2023年广东省深圳市罗湖区中考数学二模试卷（含答案）

2023年广东省深圳市罗湖区中考数学二模试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  实数的相反数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列立体图形中，俯视图与主视图不同的是(    )

A. 正方体 B. 圆柱
C. 圆锥 D. 球

3.  为了解某地一天内的气温变化情况，比较适合使用的统计图是(    )

A. 条形统计图 B. 折线统计图 C. 扇形统计图 D. 频数分布直方图

4.  港珠澳大桥是世界最长的跨海大桥，其中主体工程“海中桥隧”长达公里，整个大桥造价超过亿元人民币数“亿”用科学记数法可表示为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

6.  不等式组的解集在数轴上表示正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

7.  小明在学习平行线的性质后，把含有角的直角三角板摆放在四边形上，如图，，若，则(    )

A.
B.
C.
D.

8.  下列事件中是不可能事件的是(    )

A. 对角线相等且互相平分的四边形是矩形
B. 平分弦的直径垂直于弦
C. 将抛物线平移可以得到抛物线
D. 圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等

9.  我国古代算法统宗里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后两句的意思是：如果每一间客房住人，那么有人无房住；如果每一间客房住人，那么就空出一间客房．设该店有客房间、房客人，下列方程组中正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，为圆的直径，为圆上一点，过点作圆的切线交的延长线于点，，连接，若，则的长度为(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  因式分解：______．

12.  习近平总书记在党的二十大报告中强调：“青年强，则国家强”小明同学将“青”“年”“强”“则”“国”“家”“强”这个字，分别书写在大小、形状完全相同的张卡片上，从中随机抽取一张，则这张卡片上恰好写着“强”字的概率是______ ．

13.  已知，是方程的两个实数根，则的值为______．

14.  如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，，点在以为圆心，为半径的上，是的中点，若长的最大值为，则的值为______．

15.  如图，在锐角三角形中，，，线段、分别是、边上的高线，连接，则三角形面积的最大值是______ ．

三、解答题（本大题共7小题，共55.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
．

17.  本小题分
先化简，再求值：，其中，．

18.  本小题分
某校名学生参加植树活动，要求每人植棵，活动结束后随机调查了部分学生每人的植树量，并分为四种类型，：棵，：棵，：棵，：棵将各类的人数绘制成如下的扇形统计图和条形统计图．

本次接受随机调查的学生人数为______ 名，扇形统计图中的值为______ ；
本次调查获取的样本数据的平均数为______ ，众数为______ ，中位数为______ ；
根据样本数据，估计这名学生共植树多少棵．

19.  本小题分
“双减”政策受到各地教育部门的积极响应，某校为增加学生的课外活动实践，现决定增购两种体育器材：跳绳和毽子已知跳绳的单价比毽子的单价多元，用元购买的跳绳数量和用元购买的毽子数量相同．
求跳绳和毽子的单价分别是多少元？
学校计划购买跳绳和毽子两种器材共个，且要求跳绳的数量不少于毽子数量的倍，跳绳的数量不多于根，请问有几种购买方案并指出哪种方案学校花钱最少．

20.  本小题分
在初中函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，结合图象研究函数性质并对其性质进行应用的过程小丽同学学习二次函数后，对函数自变量可以是任意实数图象与性质进行了探究请同学们阅读探究过程并解答：

作图探究：
如表是与的几组对应值：

______ ， ______ ；
在平面直角坐标系中，描出表中各组对应值为坐标的点，并根据描出的点，画出该函数的图象：
深入思考：
根据所作图象，回答下列问题：
方程的解是______ ；
如果的图象与直线有个交点，则的取值范围是______ ；
延伸思考：
将函数的图象经过怎样的平移可得到的图象？请写出平移过程．

21.  本小题分
如图，已知：内接于圆，，连接并延长，交于点．

求证：；
如图，过点作于点，交圆于点，交于点，连接、，求证：；
如图，在的条件下，连接，，，求的长．

22.  本小题分
如图，矩形的顶点，分别在轴，轴上，点坐标是，为边上一点，将矩形沿折叠，点落在轴上的点处，的延长线与轴相交于点．
如图，求点的坐标；
如图，若是上一动点，交于，交于，设，，求与之间的函数关系式；
在的条件下，是否存在点，使为等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：实数的相反数是：．
故选：．
直接利用相反数的定义分析得出答案．
此题主要考查了相反数的定义，正确掌握相反数的定义是解题关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：俯视图与主视图都是正方形，故选项A不合题意；
B.俯视图与主视图都是长方形，故选项B不合题意；
C.俯视图是圆，主视图是三角形；故选项C符合题意；
D.俯视图与主视图都是圆，故选项D不合题意；
故选：．
从正面看所得到的图形是主视图，从左面看到的图形是左视图，从上面看到的图象是俯视图．
此题主要考查了三视图，关键是把握好三视图所看的方向．属于基础题，中考常考题型．
 

