高中物理人教版 (2019)选择性必修 第二册2 磁场对运动电荷的作用力学案设计

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磁场对运动电荷的作用力1．知道通电导线受到的安培力是洛伦兹力的宏观表现。2．会判断洛伦兹力的方向，理解洛伦兹力对带电粒子不做功。3．会推导洛伦兹力的公式F＝qvB，并掌握其适用条件。4．了解电视显像管的工作原理。 知识点一　洛伦兹力的方向[情境导学]如图所示，阴极射线管发出的高速电子流，电子由阴极向阳极运动(向右运动)过程中，不加磁场时电子的径迹不变，为什么加了如图所示的磁场后电子在运动过程中向下偏转？提示：不加磁场时电子不受磁场的力的作用，加上磁场后电子受到磁场的力的作用向下偏转。该力的方向由磁场方向和电子运动的方向共同决定。[知识梳理]1．洛伦兹力的定义运动电荷在磁场中受到的力称为洛伦兹力。2．洛伦兹力的方向(1)判断方法：左手定则。(2)左手定则：伸开左手，使拇指与其余四个手指垂直，并且都与手掌在同一个平面内；让磁感线从掌心垂直进入，并使四指指向eq \a\vs4\al(正)电荷运动的方向，这时拇指所指的方向就是运动的正电荷在磁场中所受洛伦兹力的方向，如图所示。负电荷受力的方向与正电荷受力的方向相反。[初试小题]1．判断正误。(1)洛伦兹力一定与电荷运动方向垂直。(√)(2)正电荷所受的洛伦兹力的方向与磁场方向相同，负电荷所受的洛伦兹力的方向与磁场方向相反。(×)(3)磁场对运动电荷的作用力方向与磁场方向有关。(√)(4)判断电荷所受洛伦兹力的方向时应同时考虑电荷的电性。(√)2．[多选]一带电粒子(重力不计，图中已标明粒子所带电荷的正负)进入磁场中，下列关于磁场方向、速度方向及带电粒子所受的洛伦兹力方向的标示正确的是(　　)解析：选AB　带负电的粒子向右运动，掌心向纸外，四指所指的方向向左，大拇指所指的方向向下，选项A正确；带正电的粒子向下运动，掌心向纸里，四指所指的方向向下，大拇指的方向向左，选项B正确；带正电粒子的运动方向与磁感线平行，此时不受洛伦兹力的作用，选项C错误；带负电的粒子向右运动，掌心向外，四指所指的方向向左，大拇指所指的方向向下，选项D错误。知识点二　洛伦兹力的大小[情境导学]处在同一匀强磁场中的某一带电粒子，如果按下面三种运动方向运动，如图所示，其所受洛伦兹力的大小是否相同？提示：同一粒子按上述三种不同的运动方向运动，所受的洛伦兹力大小不同。[知识梳理]1．电荷量为q的粒子以速度v运动时，如果速度方向与磁感应强度方向垂直，则F＝qvB。2．当电荷沿磁场方向运动(即v与B的夹角θ＝0或v∥B)时，F＝eq \a\vs4\al(0)。3．当电荷运动的方向与磁场的方向夹角为θ时，F＝qvBsin_θ。[初试小题]1．判断正误。(1)电荷运动的速度越大，它所受的洛伦兹力一定也越大。(×)(2)运动电荷在磁场中一定受洛伦兹力。(×)(3)运动电荷的速度方向可以与磁感应强度方向不垂直。(√)(4)同一电荷，以相同大小的速度进入磁场，速度方向不同时，洛伦兹力的大小也可能相同。(√)2．[多选]在如图所示的各图中，匀强磁场的磁感应强度大小均为B，带电粒子的速率均为v，带电荷量均为q，则下列各图中带电粒子所受洛伦兹力的大小表达正确的是(　　)A．图(1)中洛伦兹力大小为qvBsin 30°B．图(2)中洛伦兹力大小为qvBsin 30°C．图(3)中洛伦兹力大小为0D．图(4)中洛伦兹力大小为qvB解析：选BCD　图(1)中v⊥B，所以洛伦兹力大小为qvB，A错误。图(2)中v与B的夹角为30°，所以洛伦兹力大小为qvBsin 30°，B正确。