2020-2021学年浙江省绍兴市上虞区高二（下）期末数学试卷

这是一份2020-2021学年浙江省绍兴市上虞区高二（下）期末数学试卷，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2020-2021学年浙江省绍兴市上虞区高二（下）期末数学试卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（4分）已知集合A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4，5}，记集合P＝A∪B，Q＝A∩B，则（　　）
A．1∈P B．3∉P C．5∈Q D．2∉Q
2．（4分）若a∈R，则“a＝2”是复数“z＝a2﹣4+（a+2）i”为纯虚数的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（4分）已知直线m，n与平面α，β，下列命题正确的是（　　）
A．m∥α，n∥β且α∥β，则m∥n B．m⊥α，n∥β且α⊥β，则m⊥n
C．α∩β＝m，m⊥n且α⊥β，则n⊥α D．m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥n
4．（4分）若变量x，y满足约束条件，则x+y的最大值为（　　）
A．3 B．2 C．1 D．0
5．（4分）要得到函数图象，只需把函数y＝2sin2x的图象（　　）
A．向左平移个单位 B．向左平移个单位
C．向右平移个单位 D．向右平移个单位
6．（4分）已知f（x），g（x），h（x）为R上的函数，其中函数f（x）为奇函数，函数g（x）为偶函数，则（　　）
A．函数h（g（x））为偶函数 B．函数h（f（x））为奇函数
C．函数g（h（x））为偶函数 D．函数f（h（x））为奇函数
7．（4分）函数y＝xcosx﹣sinx的部分图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
8．（4分）已知双曲线C：1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，以F1F2为直径的圆与双曲线C在第一象限内的交点为P，直线F1P与y轴交点为Q，O为坐标原点，|OQ|，则双曲线C的离心率为（　　）
A． B．1 C． D．
9．（4分）已知a+2a＝2，b+3b＝2，则blga与algb的大小关系是（　　）
A．blga＞algb B．blga＜algb C．blga＝algb D．不确定
10．（4分）已知数列{an}满足a1＝1，an+1an＝an2+2an+1，则的值所在范围是（　　）
A．（99，100） B．（100，101） C．（101，102） D．（102，103）
二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题6分，共36分.
11．（6分）sin15°sin75°＝　 　；若lg2＝a，则100a＝　 　．
12．（6分）已知椭圆C：1，则此椭圆的焦距长为 　 　；设F1，F2为的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A，B两点，若|AF2|+|BF2|＝12，则|AB|＝　 　．
13．（6分）已知直线l1：kx+y﹣1＝0，l2：x+ky+1＝0，若l1∥l2，则k＝　 　：若曲线：y＝|x|与直线l1有两个公共点，则实数k的取值范围是 　 　．
14．（6分）已知函数f（x）＝x|x﹣a|+2x，a∈R，当a＝　 　时，函数f（x）为奇函数；当x∈[0，2]时，f（x）的最大值为6，则a＝　 　．
15．（6分）将半径为R的半圆形铁皮卷成一个圆锥的侧面，若圆锥的体积为9π，则R＝　 　．
16．（6分）如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝1，D是边BC上一点，2，则•　 　．

17．（6分）若正实数a，b，c满足a（a+b+c）＝bc，则的最大值为　 　．
三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
18．（10分）已知函数f（x）＝cos4x﹣2sinxcosx﹣sin4x．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）当时，求f（x）的单调区间及最小值．
19．（13分）在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，BC⊥SB，CD⊥SD．
（1）求证：SA⊥平面ABCD；
（2）设SA＝AB＝1，连接BD，BD上的点E满足ED＝2BE，求SE与平面SBC所成角的正弦值．

20．（15分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝2，an为a1与Sn等差中项．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）记bn，n∈N*，证明：b1+b2+⋯+bn，n∈N*．
21．（15分）已知两抛物线E1：y2＝2p1x，E2：y2＝2p2x（p1，p2＞0）．过原点O引与这两条抛物线都相交的直线OA1A2、OB1B2、OC1C2（如图所示），交点分别是A1、A2，B1B2，C1C2．
（1）求证：A1B1∥A2B2；
（2）求的值．

22．（15分）已知函数f（x）＝alnx，a∈R，
（1）若f（x）的图像在点P（1，f（1））处的切线方程为y＝bx+1，求实数a，b值；
（2）讨论函数f（x）的单调性；
（3）若函数f（x）有两个不同的零点x1，x2，且不等式f（x）lnx对任意的x∈（0，+∞）恒成立，求的取值范围．

