2021-2022学年福建省漳州市诏安一中集团校八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2021-2022学年福建省漳州市诏安一中集团校八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40分）

1. 如图，在中，，，则的长为

A.
B.
C.
D.

2. 用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于”时，首先应假设这个三角形中

A. 有一个内角大于 B. 有一个内角小于
C. 每一个内角都大于 D. 每一个内角都小于

3. 若的三边，，满足，那么的形状是

A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 锐角三角形

4. 某等腰三角形的两条边长分别为和，则它的周长为

A.  B.  C.  D. 或

5. 已知，则下列四个不等式中不正确的是

A.  B.  C.  D.

6. 下面给出个式子：
   ；
   ；
   ；
   ；
   ；
   ，
   其中，不等式有

A.  个 B.  个 C.  个 D.  个

7. 如图，三角形和三角形中，一个三角形经过平移可得到另一个三角形，则下列说法中不正确的是

A. ， B.
C.  D. 平移距离为线段的长度

8. 下列现象不是旋转的是

A. 传送带传送货物 B. 飞速转动的电风扇
C. 钟摆的摆动 D. 自行车车轮的运动

9. 如图，直线与轴交于点，关于的不等式的解集是

A.  B.  C.  D.

10. 如图，在中，，，将绕点逆时针旋转，得到，连接，则的值为

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共6小题，共24分）

11. 命题“对顶角相等”的逆命题是______．
12. 如图，直线、、表示三条互相交叉的公路，现要建一个货物中转站．要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有______ 处．

13. 在平面直角坐标系中，若点在第四象限，则的取值范围是______．
14. 如图，平分，于，点为射线上一动点，连接，若，则的长度的取值范围是______．
     

15. 如果不等式组的解集是，那么的取值范围是______．
16. 如图，是边长为的等边三角形，是等腰三角形，且以为顶点作一个角，使其两边分别交于点，交于点，连接，则的周长为______．
     

三、计算题（本大题共1小题，共8分）

17. 解不等式．

四、解答题（本大题共8小题，共78分）

18. 如果方程组的解满足，求的取值范围．
19. 如图，在边长为的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，点，，的坐标分别为，，．
    判断的形状；
    将绕点顺时针旋转得到C.请在网格中画出，并直接写出点和的坐标．
     

20. 如图，、交于点，，，求证：．
    
     

21. 如图，在中，是它的角平分线，且，，，垂足分别为、，求证：．
    
     

22. 已知：如图，，，
    用直尺和圆规作的垂直平分线，分别交、于点、保留作图痕迹，不写作法．
    猜想与之间有何数量关系，并证明你的猜想．
23. 某汽车销售公司经销某品牌、两款汽车，已知款汽车每辆进价为万元，款汽车每辆进价为万元．
    公司预计用不多于万元且不少于万元的资金购进这两款汽车共辆，有几种进货方案？
    如果款汽车每辆售价为万元，款汽车每辆售价为万元，为打开款汽车的销路，公司决定每售出一辆款汽车，返还顾客现金万元，要使中所有的方案获利相同，值应是多少？提示：可设购进款汽车辆
24. 某中学数学兴趣小组在一次课外学习与探究中遇到一些新的数学符号，他们将其中某些材料摘录如下：
    对于三个实数，，，用表示这三个数的平均数，用表示这三个数中最小的数，例如，，请结合上述材料，解决下列问题：
    ____________．
    若，则的取值范围为______．
    若，求的值．
    如果，求的值．
25. 已知直线交轴于，交轴于且坐标为，直线与轴于，与直线相交于点．
    求点的坐标；
    根据图象，写出关于的不等式的解集；
    求的面积．
    
     

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：在中，，
，
，
，
故选：．
根据等腰三角形的“等角对等边”求解即可．
本题考查了等腰三角形的“等角对等边”，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
 

2.【答案】

【解析】解：用反证法证明“三角形中必有一个内角小于或等于”时，应先假设三角形中每一个内角都不小于或等于，即都大于．
故选：．
熟记反证法的步骤，然后进行判断即可．
本题结合角的比较考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．
反证法的步骤是：
假设结论不成立；
从假设出发推出矛盾；
假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
 

3.【答案】

【解析】解：，
或或，
即或或，因而三角形一定是等腰三角形．
故选A．
通过解关系式得出，，的关系，然后再判断三角形的形状即可．
本题考查了等腰三角形的概念．了解各类三角形的定义是解题关键．
 

