2023年湖南省永州市零陵区中考数学第一次适应性试卷（含解析）

2023年湖南省永州市零陵区中考数学第一次适应性试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的相反数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  零陵区萍洲大桥为潇水河上的一座大型桥梁，桥梁全长米，桥宽米，总造价约元，数据用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列计算错误的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  零陵是国家历史文化名城，著名的永州八景朝阳旭日、回龙夕照、萍洲春涨、香零烟雨、恩院风荷、愚溪眺雪、绿天蕉影、山寺晚钟都有深厚的文化底蕴某班同学分小组到以上八个地方进行研学，人数分别为：，，，，，，，单位：人，这组数据的众数和中位数分别是(    )

A. ， B. ， C. ， D. ，

5.  随着人们生活水平的提高，对环境的保护越来越重视，下列垃圾分类标识的图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  九章算术是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步问：人与车各几何？译文：若人坐一辆车，则两辆车是空的；若人坐一辆车，则人需要步行，问：人与车各多少？设有辆车，人数为，根据题意可列方程组为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图，，垂足为，过点作，若，则的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

8.  如图，在中，，按以下步骤作图：以为圆心，任意长为半径作弧，分别交、于、两点；分别以、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点；作射线，交边于点若，，则线段的长为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  在同一平面直角坐标系中，函数与函数的图象可能是(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如，我们叫集合，其中，，叫做集合的元素．集合中的元素具有确定性如必然存在，互异性如，，无序性即改变元素的顺序，集合不变若集合，我们说已知集合，集合，若，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）

11.  若代数式有意义，则的取值范围是______．

12.  若，是一元二次方程的两个根，则的值是______．

13.  因式分解：______．

14.  已知圆锥的底面半径为，母线长为，则它的侧面展开图的面积等于        结果保留

15.  年月日是第个学雷锋纪念日，零陵区某校九年级社会实践活动小组于当天分别到“敬老院、零陵古城、烈士陵园、麻元社区”中的两个地点开展志愿者服务，则该社会实践活动小组恰好选择去“敬老院、烈士陵园”两地开展志愿者服务的概率为        ．

16.  如图，是的直径，点、在上，且在异侧，连接、、若，则的大小是______．

17.  若关于的不等式组有解，则实数的取值范围是        ．

18.  如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，四边形是平行四边形，点、、的坐标分别为，，，点是的中点，点为线段上的动点，若是以为腰的等腰三角形，则点的坐标为______．

三、解答题（本大题共8小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
计算：．

20.  本小题分
先化简，再求值：，其中．

21.  本小题分
如图所示，在正方形中，点是对角线上的点，求证：．

22.  本小题分
实验学校想了解学生家长对“双减”政策的认知情况，随机抽查了部分学生家长进行调查，将抽查的数据结果进行统计，并绘制两幅不完整的统计图：不太了解，：基本了解，：比较了解，：非常了解请根据图中提供的信息回答以下问题：

请求出这次被调查的学生家长共有多少人？
请补全条形统计图．
试求出扇形统计图中“比较了解”部分所对应的圆心角度数．
该学校共有名学生家长，估计对“双减”政策了解程度为“非常了解”的学生家长大约有多少？

23.  本小题分
年，州河边新建成了一座美丽的大桥某学校数学兴趣小组组织了一次测桥墩高度的活动，如图，桥墩刚好在坡角为的河床斜坡边，斜坡长为米，在点处测得桥墩最高点的仰角为，平行于水平线，长为米，求桥墩的高结果保留位小数，，，
 

24.  本小题分
随着某市养老机构建设的稳步推进，拥有的养老床位不断增加．
该市的养老床位数从年底的万个增长到年底的万个，求该市这两年从年度到年底拥有的养老床位数的平均年增长率；
若该市某社区今年准备新建一养老中心，其中规划建造三类养老专用房间共间，这三类养老专用房间分别为单人间个养老床位，双人间个养老床位，三人间个养老床位，因实际需要，规划建造单人间的房间数为，且双人间的房间数是单人间的倍设该养老中心建成后能提供养老床位个，求与的函数关系式，并求该养老中心建成后最多提供养老床位多少个？

