2021【KS5U解析】白山高一下学期期末考试数学试卷含解析

这是一份2021【KS5U解析】白山高一下学期期末考试数学试卷含解析，共19页。试卷主要包含了选择题.，选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2020-2021学年吉林省白山市高一（下）期末数学试卷
一、选择题（共8个小题，每小题5分，共40分）.
1．复数的实部是（　　）
A． B． C． D．
2．已知数据x1，x2，x3，…，xn的方差为3，则数据2x1+3，2x2+3，2x3+3，…，2xn+3的方差是（　　）
A．3 B．6 C．9 D．12
3．在平行四边形ABCD中，点E是AB的中点，点F是DE的中点，则＝（　　）
A． B． C． D．
4．某校举行校园歌手大赛，6位评委对某选手的评分分别为9.2，9.5，8.8，9.9，8.9，9.5，设该选手得分的平均数为x，中位数为y，众数为z，则（　　）
A．x＜y＜z B．x＜y＝z C．y＜x＜z D．x＜x＜y
5．已知l，m，n是不重合的直线，α，β是不重合的平面，则下列命题正确的是（　　）
A．若α∥β，n∥α，则n∥β
B．若m∥α，m∥β，则α∥β
C．若α∩β＝n，m∥n，则m∥β
D．若m，n是异面直线，m∥α，n∥α，l⊥m且l⊥n，则l⊥α
6．某校对该校800名高一年级学生的体重进行调查，他们的体重都处在A，B，C，D四个区间内，根据调查结果得到如下统计图，则下列说法正确的是（　　）

A．该校高一年级有300名男生
B．该校高一年级学生体重在C区间的人数最多
C．该校高一年级学生体重在C区间的男生人数为175
D．该校高一年级学生体重在D区间的人数最少
7．在三棱锥P﹣ABC中，平面PAC⊥平面ABC，△PAC和△ABC均为等边三角形，E，F分别是棱AB，PC的中点，则异面直线EF与PB所成角的正弦值是（　　）
A． B． C． D．
8．已知集合A＝{﹣2，0，3}，且a∈A，b∈A，则函数f（x）＝ax2+3x+b有零点的概率是（　　）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知复数z1＝3+4i，z2＝a+bi（a，b∈R），则下列命题正确的是（　　）
A．若a＝﹣3，则z1+z2是纯虚数
B．若z1+z2是纯虚数，则a＝﹣3
C．若4a+3b＝0，则z1z2是实数
D．若z1z2是实数，则4a+3b＝0
10．连续抛掷一个质地均匀的骰子（每个面上对应的数字分别为1，2，3，4，5，6）两次．事件A表示“第一次正面朝上的点数是奇数”，事件B表示“第二次正面朝上的点数是偶数”，事件C表示“两次正面朝上的点数之和小于6”，事件D表示“两次正面朝上的点数之和是9”，则下列说法正确的是（　　）
A．事件A与事件B为对立事件
B．事件A与事件B相互独立
C．事件C与事件D是互斥事件
D．事件C与事件C相互独立
11．在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝2bcosB，且b≠c，则（　　）
A．A＝2B
B．角B的取值范围是
C．cosA的取值范围是
D．的取值范围是
12．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，，△ABC是等边三角形，点O为该三棱柱外接球的球心，则下列命题正确的是（　　）

A．A1C1∥平面AB1C
B．异面直线B1C与AA1所成角的大小是
C．球O的表面积是20π
D．点O到平面AB1C的距离是
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．
13．已知向量，，若∥，则x＝　 　．
14．设一个圆锥的侧面展开图是半径为的半圆，则此圆锥的体积为　 　．
15．已知4+3i是方程x2﹣ax+b＝0（a，b∈R）的一个根，则a+b＝　 　．
16．如图，已知两座山的高分别为MN＝30米，BC＝20米，为测量这两座山峰M，C之间的距离，选择水平地面上一点A为测量观测点，测得∠MAN＝60°，∠CAB＝45°，∠BAN＝150°，则MC＝　 　米．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知向量，的夹角为30°，且||＝2，||＝．
（1）求|2﹣|的值；
（2）若（k﹣）⊥（2﹣k），求k的值．
18．某高校将参加该校自主招生考试的学生的笔试成绩按得分分成5组，得到的频率分布表如表所示．该校为了选拔出最优秀的学生，决定从第4组和第5组的学生中用分层抽样法抽取60名学生进行面试，根据面试成绩，得到如图所示的频率分布直方图．
组号
分组
频数
频率
第1组
[150，160）
60
0.10
第2组
[160，170）
150
0.25
第3组
[170，180）
210
0.35
第4组
[180，190）
150
0.25
第5组
[190，200）
30
0.05
合计