4.【答案】

【解析】解：当为腰时，因为，不能构成三角形，故舍去；
当为腰时，符合三角形三边关系，所以其周长．
故选：．
题中没有指明哪个是底哪个是腰，则应该分两种情况进行分析，从而得到答案．
本题考查了三角形三边关系与周长的求解．
 

5.【答案】

【解析】解：、不等式两边都乘以，不等号的方向不变，故A选项正确；
B、不等式两边都乘以，不等号的方向要改变，而此选项没有改变，故B选项错误；
C、不等式的两边都加上，不等号的方向不变，故C选项正确；
D、不等式的两边都减去，不等号的方向不变，故D选项正确．
故选：．
根据不等式的基本性质对各选项分析判断后利用排除法求解．
方法点拨：本例重在考查不等式的三条基本性质，特别是性质，两边同乘以或除以同一个负数时，一定要改变不等号的方向这条性质是初学者最易出错也经常出错的地方．
 

6.【答案】

【解析】解：；；；，这些都是不等式，共有个，
故选：．
依据不等式的定义：用“”、“”、“”、“”、“”等不等号表示不相等关系的式子是不等式来判断．
本题考查不等式的识别，一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式．解答此类题关键是要识别常见不等号：．
 

7.【答案】

【解析】解：、由对应线段平行且相等可得，，正确，故此选项不符合题意；
B、由对应角相等可得，正确，故此选项不符合题意；
C、由对应点所连的线段相等可得，正确，故此选项不符合题意；
D、由平移的距离为同一点移动的距离可得平移的距离为或或的长度，错误，故此选项符合题意．
故选D．
根据平移的性质得出对应点所连的线段平行且相等，对应角相等，对应线段平行且相等结合图形与所给的选项即可得出答案．
此题主要考查了平移的性质，属于基础题，难度不大，灵活应用平移性质是解决问题的关键．
 

8.【答案】

【解析】解：传送带传送货物的过程中没有发生旋转．
故选：．
根据旋转的定义来判断：旋转就是将图形绕某点转动一定的角度，旋转后所得图形与原图形的形状、大小不变，对应点与旋转中心的连线的夹角相等．
本题考查了旋转，正确理解旋转的定义是解题的关键．
 

9.【答案】

【解析】解：直线与轴交于点，当时，，函数值随的增大而减小；
根据随的增大而较小，因而关于的不等式的解集是．
故选A．
由图知：一次函数与轴的交点横坐标为，且函数值随自变量的增大而减小，根据图形可判断出解集．
由于任何一元一次不等式都可以转化的或、为常数，的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大于或小于时，求自变量相应的取值范围．
 

10.【答案】

【解析】解：如图，连接，延长交于点，

，，
，
将绕点逆时针旋转，得到，
，，
是等边三角形
，且
是的垂直平分线
，

，，


故选：．
连接，延长交于点，由旋转的性质可得，，，可得是等边三角形，可证是的垂直平分线，由勾股定理可求的值，即可求解．
本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，证明是的垂直平分线是本题的关键．
 

11.【答案】相等的角为对顶角

【解析】解：命题“对顶角相等”的逆命题是“相等的角为对顶角”．
故答案为相等的角为对顶角．
交换原命题的题设与结论即可得到其逆命题．
本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果那么”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．也考查了逆命题．
 

12.【答案】

【解析】解：内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，
内角平分线的交点满足条件；
如图：点是两条外角平分线的交点，
过点作，，，
，，
，
点到的三边的距离相等，
两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等，满足这条件的点有个；
综上，到三条公路的距离相等的点有个，
可供选择的地址有个．
故填．
由三角形内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，可得三角形内角平分线的交点满足条件；然后利用角平分线的性质，可证得三角形两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等，这样的点有个，可得可供选择的地址有个．
此题考查了角平分线的性质．注意掌握角平分线上的点到角两边的距离相等，注意数形结合思想的应用，小心别漏解．
 

13.【答案】

【解析】解：由题意得：
，
解不等式得：，
解不等式得：，
原不等式组的解集为：，
的取值范围是：，
故答案为：．
根据平面直角坐标系中第四象限点的坐标特征可得，然后进行计算即可解答．
本题考查了点的坐标，解一元一次不等式组，熟练掌握平面直角坐标系中第四象限点的坐标特征是解题的关键．
 

14.【答案】

【解析】解：过点作于点，如图所示：

平分，，
，
点为射线上一动点，
，
的取值范围是：，
故答案为：．
过点作于点，根据角平分线的性质可得，再根据垂线段最短即可求出的取值范围．
本题考查了角平分线的性质，垂线段最短等，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．
 