25.  本小题分
如图，内接于，，是的直径，点是延长线上的一点，且．
求证：是的切线；
求证：；
若，求的直径．

26.  本小题分
已知抛物线为常数，且的对称轴为，且过点点是抛物线上的一个动点，点的横坐标为，直线的解析式为，直线与轴相交于点，与轴相交于点．
求抛物线的解析式；
当直线与抛物线只有一个交点时，求点的坐标；
当时，是否存在的值，使函数的最大值为，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的相反数是，
故选：．
根据“只有符号不同的两个数叫做互为相反数”解答．
本题考查了相反数，掌握相反数的定义是关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，且比原来的整数位数少，据此判断即可．
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定与的值是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：、，正确，不符合题意；
B、，正确，不符合题意；
C、，正确，不符合题意；
D、与不是同类项，不能合并，原计算错误，符合题意．
故选：．
分别根据同底数幂的乘除法则，合并同类项的法则及数的乘方法则对各选项进行逐一分析即可．
本题考查的是二次根式的混合运算及同底数幂的乘除法，熟知同底数幂的乘除法则，合并同类项的法则及数的乘方法则是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：由折线统计图得出这个数据从小到大排列为，，，，，，，，单位：人，
所以这组数据的众数为，中位数为，
故选：．
先根据折线统计图将这组数据重新排列，再根据众数和中位数的概念求解即可．
本题考查了确定一组数据的中位数和众数的能力．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．
 

5.【答案】 

【解析】解：、该图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
B、该图形既是中心对称图形又是轴对称图形，符合题意；
C、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
D、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意．
故选：．
根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
此题考查了轴对称图形和中心对称图形，掌握轴对称图形和中心对称图形的概念是解题关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：设共有人，辆车，
依题意得：．
故选：．
设共有人，辆车，根据“如果每人坐一辆车，那么有辆空车；如果每人坐一辆车，那么有人需要步行”，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：，，
，
，
，
．
故选：．
先根据平行线的性质求出的度数，再由直角三角形的性质即可得出结论．
此题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质定理是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：由作法得平分，
过点作于，如图，则，
在中，，
，
，
即，
．
故选：．
利用基本作图得平分，过点作于，如图，根据角平分线的性质得到，再利用勾股定理计算出，然后利用面积法得到，最后解方程即可．
本题考查了作图基本作图：熟练掌握基本作图作已知角的角平分线也考查了角平分线的性质．
 

9.【答案】 

【解析】解：当时，
函数的图象位于一、三、四象限，的图象位于一、三象限，符合；
当时，
函数的图象位于二、三、四象限，的图象位于二、四象限，
故选：．
分和两种情况分类讨论即可确定正确的选项．
考查了反比例函数和一次函数的性质，解题的关键是能够分类讨论，难度不大．
 

10.【答案】 

【解析】解：由题意知，由互异性可知，，．
因为，，
由，可得，，
所以，即，
那么就有或者，
当得，
当无解．
所以当时，，，
此时符合题意．
所以．
故选：．
利用新定义，根据元素的互异性、无序性推出只有，从而得出别两种情况．讨论后即可得解．
本题考查的是新定义下的探究型题目，关键是理解新定义的含义，再去探究题目．
 

11.【答案】 

【解析】解：由题意得：，
解得：，
故答案为：．
根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式得到答案．
本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：、是一元二次方程的两个根，
．
故答案为：．
根据方程的系数结合两根之和等于，即可求出．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．
 

13.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查提公因式法和公式法分解因式，是基础题．
观察原式，找到公因式，提出后再对括号内运用平方差公式分解即可得出答案．
【解答】
解：

．
故答案为．  

14.【答案】 

【解析】解：它的侧面展开图的面积．
故答案为：．
利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算．
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
 

15.【答案】 

【解析】解：设敬老院、零陵古城、烈士陵园、麻元社区分别记为，，，，
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中该社会实践活动小组恰好选择去“敬老院、烈士陵园”两地，即和开展志愿者服务的结果有种，
该社会实践活动小组恰好选择去“敬老院、烈士陵园”两地开展志愿者服务的概率为．
故答案为：．
画树状图得出所有等可能的结果数和该社会实践活动小组恰好选择去“敬老院、烈士陵园”两地开展志愿者服务的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：，
，
，
故答案为：．
根据平角定义求出，再利用圆周角定理可得，进行计算即可解答．
本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：，
解不等式得：，
解不等式得：，
不等式组有解，
，
，
故答案为：．
按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组．解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
 

