2023年湖南省永州市零陵区中考数学二模试卷（含解析）

2023年湖南省永州市零陵区中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  在，，，四个实数中，有理数共有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

2.  下列四个腾讯软件图标中，属于轴对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  不等式组的解集在数轴上表示正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

4.  下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

5.  下列说法正确的是(    )

A. 三点确定一个圆
B. “清明时节雨纷纷”是必然事件
C. 过一点有且只有一条直线与已知直线平行
D. 对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形

6.  对于一次函数的图象及性质，下列结论正确的是(    )

A. 图象经过一、二、三象限 B. 随的增大而增大
C. 图象与的图象平行 D. 图象必过点

7.  一次数学测试，某小组名同学的成绩统计如表有三个数据被遮盖：则这名同学这次数学测试成绩的众数和中位数依次是(    )

A. ， B. ， C. ， D. ，

8.  如图所示是某几何体的三视图，根据图中数据计算，这个几何体的侧面积为(    )

A.
B.
C.
D.

9.  孙子算经中有一道题，原文是“今有木，不知长短引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余尺问木长多少尺？设木长尺，绳长尺，可列方程组为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，在四边形中，，，点，分别是线段，上的动点．当的周长最小时，则的度数为(    )
 

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）

11.  若点在反比例函数的函数图象上，则的值为______．

12.  一种病毒的直径为微米，数字用科学记数法表示为______ ．

13.  为从甲、乙、丙三名射击运动员中选一人参加全运会，教练把他们的次比赛成绩作了统计：甲、乙、丙的平均成绩均为环，方差分别为，，，则应该选______ 参加全运会填“甲”或“乙”或“丙”

14.  函数中自变量的取值范围是______．

15.  如图，在中，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线分别交，于点，若，，则的周长为______ ．

16.  如图，在中，直径垂直于弦，且，则的大小是______ 度

17.  如图，某海防哨所发现在它的西北方向，距离哨所米的处有一艘船向正东方向航行，航行一段时间后到达哨所北偏东方向的处，则此时这艘船与哨所的距离约为______米．精确到米，参考数据：约等于，约等于

18.  新知学习：现定义一个数的平方等于，记为，我们把这个数叫做虚数单位像、等形如、为实数，且的数就叫虚数它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似例如计算：；；新知运用：将化简成的形式为______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
计算：．

20.  本小题分
先化简，再求值：，其中，．

21.  本小题分
在零陵区“禁毒知识进校园”活动中，某学校进行了一次禁毒知识竞赛，成绩分为优秀，良好，及格，不及格四个等次，张老师从各班随机抽取了部分学生的成绩作为一个样本，制作成统计图表，请根据图表中的信息回答问题：
求样本容量；
求“”扇形圆心角的度数；
学校共有名学生参加竞赛，请根据样本情况估计全校合格人数合格包括优秀，良好和及格；
学校打算从每班随机抽调人参观零陵区禁毒教育基地，小亮所在班共有名学生，班长做好个签，其中个“去参观”签，个空白签，每人抽一个签，小亮最后一个抽签，求小亮抽到“去参观”签的概率．

22.  本小题分
如图，矩形中，，，点是对角线的中点，过点的直线分别交、边于点、，且．
求证：四边形是菱形；
求的长．

23.  本小题分
某地蔬菜批发市场某批发商原计划以每千克元的单价对外批发销售某种蔬菜为了加快销售，该批发商对价格进行两次下调后，售价降为每千克元．
求平均每次下调的百分率；
某大型超市准备到该批发商处购买吨该蔬菜，因数量较多，该批发商决定再给予两种优惠方案以供选择方案一：打八折销售；方案二：不打折，每吨优惠现金元试问超市采购员选择哪种方案更优惠？请说明理由．

24.  本小题分
如图，在中，，以为直径作交于点，过点作的切线交于点，交延长线于点．
求证：；
若，，求的长．

25.  本小题分
如图，抛物线经过点，，直线：交轴于点，且与抛物线交于，两点，为抛物线上一动点不与，重合．
求抛物线的解析式；
当点在直线下方时，过点作轴交于点，轴交于点，求的最大值．
设为直线上的点，以，，，为顶点的四边形能否构成平行四边形？若能，求出点的坐标；若不能，请说明理由．

 

26.  本小题分
问题背景：已知的顶点在的边所在直线上不与，重合，交所在直线于点，交所在直线于点，记的面积为，的面积为．
初步尝试：如图，当是等边三角形，，，且，时，则______；
类比探究：在的条件下，先将点沿平移，使，再将绕点旋转至如图所示位置，求的值；
延伸拓展：当是等腰三角形时，设．
Ⅰ如图，当点在线段上运动时，设，，求的表达式结果用，和的三角函数表示．
Ⅱ如图，当点在的延长线上运动时，设，，直接写出的表达式，不必写出解答过程．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：在，，，四个实数中，有理数有：，，
共有个，
故选：．
根据有理数的意义，即可解答．
本题考查了实数，熟练掌握有理数的意义是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】【试题解析】