600
1.00
（1）求第4组和第5组的学生进入面试的人数之差；
（2）若该高校计划录取15人，求该高校的录取分数．

19．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABB1＝∠ACC1＝∠ACB＝90°，点O为A，B的中点，AC＝BC＝2，．
（1）证明：平面ACC1A1⊥平面ABC；
（2）求点B1到平面OA1C1的距离．

20．端午节，又称端阳节、龙舟节、天中节等，源于中国人对自然天象的崇拜，由上古时代祭龙演变而来．端午节与春节、清明节、中秋节并称中国四大传统节日．某社区为丰富居民业余生活，举办了关于端午节文化习俗的知识竞赛，比赛共分为两轮．在第一轮比赛中，每位参赛选手均需参加两关比赛，若其在两关比赛中均达标，则进入第二轮比赛．已知在第一轮比赛中，A，B第一关达标的概率分别是，；第二关达标的概率分别是，．A，B在第一轮的每关比赛中是否达标互不影响．
（1）分别求出A，B进入第二轮比赛的概率；
（2）若A，B两人均参加第一轮比赛，求两人中至少有1人进入第二轮比赛的概率．
21．在①asinB+bcosA＝0，②（a+b+c）（a﹣b﹣c）＝﹣bc，③bsin2A+asinB＝0这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．
问题：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且____．
（1）求A；
（2）若角A的角平分线AD＝1，且c≥3，求△ABC面积的最小值．
22．如图，在正四棱锥P﹣ABCD中，点E，F分别在棱PB，PD上，且．
（1）证明：EF⊥平面PAC．
（2）在棱PC上是否存在点M，使得PA∥平面MEF？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．



参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题只有一个选项符合题目要求．
1．复数的实部是（　　）
A． B． C． D．
解：由题意可得，，
∴复数z的实部是．
故选：C．
2．已知数据x1，x2，x3，…，xn的方差为3，则数据2x1+3，2x2+3，2x3+3，…，2xn+3的方差是（　　）
A．3 B．6 C．9 D．12
解：∵数据x1，x2，x3，…，xn的方差为3，
∴数据2x1+3，2x2+3，2x3+3，…，2xn+3的方差是22×3＝12．
故选：D．
3．在平行四边形ABCD中，点E是AB的中点，点F是DE的中点，则＝（　　）
A． B． C． D．
解：∵点E是AB的中点，∴，
∵点F是DE的中点，
∴．
故选：B．
4．某校举行校园歌手大赛，6位评委对某选手的评分分别为9.2，9.5，8.8，9.9，8.9，9.5，设该选手得分的平均数为x，中位数为y，众数为z，则（　　）
A．x＜y＜z B．x＜y＝z C．y＜x＜z D．x＜x＜y
解：由题意可得，
，
又z＝9.5，
则x＜y＜z．
故选：A．
5．已知l，m，n是不重合的直线，α，β是不重合的平面，则下列命题正确的是（　　）
A．若α∥β，n∥α，则n∥β
B．若m∥α，m∥β，则α∥β
C．若α∩β＝n，m∥n，则m∥β
D．若m，n是异面直线，m∥α，n∥α，l⊥m且l⊥n，则l⊥α
解：对于A，若α//β，n//α，则n⊂β或n//β，故A错误；
对于B，若m//α，m//β，则α//β，或α，β相交，故B错误；
对于C，若α∩β＝n，m//n，则m⊂β或m//β，故C错误；
对于D，若m，n是异面直线，m//α，n//α，l⊥m，且l⊥n，
则由线面垂直的判定定理得l⊥α，故D正确．
故选：D．
6．某校对该校800名高一年级学生的体重进行调查，他们的体重都处在A，B，C，D四个区间内，根据调查结果得到如下统计图，则下列说法正确的是（　　）