18.【答案】或或 

【解析】解：如图，作于．

，，
，
点是的中点，
，
，
，，
当时，可得，，，
当时，，
综上所述，满足条件的点坐标为或或．
分两种情形分别讨论求解即可；
本题考查平行四边形的性质、坐标与图形的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
 

19.【答案】解：原式

． 

【解析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，以及特殊角的三角函数值计算即可求出值．
此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

20.【答案】解：原式


，
，
当时，
原式
． 

【解析】根据分式的加减运算法则以及乘除运算法则进行化简，然后将的值代入原式即可求出答案．
本题考查分式的化简求值，解题的关键是熟练运用分式的加减运算以及乘除运算法则，本题属于基础题型．
 

21.【答案】证明：四边形为正方形，
，．
在和中，
，
≌，
． 

【解析】由四边形为正方形，得到四条边相等，角平分线为内角的平分线，利用得到三角形与三角形全等，利用全等三角形的对应边相等即可得证．
此题考查了正方形的性质，以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握的判定与性质是解本题的关键．
 

22.【答案】解：这次抽样调查的家长有人；
表示“不太了解”的人数为：人，表示“非常了解”的人数为：人，补全条形图如图：

“比较了解”部分所对应的圆心角是：；
人，
答：估计对“双减”政策了解程度为“非常了解”的学生家长大约有人． 

【解析】根据的人数除以占的百分比，得出调查总数即可；
先用总人数得出表示的人数，将总人数减去、、的人数即可得的人数；
用的人数占被调查人数的比例乘以可得；
用样本估算总体即可．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
 

23.【答案】解：过点作于点，过点作于点，延长交于点，

在中，，米，
米，米，
米，
在中，米，
米，
答：桥墩的高约为米． 

【解析】过点作于点，过点作于点，延长交于点，根据正弦、余弦的定义求出、，可得的值，根据正切的定义求出，结合图形计算，得到答案．
本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题、仰角俯角问题，掌握仰角俯角的定义、坡度坡角的定义、锐角三角函数的定义是解题的关键．
 

24.【答案】解：设该市这两年从年度到年底拥有的养老床位数的平均年增长率为，
依题意得：，
解得：，不合题意，舍去．
答：该市这两年从年度到年底拥有的养老床位数的平均年增长率为．
设该养老中心建成后能提供养老床位个，
则．
，
随的增大而减小，
当时，取得最大值，最大值个．
答：该养老中心建成后最多提供养老床位个． 

【解析】设该市这两年从年度到年底拥有的养老床位数的平均年增长率为，根据该市年底和年底的养老床位数，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
设该养老中心建成后能提供养老床位个，根据床位数单人间数双人间数三人间数，即可得出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质即可解决最值问题．
本题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出一元二次方程；根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式．
 

25.【答案】证明：连结、，如图，
为直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
与相切；

证明：，
∽，
，

；

解：连接，
，，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
的直径． 

【解析】连结、，如图，利用圆周角定理得到，，则，再利用得到，接着根据圆周角定理得，然后根据三角形内角和定理可计算出，于是根据切线的判定定理可判断与相切；
通过∽，得到，由于于是得到结论；
连接，证得是等边三角形，得到，求得，得到，即可得到结论．
本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质和判定，等边三角形的判定和性质，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
 

26.【答案】解：抛物线的对称轴为，且过点，
，
解得：，
抛物线的解析式为；
直线与抛物线只有一个交点，
方程组有两组相同的实数解，
即方程有两个相等的实数根，
，
，
直线的解析式为，
令，则，
；
存在的值，使函数的最大值为，理由：
，
函数在时，有最大值，
，
存在的值，可使函数的最大值为，
当时，即时，
，
当时，随的增大而增大，
当时，函数有最大值，
，
解得：或不合题意，舍去，
时，函数的最大值为；
当时，
，
当时，随的增大而减小，
当时，函数有最大值，
，
解得：或不合题意，舍去，
时，函数的最大值为．
综上，存在的值，使函数的最大值为，的值为或． 

【解析】利用待定系数法解答即可；
利用直线与抛物线只有一个交点，得到两个解析式联立的方程组有两个相同的实数解，由，求得值，令，则结论可求；
利用分类讨论的思想方法分两种情形，利用二次函数的性质解答即可．
本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数图象上点的坐标的特征，一次函数的图象与性质，一次函数图象上点的坐标的特征，抛物线与直线的交点，一元二次方程根的判别式，待定系数法，配方法，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．