图(3)中v∥B，所以洛伦兹力大小为零，C正确。图(4)中v⊥B，所以洛伦兹力大小为qvB，D正确。知识点三　电子束的磁偏转[情境导学]从图中可以看出，没有磁场时电子束打在荧光屏正中的O点。为使电子束偏转，由安装在管颈的偏转线圈产生偏转磁场。(1)要使电子束在水平方向偏离中心，打在荧光屏上的A点，偏转磁场应该沿什么方向？(2)要使电子束打在B点，磁场应该沿什么方向？(3)要使电子束打在荧光屏上的位置由B点逐渐向A点移动，偏转磁场应该怎样变化？提示：(1)偏转磁场方向垂直纸面向外。(2)偏转磁场方向垂直纸面向里。(3)偏转磁场的磁感应强度先垂直纸面向里逐渐减小至零，再垂直纸面向外逐渐增大。[知识梳理]1．显像管的构造：电子枪、偏转线圈和荧光屏。2．显像管的原理(1)电子枪发射电子。(2)电子束在磁场中偏转。(3)荧光屏被电子束撞击发光。3．扫描：在偏转区的水平方向和竖直方向都有偏转磁场，其方向、强弱都在不断变化，使得电子束打在荧光屏上的光点不断移动，这在显示技术中叫作扫描。[初试小题]1．判断正误。(1)电子枪的作用是发射高速电子。(√)(2)偏转线圈的作用是产生恒定磁场。(×)(3)显像管中偏转线圈中的电流恒定不变时，电子打在荧光屏上的光点是不动的。(√)(4)显像管中的电子束受水平、竖直两个方向的磁场作用。(√)2．电视显像管发射电子，在加速电场中被加速后进入偏转磁场，在偏转磁场的作用下，电子束在荧光屏上扫描。电子束从最上一行到最下一行扫描一遍，叫作一场，电视机中每秒要进行50场扫描，加上人眼的“视觉暂留效应”，所以我们感到整个荧光屏都在发光。不加磁场时电子束将通过O点而打在屏幕的中心M点。为了使屏幕上出现一条以M为中心的亮线PQ，偏转磁场的磁感应强度B随时间变化的规律应是下列选项中的(　　)解析：选B　由题意知，要想得到以M为中点的亮线PQ，则电子束既要向上偏转，又要向下偏转，所以磁场的磁感应强度B随时间t变化时，应有方向改变，故C、D错误；A项中磁感应强度大小一定，则电子束受到的洛伦兹力大小相同，偏转量也相同，向同一方向偏转的电子都打到同一点，不能得到连续的亮线，故A错误；利用排除法，可知B正确。洛伦兹力的方向[问题探究]地磁场是地球的卫士，它能有效地防止宇宙射线射向地球。假设有一束带正电的宇宙射线粒子垂直于地面向赤道射来，那么它是如何起到保护地球的作用呢？提示：由于地磁场的作用，使带正电的宇宙射线粒子相对于预定地点向东偏转。[要点归纳]1．决定洛伦兹力方向的因素电荷的电性(正、负)、速度方向、磁感应强度的方向是决定洛伦兹力方向的三个因素。2．F、B、v三者方向间的关系电荷运动方向和磁场方向间没有因果关系，两者关系是不确定的。电荷运动方向和磁场方向确定洛伦兹力方向，F⊥B，F⊥v，即F垂直于B和v所决定的平面。3．洛伦兹力不做功由于洛伦兹力方向始终与电荷运动的方向垂直，故洛伦兹力对运动电荷不做功，它只改变电荷速度的方向，不改变电荷速度的大小。[例题1]　在阴极射线管中电子流方向由左向右，其上方放置一根通有如图所示电流的直导线，导线与阴极射线管平行，则电子将(　　)A．向上偏转　　 　　 　　 B．向下偏转C．向纸里偏转 D．向纸外偏转[解析]　根据安培定则，直导线下方的磁场方向垂直于纸面向里，而电子运动方向由左向右，由左手定则知，电子受到向下的洛伦兹力，电子将向下偏转，故选项B正确。[答案]　B在应用左手定则时，首先要判断运动的带电粒子所带的电性，若带正电，四指所指的方向与粒子运动方向一致；若带负电，四指所指的方向与粒子运动方向相反。　　　　 [针对训练]1．