数学人教A版 (2019)6.3 平面向量基本定理及坐标表示巩固练习

平面向量基本定理

[A级　基础巩固]

1．如图所示，向量a－b＝(　　)

A．－4e1－2e2　　　　　　　　 B．－2e1－4e2

C．e1－3e2  D．3e1－e2

解析：选C　由题图可得a＝－3e2，b＝－e1，所以a－b＝e1－3e2.

2．设向量e1与e2不共线，若3xe1＋(10－y)e2＝(4y－7)e1＋2xe2，则实数x，y的值分别为(　　)

A．0，0  B．1，1

C．3，0  D．3，4

解析：选D　∵向量e1与e2不共线，∴解得故选D.

3．在△ABC中，若＝(＋)，则下列关系式正确的是(　　)

A．BD＝2CD  B．BD＝CD

C．BD＝3CD  D．CD＝2BD

解析：选B　由＝(＋)得2＝＋，即－＝－，即＝，所以||＝||，故BD＝CD.

4．在△ABC中，M为边BC上任意一点，N为线段AM的中点，＝λ＋μ，则λ＋μ的值为(　　)

A.  B.

C.  D．1

解析：选A　∵M为BC边上任意一点，∴可设＝x＋y，且x＋y＝1.∵N为线段AM的中点，∴＝＝x＋y＝λ＋μ.∴λ＋μ＝(x＋y)＝.

5．(多选)D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB上的中点，且＝a，＝b，给出下列结论，其中正确的结论为(　　)

A.＝－a－b  B.＝a＋b

C.＝－a＋b  D.＝a

解析：选ABC　如图，＝＋＝－b＋＝－b－a，A正确；＝＋＝a＋b，B正确；＝＋＝－b－a，＝＋＝b＋(－b－a)＝b－a，C正确；＝＝－a，D不正确．

6．向量a在基底{e1，e2}下可表示为a＝2e1＋3e2，若a在基底{e1＋e2，e1－e2}下可表示为a＝λ(e1＋e2)＋μ(e1－e2)，则λ＝________，μ＝________．

解析：由条件，可知解得

答案：　－

7.如图，已知E，F分别是矩形ABCD的边BC，CD的中点，EF与AC交于点G，若＝a，＝b，用a，b表示＝________．

解析：＝＋＋＝a＋b＋＝a＋b＋b－a＝a＋b.

答案：a＋b

8．设向量m＝2a－3b，n＝4a－2b，p＝3a＋2b，若用m，n表示p，则p＝________．

解析：设p＝xm＋yn，则3a＋2b＝x(2a－3b)＋y(4a－2b)＝(2x＋4y)a＋(－3x－2y)b，

得解得

所以p＝－m＋n.

答案：－m＋n

9.如图，在△ABC中，点D，E，F依次是边AB的四等分点，试用＝e1，＝e2表示.

解：＝－＝e1－e2，因为D，E，F依次是边AB的四等分点，所以＝＝(e1－e2)，所以＝＋＝e2＋(e1－e2)＝e1＋e2.

10．设e1，e2是不共线的非零向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2.

(1)证明：{a，b}可以作为一组基底；

(2)若4e1－3e2＝λa＋μb，求λ，μ的值．

解：(1)证明：若a，b共线，则存在λ∈R，使a＝λb，则e1－2e2＝λ(e1＋3e2)．

由e1，e2不共线得，⇒

所以λ不存在，故a与b不共线，可以作为一组基底．

(2)由4e1－3e2＝λa＋μb，得4e1－3e2＝λ(e1－2e2)＋μ(e1＋3e2)＝(λ＋μ)e1＋(－2λ＋3μ)e2.

又e1与e2是不共线的非零向量，

所以⇒

故所求λ，μ的值分别为3和1.

[B级　综合运用]

11．向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则＝(　　)

A．2  B．4

C．5  D．7

解析：选B　根据题意不妨取如图所示的两个互相垂直的单位向量e1，e2，则a＝－e1＋e2，b＝6e1＋2e2，c＝－e1－3e2.因为c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，所以－e1－3e2＝λ(－e1＋e2)＋μ(6e1＋2e2)＝(－λ＋6μ)e1＋(λ＋2μ)e2，所以解得所以＝4.

12．如图，在△ABC中，D，E是线段BC上两个动点，且＋＝x＋y，则＋的最小值为(　　)

A.  B．2

C.  D.

解析：选D　由题图知x，y均为正数，设＝m＋n，＝λ＋μ.∵B，D，E，C四点共线，∴m＋n＝1，λ＋μ＝1.∵＋＝x＋y＝(m＋λ)＋(n＋μ)，∴x＋y＝m＋n＋λ＋μ＝2，∴＋＝(x＋y)＝×≥＝，则＋的最小值为.故选D.

13.如图，在△ABC中，M为边BC上不同于B，C的任意一点，点N满足＝2.若＝x＋y，则x2＋9y2的最小值为________．

解析：根据题意，得＝＝x＋y.因为M，B，C三点共线，所以有x＋y＝1，即x＋y＝(0<y<)，所以x2＋9y2＝＋9y2＝10y2－y＋＝10＋，所以当y＝时，x2＋9y2取得最小值，为.

答案：

14．如图，已知△ABC的面积为14，D，E分别为边AB，BC上的点，AD∶DB＝BE∶EC＝2∶1，且AE与CD交于点P，求△APC的面积．

解：设＝a，＝b，则＝a＋b，＝a＋b.

∵点A，P，E共线且D，P，C共线，

∴存在λ和μ，使＝λ＝λa＋λb，＝μ＝μa＋μb.

又＝＋＝a＋μb，

∴即

连接BP(图略)，则S△PAB＝S△ABC＝14×＝8，S△PBC＝14×＝2，

∴S△APC＝14－8－2＝4.

[C级　拓展探究]

15.如图，在△AOB中，D是边OB的中点，C是边OA上靠近点O的一个三等分点，AD与BC交于点M.设＝a，＝b.

(1)用a，b表示；

(2)过点M的直线与边OA，OB分别交于点E，F.设＝pa，＝qb，求＋的值．

解：(1)设＝xa＋yb，则＝－＝(x－1)＋y＝(x－1)a＋yb，＝－＝－a＋b，

∵A，M，D三点共线，∴，共线，从而(x－1)＝－y. ①

又C，M，B三点共线，∴，共线，同理可得(y－1)＝－x. ②

联立①②，解得故＝a＋b.

(2)∵＝－＝a＋b－pa＝a＋b，＝－＝qb－pa，且，共线，

∴q＝－p，整理得＋＝5.