2022年湖南省永州市零陵区中考数学二模试卷（含解析）

2022年湖南省永州市零陵区中考数学二模试卷

副标题

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）

1. 的倒数是

A.  B.  C.  D.

2. 下列四幅图案是四所大学校徽的主体标识，其中是中心对称图形的是

A.  B.
C.  D.

3. 第七次人口普查数据显示，零陵区常住人口为万人，数据万用科学记数法表示为

A.  B.  C.  D.

4. 如图所示几何体的主视图是

A.
B.
C.
D.
 

5. 下列说法正确的是

A. “打开电视机，正在播放新闻联播”是必然事件
B. “明天下雨概率为”，是指明天有一半的时间可能下雨
C. 一组数据“，，，，”的中位数是，众数也是
D. 甲、乙两人在相同的条件下各射击次，他们成绩的平均数相同，方差分别是，，则甲的成绩更稳定

6. 下列计算正确的是

A.  B.
C.  D.

7. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是

A.  B.  C.  D.

8. 如图，在中，，按以下步骤作图：以为圆心，任意长为半径作弧，分别交、于、两点；分别以、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点；作射线，交边于点若，，则线段的长为

A.  B.  C.  D.

9. 如图，在边长为的等边中，是边上的中点，以点为圆心，为半径作圆与，分别交于，两点，则图中阴影部分的面积为

A.
B.
C.
D.

10. 如，我们叫集合，其中，，叫做集合的元素．集合中的元素具有确定性如必然存在，互异性如，，无序性即改变元素的顺序，集合不变若集合，我们说已知集合，集合，若，则的值是

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）

11. 化简：______．
12. 夏天到了，天气炎热，零陵区某学校月份举行一次“珍爱生命，预防溺水”的知识竞赛活动，该校九年级从预选表现优秀的一位男生和两位女生中任选两位同学参加学校知识竞赛，选中的两位同学恰好是一男一女的概率是______．
13. 我国古代著作增删算法统宗中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹每人六竿多十四，每人八竿恰齐足”其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知有多少人和竹竿每人竿，多竿；每人竿，恰好用完”若设有牧童人，根据题意，可列方程为______ ．
14. 如图，直线，一块含有角的直角三角尺顶点位于直线上，平分，则的度数为______

15. 如图，是的直径，点、在上，且在异侧，连接、、若，则的大小是______．
    
     

16. 已知实数、满足，若关于的一元二次方程的两个实数根分别为、，则 ______ ．
17. 如图，小明利用一个锐角是的三角板测量操场旗杆的高度，已知他与旗杆之间的水平距离为，为即小明的眼睛与地面的距离，那么旗杆的高度是______结果保留一位小数，其中，
18. 有个数排成一行，对于任意相邻的三个数，都有中间的数等于前后两数的和．如果第一个数是，第二个数是，那么前个数的和是______，这个数的和是______．

三、解答题（本大题共8小题，共78.0分）

19. 先化简，再求值：，其中．
    
    
    
    
    
    
     
20. 解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．

21. 为了执行国家的”双减政策”，提高学生的综合素养，某校在课后服务准备开展摄影、书法、绘画、表演、手工五类社团活动．为了对此项活动进行统筹安排，随机抽取了部分学生进行调查，要求每人从五个类别中只选择一个，将调查结果绘制成了两幅统计图未完成请根据统计图中的信息，解答下列问题：
    
    本次共调查了______名学生；
    请将条形统计图补充完整；
    扇形统计图中，“摄影”所占的百分比为______；“手工”所对应的圆心角的度数为______．
    若该校共有名学生，请估计选择“绘画”的学生人数．
    
    
    
    
    
    
     
22. 如图，一次函数的图象分别交轴，轴于，两点，交反比例函数的图象于，两点．
    求反比例函数与一次函数的表达式；
    求的面积．
    
    
    
     

