广东省广州市天河区2022年中考数学一模试题(含解析)

广东省广州市天河区2022年中考数学一模试题

一、选择题（本题有10个小题，每小题3分）

1．﹣3的相反数是（　　）

 A．3 B．﹣3 C． D．

考点：相反数的定义

答案：A

2．下列是四届冬奥会会徽的部分团，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）

 A．1984前南斯拉夫 B．1988加拿大 C．2006意大利 D．2022中国

考点：中心对称以及轴对称图形的定义

答案：A

3．下列式子运算正确的是（　　）

 A． B． C． D．

考点：整式乘法的运算

答案：C

4．如图，将△ABC绕点A逆时针方向旋转得到△AB'C'，当点B'刚好落在BC边上，∠B=40°，则∠BAB'的度数为（　　）

 A．120° B．100° C．80° D．60°

考点：旋转、内角和

答案：B

5．小明参加校园歌手比赛，唱功得85分，音乐常识得95分，综合知识得90分，学校如果按如图所示的权重计算总评成绩，那么小明的总评成绩是（　　）

 A．87分 B．87.5分 C．88.5分 D．89分

考点：加权平均数

答案：C

6．如图，平行四边形中，E，F分别在边BC，AD上，添加选项中的条件后不能判定四边形AECF是平行四边形的是（　　）

 A．BE=DF B．AE∥CF C．AF=EC D．AE=FC

考点：平行四边形的判定定理，常考：错误定理“一组对边平行、另一组对边相等”

答案：D

7．一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（　　）

 A． B． C． D．

考点：根的判别式、二次根式有意义性

答案：D

8．如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，在△OAB中，AO=AB，AC⊥OB于点C，点A在反比例函数的图像上，若OB=4，AC=3，则k的值为（　　）

