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果 ，再从中选出符合事件 或 的结果数目 ，然后利用概率公式计算事件 或事件 的概率．   

24.【答案】证明：由旋转得，，
，
，
，
．
解：连接交于点，设交于点，
，，
，
，
∽，
，
，
∽，
，
，
，
∽，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
∽，
，
，
，
，
，
的值为．

【解析】由旋转得，，则，即可推导出，，所以；
先证明∽，得，再证明∽得，变形为，再证明∽，得，再证明∽，得，变形为，最后证明∽，推导出，则，所以，于是可求得．
此题考查旋转的性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
 

25.【答案】证明：，
时，，
无论为何值，直线必定经过一点，该点的坐标；
解：由得点坐标为，
则点关于原点对称的点坐标为，
直线过点，则，
所在函数图象为：，过点，
将代入得：，
把代入中得：，
即，
该方程的解为过点的方程，
方程一定有解，
则，
即，
解得：或；
解：轴时，，则，
，，共线时，，

，，
∽，
，
得：，
，
在中，以为底，
则，
即或，
，或，，
故时，

，
时，

，
，且，
，
故．

【解析】解析式变形为，即可得出直线必定经过定点；
根据关于原点对称的特点和二次方程的解解答即可；
根据相似三角形的判定和性质得出比例，分两种情况解答．
本题是一次函数的综合题，涉及到三角形相似、三角形全等等诸多知识点，难度太大．