23. 沃柑是零陵区最近几年引进种植的水果品种，它以色泽亮丽，口味甜美而迅速占领了零陵区的水果市场．今年恰逢沃柑大丰收，一水果商以每斤元的价格购进了大量的沃柑，然后以每斤元的价格进行销售，平均每天可以销售斤．经调查发现，如果沃柑的售价每降价元，那么平均每天的销售量会增加斤，为了尽快减少库存，该水果商决定降价销售．
    若将沃柑每斤降低元，则每天的销售量是多少斤．用含的代数式表示
    如果该水果商销售的沃柑要每天保证盈利元，每斤沃柑应降至多少元？
    
    
    
    
    
    
     
24. 如图，是的直径，为上一点，点是延长线上一点，且．
    求证：是的切线；
    若，，求的半径及的长．
    
    
    
    
    
    
     
25. 已知二次函数；
    求证：无论取任何值，二次函数的图象与轴总有两个不同的交点；
    若此函数图象的顶点为点，与轴的交点于点，直线与轴相交于点，对称轴的直线与轴相交于点，求证：；
    当时，二次函数有最大值，求的值．
    
    
    
    
    
    
     
26. 【推理】
    如图，在正方形中，点是上一动点，将正方形沿着折叠，点落在点处，连结，，延长交于点．
    求证：≌．
    【运用】
    如图，在【推理】条件下，延长交于点若，，求线段的长．
    【拓展】
    将正方形改成矩形，同样沿着折叠，连结，延长，交直线于，两点，若，，求的值用含的代数式表示．

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】解：的倒数是．
故选：．
根据倒数的定义即可得出答案．
本题考查了倒数，掌握乘积为的两个数互为倒数是解题的关键．
 

2.【答案】
 

【解析】解：不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B.不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C.是中心对称图形，故本选项符合题意；
D.不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：．
把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．据此判断即可．
本题考查了中心对称图形的概念，熟记定义是解答本题的关键．
 

3.【答案】
 

【解析】解：万．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是非负数；当原数的绝对值时，是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

4.【答案】
 

【解析】解：从正面看，可得如下图形：

故选：．
找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
本题考查简单组合体的三视图，理解视图的意义，掌握简单组合体三视图的形状是正确判断的前提．
 

5.【答案】
 

【解析】解：、“打开电视机，正在播放新闻联播”是随机事件，故错误，不符合题意；
B、“明天下雨概率为”，是指明天可能下雨，故错误，不符合题意；
C、一组数据“，，，，”的中位数是，众数是和，故错误，不符合题意；
D、甲、乙两人在相同的条件下各射击次，他们成绩的平均数相同，方差分别是，，则甲的成绩更稳定，正确，符合题意，
故选：．
利用随机事件的定义、概率的意义、中位数及众数的定义、方差的意义分别判断后即可确定正确的选项．
考查了概率的意义及统计的知识，解题的关键是了解概率是反映事件发生可能性大小的量，难度不大．
 

6.【答案】
 

【解析】解：、，故本选项计算错误，不符合题意；
B、，故本选项计算正确，符合题意；
C、，故本选项计算错误，不符合题意；
D、，故本选项计算错误，不符合题意．
故选：．
根据单项式除以单项式的法则判断；根据积的乘方法则判断；根据零指数幂的意义判断；根据负整数指数幂的意义判断．
本题考查了单项式除以单项式，积的乘方，零指数幂的意义，负整数指数幂的意义，掌握法则是解题的关键．
 

7.【答案】
 

【解析】解：在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是．
故选：．
直接利用关于轴对称点的性质得出答案．关于轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．
此题主要考查了关于轴对称点的性质，正确把握横纵坐标的关系是解题关键．
 

8.【答案】
 

【解析】解：由作法得平分，
过点作于，如图，则，
在中，，
，
，
即，
．
故选：．
利用基本作图得平分，过点作于，如图，根据角平分线的性质得到则，再利用勾股定理计算出，然后利用面积法得到，最后解方程即可．
本题考查了作图基本作图：熟练掌握基本作图作已知角的角平分线也考查了角平分线的性质．
 