2020-2021学年浙江省绍兴市上虞区高二（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（4分）已知集合A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4，5}，记集合P＝A∪B，Q＝A∩B，则（　　）
A．1∈P B．3∉P C．5∈Q D．2∉Q
【解答】解：由题意，P＝A∪B＝{1，2，3，4，5}，Q＝A∩B＝{2，3}，
故1∈P，3∈P，5∉Q，2∈Q，
故选：A．
2．（4分）若a∈R，则“a＝2”是复数“z＝a2﹣4+（a+2）i”为纯虚数的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解答】解：①若a＝2，则z＝a2﹣4+（a+2）i＝4i为纯虚数，∴充分性成立，
②若复数z＝a2﹣4+（a+2）i为纯虚数，
则，∴a＝2，∴必要性成立，
∴a＝2是复数z＝a2﹣4+（a+2）i为纯虚数的充要条件，
故选：C．
3．（4分）已知直线m，n与平面α，β，下列命题正确的是（　　）
A．m∥α，n∥β且α∥β，则m∥n B．m⊥α，n∥β且α⊥β，则m⊥n
C．α∩β＝m，m⊥n且α⊥β，则n⊥α D．m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥n
【解答】解：直线m，n与平面α，β，
对于A，m∥α，n∥β且α∥β，则m与n平行、相交或异面，故A错误；
对于B，m⊥α，n∥β且α⊥β，则m与n相交、平行或异面，故B错误；
对于C，α∩β＝m，m⊥n且α⊥β，则n与α相交、平行或n⊂α，故C错误；
对于D，m⊥α，n⊥β且α⊥β，则由线面垂直、面面垂直的性质定理得m⊥n，故D正确．
故选：D．
4．（4分）若变量x，y满足约束条件，则x+y的最大值为（　　）
A．3 B．2 C．1 D．0
【解答】解：作出变量x，y满足约束条件表示的平面区域，
得到如图的△ABC及其内部，其中A（3，0），C（1，0）．
设z＝F（x，y）＝x+y，将直线l：z＝x+y进行平移，观察直线在y轴上的截距变化，
可得当l经过点A时，目标函数z达到最大值，
∴z最大值＝F（3，0）＝3．
故选：A．
5．（4分）要得到函数图象，只需把函数y＝2sin2x的图象（　　）
A．向左平移个单位 B．向左平移个单位
C．向右平移个单位 D．向右平移个单位
【解答】解：2sin[2（x）]，将其向右平移个单位得到y＝2sin[2（x）]＝2sin2x，
∴将y＝2sin2x的图象向左平移个单位，可得到原函数．
故选：A．
6．（4分）已知f（x），g（x），h（x）为R上的函数，其中函数f（x）为奇函数，函数g（x）为偶函数，则（　　）
A．函数h（g（x））为偶函数 B．函数h（f（x））为奇函数
C．函数g（h（x））为偶函数 D．函数f（h（x））为奇函数
【解答】解：由题意，f（﹣x）＝﹣f（x），g（﹣x）＝g（x），则h（g（﹣x））＝h（g（x），
∴函数h（g（x））为偶函数，
故选：A．
7．（4分）函数y＝xcosx﹣sinx的部分图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：函数y＝f（x）＝xcosx﹣sinx满足f（﹣x）＝﹣f（x），
即函数为奇函数，图象关于原点对称，
故排除B；
当x＝π时，y＝f（π）＝πcosπ﹣sinπ＝﹣π＜0，
故排除A，
x时，f（x）＝﹣1＜0，排除D，
故选：C．
8．（4分）已知双曲线C：1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，以F1F2为直径的圆与双曲线C在第一象限内的交点为P，直线F1P与y轴交点为Q，O为坐标原点，|OQ|，则双曲线C的离心率为（　　）
A． B．1 C． D．
【解答】解：设|PF1|＝n，|PF2|＝m，
由双曲线的定义可得n﹣m＝2a，①
根据题意可得△F1OQ∽△F1PF2，
所以，
所以，
所以，
所以nm，
代入①得（m）﹣m＝2a，
所以m＝（1）a，n（1）a＝（3）a，
在Rt△F1PF2中，|PF1|2+|PF2|2＝|F1F2|2，
所以[（3）a]2+[（1）a]2＝（2c）2，
所以（16+8）a2＝4c2，
所以4+2（1）2，
所以e1，
故选：B．

