精品解析：2022年广东省深圳市罗湖区九年级二模数学试题

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2022年广东省深圳市罗湖区九年级二模数学试题
一、选择题
1. 下列几何体中，从正面看为三角形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】逐一分析从正面看到的图形即可解题．
【详解】A.从正面看是长方形，故A不符合题意；
B. 从正面看是长方形形，故B不符合题意；
C. 从正面看是是三角形，故C符合题意；
D. 从正面看是两个长方形拼成的几何图形，故D不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查从正面看几何体，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
2. 一个数的相反数，则这个数是( )
A. B. 或
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据相反数的概念直接判断即可得出结果．
【详解】一个数的相反数是-2，则这个数是：．
故选：A．
【点睛】本题考查了相反数的概念，属于基础题，掌握相反数的概念即可．
3. 用不等式表示如图的解集，其中正确的是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据表示解集射线方向右，可知x大于2，从数字2出发，且为实心点可知x等于2，综上可知正确选项．
【详解】解：由数轴可知，表示解集射线方向右，从数字2出发，且为实心点，故x的值大于等于2，
故选：C．
【点睛】本题考查在数轴上表示不等式的解题，能够用在数轴上表示不等式的解集，并能根据数轴上表示的不等式解题还原不等式是解决此类题目的关键．
4. 冬季来临，某同学对甲、乙、丙、丁四个菜市场第四季度白菜价格进行调查．四个菜市第四个季度白菜的平均值均为2.50元，方差分别为S甲2＝18.3，S乙2＝17.4，S丙2＝20.1，S丁2＝12.5．第四季度白菜价格最稳定的菜市场是（　　）.
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
【答案】D
【解析】
【分析】根据方差越小数据越稳定即可得出答案．
【详解】解：∵S甲2＝18.3，S乙2＝17.4，S丙2＝20.1，S丁2＝12.5，
∴S丁2＜S乙2＜S甲2＜S丙2，
∴第四季度白菜价格最稳定的菜市场是丁，
故选：D．
【点睛】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的意义：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
5. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变．据此判断即可．
【详解】解：A．，故选项错误，不符合题意；
B．，故选项错误，不符合题意；
C．，故选项正确，符合题意；
D．，故选项错误，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了合并同类项，掌握合并同类项法则是解答本题的关键．
6. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果AB＝2，BC＝1，那么sinB的值是（　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意作出直角三角形，然后由勾股定理得出，利用正弦函数的定义（对边比斜边）求解即可．
【详解】解：根据题意作图如下：

∵，，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】题目主要考查求锐角的正弦函数值，勾股定理解三角形，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．
7. 如图，在长为32米、宽为20米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使小路的面积为100平方米，设道路的宽米，则可列方程为（ ）

A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先将图形利用平移进行转化，可得两长方形的面积之和=小路的面积+两长方形重合的面积．
【详解】利用图形平移可将原图转化为下图，道路的宽为x米．

根据题意可得：．
故选：C．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的实际运用，找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．
8. 下列命题是真命题的是（ ）
A. 平行四边形的对角互补
B. 对角线相等的四边形是矩形
C. 相似三角形的面积比等于对应高的比
D. 位似三角形是相似三角形
【答案】D
【解析】
【分析】根据平行线的性质、矩形的判定定理、相似三角形的性质、位似三角形的概念判断即可．
【详解】解：A、平行四边形的对角相等，不一定互补，本选项说法是假命题，不符合题意；
B、对角线相等的平行四边形是矩形，本选项说法是假命题，不符合题意；
C、相似三角形的面积比等于对应高的比的平方，本选项说法是假命题，不符合题意；
D、位似三角形是相似三角形，本选项说法是真命题，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查的是命题的真假判断，掌握平行线的性质、矩形的判定定理、相似三角形的性质、位似三角形的概念是解题的关键．
9. 如图，AB是圆O的直径，C，D是AB上的两点，连接AC，BD相交于点E，若∠BEC＝56°，那么∠DOC的度数为（　　）

A. 28° B. 56° C. 64° D. 68°
【答案】D
【解析】
【分析】连接BC，利用直径所对的圆周角是直角，可得，易得，利用圆周角定理可得结果．
【详解】解：连接BC，如图所示，

∵AB是圆O的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理及直径所对的圆周角为直角，三角形内角和定理等，理解题意，作出恰当的辅助线是解答此题的关键．
10. 如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边CD上，且CE=1，连结AE，点F在边AD上，连结BF，把沿BF翻折，点A恰好落在AE上的点G处，下列结论：①AE=BF；②AD=3DF；③；④GE=0.2，其中正确的是（ ）

