2021-2022学年新人教版 高二下学期期中数学试题（解析版）

这是一份2021-2022学年新人教版 高二下学期期中数学试题（解析版），共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年高二下学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．（       ）A．110 B．65 C．55 D．1002．物体的运动位移方程是（的单位：；的单位：），则物体在的速度是（       ）A．2m/s B．4m/s C．6m/s D．8m/s3．6位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，如果规定每位同学必须报名，则不同的报名方法共有（       ）A．15种 B．30种 C．36种 D．64种4．对具有线性相关关系的变量，，测得一组数据如下表，根据表中数据，利用最小二乘法得到回归直线方程，据此模型预测当时，的估计值为（       ）245682040607080 A．210 B．210.5 C．211 D．211.55．设随机变量，若，则的值为（       ）A． B． C． D．6．已知函数，若有三个不同的零点，则实数的取值范围为（       ）A． B． C． D．7．甲、乙、丙、丁四位同学计划去4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件=“四位同学去的景点不相同”，事件=“甲同学独自去一个景点”，则（       ）A． B．  C． D．8．已知曲线C1：y2＝tx(y>0，t>0)在点M处的切线与曲线C2：y＝ex＋1＋1也相切，则t的值为(　　)A．4e2 B．4eC． D．二、多选题9．A、B、C、D、E五个人并排站在一起，则下列说法正确的有（       ）A．若A、B两人站在一起有24种方法B．若A、B不相邻共有72种方法C．若A在B左边有48种排法D．若A不站在最左边，B不站最右边，有78种方法10．设随机变量的分布列如下表所示，则下列选项中正确的为（       ）0123 A． B． C． D．11．为了解阅读量多少与幸福感强弱之间的关系，一个调查机构根据所得到的数据，绘制了如下的2×2列联表（个别数据暂用字母表示）： 幸福感强幸福感弱总计阅读量多1872阅读量少3678总计9060150 计算得：，参照下表：0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828 对于下面的选项，正确的为（       ）A．根据小概率值的独立性检验，可以认为“阅读量多少与幸福感强弱无关”B．C．根据小概率值的独立性检验，可以在犯错误的概率不超过0.5%的前提下认为“阅读量多少与幸福感强弱有关”D．12．下列说法正确的是（       ）A．若函数满足，则函数在处切线斜率为1B．函数在区间上存在增区间，则C．函数在区间上有极值点，则D．若任意，都有，则有实数的最大值为三、填空题13．已知随机变量服从正态分布，若，则___________.14．计算______.15．甲罐中有5个红球，1个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，2个白球和3个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，再从乙罐中随机取出一球，用表示从乙罐中取出的球是红球的事件，则___________.16．设函数是定义在上的奇函数，为的导函数，当时，，则使得成立的的取值范围__________．四、解答题17．在下面两个条件中任选一个条件，补充在后面问题中的横线上，并完成解答.条件①：展开式前三项的二项式系数的和等于37；条件②：第3项与第7项的二项式系数相等；问题：在二项式的展开式中，已知__________.(1)求展开式中二项式系数最大的项；(2)设，求的值；18．现有编号为A，B，C的3个不同的红球和编号为D，E的2个不同的白球.(1)现将这些小球放入袋中，从中随机一次性摸出3个球，求摸出的三个球中至少有1个白球的不同的摸球方法数.(2)若将这些小球排成一排，要求A球排在中间，且D，E不相邻，则有多少种不同的排法？(3)若将这些小球放入甲，乙，丙三个不同的盒子，每个盒子至少一个球，则有多少种不同的放法？（注：请列出解题过程，结果保留数字）19．甲乙两人参加某种选拔测试，在备选的10道题中，甲答对其中每道题的概率都是，乙能答对其中的8道题，规定每次考试都从备选的10道题中随机抽出4道题进行测试，只有选中的4个题目均答对才能入选.(1)求甲恰有2个题目答对的概率；(2)求乙答对的题目数的分布列；(3)试比较甲，乙两人平均答对的题目数的大小，并说明理由.20．某学校准备举办数学文化知识竞赛，进入决赛的条件为：先参加初赛，初赛时，电脑随机产生4道数学文化试题，能够正确解答3道及以上的参赛者进入决赛.若学生甲参赛，他正确解答每道试题的概率均为.(1)求甲在初赛中恰好正确解答3道试题的概率；(2)进入决赛后，采用积分淘汰制，规则是：参赛者初始分为零分，电脑随机抽取4道不同的数学文化试题，每道试题解答正确加20分，错误减10分，由于难度增加，甲正确解答每道试题的概率变为，求甲在决赛中积分的概率分布，并求数学期望.21．已知函数，其中．(1)求的单调区间；(2)若对于任意，恒成立，求实数的取值范围．22．已知函数.(1)判断函数在区间上的单调性，并说明理由；(2)求证：函数在内有且只有一个极值点；(3)求函数在区间上的最小值.