A．该校高一年级有300名男生
B．该校高一年级学生体重在C区间的人数最多
C．该校高一年级学生体重在C区间的男生人数为175
D．该校高一年级学生体重在D区间的人数最少
解：由题意可得该校高一年级有60+80+120+40＝300名女生，
则有800﹣300＝500名男生，
故男生体重在A，B，C，D区间内的人数分别为75，150，175，100，
从而该校高一年级学生体重在A，B，C，D区间的人数分别为135，270，255，140，
故选项A，B，D错误，选项C正确．
故选：C．
7．在三棱锥P﹣ABC中，平面PAC⊥平面ABC，△PAC和△ABC均为等边三角形，E，F分别是棱AB，PC的中点，则异面直线EF与PB所成角的正弦值是（　　）
A． B． C． D．
解：如图，分别取棱BC，AC的中点D，H，连接DE，DF，PH，BH．

由题意可得PH⊥AC，BH⊥AC，则AC⊥平面PBH．
因为PB⊂平面PBH，所以AC⊥PB．
因为D，F分别是棱BC，PC的中点，
所以DF//PB，则∠DFE是异面直线EF与PB所成的角，
因为D，E分别是棱BC，AB的中点，
所以DE//AC，则DF⊥DE，
设AB＝4，则，，
因为平面PAC⊥平面ABC，且PH⊥AC，
所以PH⊥BH，所以，
所以，则，
故，
故选：B．
8．已知集合A＝{﹣2，0，3}，且a∈A，b∈A，则函数f（x）＝ax2+3x+b有零点的概率是（　　）
A． B． C． D．
解：由题意可得总的基本事件数为9，
当a＝0时，符合条件的基本事件有3个；
当a≠0时，f（x）有零点，则9﹣4ab≥0，即，
从而符合条件的基本事件有（﹣2，3），（﹣2，0），（3，﹣2），（3，0），共4个．
故所求概率．
故选：A．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知复数z1＝3+4i，z2＝a+bi（a，b∈R），则下列命题正确的是（　　）
A．若a＝﹣3，则z1+z2是纯虚数
B．若z1+z2是纯虚数，则a＝﹣3
C．若4a+3b＝0，则z1z2是实数
D．若z1z2是实数，则4a+3b＝0
解：∵复数z1＝3+4i，z2＝a+bi（a，b∈R），
∴z1+z2＝a+3+（b+4）i，z1z2＝（3a﹣4b）+（4a+3b）i，
当a＝﹣3且b≠﹣4时，z1+z2是纯虚数，则A错误，B正确；
当4a+3b＝0时，z1z2是实数，则C，D正确．
故选：BCD．
10．连续抛掷一个质地均匀的骰子（每个面上对应的数字分别为1，2，3，4，5，6）两次．事件A表示“第一次正面朝上的点数是奇数”，事件B表示“第二次正面朝上的点数是偶数”，事件C表示“两次正面朝上的点数之和小于6”，事件D表示“两次正面朝上的点数之和是9”，则下列说法正确的是（　　）
A．事件A与事件B为对立事件
B．事件A与事件B相互独立
C．事件C与事件D是互斥事件
D．事件C与事件C相互独立
解：由题意可知事件A与事件B相互独立，则A错误，B正确；
事件C与事件D是互斥事件，但不是对立事件，则C正确，D错误．
故选：BC．
11．在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝2bcosB，且b≠c，则（　　）
A．A＝2B
B．角B的取值范围是
C．cosA的取值范围是
D．的取值范围是
解：因为a＝2bcosB，所以sinA＝2sinBcosB＝sin2B，
所以A＝2B或A+2B＝π．
因为b≠c，所以B≠C，
所以A+2B≠A+B+C＝π，则A＝2B，故A正确．
因为A+B+C＝π，所以C＝π﹣A﹣B＝π﹣3B．
因为△ABC是锐角三角形，
所以，
即，解得，
所以，
利用正弦定理：，故B错误，D正确．
因为A＝2B，所以，
所以，则C正确．
故选：ACD．
12．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，，△ABC是等边三角形，点O为该三棱柱外接球的球心，则下列命题正确的是（　　）