15.【答案】

【解析】解：，
解不等式，，
，
，
，
不等式组的解集是，
．
故答案为：．
先求出第一个不等式的解集，再根据“同小取小”解答．
本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到无解，
 

16.【答案】

【解析】解：是等腰三角形，且

是边长为的等边三角形


延长至，使，连接，
在和中，，
≌，
，


，，为公共边
≌，

的周长是：．
要求的周长，根据题目已知条件无法求出三条边的长，只能把三条边长用其它已知边长来表示，所以需要作辅助线，延长至，使，连接，通过证明≌，及≌，从而得出，的周长等于的长．
此题主要利用等边三角形和等腰三角形的性质来证明三角形全等，构造另一个三角形是解题的关键．
 

17.【答案】解：将不等式两边同乘以得，
，
解得．

【解析】此题考查的是一元一次不等式的解法，解不等式要依据不等式的基本性质，在不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变，在不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变，在不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．将已知不等式两边同乘以，然后再根据移项、合并同类项、系数化为求出不等式的解集．
 

18.【答案】解：，
得：，
整理得：，
代入得：，
解得：．

【解析】方程组两方程左右两边相加，整理表示出，代入已知不等式计算即可求出的范围．
此题考查了解一元一次不等式，以及二元一次方程组的解，熟练掌握方程组及不等式的解法是解本题的关键．
 

19.【答案】解：，，的坐标分别为，，，
，，，
，
，
是直角三角形；
如图所示：
，
根据图可知：点，．

【解析】首先求出、和的长，利用勾股定理的逆定理判断出是直角三角形；
根据题意直接画出图形，进而写出点和的坐标．
本题主要考查了作图旋转变换的知识，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理的逆定理，此题作图难度不大．
 

20.【答案】证明：，
，
在和中，
，
≌，
．

【解析】先证，再证≌，即可得出结论．
本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定等知识，熟练掌握等腰三角形的判定，证明三角形全等是解题的关键．
 

21.【答案】证明：是的角平分线，，，
，，
在和中，，
≌，
，
．

【解析】首先由角平分线的性质可得，由，可证≌，得出，即可得出结论．
此题主要考查角平分线的性质和全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的判定；证明三角形全等是解题的关键．
 

22.【答案】证明：如图所示，直线即为所求：


，
连接，则
，，
，
，，
，
故B，
即．

【解析】本题考查了尺规作图中线段垂直平分线的作法，等腰三角形、特殊直角三角形的性质等知识；做题时要注意保留作图痕迹．
尺规作图，要按照规范画图进行，要显示作图痕迹．
明确各内角的度数，根据垂直平分线的性质，连接，把原三角形分成两个特殊三角形进行分析，得出结论．
 

23.【答案】解：设购进款汽车每辆辆，则购进款汽车辆，
依题意得：．
解得：，
的正整数解为，，，，，
共有种进货方案；

设总获利为万元，购进款汽车辆，则：
．
当时，中所有方案获利相同．
此时，购买款汽车辆，款汽车辆时对公司更有利．

【解析】关系式为：款汽车总价款汽车总价．
方案获利相同，说明与所设的未知数无关，让未知数的系数为即可；多进款汽车对公司更有利，因为款汽车每辆进价为万元，款汽车每辆进价为万元，所以要多进款．
本题考查一元一次不等式组的应用，找到合适的等量关系及不等关系是解决问题的关键．
 

24.【答案】   

【解析】解：，，
故答案为：，；
，

，
故答案为；
，

解得：或；
，且，

解得
．
根据平均数的定义计算即可．求出三个数中的最小的数即可．
根据不等式解决问题即可．
构建方程即可解决问题．
把问题转化为不等式组解决即可．
本题考查不等式组，平均数，最小值等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
 

25.【答案】解：直线经过点，
，
解得：，
直线的解析式为．
联立直线、的解析式成方程组，
，解得：，
点的坐标为．
观察函数图象可知：当时，直线在直线的上方，
不等式的解集为．
当时，，
点的坐标为，
．

【解析】根据点的坐标利用待定系数法可求出直线的解析式，联立直线、的解析式成方程组，通过解方程组即可求出点的坐标；
根据直线、的上下位置关系结合点的坐标，即可得出不等式的解集；
利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点的坐标，再根据三角形的面积公式即可求出的面积．
本题考查了一次函数与一元一次不等式、待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，解题的关键是：联立两直线解析式成方程组，求出交点坐标；根据两直线的上下位置关系找出不等式的解集；利用一次函数图象上点的坐标特征求出点的坐标．