解：、不是轴对称图形，故本选项错误；
B、不是轴对称图形，故本选项错误；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、是轴对称图形，故本选项正确．
故选：．
根据轴对称图形的概念求解．
本题考查了轴对称图形的知识，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．

3.【答案】 

【解析】解：
解不等式得：，
解不等式得：，
不等式组的解集为，
在数轴上表示为：，
故选：．
先求出不等式组的解集，再在数轴上表示出来即可．
本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集，能根据不等式的解集求出不等式组的解集是解此题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：与不能合并同类项，
故A不符合题意；
，
故B不符合题意；
，
故C不符合题意；
，
故D符合题意，
故选：．
根据合并同类项，幂的乘方，完全平方公式，平方差公式分别判断即可．
本题考查了平方差公式，完全平方公式，幂的乘方，合并同类项等，熟练掌握这些知识是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：、不共线的三点确定一个圆，原说法错误，不符合题意；
B、清明时节雨纷纷”是随机事件，原说法错误，不符合题意；
C、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原说法错误，不符合题意；
D、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，原说法正确，符合题意．
故选：．
根据确定圆的条件，随机事件的概念，平行公理及推理以及正方形的判定定理进行分析判断．
本题主要考查了确定圆的条件，随机事件的概念，平行公理及推理以及正方形的判定定理等知识点，属于基础题，掌握相关概念和性质定理即可．
 

6.【答案】 

【解析】解：、，，
该函数经过第一、二、四象限，故A不正确，不符合题意；
B、，
随的增大而减小，故B不正确，不符合题意；
C、该函数，直线的，
该函数的图象与直线平行，故C正确，符合题意；
D、时，，
函数图象不经过点，故不正确，不符合题意．
故选：．
根据一次函数的图象和性质，以及一次函数图象上点的坐标特征依次判断各个选项即可．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的图象与性质，一次函数图象与系数的关系，都是基础知识，需熟练掌握．
 

7.【答案】 

【解析】解：丙的得分为，
这组数据中出现次数最多的是，共出现次，因此众数是，
将这组数据从小到大排列，处在中间位置的一个数是，因此中位数是，
故选：．
先根据平均数的意义求出丙的得分，再根据中位数、众数的意义求解即可．
本题考查中位数、众数、平均数，理解平均数、众数、中位数的意义，掌握平均数、中位数、众数的计算方法是解决问题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：由三视图可判断该几何体是圆锥，
底面直径为，母线长为，
故这个几何体的侧面积为：．
故选：．
直接利用三视图判断出几何体，再利用圆锥侧面积公式求出答案．
此题主要考查了由三视图判断几何体，正确得出几何体的形状是解题关键．
 

9.【答案】 

【解析】

解：设木长尺，绳长尺，由题意可得，
，
故选：．
【分析】根据用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余尺，可以列出相应的方程组，从而可以解答本题．
本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，找出题目中的等量关系，列出相应的方程组．  

10.【答案】 

【解析】分析
根据要使的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作出关于和的对称点，，即可得出，进而得出，计算即可得出答案．
本题考查的是轴对称最短路线问题，涉及到平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识，根据已知得出，的位置是解题关键．
详解
解：作关于和的对称点，，连接，交于，交于，则即为的周长最小值．作延长线，

，
，
，
，
，
，，
，
，
故选B．
 

11.【答案】 

【解析】解：根据题意，得
，
解得，；
故答案是：．
根据反比例函数图象上点的坐标特征，将点的坐标代入已知反比例函数解析式，列出关于的方程，通过解方程即可求得的值．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征．反比例函数图象上的点在坐标均满足该函数的解析式．
 

12.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
 

13.【答案】乙 

【解析】解：，，，
最小，
应该选乙参加全运会．
故答案为：乙．
根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
 

14.【答案】且 

【解析】解：由题意得：且，
且，
故答案为：且．
根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于，分母不等于，可以求出的范围．
本题考查了函数自变量的取值问题，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为；
当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
 

15.【答案】 

【解析】解：由作法得垂直平分，
，
的周长．
故答案为：．
利用基本作图得到垂直平分，根据线段垂直平分线的性质得到，，利用等线段代换得的周长．
本题考查了作图基本作图，线段垂直平分线的性质，熟练掌握种基本作图是解决问题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：，且为的直径，
，
，
，
，
故答案为：．
根据垂径定理易得，结合已知条件，根据同圆或等圆中，等弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可求得答案．
本题考查圆周角定理及垂径定理，它们均为圆中重要知识点，必须熟练掌握并应用．
 