A．A1C1∥平面AB1C
B．异面直线B1C与AA1所成角的大小是
C．球O的表面积是20π
D．点O到平面AB1C的距离是
解：如图，由题意可知A1C1∥AC．

因为AC⊂平面AB1C，A1C1⊄平面AB1C，
所以A1C1∥平面AB1C，故A正确．
因为AA1∥CC1，所以∠B1CC1是异面直线B1C与AA1所成的角．
因为，
所以，
所以，故B错误．
设△A1B1C1外接圆的圆心为O1，连接OO1，O1C1，OC1，
由题意可得，，
则球O的半径，
从而球O的表面积是，故C正确．
设△AB1C外接圆的半径为r，
由题意可得，
则．
由正弦定理可得，
则点O到平面AB1C的距离，故D正确．
故选：ACD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．
13．已知向量，，若∥，则x＝　﹣　．
解：由题意可得2x+3＝0，解得x＝﹣．
故答案为：．
14．设一个圆锥的侧面展开图是半径为的半圆，则此圆锥的体积为　3π　．
解：∵圆锥的侧面展开图是半径为的半圆，
∴圆锥的母线l＝，半径r＝＝，
∴圆锥的高h＝＝3，
故圆锥的体积V＝＝3π；
故答案为：3π
15．已知4+3i是方程x2﹣ax+b＝0（a，b∈R）的一个根，则a+b＝　33　．
解：设该方程的另一个根为z＝x+yi（x，y∈R），
则，从而，
解得，即，
故a+b＝8+25＝33，
故答案为：33．
16．如图，已知两座山的高分别为MN＝30米，BC＝20米，为测量这两座山峰M，C之间的距离，选择水平地面上一点A为测量观测点，测得∠MAN＝60°，∠CAB＝45°，∠BAN＝150°，则MC＝　10　米．

解：如图，过点C作CD⊥MN，垂足为D，

则DM＝MN﹣BC＝10米，CD＝BN．
由题意可得AN＝10米，AB＝20米，∠BAN＝150°，
则BN2＝300+400﹣2×10，
从而MC2＝CD2+DM2＝1300+100＝1400，
故MC＝10米．
故答案为：10．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知向量，的夹角为30°，且||＝2，||＝．
（1）求|2﹣|的值；
（2）若（k﹣）⊥（2﹣k），求k的值．
解：由已知得，．
（1）＝＝．
（2）由（k﹣）⊥（2﹣k）得（k﹣）•（2﹣k）＝0，
所以，
化简得3k2﹣11k+6＝0，解得，或k＝3．
18．某高校将参加该校自主招生考试的学生的笔试成绩按得分分成5组，得到的频率分布表如表所示．该校为了选拔出最优秀的学生，决定从第4组和第5组的学生中用分层抽样法抽取60名学生进行面试，根据面试成绩，得到如图所示的频率分布直方图．
组号
分组
频数
频率
第1组
[150，160）
60
0.10
第2组
[160，170）
150
0.25
第3组
[170，180）
210
0.35
第4组
[180，190）
150
0.25
第5组
[190，200）
30
0.05
合计

600
1.00
（1）求第4组和第5组的学生进入面试的人数之差；
（2）若该高校计划录取15人，求该高校的录取分数．

解：（1）由题意可知，抽取比例为，
则从第4组应抽取的人数为，
从第5组应抽取的人数为，
故第4组和第5组的学生进人面试的人数之差为50﹣10＝40；
（2）由题意可知，该高校的录取率为，
因为（0.02+0.04）×10＝0.6＜0.75，0.6+0.03×10＝0.9＞0.75，
则该高校的录取分数在[80，90）内，
设该高校的录取分数为x，则（x﹣80）×0.03+0.6＝0.75，
解得x＝85，
故该高校的录取分数为85分．
19．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABB1＝∠ACC1＝∠ACB＝90°，点O为A，B的中点，AC＝BC＝2，．
（1）证明：平面ACC1A1⊥平面ABC；
（2）求点B1到平面OA1C1的距离．

