2022年广东省深圳市罗湖区九年级二模数学试题（有答案）

初中学业水平调研考试试题

初三数学

注意事项：

1．本试卷共6页，满分100分，考试时90分钟．

2．答卷前，考生首先检查答题卡是否整洁无缺损；考生务必用规定的笔将自己的学校、班级、姓名和考号填写在答题卡指定的位置上．同时，将监考教师发放的条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区．请保持条形码整洁、不污损．

3．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上．不按以上要求作答的答案无效．

4．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．

5．请保持答题卡的整洁，不折叠、不破损．考试结束后，将答题卡交回．

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的）

1．下列几何体中，从正面看为三角形的是（    ）

A．        B．      C．      D．

2．一个数的相反数是，则这个数是（    ）

A．2               B．2或          C．          D．

3．用不等式表示如图的解集，其中正确的是（    ）

A．          B．         C．            D．

4．冬季来临，某同学对甲、乙、丙、丁四个菜市场第四季度的白菜价格进行调查．发现白菜价格的平均值均为2．50元，方差分别为．第四季度白菜价格最稳定的菜市场是（    ）

A．甲          B．乙           C．丙          D．丁

5．下列计算正确的是（    ）

A．          B．       C．         D．

6．在中，，如果，那么的值是（    ）

A．           B．         C．          D．

7．如图，在长为32米、宽为20米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使小路的面积为100平方米，设道路的宽x米，则可列方程为（    ）

A．           B．

C．               D．

8．下列命题中真命题的是（    ）

A．平行四边形的对角互补                  B．对角线相等的四边形是矩形

C．相似三角形的面积比等于对应高的比      D．位似三角形是相似三角形

9．如图，AB是圆O的直径，C、D是上的两点，连接AC、BD相交于点E，若，那么的度数为（    ）

A．            B．          C．            D．

10．如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边CD上，且，连结AE，点F在边AD上，连结BF，把沿BF翻折，点A恰好落在AE上的点G处，下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（    ）

A．①②③④          B．①③④         C．①②③        D．①③

二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）

11．分解因式：____________．

12．在一个不透明纸箱中放有除了数字不同外，其它完全相同的2张卡片，分别标有数字1、2，从中任意摸出一张，放回搅匀后再任意摸出一张，两次摸出的数字之积为偶数的概率为____________．

13．如图，在中，分别以A、B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于P、Q两点，直线PQ交BC于点D，连接AD；再分别以A、C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于M，N两点，直线MN交BC于点E，连接AE．若的周长为17，则BD的长为____________．

14．如图，A、B是函数图象上两点，作轴，轴，PB与PA交于点P，若，则____________．

15．如图，中，以点O为圆心，OA为半径作，边AB与相切于点A，把绕点A逆时针旋转得到，点O的对应点恰好落在上，则的值是____________．

三、解答题（本题共7小题，共55分）

16．（5分）解方程：

17．（8分）某校760名学生参加植树活动，要求每人植树棵数x的范围是，活动结束后随机抽查了若干名学生每人的植树量，并分为四种类型，A：2棵；B：3棵：C：4棵；D：5棵．将各类的人数绘制成扇形统计图（如图②）和条形统计图（如图①）．回答下列问题：

（1）补全条形统计图；

（2）被调查学生每人植树量的众数是____________棵，中位数是____________棵；

（3）估计该校全体学生在这次植树活动中共植树____________棵．

18．（7分）在直角坐标系中作出函数的图象，根据图象回答下列问题：

（1）方程的解是___________;

（2）不等式的解___________;

（3）若，则x的取值范围是___________．

19．（8分）如图，在中，，E是BC的中点，以AC为直径的与AB边交于点D，连接DE．

（1）求证：DE是的切线；

（2）若，求直径的长．

20．（8分）某中学计划购买A、B两种学习用品奖励学生，已知购买一个A比购买一个B多用20元，若用400元购买A的数量是用160元购买B数量的一半，

（1）求A、B两种学习用品每件各需多少元？

（2）经商谈，商店给该校购买一个A奖品赠送一个B奖品的优惠，如果该校需要B奖品的个数是A奖品个数的2倍还多8个，且该学校购买A、B两种奖品的总费用不超过670元，那么该校最多可购买多少个A奖品？

21．（9分）【探索发现】如图①是一张直角三角形纸片，，小明想从中剪出一个以为内角且面积最大的矩形，经过多次操作发现，当沿着中位线DE、EF剪下时，所得的矩形的面积最大．随后，他通过证明验证了其正确性，并得出：矩形的最大面积与原三角形面积的比值为____________．