在下列四个选项中，正确标明了带正电粒子所受洛伦兹力F方向的是(　　)解析：选D　根据左手定则可知，A项中洛伦兹力方向应该垂直纸面向里，故A错误；B项中洛伦兹力方向应该是垂直纸面向外，故B错误；C项中洛伦兹力方向应该竖直向下，故C错误；D项中洛伦兹力方向应该竖直向上，故D正确。2．一束混合粒子流从一发射源射出后，进入如图所示的磁场，分离为1、2、3三束粒子流，则下列选项不正确的是(　　)A．1带正电　　　 B．1带负电C．2不带电 D．3带负电解析：选B　根据左手定则，带正电的粒子向左偏，即粒子1带正电；不偏转说明不带电，即粒子2不带电；带负电的粒子向右偏，即粒子3带负电。故选项B不正确。3．运动电荷在磁场中发生偏转，说明磁场对运动电荷有力的作用。将阴极射线管的两极与高压电源连接后，加上如图所示的磁场，可观察到从负极向右射出的高速电子流(电子带负电)的偏转情况是(　　)A．平行纸面向上偏转B．平行纸面向下偏转C．垂直纸面向里偏转D．垂直纸面向外偏转解析：选D　电子流受到洛伦兹力作用发生偏转，电子流带负电，应用左手定则判断洛伦兹力时，四指应指向电子流运动的反方向，磁感线垂直穿过掌心，则拇指垂直于纸面向外，故电子流垂直纸面向外偏转，所以选项D正确。洛伦兹力的大小[问题探究]如图所示，直导线长l，电流为I，单位体积内的自由电荷数为n，截面积为S，每个电荷的电荷量均为q，定向运动速度为v，磁场的磁感应强度为B。(1)这段通电导线所受的安培力是多大？(2)此段导线的自由电荷个数是多少？(3)每个自由电荷受到的洛伦兹力又是多大？提示：(1)安培力F安＝BIl；(2)自由电荷个数N＝nSl；(3)每个自由电荷受到的洛伦兹力F洛＝eq \f(F安,N)。[要点归纳]1．对公式F＝qvB的理解(1)适用条件：运动电荷的速度方向与磁场方向垂直，相对磁场静止的电荷不受洛伦兹力作用。(2)常见情况①当v⊥B时，F洛＝qvB，即运动方向与磁场方向垂直时，洛伦兹力最大。②当v∥B时，F洛＝0，即运动方向与磁场方向平行时，不受洛伦兹力。③若v与B夹角为θ(θ≠90°)时，F洛＝qvBsin θ。2．洛伦兹力与安培力的区别和联系[例题2]　如图所示，表面粗糙的斜面固定于地面上，并处于方向垂直纸面向外、磁感应强度为B的匀强磁场中。质量为m、带电荷量为＋Q的小滑块从斜面顶端由静止下滑。在滑块下滑的过程中，下列判断正确的是(　　)A．滑块受到的摩擦力不变B．滑块到达地面时的动能与B的大小无关C．滑块受到的洛伦兹力方向垂直斜面向下D．B很大时，滑块可能静止于斜面上[思路点拨](1)滑块与斜面之间是否存在滑动摩擦力？(2)洛伦兹力的方向怎样判断？(3)洛伦兹力随滑块速度的增大而怎样变化？[解析]　根据左手定则可知，滑块受到的洛伦兹力垂直斜面向下，C正确。随着滑块速度的变化，洛伦兹力大小发生变化，滑块对斜面的压力大小发生变化，故滑块受到的摩擦力大小发生变化，A错误。B越大，滑块受到的洛伦兹力越大，受到的摩擦力也越大，摩擦力做功越多，根据动能定理，滑块到达地面时的动能就越小，B错误。由于开始时滑块静止，不受洛伦兹力，此时滑块开始下滑，故B再大，滑块也不可能静止在斜面上，D错误。[答案]　C与洛伦兹力相关的带电体问题的分析思路正确进行受力分析，当带电体的速率v变化时，洛伦兹力的大小F随之改变，因此带电体在运动过程中的受力情况是动态变化的。洛伦兹力F的变化影响带电体所受的合力，合力变化又引起加速度变化，加速度变化又影响速度变化。(1)确定带电体的运动状态，注意运动情况和受力情况的结合。(2)灵活选择不同的运动规律。①当带电体在复合场中做匀速直线运动时，粒子受力必然平衡，由平衡条件列方程求解。