 A．12 B．8 C．6 D．3

考点：等腰三角形性质、k的几何意义（或待定系数法）

答案：C

9．如图，每个小正方形的边长为1，在△ABC中，点D为AB的中点，则线段CD的长为（　　）

 A． B． C． D．

考点：勾股定理

答案：B

10．已知二次函数，若x=a时，y<0；则当x=a-1时，对应的函数值范围判断合理的是（　　）

 A．y<0 B． C． D．

考点：二次函数图像性质、数形结合思想

解析：第一步：由解析式得出对称轴是直线，那么，如图；

第二步：则，即可得到函数值的范围。

答案：C

二、填空题（本题有6个小题，每小题3分）

11．代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是____________．

考点：二次根式有意义性

答案：x≥2

12．____________．

考点：负指数

答案：

13．因式分解：____________．

考点：提公因式

答案：

14．一次函数的图像经过原点，则y随x增大而____________．（填“增大”或“减小”）

考点：一次函数图像性质

答案：增大

15．如图，在正方形ABCD中，点P在对角线AC上，PE⊥AB，PF⊥BC，垂足分别为E，F，且EF=3，则DP的长为____________．

考点：正方形的对称性，矩形对角线性质

答案：3

16．如图，BD为⊙O的直径，点A是弧BC的中点，AD交BC于E点，⊙O的切线DF与BC的延长线交于点F，AE=2，ED=4．则

（1）sin∠ADB=____________；

（2）下列四个结论中正确的有____________（填写序号）

①△ABE∽△ADB；②AB=4；③弧AB的长是；④CF=AE．

考点：圆的性质、垂径定理

解析：（1）连接OA交BC于点H、连接CD，

 由垂径定理得OA⊥BC，BH=CH；易知CD⊥BC；

∵O是BD中点，∴OH=CD

∵AH⊥BC，CD⊥BC

∴△AEH∽△DEC

又∵DE=2AE

∴AH=CD=OH

∴OH=OA=OB

∴∠HBO=30°

则∠AOB=60°

故∠ADB=30°

sin∠ADB=

（2）

①母子型相似易证，正确；

②结合（1）过程，AB=，错误；

③弧AB的值是，错误；

④易得△EFD是等边三角形，CF=EF=ED=2=AE，正确；

答案：、①④

三、解答题（本题有9小题，共72分）

17．（4分）

解方程组

考点：二元一次方程

答案：

18．（4分）

如图，已知AB∥DE，AB=DE，B，E，C，F在同一条直线上，且BE=CF．

求证：△ABC≌△DEF．

考点：部分重合边、全等三角形

答案解析：

证：∵BE=CF

∴BC=EF

∵AB∥DE

∴∠B=∠DEF

∵AB=DE

∴△ABC≌△DEF

19．（6分）

已知代数式．若点A（a，b）在直线上，求T的值．

考点：分式运算、因式分解、一次函数

答案解析：

∵点A（a，b）在直线上

∴

20．（6分）

为庆祝中国共产党成立100周年，某校举行“学党史，感党恩”只是竞答活动．甲、乙两班各选出5名学生参加竞赛，其竞赛成绩（满分为100分）如表所示：

（1）写出甲、乙两个班这10名学生竞赛成绩的中位数和众数；

（2）若从甲、乙两班竞赛成绩“≥90分”的4名学生中随机抽取2名参加全区党史知识竞赛，求这2名学生恰好来自同一个班的概率．

考点：中位数、众数

答案：

（1）中位数：82.5；众数：80

（2）概率：

21．（8分）

如图，线段AD是△ABC的角平分线．

（1）尺规作图：作线段AD的垂直平分线分别交AB，AC与点E，F；（保留痕迹，不写作法）

（2）在（1）所作的图中，连接DE，DF．

求证：四边形AEDF是菱形．

考点：垂直平分线的尺规作图，菱形判定定理

答案：（1）如图，直线EF即为所求

（2）证：∵EF垂直平分AD

∴AE=DE，AF=DF

∴∠EAD=∠FAD,∠EDA=∠FDA

∴AF∥ED，DF∥AE

∴四边形AEDF是平行四边形

∵AE=DE

∴平行四边形AEDF是菱形

22．（10分）

看电影已经成为人们在春节假期生活的新热闹．2022年春节电影总票房持续走高，其中《长津湖》《四海》和《奇迹》散步电影七天票房总额达到37亿元．

（1）若《四海》的票房比《奇迹》的票房少2亿，《长津湖》的票房比《奇迹》的票房的3倍多4亿，求电影《长津湖》的票房；

（2）若电影院票价每张60元，学生实行半价优惠．某学校计划用不超过1500元组织老师和学生共40名去电影院观看《长津湖》 ，问：至少组织多少名学生观看电影？

考点：一元一次方程、一元一次不等式

答案：（1）设《奇迹》的票房为x亿，《四海》的票房为亿，《长津湖》的票房为亿，

解得：

∴

答：《长津湖》的票房是35亿

（2）设组织a名学生观看电影

解得：

答：至少组织30名学生观看电影

23．（10分）

如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于A，B两点，其中A的坐标为（1，a）．P是以点C（-2，2）为圆心，半径为1的圆上一动点，连接AP，Q为AP的中点．

（1）求双曲线的解析式；

（2）将直线向上平移m（m>0）个单位长度，若平移后的直线与⊙C相切，求m的值；

（3）求线段OQ长度的最大值．

考点：待定系数法、函数平移、相切、点到圆距离最值问题（或瓜豆原理）

解析思路：

（1）将点（1，a）代入，得；再将（1，1）代入可得k=1，故

（2）

将x=-2代入，可得，即点；点K是切点，易得△CKH是等腰直角三角形，半径是1，则，则点，故；同理得，

（3）

连接BP，OQ=BP，当BP最大时，OQ最大；

24．（12分）

如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，点E是CD边上的一个动点（点E不与点C重合），延长DC到点F，使EC=2CF，且AF与BE交于点G．

（1）当EC=4时，求线段BG的长；

（2）设CF=x，△GEF的面积为y，求y与x的关系式，并求出y的最大值；

（3）连接DG，求线段DG的最小值．

考点：勾股定理、相似三角形、动点轨迹问题（第3问做法与2021广州中考25类似）

答案解析：

（1），

∵AB∥EF

∴△ABG∽△FEG

∴

∴

（2）

，

∵AB∥EF

∴△ABG∽△FEG

∴

∴

∴

∴，

∵

∴

，且

令，，则，

∵对称轴是直线，开口向上

∴在上，S随t增大而增大

∴当时，S取最小值

此时

∴y取最大值

（3）

在AB上取一点Q，且BQ=2AQ

∵AB∥CD

∴△AQG∽△FCG，△BQG∽△DCG

∴，

∴点E在CD上运动总会有，即点G在线段CQ上运动

∴当点E和点D重合时，CG最长

，得

作DM⊥CQ，GN⊥CD，当点G运动到点M时，此时的DG即为最小值

可得

∴DG最小值是

25．（12分）

若抛物线（a，b，c是常数，）过点A（c，0），且时，总有．

（1）当a=c=2，求b的值；

（2）当时，求该抛物线顶点纵坐标的取值范围；

（3）当，时，求证：．

考点：待定系数法、二次函数图像性质

部分答案解析：（1）

（2）

将点A代入，得

∵，∴

对称轴是直线，开口向上

∴当时，顶点的纵坐标是

，令，可得，

∵时，总有

∴

∴

∴

∴

∴顶点纵坐标的范围是

（3）

∵时，总有

∴

∴

当时，

∵

∴

∵

∴

∴

∴

∴

∵

∴

∴