【拓展应用】

如图②，在中，，BC边上的高，矩形PQMN的顶点P、N分别在边AB、AC上，顶点Q、M在边BC上，则矩形PQMN面积的最大值为____________．（用含a、h的代数式表示）

【灵活应用】

如图③，有一块“缺角矩形”ABCDE，，小明从中剪出了一个面积最大的矩形（为所剪出矩形的内角），求该矩形的面积

【实际应用】

如图④，现有一块四边形的木板余料ABCD，经测量，且，木匠徐师傅从这块余料中裁出了顶点M、N在边BC上且面积最大的矩形POMN，求该矩形的面积．

22．（10分）【实践与探究】九（1）班数学课题学习小组，为了研究学习二次函数问题，他们经历了实践应用——探究的过程：

（1）实践：他们对一条公路上横截面为抛物线的单向双车道的隧道进行测量，测得隧道的路面宽为，隧道顶部最高处距地面，并画出了隧道截面图，建立了如图①所示的直角坐标系，则该抛物线的解析式为____________．

（2）应用：按规定，机动车辆通过隧道时，车顶部与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少为．为了确保安全，问该隧道能否让最宽、最高的两辆厢式货车居中并列行驶（两车并列行驶时不考虑两车之间的空隙）？

（3）探究：该课题学习小组为进一步探索抛物线的有关知识，他们借助上述抛物线模型，提出了以下两个问题，请予解答：

I．如图②，在抛物线内作矩形ABCD，使顶点C、D落在抛物线上，顶点A、B落在x轴上．设矩形ABCD的周长为l，求l的最大值．

II．如图③，过原点作一条的直线OM，交抛物线于点M，交抛物线对称轴于点N，P为直线OM上一动点，过P点作x轴的垂线交抛物线于点Q．问：在直线OM上是否存在点P，使以P、N、Q为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

评分参考

1．C  2．A  3．C  4．D  5．C  6．B  7．C  8．D  9．D  10．B

11．    12．     13．6      14．4       15．

16．

17．解：这次调查一共抽查植树的学生人数为（人），

D类人数（人），补全统计图如下：

（2）解：植3棵的人数最多，

众数是3棵，

把这些数从小到大排列，中位数是第10、11个数的平均数，

则中位数是（棵）．

（3）解：这组数据的平均数是：（棵），

（棵）．

答：估计这760名学生共植树2508棵．

18．解：

列表如下：

图象如下图所示：

（1）；

（2）；

（3）

19．（1）连接OD

为圆O的直径

在中，为BC中点

即

是圆O的切线

（2）在中，为BC中点

为直径，

，

又

，

20．（1）解：设购买B奖品的每个单价是x元，则购买A奖品的每个单价是（）元．

根据题意 得，

解得，经检验，是原方程的解．

所以．

答：买A奖品的每个单价是25元，购买B奖品的每个单价是5元；

（2）解：设学校购买a个A奖品，则需要购买（）个B奖品，

由题意得，

解得．

故该学校最多可购买21个A奖品．

21．解：【探索发现】

为中位线，

，

又，

四边形FEDB是矩形，

则

故答案为：；

【拓展应用】

，

，

，即，

，

设，

则，

当时，最大值为，

故答案为：；

【灵活应用】

如图1，延长BA、DE交于点F，延长BC、ED交于点G，延长AE、CD交于点H，取BF中点I，FG的中点K，

由题意知四边形ABCH是矩形，

，

，

，

在和中，

，

，

，

同理，

，

，

，

∴中位线IK的两端点在线段AB和DE上，

过点K作于点L，

由【探素发现】知矩形的最大面积为，

答：该矩形的面积为720；

【实际应用】

如图2，延长BA、CD交于点E，过点E作EH⊥BC于点H，

，

，

，

，且，

，

，

，

在中，，

，

，

∴BE的中点Q在线段AB上，

，

，

的中点P在线段CD上，

∴中位线PQ的两端点在线段AB、CD上，

由【拓展应用】知，矩形POMN的最大面积为，

答：该矩形的面积为．

22．解：（1）；（或）

（2）当最宽，最高的两辆厢式货车居中并列行驶时，

，

，

代入解析式得：

；

，

，

∴隧道能让最宽，最高的两辆厢式货车居中并列行驶；

（3）I．假设，可得，

；

∴矩形ABCD的周长为l为：，

的最大值为：．

II．存在．这样的点有四个，

点在直线上，设点

（A）当时

Q点在OM的上方时，，

Q点在OM的下方时，，

，即

解得：，

（B）当时，过点作对称轴，

当为等腰直角三角形时，为等腰直角三角形，

Q点在OM的上方时，，

Q点在OM的下方时，，

，

解得：，

使以P、N、Q为顶点的三角形是等腰直角三角形，P点的坐标为：

或或或．