【解答】（1）证明：因为∠ABB1＝∠ACC1＝90°，
所以AB⊥BB1，AC⊥CC1．
在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BB1//CC1，
所以AB⊥CC1，
又因为AB∩AC＝A，所以CC1⊥平面ABC，
又因为CC1⊂平面ACC1A1，
所以平面ACC1A1⊥平面ABC．
（2）解：设点O到平面A1B1C1的距离为h，点B1到平面OA1C1的距离为d．
因为点O为A1B的中点，所以，．
因为AC＝BC＝2，，
所以，
则．
因为，所以，
故点B1到平面OA1C1的距离为．
20．端午节，又称端阳节、龙舟节、天中节等，源于中国人对自然天象的崇拜，由上古时代祭龙演变而来．端午节与春节、清明节、中秋节并称中国四大传统节日．某社区为丰富居民业余生活，举办了关于端午节文化习俗的知识竞赛，比赛共分为两轮．在第一轮比赛中，每位参赛选手均需参加两关比赛，若其在两关比赛中均达标，则进入第二轮比赛．已知在第一轮比赛中，A，B第一关达标的概率分别是，；第二关达标的概率分别是，．A，B在第一轮的每关比赛中是否达标互不影响．
（1）分别求出A，B进入第二轮比赛的概率；
（2）若A，B两人均参加第一轮比赛，求两人中至少有1人进入第二轮比赛的概率．
解：（1）设事件A1为“A在第一轮第一关比赛中达标”，
事件A2为“A在第一轮第二关比赛中达标”，
事件B1为“B在第一轮第一关比赛中达标”，
事件B2为“B在第一轮第二关比赛中达标”．
则A进入第二轮比赛的概率，
B进入第二轮比赛的概率．
（2）由（1）可知A没有进入第二轮比赛的概率，
B没有进入第二轮比赛的概率，
则A，B两人都没有进入第二轮比赛的概率为．
故A，B两人中至少有1人进入第二轮比赛的概率．
21．在①asinB+bcosA＝0，②（a+b+c）（a﹣b﹣c）＝﹣bc，③bsin2A+asinB＝0这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．
问题：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且____．
（1）求A；
（2）若角A的角平分线AD＝1，且c≥3，求△ABC面积的最小值．
解：选①，
（1）∵，
∴由正弦定理可得，，
∵0＜B＜π，
∴sinB≠0，
∴sinA+，
∴tanA＝﹣，
∵0＜A＜π，
∴A＝．
选②，
（1）∵（a+b+c）（a﹣b﹣c）＝﹣bc，
∴a2﹣b2﹣2bc﹣c2＝﹣bc，即﹣bc＝b2+c2﹣a2，
∴，
∵0＜A＜π，
∴A＝．
选③，
∵bsin2A+asinB＝0，
∴由正弦定理，可得2sinBsinAcosA+sinAsinB＝0，
∴2cosA+1＝0，即cosA＝﹣，
∵0＜A＜π，
∴A＝．
（2）∵S△ABC＝S△ABD+S△ACD，
∴＝，
∵AD＝1，
∴b+c＝bc，即，
∴，
设y＝，
设t＝c﹣1，t≥2，则y＝f（t）＝＝，
∵当t≥2时，f（t）单调递增，
∴，
∴△ABC面积的最小值．
22．如图，在正四棱锥P﹣ABCD中，点E，F分别在棱PB，PD上，且．
（1）证明：EF⊥平面PAC．
（2）在棱PC上是否存在点M，使得PA∥平面MEF？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．

解：（1）证明：如图，连接BD，记AC∩BD＝O，连接PO，
由题意可得四边形ABCD是正方形，PB＝PD，
则O为AC的中点，且AC⊥BD，
因为PB＝PD，所以PO⊥BD，
因为AC⊂平面PAC，PO⊂平面PAC，且AC∩PO＝O，
所以BD⊥平面PAC，
因为，所以EF//BD，
则EF⊥平面PAC．
（2）设存在点M满足条件，连接ME，MF，记PO∩EF＝N，连接MN，
取PC的中点Q，连接OQ，
因为O，Q分别是AC，PC的中点，所以OQ//PA，
因为PA//平面MEF，所以OQ//平面MEF，
因为平面POQ∩平面MEF＝MN，
所以OQ//MN，则，
由（1）可知EF//BD，所以，
所以，
因为Q为PC的中点，所以，
所以，
故存在满足条件的点M，此时．