3.【答案】 

【解析】解：为了解某地一天内的气温变化情况，
应选择的统计图是折线统计图，
故选：．
根据题意中的“变化情况”直接选择折线统计图．
本题考查了条形统计图，扇形统计图，折线统计图，频数分布直方图的概念，根据实际选择合适的统计图，根据题意中的“变化情况”选择统计图是解题的关键．折线统计图用折线的起伏表示数据的增减变化情况不仅可以表示数量的多少，而且可以反映数据的增减变化情况．
 

4.【答案】 

【解析】解：亿．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
本题考查了科学记数法的表示方法，掌握形式为的形式，其中是关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：，，故A项错误，不符合题意；
，，故B项错误，不符合题意；
，，故C项正确，符合题意；
，，故D项错误，不符合题意；
故选：．
根据完全平方公式、幂的乘方、同底数幂的乘除法则逐项判断即可．
本题考查了完全平方公式、幂的乘方、同底数幂的乘除法则，掌握幂的乘方和同底数幂的乘除法则运算法则是关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：，
由得：，
由得：，
不等式组的解集为：，
故选：．
首先解出两个不等式的解集，再根据大小小大中间找确定不等式组的解集．
此题主要考查了一元一次不等式组的解法，关键是正确确定两个不等式的解集．
 

7.【答案】 

【解析】解：如图，
，
，
即，
，
，
，
故选：．
根据“两直线平行，同旁内角互补”求解即可．
此题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质定理是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：、对角线相等且互相平分的四边形是矩形，是必然事件，不符合题意；
B、平分弦的直径垂直于弦，是随机事件，不符合题意；
C、将抛物线平移可以得到抛物线，是不可能事件，符合题意；
D、圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，是必然事件，不符合题意；
故选：．
根据矩形的判定、垂径定理、抛物线的平移、切线长定理判断即可．
本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
 

9.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组；根据题意得出方程组是解决问题的关键．
设该店有客房间，房客人；根据题意“如果每一间客房住人，那么有人无房住；如果每一间客房住人，那么就空出一间客房”得出方程组即可．
【解答】
解：设该店有客房间，房客人；
根据题意得：，
故选：．  

10.【答案】 

【解析】解：连接，，

，为圆的直径，
，，
是圆的切线，
，
，
，
，
，
在中，，
故选：．
根据，为圆的直径可得，结合是圆的切线即可得到，即可得到，根据勾股定理即可得到答案．
本题考查圆周角定理，勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边一半，解题的关键是求出．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了公式法分解因式，熟记平方差公式的结构特点是解题的关键．可以写成，符合平方差公式的特点，利用平方差公式分解即可．
【解答】
解：，
故答案为．  

12.【答案】 

【解析】解：根据张卡片中，恰好写着“强”字的有两张，
从中随机抽取一张，则这张卡片上恰好写着“强”字的概率是．
故答案为：．
根据概率公式计算即可．
此题考查了简单概率计算，熟练掌握概率公式是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，利用是方程的实数根得到，再根据根与系数的关系得到，然后利用整体代入的方法计算即可．

【解答】
解：是方程的实数根，
，
即，
，
原式
．
故答案为．
 

14.【答案】 

【解析】解：连接，
由对称性得：，
是的中点，
，
长的最大值为，
长的最大值为，
如图，当过圆心时，最长，过作轴于，
，
，
在直线上，
设，则，，
在中，由勾股定理得：，
，
舍或，
，
点在反比例函数的图象上，
；
故答案为：．
作辅助线，先确定长的最大时，点的位置，当过圆心时，最长，设，则，，根据勾股定理计算的值，可得的值．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、圆的性质，勾股定理的应用，有难度，解题的关键：利用勾股定理建立方程解决问题．
 

15.【答案】 

【解析】解：，
．
、分别是、边上的高线，
，，
，
，，
，
，
∽，
，
．
当面积最大时，三角形面积的有最大值．
作出的外接圆，如图，
点为优弧上的点，且，
，
当点为优的中点时，边上的高最大，即的面积最大，此时，
为等边三角形，
的最大值，
三角形面积的最大值是．
故答案为：．
利用特殊角的三角函数值求得的度数，利用三角形的高的意义求得，利用含角的直角三角形的性质和相似三角形的判定与性质定理得到，作出的外接圆，得出当点为优的中点时，边上的高最大，即的面积最大，此时，为等边三角形，利用等边三角形的性质求得的面积最大值，则结论可求．
本题主要考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形的应用，直角三角形的边角关系定理，特殊角的三角函数值，利用三角形的性质求得的面积的最大值是解题的关键．
 