A. ①②③④ B. ①③④ C. ①②③ D. ①③
【答案】B
【解析】
【分析】根据翻折的性质证△ABF≌△DAE（ASA），得出AF＝DE＝3，BF＝AE，即可判断①正确；根据DF＝AD﹣AF＝4﹣3＝1，即可判断②错误；由勾股定理得出BF＝5，由S△ABF求出即可求得③正确；根据S△ABF＝AB•AF＝BF•AH，求出AH，即可判断④正确，进而得出答案．
【详解】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝AD＝CD＝4，∠BAD＝∠D＝90°，
∵CE＝1，
∴DE＝3，
由折叠的性质可知，△ABF≌△GBF，BF垂直平分AG，
∴BF⊥AE，AH＝GH，
∴∠BAH+∠ABH＝90°，
∵∠FAH+∠BAH＝90°，
∴∠ABH＝∠FAH，
在△ABF和△DAE中，
，
∴△ABF≌△DAE（ASA），
∴AF＝DE＝3，BF＝AE，故①正确；
∵DF＝AD﹣AF＝4﹣3＝1，
∴AD＝4DF，故②错误；
在Rt△ABF中，
∵BF＝＝＝5，
∴S△ABF＝ AB•AF＝×4×3＝6，故③正确；
∵S△ABF＝AB•AF＝BF•AH，
∴4×3＝5AH，
∴AH＝，
∴AG＝2AH＝，
∵AE＝BF＝5，
∴GE＝AE﹣AG＝5﹣＝0.2，故④正确；
综上所述：正确的是①③④，
故选：B．
【点睛】本题考查了翻折变换，全等三角形的判定与性质，勾股定理，正方形的性质，解决本题的关键是掌握翻折的性质．
二、填空题
11. 分解因式：________．
【答案】
【解析】
【分析】根据平方差公式分解因式即可得到答案．
【详解】解：原式= ，
故答案：．
【点睛】本题主要考查了利用平方差公式分解因式，熟记平方差公式是解题的关键．
12. 在一个不透明纸箱中放有除了数字不同外，其它完全相同的2张卡片，分别标有数字1、2，从中任意摸出一张，放回搅匀后再任意摸出一张，两次摸出的数字之积为偶数的概率为____________．
【答案】
【解析】
【分析】列表得出所有等可能的情况结果，再得出积是偶数的情况数，即可求出所求的概率．
【详解】解：列表如下：

1
2
1
1
2
2
2
4
则所有可能的结果有4个，其中积为偶数的有3种结果，
∴两次抽得的数字之积为偶数的概率为，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了列表法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
13. 如图，在中，分别以A、B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于P、Q两点，直线PQ交BC于点D，连接AD；再分别以A、C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于M，N两点，直线MN交BC于点E，连接AE．若的周长为17，则BD的长为____________．

【答案】6
【解析】
【分析】由作图方法可知，PQ和MN分别是AB、AC的垂直平分线，则BD=AD，AE=CE，再根据△ADE的周长为17进行求解即可．
【详解】解：由作图方法可知，PQ和MN分别是AB、AC的垂直平分线，
∴BD=AD，AE=CE，
∵△ADE的周长为17，
∴AD+AE+DE=17，
∴BD+DE+CE=17，
又∵CD=11，
∴BD=6，
故答案为：6．
【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线的尺规作图，熟知线段垂直平分线的性质是解题的关键．
14. 如图，、是函数上两点，为一动点，作轴，轴，若，则______．

【答案】
【解析】
【分析】直接设A、B，根据找到m、n之间的关系，最后表述出，整体代入求值即可．
【详解】设A、B，
∴
∴，
∴，整理得
∴
故答案为：4．
【点睛】本题考查的是反比例函数的性质、三角形面积公式，掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解本题的关键．
15. 如图，中，以点O为圆心，为半径作，边与相切于点A，把绕点A逆时针旋转得到，点O的对应点恰好落在上，则的值是__________．