②对于临界问题，注意挖掘隐含条件。　　　　 [针对训练]1．关于安培力和洛伦兹力，下列说法正确的是(　　)A．安培力和洛伦兹力是性质不同的两种力B．安培力可以对通电导线做功，洛伦兹力对运动电荷一定不做功C．运动电荷在某处不受洛伦兹力作用，则该处的磁感应强度一定为零D．洛伦兹力既不能改变带电粒子的动能，也不能改变带电粒子的运动状态解析：选B　安培力和洛伦兹力都是磁场力，A错误；洛伦兹力方向永远与电荷运动方向垂直，所以洛伦兹力不做功，安培力是洛伦兹力的宏观表现，它虽然对引起电流的定向移动的电荷不做功，但对导线可以做功，B正确；电荷的运动方向与磁感线方向平行时，洛伦兹力为零，但B不为零，C错误；洛伦兹力不改变带电粒子的速度大小，但改变速度的方向，D错误。2．两个带电粒子以相同的速度垂直磁感线方向进入同一匀强磁场，两粒子质量之比为1∶4，电荷量之比为1∶2，则两带电粒子受洛伦兹力之比为(　　)A．2∶1　　 B．1∶1C．1∶2　　　 D．1∶4解析：选C　带电粒子的速度方向与磁感线方向垂直时，洛伦兹力F＝qvB，与电荷量成正比，与质量无关，C项正确。3．如图所示，一个带正电荷量为q的小带电体处于垂直纸面向里的匀强磁场中，磁场的磁感应强度为B，若小带电体的质量为m，为了使它对水平绝缘面正好无压力，应该(　　)A．使B的数值增大B．使磁场以速率v＝eq \f(mg,qB)向上移动C．使磁场以速率v＝eq \f(mg,qB)向右移动D．使磁场以速率v＝eq \f(mg,qB)向左移动解析：选D　为使小带电体对绝缘面无压力，则应使它受到的洛伦兹力刚好平衡重力，磁场不动而只增大B，小带电体在磁场里不受洛伦兹力，故A错误；磁场向上移动相当于小带电体向下运动，受洛伦兹力向右，不能平衡重力，故B错误；磁场以速率v向右移动，等同于小带电体以速率v向左运动，此时洛伦兹力向下，也不能平衡重力，故C错误；磁场以速率v向左移动，等同于小带电体以速率v向右运动，此时洛伦兹力向上，由平衡条件可知，当qvB＝mg时，带电体对水平绝缘面无压力，此时v＝eq \f(mg,qB)，故D正确。洛伦兹力与科技[示例]　[多选]如图所示为一“速度选择器”的示意图。a、b为水平放置的平行金属板，一束具有各种不同速率的电子沿水平方向经小孔O进入a、b两板之间。为了选取具有某种特定速率的电子，可在a、b间加上电压，并沿垂直于纸面的方向加一匀强磁场，使所选电子仍能够沿水平直线OO′运动，由O′射出，不计重力作用。可能达到上述目的的办法是(　　)A．使a板电势高于b板，磁场方向垂直纸面向里B．使a板电势低于b板，磁场方向垂直纸面向里C．使a板电势高于b板，磁场方向垂直纸面向外D．使a板电势低于b板，磁场方向垂直纸面向外[解析]　要使电子沿直线OO′运动，则电子在竖直方向所受电场力和洛伦兹力平衡，若a板电势高于b板，则电子所受电场力方向竖直向上，其所受洛伦兹力方向必向下，由左手定则可判定磁场方向垂直纸面向里，故A选项正确。同理可判断D选项正确。[答案]　AD速度选择器、磁流体发电机、电磁流量计具有相同的特点，即在稳定状态时，电荷所受的洛伦兹力与电场力均等大反向。　　　　 [拓展训练]1．如图所示，在两水平极板间存在匀强电场和匀强磁场，电场方向竖直向下，磁场方向垂直于纸面向里，一带电粒子以某一速度沿水平直线通过两极板。若不计重力，下列四个物理量中哪一个改变时，粒子运动轨迹不会改变？(　　)A．粒子速度的大小　　　 B．粒子所带的电荷量C．电场强度 D．