参考答案：1．B【解析】【分析】利用排列数、组合数公式求值即可.【详解】．故选：B．2．C【解析】【分析】根据物理量位移与速度的关系知：，得到速度关于时间的解析式，代入求值即可.【详解】由物体运动速度为位移对时间的导数，即，∴时，m/s.故选：C.3．D【解析】【分析】根据分步计数原理可得答案.【详解】因为每位同学都有两种选择，所以共有种不同的报名方法，故选：D4．D【解析】【分析】首先算出样本中心点，然后求出，然后可算出答案.【详解】因为，，所以，所以回归直线方程为当时，故选：D5．A【解析】【分析】利用二项分布求解即可【详解】解得故选：A6．C【解析】【分析】当时，求得，求得函数的单调性，得到且，把有三个不同的零点，转化为函数和的图象有三个公共点，结合图象，即可求解.【详解】由题意，当时，，可得，当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以且，当时，可得，所以函数的图象如图所示，又由有三个不同的零点，即函数和的图象有三个公共点，结合图象，可得实数的取值范围.故选：C.7．A【解析】【分析】由题意结合计数原理的知识求出所有基本事件数、发生的基本事件数、发生的基本事件数，由古典概型概率公式可得、，再利用条件概率概率公式即可得解.【详解】甲、乙、丙、丁四位同学计划去4个景点旅游，每人只去一个景点共有个基本事件，甲同学独自去一个景点，共有个基本事件，则；事件、同时发生即事件：四位同学去的景点不相同发生，共有个基本事件，则；所以.故选：A.【点睛】本题考查了条件概率的求解，考查了计数原理与古典概型概率公式的应用，熟记公式、合理分步是解题关键，属于中档题.8．A【解析】【详解】由y＝，得y′＝，则切线斜率为k＝，所以切线方程为y－2＝ ，即y＝x＋1.设切线与曲线y＝ex＋1＋1的切点为(x0，y0)．由y＝ex＋1＋1，得y′＝ex＋1，则由ex0＋1＝，得切点坐标为，故切线方程又可表示为y－－1＝，即y＝x－ln＋＋1，所以由题意，得－ln＋＋1＝1，即ln＝2，解得t＝4e2，故选A.9．BD【解析】【分析】利用捆绑法可判断A，利用插空法可判断B，C属于定序问题，利用间接法可判断D.【详解】对于A，将看成一个整体，与全排列，有种排法，A错误；对于B，将排好，然后将安排在空位中，有种排法，B正确；对于C，5人全排列，有种排法，在左边与在右边的情况数目相同，则在左边的排法有60种，C错误；对于D，不考虑限制条件，5人有种不同的排法，站在最左边的排法有种，站在最右边的排法有种，站在最左边且站在最右边的排法种，则有种不同的排法，D正确；故选：BD．10．BCD【解析】【分析】根据概率和为1，可求得m值，根据期望、方差公式，逐一分析各个选项，即可得答案.【详解】根据概率和为1，可得，解得.对于A：，故A错误；对于B：，故B正确；对于C：，故C正确；对于D：，故D正确.故选：BCD【点睛】本题主要考查了离散型随机变量的概率和、数学期望和方差的计算，属于基础题11．CD【解析】【分析】根据独立性检验的思想，可判断A,C;根据列联表的数据，算出,m,n的值，判断B,C.【详解】对于A，，小概率值的独立性检验，可以在犯错误的概率不超过1%的前提下认为“阅读量多少与幸福感强弱有关” ，故A错误；对于B， ，故B错误；对于C，，根据小概率值的独立性检验，可以在犯错误的概率不超过0.5%的前提下认为“阅读量多少与幸福感强弱有关” ，故C正确；对于D，，正确，故选：CD12．AD【解析】【分析】利用导数的几何意义可判断A，利用二次函数的性质可判断B，利用导数和极值的关系可判断C，构造函数，利用函数的单调性可判断D.【详解】对于A，由，可知函数在处切线斜率为，故A正确；对于B，由函数在区间上存在增区间，可知，所以，故B错误；对于C，由，可得，则在区间上有变号零点，即在区间上有解，又，当时，，函数没有极值，当时，，令则或，不满足在区间上有极值点，故，故C错误；对于D，令，则，所以，函数单调递增，，函数单调递减，又任意，都有，即，故，即实数的最大值为，故D正确.故选：AD.【点睛】本题主要考查了导数的几何意义、二次函数的单调性、利用导数分析函数的极值问题与构造函数分析不等式的问题，属于中档题13．##0.75【解析】【分析】利用正态分布的对称性有，即可求概率.【详解】由题设，正态分布曲线关于对称，所以.故答案为：【点睛】本题主要考查了正态分布的对称性应用，属于基础题14．35【解析】【分析】根据组合数的性质计算可得；【详解】解：故答案为：【点睛】本题考查组合数的性质，属于中档题.15．【解析】【分析】根据互斥事件概率的乘法公式和条件概率的计算公式，带值计算即可.【详解】由甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以表示取出的球是红球，白球和黑球的事件，则是两两互斥的事件，且，则故答案为：.