【答案】##
【解析】
【分析】如图所示，连接，由旋转的性质可知，，即可推出，然后证明是等边三角形，得到，则．
【详解】解：如图所示，连接，
由旋转性质可知，，
∴，
∴，
又∵点在圆O上，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
故答案为：．

【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质与判定，特殊角三角函数值，正确作出辅助线构造等边三角形时解题的关键．
三、解答题
16. 解方程：
【答案】，
【解析】
【分析】方程利用因式分解法求解即可．
【详解】解：

∴，
∴，
【点睛】本题主要考查解一元二次方程--因式分解因式分解法，解一元一次方程等知识点的理解和掌握，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．
17. 某校760名学生参加植树活动，要求每人植树的范围是2≤x≤5棵，活动结束后随机抽查了若名学生每人的植树量，并分为四种类型，A：2棵；B：3棵；C：4棵；D：5棵，将各类的人数绘制成扇形统计图（如图2）和条形统计图（如图1）．回答下列问题：

（1）补全条形统计图；
（2）被调查学生每人植树量的众数、中位数分别是多少？
（3）估计该校全体学生在这次植树活动中共植树多少棵？
【答案】（1）见解析 （2）众数：3棵；中位数：3棵
（3）估计这760名学生共植树2508棵．
【解析】
【分析】（1）由B类型的人数及其所占百分比可得总人数，总人数乘以D类型的对应的百分比即可求出其人数，据此可补全图形；
（2）根据众数和中位数的概念可得答案；
（3）先求出样本的平均数，再乘以总人数即可．
【小问1详解】
解：这次调查一共抽查植树的学生人数为8÷40%=20（人），
D类人数=20×10%=2（人），补全统计图如下：
【小问2详解】
解：∵植3棵的人数最多，
∴众数是3棵，
把这些数从小到大排列，中位数是第10、11个数的平均数，
则中位数是=3（棵）．
【小问3详解】
解：这组数据的平均数是：×（4×2+8×3+4×6+5×2）=3.3（棵），
3.3×760=2508（棵）．
答：估计这760名学生共植树2508棵．
【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
18. 在坐标系中作出函数y＝x＋2的图象，根据图象回答下列问题：
（1）方程x＋2＝0的解是 　 　；
（2）不等式x＋2＞1的解 　 　；
（3）若﹣2≤y≤2，则x的取值范围是 　 　．

【答案】（1）x=-2；（2）x＞-1；（3）-4≤x≤0
【解析】
【分析】画出函数图象
（1）方程x＋2＝0的解即为y＝x＋2与x轴交点的横坐标；
（2）不等式x＋2＞1的解即为y＝x＋2中纵坐标大于1的图象对应的横坐标的取值范围；
（3）若-2≤y≤2，则y＝x＋2的函数值在-2到2之间对应图像的横坐标的范围．
【详解】解：y=x+2
列表如下：

图象如下图所示：

（1）由图形可得，方程的解是，
故答案为；
（2）由图象可得，不等式的解是，
故答案为；
（3）若，则的取值范围是，
故答案为．
【点睛】本题考查一次函数的图象、一次函数与一元一次方程，一次函数与一元一次不等式，解题的关键是利用数形结合的思想解答问题．
19. 如图，在中，，E是BC的中点，以AC为直径的与AB边交于点D，连接DE．

（1）求证：DE是切线；
（2）若，求直径的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）连接OD，先证明∠BDC=90°，，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半推出，从而推出，即可证明结论；
（2）先求出BC的长，从而求出BD的长，然后证明△ABC∽△CBD得到，据此求解即可．
【小问1详解】
解：连接OD，