9．（4分）已知a+2a＝2，b+3b＝2，则blga与algb的大小关系是（　　）
A．blga＞algb B．blga＜algb C．blga＝algb D．不确定
【解答】解：由条件易得0＜a＜1，0＜b＜1．
当a＞0时，a+2a＜a+3a，又a+2a＝2＝b+3b，所以b+3b＜a+3a，
因为函数y＝x+3x在R上单调递增，所以0＜b＜a＜1．
设，则，所以f（x）在（0，e）上单调递增，
所以f（b）＜f（a），即，所以alnb＜blna．
又，所以algb＜blga．
故选：A．
10．（4分）已知数列{an}满足a1＝1，an+1an＝an2+2an+1，则的值所在范围是（　　）
A．（99，100） B．（100，101） C．（101，102） D．（102，103）
【解答】解：由a1＝1，an+1an＝an2+2an+1，
可得an+1＝an2，an≥1，
则an＝a1+（a2﹣a1）+...+（an﹣an﹣1）＝1+2（n﹣1）...，①
所以a5000＞2×5000＝10000，可得100；
由①可得an＞2n，
an+1＝（）2，即有，
即，
因为n≥2，所以（）+...+（）＝2101．
所以的值所在范围是（100，101）．
故选：B．
二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题6分，共36分.
11．（6分）sin15°sin75°＝　　；若lg2＝a，则100a＝　4　．
【解答】解：sin15°sin75°＝sin15°cos15°sin30°，
若lg2＝a，则10a＝2，则100a＝（10a）2＝22＝4．
故答案为：，4．
12．（6分）已知椭圆C：1，则此椭圆的焦距长为 　8　；设F1，F2为的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A，B两点，若|AF2|+|BF2|＝12，则|AB|＝　8　．
【解答】解：椭圆方程中，由a＝5，b＝3，得c＝4，故焦距长为2c＝8．
利用椭圆的定义由|AF1|+|AF2|＝2a＝10，|BF1|+|BF2|＝2a＝10，又|AF2|+|BF2|＝12，所以|AF1|+|BF1|＝8．
因为A，B，F1三点共线，所以|AB|＝|AF1|+|BF1|＝8．
故答案为：8，8．
13．（6分）已知直线l1：kx+y﹣1＝0，l2：x+ky+1＝0，若l1∥l2，则k＝　1　：若曲线：y＝|x|与直线l1有两个公共点，则实数k的取值范围是 　（﹣1，1）　．
【解答】解：∵直线l1：kx+y﹣1＝0，l2：x+ky+1＝0，l1∥l2，
∴，
解得k＝1．
∵曲线：y＝|x|与直线l1有两个公共点，
∴kx+|x|﹣1＝0，
∴k有两个交点，
作出图象如下：

由图知k∈（﹣1，1）．
故答案为：1，（﹣1，1）．
14．（6分）已知函数f（x）＝x|x﹣a|+2x，a∈R，当a＝　0　时，函数f（x）为奇函数；当x∈[0，2]时，f（x）的最大值为6，则a＝　1或3　．
【解答】解：函数f（x）＝x|x﹣a|+2，
因为函数f（x）为奇函数，
当x＞a时，﹣x＜﹣a，则f（﹣x）＝﹣x2﹣（2+a）x＝﹣f（x）＝﹣x2﹣（2﹣a）x，
则2+a＝2﹣a，所以a＝0，
同理可得当x＜a时，求得a＝0，
所以当a＝0时，f（x）为奇函数；
①当a＜0时，若x∈[0，2]时，则f（x）＝x2+（2﹣a）x，
其对称轴为，
故函数f（x）在[0，2]上单调递增，
又f（x）的最大值为6，
所以f（x）的最大值为f（2）＝4+2（2﹣a）＝6，解得a＝1（舍）；
②当0≤a≤2时，当x∈[0，a]时，f（x）＝﹣x2+（2+a）x，
其对称轴为，
故f（x）在[0，a]上单调递增，
当x∈（a，2]时，f（x）＝x2+（2﹣a）x，
其对称轴为a，
故f（x）在（a，2]上单调递增，
又f（x）的最大值为6，
所以f（x）的最大值为f（2）＝4+2（2﹣a）＝6，解得a＝1；
③当a＞2时，当x∈[0，2]时，则f（x）＝﹣x2+（2+a）x，
其对称轴为2，
故f（x）在[0，2]上单调递增，
所以f（x）的最大值为f（2）＝﹣4+2（2+a）＝6，解得a＝3．
综上所述，a的值为1或3．
故答案为：0；1或3．
15．（6分）将半径为R的半圆形铁皮卷成一个圆锥的侧面，若圆锥的体积为9π，则R＝　6　．
【解答】解：如图，

设卷成圆锥的底面半径为r，由2πr＝πR，得r．
∴，
解得R＝6．
故答案为：6．
16．（6分）如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝1，D是边BC上一点，2，则•　　．