【点睛】本题主要考查了互斥事件概率的乘法公式和条件概率的计算，需要分三种情况分析，属于基础题16．【解析】【分析】先构造新函数，通过求导，再结合已知条件可判断出当 时，    ，当 时， ，最后分情况解不等式可得答案.【详解】令 则当    时，得 ，进而得，故原函数单调递增，又因为    ，当 时， ，此时，所以,当时，，此时，所以，所以，当 时， ，又因为 是奇函数，当 时， ，求 ，分两种情况求解，当 时， <0   ，只需 ，解得 ，当 时， ，只需 ，解得 ， 所以 的范围是 . 故答案为：.17．(1)答案见解析(2)0(3)560【解析】【分析】（1）选择①，由，得，选择②，由，得；（2）利用赋值法可求解；（3）分两个部分求解后再求和即可.(1)选择①，因为，解得，所以展开式中二项式系数最大的项为选择②，因为，解得，所以展开式中二项式系数最大的项为(2)令，则，令，则，所以，18．(1)9(2)16(3)150【解析】【分析】（1）先分析摸出的3个球中全是红球的再求摸出的三个球中至少有1个白球的情况数；（2）先把A安放在中间位置，从A中的两侧各选一个位置插入D，E，其余小球任意排列即可；（3）先把5个小球分成3组，再进入3个盒子中，再按3，1，1和2，2，1两种情况计算即可(1)将这些小球放入袋中，从中随机一次性摸出3个球，摸出的3个球中全是红球的不同摸法有 种，则摸出的三个球中至少有1个白球的不同的摸球方法数为种(2)先把A安放在中间位置，从A中的两侧各选一个位置插入D，E，其余小球任意排列，方法有种(3)先把5个小球分成3组，再进入3个盒子中，若按3个盒子分别3，1，1个小球分配，有种；若按3个盒子分别2，2，1个小球分配，有种；故共有种【点睛】方法点睛：本题主要考查排列的应用，属于中档题.常见排列数的求法为：（1）相邻问题采取“捆绑法”；（2）不相邻问题采取“插空法”；（3）有限制元素采取“优先法”；（4）特殊元素顺序确定问题，先让所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列数.19．(1)(2)X234P (3)甲平均答对的题目数小于乙平均答对的题目数.【解析】【分析】（1）根据二项分布概率计算公式，计算出所求概率.（2）利用超几何分布分布列计算公式，计算出分布列.（3）由（2）计算出乙平均答对题目数的期望值.利用二项分布期望计算公式，计算出甲平均答对题目数的期望值.由此得到两人平均答对的题目数的大小.(1)∵甲在备选的10道题中，答对其中每道题的概率都是，∴选中的4个题目甲恰有2个题目答对的概率.(2)由题意知乙答对的题目数X的可能取值为2，3，4，，，，X的分布列为：X234P (3)∵乙平均答对的题目数，甲答对题目，甲平均答对的题目数.∴甲平均答对的题目数小于乙平均答对的题目数.【点睛】本小题主要考查二项分布的概率计算，考查利用超几何分布概率计算公式计算分布列，考查期望值的计算，属于中档题.20．(1)(2)分布列见解析，.【解析】【分析】（1）利用相互独立事件同时发生的概率计算即可得解；（2）列出决赛中积分的所有可能的取值，分别计算概率，列出分布列，计算期望即可．(1)甲在初赛中恰好正确解答3道试题的概率为，(2)甲的积分的可能的取值为80，50，20，，，则，，，，，所以的概率分布列为：805020 所以数学期望．21． (1)的单调递增区间为，单调递减区间为(2)【解析】【分析】（1）利用导数直接判断单调性；（2）构造函数，根据函数的单调性与函数值的情况解决不等式恒成立问题.(1)因为，所以的定义域为，且，由，得；由，得，所以的单调递增区间为，单调递减区间为；(2)由（1）知在上单调递增，在单调递减，则的最大值为，因为对于任意，恒成立，所以，化简得．设，则，所以在上是增函数．又，由，可得，即实数的取值范围为．【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．22．(1)在区间上为增函数.(2)证明见解析(3)【解析】【分析】（1）求导，利用导数的符号判断可得结果；（2）利用导数，根据极值点的定义可证结论正确；（3）根据在时取得最小值，在时取得最大值，可得在时取得最小值.(1)因为，所以，又，所以，所以函数在区间上为增函数.(2)设，则，当时，，所以在上为减函数，又，，所以存在唯一，使得，即存在唯一，使得，与在区间内的变化情况如下：+0增函数极大值减函数 所以函数在内有且只有一个极值点.(3)由（1）（2）知，在内单调递增，在内单调递减，又因为，，所以当时，，又因为当时，，所以，当且仅当时等号成立，所以在上的最小值为.【点睛】本题主要考查了利用导数分析函数的单调性、极值点个数的判定，同时也考查了函数单调性求最值的问题，属于难题