为圆O的直径，
，
∴∠BDC=90°，
，
，
在中，为BC中点，
，
，
，即，
，
是圆O切线；
【小问2详解】
解：在中，为BC中点，
，
，
，
为直径，
，
又，
，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了圆切线的判定，等腰三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，勾股定理，直角三角形斜边上的中线，直径所对的圆周角是直角等等，熟知圆的相关知识是解题的关键．
20. 69中学计划购买A、B两种学习用品奖励学生，已知购买一个A比购买一个B多用20元，若用400元购买A的数量是用160元购买B数量的一半，
（1）求A、B两种学习用品每件多少钱？
（2）经商谈，商店给该校购买一个A奖品赠送一个B奖品的优惠，如果该校需要B奖品的个数是A奖品个数的2倍还多8个，且该学校购买A、B两种奖品的总费用不超过670元，那么该校最多可购买多少个A奖品？
【答案】（1）买A奖品的每个单价是25元，购买B奖品的每个单价是5元；
（2）该学校最多可购买21个A奖品．
【解析】
【分析】（1）设购买B奖品的每个单价是x元，则购买A奖品的每个单价是（x+20）元．则根据等量关系：购买A奖品的个数是购买B奖品个数的一半，列出方程求解即可；
（2）设学校购买a个A奖品，则需要购买（2a+8）个B奖品，则根据“该学校购买这两种奖品的总费用不超过670元”列出不等式求解即可．
【小问1详解】
解：设购买B奖品的每个单价是x元，则购买A奖品的每个单价是（x+20）元．
根据题意 得，
解得x=5，
经检验，x=5是原方程的解．
所以 x+20=25．
答：买A奖品的每个单价是25元，购买B奖品的每个单价是5元；
【小问2详解】
解：设学校购买a个A奖品，则需要购买（2a+8）个B奖品，
由题意得25a+5（2a+8-a）≤670，
解得a≤21．
故该学校最多可购买21个A奖品．
【点睛】本题考查了一元一次不等式和分式方程的应用．解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量（不等量）关系．
21. 【探索发现】
如图①，是一张直角三角形纸片，∠B=90°，小明想从中剪出一个以∠B为内角且面积最大的矩形，经过多次操作发现，当沿着中位线DE、EF剪下时，所得的矩形的面积最大，随后，他通过证明验证了其正确性，并得出：矩形的最大面积与原三角形面积的比值为　 　．

【拓展应用】
如图②，在△ABC中，BC=a，BC边上的高AD=h，矩形PQMN的顶点P、N分别在边AB、AC上，顶点Q、M在边BC上，则矩形PQMN面积的最大值为　 　．（用含a，h的代数式表示）
【灵活应用】
如图③，有一块“缺角矩形”ABCDE，AB=32，BC=40，AE=20，CD=16，小明从中剪出了一个面积最大的矩形（∠B为所剪出矩形的内角），求该矩形的面积．
【实际应用】
如图④，现有一块四边形的木板余料ABCD，经测量AB=50cm，BC=108cm，CD=60cm，且tanB=tanC=，木匠徐师傅从这块余料中裁出了顶点M、N在边BC上且面积最大的矩形PQMN，求该矩形的面积．
【答案】【探索发现 】；【拓展应用 】；【灵活应用 】该矩形的面积为720；【实际应用 】该矩形的面积为1944cm2．
【解析】
【分析】【探索发现 】由中位线知EF=BC、ED=AB、由可得；

【拓展应用 】由△APN∽△ABC知，可得PN=a-PQ，设PQ=x，由S矩形PQMN=PQ•PN═-（x-）2+，据此可得；
【灵活应用 】添加如图1辅助线，取BF中点I，FG的中点K，由矩形性质知AE=EH=20、CD=DH=16，分别证△AEF≌△HED、△CDG≌△HDE得AF=DH=16、CG=HE=20，从而判断出中位线IK的两端点在线段AB和DE上，利用【探索发现 】结论解答即可；
【实际应用 】延长BA、CD交于点E，过点E作EH⊥BC于点H，由tanB=tanC知EB=EC、BH=CH=54，EH=BH=72，继而求得BE=CE=90，可判断中位线PQ的两端点在线段AB、CD上，利用【拓展应用 】结论解答可得．
【详解】【探索发现 】
∵EF、ED为△ABC中位线，
∴ED∥AB，EF∥BC，EF=BC，ED=AB，
又∠B=90°，
∴四边形FEDB是矩形，
则；
【拓展应用 】
∵PN∥BC，
∴△APN∽△ABC，
∴，即，
∴PN=a-PQ，
设PQ=x，
则S矩形PQMN=PQ•PN=x（a-x）=-x2+ax=-（x-）2+，
∴当PQ=时，S矩形PQMN最大值为；
【灵活应用 】
如图1，延长BA、DE交于点F，延长BC、ED交于点G，延长AE、CD交于点H，取BF中点I，FG的中点K，