9.【答案】
 

【解析】解：连接，如图所示：
是边上的中点，
，
是等边三角形，
，，
，
阴影部分的面积．
故选：．
首先求得圆的半径，然后根据扇形的面积公式即可求解．
本题主要考查了扇形的面积的计算、三角函数、等边三角形的性质；由三角函数求出是解决问题的关键．
 

10.【答案】
 

【解析】解：由题意知，由互异性可知，，．
因为，，
由，可得，，
所以，即，
那么就有或者，
当得，
当无解．
所以当时，，，
此时符合题意．
所以．
故选：．
利用新定义，根据元素的互异性、无序性推出只有，从而得出别两种情况．讨论后即可得解．
本题考查的是新定义下的探究型题目，关键是理解新定义的含义，再去探究题目．
 

11.【答案】
 

【解析】解：原式
．
故答案为：．
先把各根式化为最简二次根式，再根据二次根式的减法进行计算即可．
本题考查的是二次根式的加减法，熟知二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变是解答此题的关键．
 

12.【答案】
 

【解析】解：画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中选中的两位同学恰好是一男一女的结果有种，
选中的两位同学恰好是一男一女的概率为，
故答案为：．
画树状图，共有种等可能的结果，其中选中的两位同学恰好是一男一女的结果有种，再由概率公式求解即可．
本题考查了树状图法，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

13.【答案】
 

【解析】解：设有牧童人，
依题意得：．
故答案为：．
设有牧童人，根据“每人竿，多竿；每人竿，恰好用完”，结合竹竿的数量不变，即可得出关于的一元一次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
 

14.【答案】
 

【解析】解：，
，
平分，，
，
，
故答案为．
根据两直线平行，可以得出内错角相等，，由平分，角平分线的性质得，，故可以得出的度数．
本题考查平行线的性质和角平分线，解本题要熟练掌握平行线的性质和角平分线．
 

15.【答案】
 

【解析】解：，
，
，
故答案为：．
根据平角定义求出，再利用圆周角定理可得，进行计算即可解答．
本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
 

16.【答案】
 

【解析】解：实数、满足，
，，
关于的一元二次方程的两个实数根分别为、，
，，
，
故答案为：．
根据非负数的性质得出，，根据根与系数的关系可得，，将变形为，整体代入即可求得．
本题考查了非负数的性质，一元二次方程的根与系数的关系：，是一元二次方程的两根时，，．
 

17.【答案】
 

【解析】解：由题知，，
，
，
即旗杆的高度为；
故答案为：．
利用三角函数求出，然后根据即可得出旗杆的高度．
本题主要考查解直角三角形的应用，熟练利用三角函数解直角三角形是解题的关键．
 

18.【答案】 
 

【解析】解：由题意得，该组数据为，，，，，，，，，
即该组数据按以上六次一循环的规律出现，
且，，
该组数据每循环出现一次的六个数的和为，
故答案为：，．
由题意可得这组数按，，，，，六次一循环的规律出现，则可求得此题结果．
此题考查了数字规律问题的解决能力，关键是能归纳出本组数据的循环出现和一个周期数字和的规律．
 

19.【答案】解：


，
当时，原式．
 

【解析】先算括号内的减法．再算括号外的除法，最后将的值代入化简后的式子计算即可．
本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式减法和除法的运算法则．
 

20.【答案】解：，
由得：，
由得：，
不等式组的解集为．

 

【解析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，表示在数轴上即可．
此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．
 

21.【答案】   
 

【解析】解：本次共调查学生：名，
故答案为：；
表演类的人数为：名，
手工类的人数为：名，
故补全条形统计图如下，

扇形统计图中，摄影所占的百分比为：，
手工所对应的圆心角的度数为：，
故答案为：，；
名，
答：估计选择“绘画”的学生人数为名．
根据书法类的人数和所占的百分比，得出本次调查的学生人数，即可解决问题；
根据表演类所占的百分比求出表演类的人数，总人数减去摄影类、书法类、绘画类、表演类得到手工类的人数，据此补充完整条形统计图；
由摄影类的人数除以调查总人数得到摄影所占的百分比，由乘以手工类学生人数的百分比得出手工类对应扇形的圆心角的度数；
利用总人数乘以“绘画”的学生人数对应的比例即可求得．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
 