16.【答案】解：原式

． 

【解析】根据有理数混合运算法则计算即可．
此题考查了负整数指数幂、零次幂、特殊角的三角函数和去绝对值混合运算能力，关键是能准确理解以上知识并能进行正确的计算．
 

17.【答案】解：



，
当，时，原式． 

【解析】原式第一项先通分，再根据分式的减法法则计算得，第二项的分母提取公因式得，再将除法转化为乘法，最后约分即可化简，再将，代入即可求解．
本题主要考查分式的化简求值，在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
 

18.【答案】         

【解析】解：抽取的总人数名，
，
．
故答案为：，；
平均数，
植树量为棵出现的次数最多，故众数为，
把人的植树量从小到大排列，排在中间的两个数都是，故中位数为；
故答案为：；；；
棵．
答：估计这名学生共植树大约为棵．
根据的人数于百分比求出总人数即可解决问题．
根据加权平均数、众数和中位数的定义求解即可．
利用样本估计总体的思想解决问题即可．
本题考查条形统计图，扇形统计图，平均数，众数，中位数等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 

19.【答案】解：设毽子的单价为元，则跳绳的单价为元，
依题意，得：，解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
．
答：跳绳的单价为元，毽子的单价为元．
设购买跳绳个，则购买毽子个．
依题意，得：，
解得：，
为整数，
，，，共三种方案；
设学校购买跳绳和毽子两种器材共花元，
则，
，
随的增大而增大，
当时，取得最小值，则，
答：共有种方案，当学校购买个跳绳，个毽子时，总费用最少． 

【解析】根据题意列出分式方程进行计算即可；
设购买跳绳个，则购买毽子个，根据题意列出不等式组进行求解，设学校购买跳绳和毽子两种器材共花元，求出一次函数解析式，根据一次函数的性质，求最小值即可．
本题考查分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，以及利用函数思想解决最值问题．根据题意，准确的列出分式方程和一元一次不等式组是解题的关键．
 

20.【答案】    或或   

【解析】解：将代入得，
，
将代入得，
，
故答案为：，；
如图，

根据表格及图象可得或时，，
故答案为：或或；
由图象可得当直线在轴下方，直线上方时，直线与函数图象有个交点，
故答案为：；
函数的图象向左平移个单位，再向下平移个单位得到的图象，
如图，

将和代入解析式求解；
根据函数解析式及表格作图；
根据图象与轴的交点求解；
根据图象求解；
由可得新函数图象是由函数的图象向左平移个单位，向下平移个单位所得．
本题考查二次函数的综合应用，掌握二次函数的性质，二次函数图象与几何变换，通过数形结合求解是解题的关键．
 

21.【答案】证明：如图，连接、，

，，
点、都在线段的垂直平分线上，
是线段的垂直平分线，
；

证明：，
，
，
，
，
，
，
，
，
；

解：如图，连接，

，，
是线段的垂直平分线，
，
是线段的垂直平分线，
．
，
．
，，
，
，
∽，
．
设，则，
，
在中，，
，，
．
，，
∽，
，即，
，
整理得，
解得不合题意，舍去，
，
，，
． 

【解析】连接、，证明是线段的垂直平分线，问题得证；
先证明，进而证明，即可证明；
连接，先求出，，再证明∽，得到，设，则，分别得到，，，证明∽，得到，求出，从而得到，根据，，即可求出．
本题为圆的综合题，考查了线段的垂直平分线的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，相似三角形的性质与判定，一元二次方程的应用，直角三角形的性质等知识，综合性强，第问难度较大，熟知相关性质，并根据题目中已知条件灵活应用是解题关键．
 

22.【答案】解：在矩形中，，
，，
设，则，，
，
在中，，
，
在中，由勾股定理得：，
，
，
，
；
如图，延长交于，则，
，

，
，
∽，
，
由知：，
，又，
，
，，
，
在中，由勾股定理得：，
，
，
，
，
，
平分，
，，
，
，
，，
∽，
，
，
又，
，，
，，
，，
∽，
，即，
；
分三种情况：
当时，如图，

，，
∽，
，
，即，
解得：，
，，
；
当时，如图，过作于，与的延长线交于点，

有，
，
，
，
即，
，
∽，
，即，
解得：，
代入得：，
；
当时，如图，

过点作于，
，
，
∽，
，
又，
，，
，
，
代入得：，
；
综上，点的坐标是或或 

【解析】此题是四边形综合题，主要考查了折叠的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理，一次函数，等腰三角形的性质和判定等知识，用分类讨论的数学思想和方程思想解决问题是解本题的关键．
先设，根据勾股定理求出，从而得，最后根据勾股定理列方程，即可得出结论；
如图，作辅助线，构建相似三角形，先证明∽，得，可得，，利用勾股定理计算和的长，根据角平分线的性质和等腰三角形的性质得，证明∽，得，从而得，再证明∽，列比例式可得结论；
分三种情况：；；；分别证明三角形相似列比例式可得结论．