由题意知四边形ABCH是矩形，
∵AB=32，BC=40，AE=20，CD=16，
∴EH=20，DH=16，
∴AE=EH，CD=DH，
在△AEF和△HED中，
∵ ，
∴△AEF≌△HED（ASA），
∴AF=DH=16，
同理△CDG≌△HDE，
∴CG=HE=20，
∴BI==24，
∵BI=24＜32，
∴中位线IK的两端点在线段AB和DE上，
过点K作KL⊥BC于点L，
由【探索发现 】知矩形的最大面积为×BG•BF=×（40+20）×（32+16）=720，
答：该矩形的面积为720；
【实际应用 】

如图2，延长BA、CD交于点E，过点E作EH⊥BC于点H，
∵tanB=tanC=，
∴∠B=∠C，
∴EB=EC，
∵BC=108cm，且EH⊥BC，
∴BH=CH=BC=54cm，
∵tanB==，
∴EH=BH=×54=72cm，
在Rt△BHE中，BE==90cm，
∵AB=50cm，
∴AE=40cm，
∴BE的中点Q在线段AB上，
∵CD=60cm，
∴ED=30cm，
∴CE的中点P在线段CD上，
∴中位线PQ的两端点在线段AB、CD上，
由【拓展应用 】知，矩形PQMN的最大面积为BC•EH=1944cm2，
答：该矩形的面积为1944cm2．
22. 九（1）班数学课题学习小组，为了研究学习二次函数问题，他们经历了实践——应用——探究的过程
（1）实践：他们对一条公路上横截面为抛物线的单向双车道的隧道进行测量，测得隧道的路面宽为10米，隧道顶部最高处距地面6.25米，并画出了隧道截面图，建立了如图1所示的直角坐标系，请你求出抛物线的解析式
（2）应用：按规定机动车辆通过隧道时，车顶部与隧道顶部在竖起方向上的高度差至少为0.5米，为了确保安全，问该隧道能否让最宽3米，最高3.5米的两辆车居中并列行驶（不考虑两车之间的空隙）？
（3）探究：该课题学习小组为进一步探究抛物线的有关知识，他们借助上述抛物线模型，提出了以下两个问题，请予解答：
①如图2，在抛物线内作矩形ABCD，使顶点C、D落在抛物线上，顶点A、B落在x轴上，设矩形ABCD的周长为为l，求l的最大值
②如图3，过原点作一条直线y=x，交抛物线于M，交抛物线的对称轴于N，P为直线OM上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点Q，问在直线OM上是否存在点P，使以点P、N、Q为顶点的三角形为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由


【答案】（1）y=-0.25（x-5）2+6.25；（2）隧道能让最宽3m，最高3.5m的两辆厢式货车居中并列行驶；理由见解析；（3）（Ⅰ）；（Ⅱ）P点的坐标为： 或或（4，4）或（10，10）．
【解析】
【详解】解：（1）根据坐标系可知此函数顶点坐标为（5，6.25），且图象过（10，0）点，
代入顶点式得： y=a（x-5）2+6.25，
∴0=a（10-5）2+6.25， 解得：a=-0.25，
∴y=-0.25（x-5）2+6.25；
（2）当最宽3m，最高3.5m的两辆厢式货车居中并列行驶时，
∴10-3×2=4， 4÷2=2，
∴x=2代入解析式得： y=-0.25（2-5）2+6.25； y=4， 4-3.5=0.5，
∴隧道能让最宽3m，最高3.5m的两辆厢式货车居中并列行驶；
（3）I．假设AO=x，可得AB=10-2x， ∴AD=-0.25（x-5）2+6.25；

∴矩形ABCD的周长为l为：

∴l的最大值为： ．
II当以P、N、Q为顶点的三角形是等腰直角三角形，
∵P在y=x的图象上，过P点作x轴的垂线交抛物线于点Q．
∴∠POA=∠OPA=45°，
∴Q点的纵坐标为5，
∴5= −m2+10m 4 ，
解得：，
所以P或
当∠P3NQ3=90°时，过点Q3作Q3K1⊥对称轴，
当△NQ3K1为等腰直角三角形时，△NP3Q3为等腰直角三角形，
Q点在OM的上方时，
P3Q3=2Q3K1，P3Q3=， Q3K1=5-x，
Q点在OM的下方时，
P4Q4=2Q4K2，P4Q4=， Q4K2=x-5，

∴ ， 解得：x1=4，x2=10，
P3（4，4），P4（10，10）
∴使以P、N、Q为顶点的三角形是等腰直角三角形，P点的坐标为：
或或（4，4）或（10，10）．