【解答】解：法一：选定基向量，，由图及题意得，
∴（）（）
法二：由题意可得

BC2＝AB2+AC2﹣2AB•ACcosA＝4+1+2＝7，
∴BC，
∴cosB
AD，
∵，
∴．
故答案为：．
17．（6分）若正实数a，b，c满足a（a+b+c）＝bc，则的最大值为　　．
【解答】解：a（a+b+c）＝bc，
∴a2+（b+c）a﹣bc＝0，
∴a为方程x2+（b+c）x﹣bc＝0的正根，
∴a，
∴，当且仅当b＝c时取等号，
故答案为：
三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
18．（10分）已知函数f（x）＝cos4x﹣2sinxcosx﹣sin4x．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）当时，求f（x）的单调区间及最小值．
【解答】解：（1）函数f（x ）＝cos4x﹣2sinxcosx﹣sin4x
＝（cos2x﹣sin2x）（cos2x+sin2x）﹣sin2x
＝cos2x﹣sin2x﹣sin2x＝cos2x﹣sin2x
cos（2x）
所以函数f（ x ）的最小正周期是Tπ，
综上所述，结论是：函数f（ x ）的最小正周期是π．
（2）由（1）知：f（x）cos（2x），
因为，
所以2x∈[，]，
所以当2xπ，即x时，
函数f（x ）取得最小值，取得最小值时，x的集合是{}，
所以函数的单调递减区间为[0，]，单调递增区间为[，]．
19．（13分）在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，BC⊥SB，CD⊥SD．
（1）求证：SA⊥平面ABCD；
（2）设SA＝AB＝1，连接BD，BD上的点E满足ED＝2BE，求SE与平面SBC所成角的正弦值．

【解答】（1）证明：∵BC⊥SB，BC⊥AB，且AB∩SB＝B，∴BC⊥面SAB，
∵SA⊂面SAB，∴BC⊥SA，
同理CD⊥SA，．
又CD∩BC＝C，∴SA⊥平面ABCD；
（2）解：以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A﹣xyz．则A（0，0，0），B（0，1，0），C（1，1，0），D（1，0，0），S（0，0，1）
则，，，
，（，，﹣1），
设面SBC的法向量为，
则，可得，
cos．
∴SE与平面SBC所成角的正弦值为．

20．（15分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝2，an为a1与Sn等差中项．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）记bn，n∈N*，证明：b1+b2+⋯+bn，n∈N*．
【解答】解：（1）由a1＝2，an为a1与Sn等差中项，可得2an＝2+Sn，
当n≥2时，2an﹣1＝2+Sn﹣1，又2an＝2+Sn，
两式相减可得2an﹣2an﹣1＝2+Sn﹣2﹣Sn﹣1＝an，
化为an＝2an﹣1，
所以{an}是首项和公比均为2的等比数列，
可得an＝2n；
（2）证明：当n＝1时，b1成立；
当n≥2时，bn
（），
所以b1+b2+⋯+bn（1...）（1）．
综上可得，b1+b2+⋯+bn，n∈N*．
21．（15分）已知两抛物线E1：y2＝2p1x，E2：y2＝2p2x（p1，p2＞0）．过原点O引与这两条抛物线都相交的直线OA1A2、OB1B2、OC1C2（如图所示），交点分别是A1、A2，B1B2，C1C2．
（1）求证：A1B1∥A2B2；
（2）求的值．

【解答】解：（1）证明：设直线l1，l2的方程分别为y＝k1x，y＝k2x（k1，k2≠0），
由，解得A1（，），
由，解得A2（，），
同理可得B1（，），B2（，），
所以（，）＝2p1（，），
（，）＝2p2（，），
所以，
所以A1B1∥A2B2．
（2）由（1）知A1B1∥A2B2．
同理可得B1C1∥B2C2，C1A1∥C2A2，
所以△A1B1C1∽△A2B2C2，
所以（）2，
又由（1）中的知，，
所以．
22．（15分）已知函数f（x）＝alnx，a∈R，
（1）若f（x）的图像在点P（1，f（1））处的切线方程为y＝bx+1，求实数a，b值；
（2）讨论函数f（x）的单调性；
（3）若函数f（x）有两个不同的零点x1，x2，且不等式f（x）lnx对任意的x∈（0，+∞）恒成立，求的取值范围．
【解答】解：（1）（x＞0），所以f（1）＝﹣1，
故过点P的切线方程为，即，
由条件有，解得．
（2）当a≤0时，f'（x）＜0恒成立，f（x）在（0，+∞）上单调递减；
当a＞0时，令f'（x）＞0，得0＜x＜4a2；令f'（x）＜0，得x＞4a2；
所以f（x）在（0，4a2）单调递增，在（4a2，+∞）单调递减．
（3）由（2）知，若函数f（x）有两个不同的零点x1，x2，则a＞0且f（4a2）＝2aln（2a）﹣2a＞0，解得．
不等式f（x）lnx对任意的x∈（0，+∞）恒成立，等价于对任意的x∈（0，+∞）恒成立，
设，则，所以g（x）在递增，上递减，
故，解得，所以a的取值范围是．
因为x1，x2为f（x）的零点，所以，
所以，故f（a2）＝2alna﹣a．
设h（a）＝2alna﹣a，当a∈时，h'（a）＝2lna+1＞0，
所以h（a）在单调递增，又，，
所以故的范围为．
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