17.【答案】 

【解析】

【分析】
考查了解直角三角形的应用方向角的问题．此题是一道方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．
设线段交轴于，通过解直角求得的长度，然后通过解直角求得的长度即可．
【解答】
解：如图，设线段交轴于，
在直角中，，则．
米，

米．
在直角中，，米，
米．
故答案是：．  

18.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
按新定义运算的规定，分式的分子、分母都乘以，化简即可．
本题考查了实数的运算，掌握新运算的规定是解决本题的关键．
 

19.【答案】解：原式

． 

【解析】直接利用零指数幂的性质、特殊角的三角函数值分别化简得出答案．
此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
 

20.【答案】解：原式


，
当，时，
原式． 

【解析】直接利用分式的混合运算法则化简，再把，的值代入得出答案．
此题主要考查了分式的化简求值，正确掌握分式的混合运算法则是解题关键．
 

21.【答案】解：样本容量；
，
“”扇形圆心角的度数为：；
人，
答：估计全校合格人数合格包括优秀，良好和及格约为人；
小亮抽到“去参观”签的概率为． 

【解析】由等级人数除以所占百分比即可；
求出等级人数，即可解决问题；
由学校共有学生人数乘以合格人数所占的比例即可；
直接由概率公式求解即可．
此题考查了条形统计图、扇形统计图以及概率公式等知识，从统计图中获取数量和数量之间的关系是解决问题的关键．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

22.【答案】证明：四边形是矩形，
，
，
点是对角线的中点，
，
在和中，
，
≌，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形；
解：设，则，
在中，根据勾股定理得：
，
，
解得，
的长为． 

【解析】证≌，得出，由，得四边形是平行四边形，进而得出结论；
设，则，在中，根据，构建方程求出即可．
本题考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识；熟练掌握矩形的性质和菱形的判定与性质是解题的关键．
 

23.【答案】解：设平均每次下调，
根据题意，得，
解得或舍去，
答：平均每次下调；
方案一更优惠，理由如下：
方案一：元，
方案二：元，
，
采购员选择方案一更优惠． 

【解析】设平均每次下调，根据该批发商对价格进行两次下调后，售价降为每千克元列一元二次方程，求解即可；
分别计算出方案一和方案二的总费用，再进行比较即可．
本题考查了一元二次方程的应用，根据题意建立等量关系是解题的关键．
 

24.【答案】解：连接、，

切于点，
，
是直径，
，
，
是的中点，
又是中点，
，
；

，
，
由得，
∽，
，
设，，
，
解得：，
经检验是原分式方程的根，且符合题意，
． 

【解析】连接、，由且知是的中点，由是中点知，根据可得；
证∽得，据此可得答案．
本题主要考查等腰三角形的性质、切线的性质及相似三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的性质、切线的性质及相似三角形的判定与性质是解题的关键．
 

25.【答案】解：把，代入得，，
，
抛物线的解析式为：；
设，
轴，轴，，在直线上，
，，
，
当时，的最大值是；
能，
理由：交轴于点，
，
，
设，
若以，，，为顶点的四边形能构成平行四边形，
以为边，，，
，
，或，
，舍去，，，
，，，
以为对角线，连接交于，
，，
，
设，则，
，
，
，舍去，
综上所述，，，、，以，，，为顶点的四边形能构成平行四边形． 

【解析】把，代入解方程组即可得到结论；
设，得到，，根据二次函数的性质即可得到结论；
求得，得到，设，以为边，根据，列方程得到，舍去，以为对角线，连接交于，，，得到，设，则，列方程得到此方程无实数根，于是得到结论．
本题考查了待定系数法求函数的解析式，平行四边形的性质，二次函数的性质，正确的理解题意是解题的关键．
 

26.【答案】；
如图中，设，．

，，
，
，
∽，
，
，
，
，，
．
Ⅰ如图中，设，，

同法可证∽，可得，
，，


Ⅱ如图中，设，，

同法可证∽，可得，
，，
 

【解析】解：如图中，

是等边三角形，
，，
，
，
，
，
，都是等边三角形，
，，
，
故答案为．
见答案；
见答案．

首先证明，都是等边三角形，可得，，由此即可解决问题；
如图中，设，首先证明∽，可得，推出，推出，由，，可得；
Ⅰ如图中，设，，同法可证∽，可得，由，，可得
Ⅱ结论不变，证明方法类似；
本题考查几何变换综合题、等边三角形的性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质、三角形的面积公式．锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．