磁感应强度解析：选B　带电粒子在电场和磁场中做匀速直线运动，由平衡条件知qE＝qvB，同时消除q，可以看出，带电粒子在电场和磁场中运动时，电场强度、磁感应强度以及带电粒子速度的大小均能影响粒子的运动轨迹，而粒子所带的电荷量不影响运动轨迹，选项A、C、D错误，选项B正确。2．为了测量某化肥厂的污水排放量，技术人员在该厂的排污管末端安装了如图所示的流量计。该装置由绝缘材料制成，长、宽、高分别为a、b、c，左右两端开口，在垂直于上下表面方向加磁感应强度为B的匀强磁场，在前后两个内侧面固定有金属板作为电极，污水充满管口从左向右流经该装置时，电压表将显示两个电极间的电压U。若用Q表示污水流量(单位时间内排出的污水体积)，下列说法正确的是(　　)A．若污水中正离子较多，则前内侧面比后内侧面电势高B．前内侧面的电势一定低于后内侧面的电势，与哪种离子多无关C．污水中离子浓度越高，电压表的示数将越大D．污水流量Q与电压U成正比，与a、b有关解析：选B　由左手定则可判断：若流动的是正离子，则正离子向里偏，前内侧面电势低于后内侧面电势；若流动的是负离子，则负离子向外偏，仍然是前内侧面电势低于后内侧面的电势，故A错误，B正确。污水稳定流动时，对任一离子，有qvB＝qE＝eq \f(qU,b)，所以U＝Bbv，电势差与离子浓度无关，故C错误。流量Q＝Sv＝bc·eq \f(U,Bb)＝eq \f(cU,B)，可以看出流量与a、b均无关，故D错误。3．[多选]目前世界上一种新型发电机叫磁流体发电机，它的发电原理如图所示，将一束等离子体(即高温下电离的气体，含有大量带正电和负电的粒子，从整体来说呈中性)沿图中所示方向喷射入磁场，磁场中有两块金属板P、Q，这时金属板上就聚集了电荷。下列说法正确的是(　　)A．P板带正电B．有电流从b经用电器流向aC．金属板P、Q间的电场方向向上D．等离子体发生偏转的原因是粒子所受洛伦兹力大于所受电场力解析：选AD　根据左手定则知，带正电的粒子向上偏转，带负电的粒子向下偏转，则P板带正电，Q板带负电，故A正确；因为Q板带负电，P板带正电，所以电流从a经用电器流向b，故B错误；因为P板带正电，Q板带负电，所以金属板间的电场方向向下，故C错误；等离子体发生偏转的原因是粒子所受洛伦兹力大于所受电场力，故D正确。1．下列有关洛伦兹力和安培力的描述，正确的是(　　)A．通电直导线在匀强磁场中一定受到安培力的作用B．安培力是大量运动电荷所受洛伦兹力的宏观表现C．带电粒子在匀强磁场中运动，受到的洛伦兹力做正功D．通电直导线在磁场中受到的安培力方向与磁场方向平行解析：选B　当电流方向与磁场方向平行时，通电直导线不受安培力，故A错误；导线中定向移动的电荷受到的洛伦兹力在宏观上表现为导线受到的安培力，所以说安培力是大量运动电荷所受洛伦兹力的宏观表现，B正确；洛伦兹力的方向与带电粒子运动方向始终垂直，因此洛伦兹力对带电粒子不做功，C错误；通电直导线在磁场中受到的安培力方向与磁场方向垂直，D错误。2．初速度为v0的电子，沿平行于通电长直导线的方向射出，直导线中电流方向与电子的初始运动方向如图所示，则(　　)A．电子将向右偏转，速率不变B．电子将向左偏转，速率改变C．电子将向左偏转，速率不变D．电子将向右偏转，速率改变解析：选A　由安培定则可知直线电流右侧磁场的方向垂直纸面向里，根据左手定则可知电子所受洛伦兹力方向向右，由于洛伦兹力不做功，电子速率不变，选项A正确。3．带电荷量为＋q的粒子在匀强磁场中运动，下列说法正确的是(　　)A．只要速度大小相同，所受洛伦兹力就相同B．如果把＋q改为－q，且速度反向、大小不变，则洛伦兹力的大小、方向均不变C．洛伦兹力方向一定与电荷速度方向垂直，磁场方向一定与电荷运动方向垂直D．