22.【答案】反比例函数的图象过点，
，
反比例函数的解析式为，
反比例函数的图象过点，
，
解得，
，
一次函数的图象过点，点，
，
解得，
一次函数的解析式为；
由知，一次函数的解析式为，
当时，，
，
，
的面积．
 

【解析】根据点坐标求出反比例函数的解析式，然后求出点坐标，用待定系数法求出一次函数的解析式即可；
根据一次函数的解析式求出点的坐标，根据坐标求出求的面积即可．
本题主要考查反比例函数和一次函数的交点问题，熟练掌握一次函数的性质，反比例函数的性质，待定系数法求解析式等知识是解题的关键．
 

23.【答案】解：若将沃柑每斤降低元，则每天的销售量是斤；
根据题意，得：，
整理，得：，
解得，，
又因为需要尽快减少库存，
，
答：每斤沃柑应降至元．
 

【解析】根据“原销售量平均每天增加的销售量降的价格”求解即可；
根据“每斤的利润销售量每天利润”列出关于的方程，解之即可．
此题考查一元二次方程的应用；得到可卖出商品数量是解决本题的易错点；得到总盈利元的等量关系是解决本题的关键．
 

24.【答案】证明：连接，

，，
，
是的直径，
，
，
，
，
，
，
是半径，
是的切线；
解：设，
，
，
，
，
，
，
，，
∽，
，
，
设，则，
，
，
，
．
 

【解析】连接，由圆周角定理及直角三角形的性质证明，则可得出结论；
由勾股定理求出，证明∽，由相似三角形的性质得出，设，则，由勾股定理可得出答案．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直．
 

25.【答案】证明：，
方程有两个不同的实数解，
即无论取任何值，二次函数的图象与轴总有两个不同的交点；

证明：二次函数，
对称轴的直线为，顶点点的坐标为，点，
对称轴的直线与轴相交于点，
，
，
，
，
，
，
是直角三角形，，
；

解：二次函数对称轴的直线为，，
抛物线开口向下，在对称轴左侧，随的增大而增大，在对称轴右侧，随的增大而减小，
当时，若，随的增大而减小，
时，二次函数有最大值，
，解得，
，
，不符合题意；
当时，
顶点点的坐标为，
时，二次函数有最大值，
，解得，不符合题意，舍去，
；
当时，若，随的增大而增大，
时，二次函数有最大值，
，解得，
综上，当时，二次函数有最大值，的值为或．
 

【解析】求出根的判别式，即可说明图象与轴总有两个交点；
求出函数图象的顶点点的坐标，由得点，利用勾股定理表示出、、，根据勾股定理的逆定理可得是直角三角形，，即可得；
分三种情况：当时，当时，当时，根据二次函数的性质即可求解．
本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，根的判别式，勾股定理以及勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握二次函数的性质，学会用分类讨论的思想思考问题，题目比较好，有一定的难度．
 

26.【答案】证明：如图中，

是由折叠得到，
，
，
四边形是正方形，
，
，
，
，
≌．

如图中，连接．

≌，
，
由折叠可知，，
，
四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，，
，，
，
，
，
或舍弃，
．

如图中，连接．

由题意，可以假设，，设．
当点在点的左侧时，
，
，
由折叠可知，
，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
，
，

，
，
或舍弃，
．
当点在点的右侧时，如图中，

同理，∽，
，，
，
，
，
或舍弃，
．
综上所述，或．
 

【解析】根据证明三角形全等即可．
如图中，连接根据，求出即可解决问题．
如图中，连接由题意，可以假设，，设分两种情形：当点在点的左侧时，当点在点的右侧时，如图中，分别利用勾股定理构建方程求解即可．
本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．