粒子在只受洛伦兹力作用下运动的动能、速度均不变解析：选B　洛伦兹力的大小不但与粒子速度大小有关，而且与粒子速度的方向有关。例如，当粒子速度与磁场垂直时，F＝qvB；当粒子速度与磁场平行时，F＝0。又由于洛伦兹力的方向永远与粒子的速度方向垂直，速度方向不同时，洛伦兹力的方向也不同。所以A选项错误。因为＋q 改为－q且速度反向时所形成的电流方向与原＋q运动形成的电流方向相同，由左手定则可知洛伦兹力方向不变，再由F＝qvB知大小不变，所以B选项正确。因为粒子进入磁场时的速度方向可以与磁场方向成任意夹角，所以C选项错误。因为洛伦兹力总与速度方向垂直，因此洛伦兹力不做功，粒子动能不变，但洛伦兹力可改变粒子的运动方向，使粒子速度的方向不断改变，所以D选项错误。4．如图所示，两个平行金属板M、N间为一个正交的匀强电场和匀强磁场区域，电场方向由M板指向N板，磁场方向垂直纸面向里，OO′为距离两极板相等且平行两极板的直线。一质量为m、电荷量为＋q的带电粒子，以速度v0从O点射入，沿OO′方向匀速通过此场区，不计带电粒子的重力，则以下说法正确的是(　　)A．电荷量为－q的粒子以v0从O点沿OO′方向射入时，不能匀速通过场区B．电荷量为2q的粒子以v0从O点沿OO′方向射入时，不能匀速通过场区C．保持电场强度和磁感应强度大小不变，方向均与原来相反，则粒子仍能匀速通过场区D．粒子以速度v0从右侧的O′点沿O′O方向射入，粒子仍能匀速通过场区解析：选C　由题意知带正电的粒子能从左向右匀速通过场区，则竖直向上的洛伦兹力与竖直向下的电场力平衡，有qE＝Bqv0，解得v0＝eq \f(E,B)，可知平衡条件与电荷量的多少无关，因此电荷量为－q和2q的粒子以v0入射，都能从左向右匀速通过场区，A、B错误；当电场方向与磁场方向都与原来相反时，粒子所受电场力和洛伦兹力的方向仍相反，所以粒子以v0从O点沿OO′方向射入时仍能匀速通过场区，C正确；若粒子以速率v0从右侧的O′点沿O′O方向射入，粒子受到竖直向下的电场力与竖直向下的洛伦兹力，二力不能平衡，因此粒子不能匀速通过场区，D错误。5．如图所示，一质量为m、电荷量为q的带正电绝缘物块位于高度略大于物块高度的水平宽敞绝缘隧道中，隧道足够长，物块上、下表面与隧道上、下表面的动摩擦因数均为μ，整个空间存在垂直纸面向里、磁感应强度为B的匀强磁场。现给物块水平向右的初速度v0，空气阻力忽略不计，物块电荷量不变，则物块(　　)A．一定做匀速直线运动B．一定做减速运动C．可能先减速后匀速运动D．可能加速运动解析：选C　根据左手定则可知物块受到的洛伦兹力方向向上，如果洛伦兹力等于重力，则物块做匀速直线运动。如果洛伦兹力小于重力，物块与隧道下表面间存在摩擦力，物块做减速运动；如果洛伦兹力大于重力，物块与隧道上表面间存在摩擦力，物块也做减速运动，当减速到洛伦兹力等于重力时物块做匀速运动，故选项C正确。区　别联　系(1)洛伦兹力是指单个运动电荷所受到的磁场力，而安培力是指电流(即大量定向移动的电荷)所受到的磁场力；(2)洛伦兹力永不做功，而安培力可以做功(1)安培力是洛伦兹力的宏观表现，洛伦兹力是安培力的微观表现；(2)大小关系：F安＝NF洛；(3)方向关系：洛伦兹力与安培力的方向一致，均可用左手定则进行判断装置原理图规律速度选择器若qv0B＝Eq，即v0＝eq \f(E,B)，粒子做匀速直线运动磁流体发电机等离子体射入，因受洛伦兹力，径迹产生偏转，使两极板带正、负电荷，两极电压为U时稳定，qeq \f(U,d)＝qv0B，U＝v0Bd电磁流量计eq \f(U,D) q＝qvB，所以v＝eq \f(U,DB)，所以Q＝vS＝eq \f(πDU,4B)