2021-2022学年山东省临沂市高二下学期期中数学试题（解析版）

2021-2022学年山东省临沂市高二下学期期中数学试题

一、单选题

1．从A地到B地要经过C地，已知从A地到C地有三条路，从C地到B地有四条路，则从A地到B地不同的走法种数是（       ）

A．7 B．9 C．12 D．16

【答案】C

【分析】先确定从A地到C地有3种不同的走法，再确定从C地到B地有4种不同的走法，最后求从A地到B地不同的走法种数.

【详解】解：根据题意分两步完成任务：

第一步：从A地到C地，有3种不同的走法；

第二步：从C地到B地，有4种不同的走法，

根据分步乘法计数原理，从A地到B地不同的走法种数：种，

故选：C.

【点睛】本题考查分步乘法计数原理，是基础题.

2．已知，，那么等于

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据条件概率公式得出可计算出结果.

【详解】由条件概率公式得，故选B.

【点睛】本题考查条件概率的计算，利用条件概率公式进行计算是解本题的关键，属于基础题.

3．在的展开式中，的系数等于

A．280 B．300 C．210 D．120

【答案】D

【分析】根据二项式定理，把每一项里的系数单独写下来，然后相加，再根据组合数性质，化简求值．

【详解】解：在的展开式中，项的系数为

．故选D．

【点睛】本题主要考查二项式定理展开以及利用组合数性质进行化简求值．

4．在“志愿和平”活动中，某校高二年级3名男教师和4名女教师参与社区防控新冠肺炎疫情的志愿服务.根据岗位需求应派3人巡视商户，且至少有1名男教师；另外4人测量出入人员体温.则这7名教师不同的安排方法有（       ）

A．15种 B．18种 C．31种 D．45种

【答案】C

【分析】采用间接法求解.从7人中任选3人，不同的选法有种，而不选男教师的选法有种，故可计算出结果.

【详解】从7人中任选3人，不同的选法有种，而不选男教师的选法有种，

所以这7名教师不同的安排方法有种.

故选：C

【点睛】本题主要考查组合的应用，当正面情况较多时，可考虑间接法从反面入手解决，考查了学生的逻辑推理能力.

5．某市高二年级男生的身高(单位：)近似服从正态分布，则随机选择名本市高二年级的男生身高在内的概率为（       ）

附：随机变量符合正态分布，则，

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由已知可得,进而得到=，进而转化为

,然后利用正态分布的对称性计算求解.

【详解】由已知求得, =,

,

，

故选：B.

6．设函数，若是函数是极大值点，则函数的极小值为

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据函数的极大值点为求出参数的值，然后再根据函数的单调性求出函数的极小值即可．

【详解】∵，

∴，

∵是函数的极大值点，

∴，解得，

∴，

∴当时，单调递增；当时，单调递减；当时，单调递增；

∴当时，有极小值，且极小值为．

故选A．

【点睛】解答类似问题时常犯的错误是误认为导函数的零点即为函数的极值点，解题时，在求得导函数的零点后，还要判断出导函数在零点两侧的符号是否相反，若不相反则可得该零点不是函数的极值点．

7．为了研究某校男生的脚长(单位；)和身高(单位：)的关系，从该校随机抽取20名男生，根据测量数据的散点图可以看出与之间有线性相关关系.设关于的经验回归方程为.已知，，，该校某男生的脚长为，据此估计其身高为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】首先根据题意得到，，从而得到回归直线方程为，再代入求解即可.

【详解】由题知：，，

又因为回归直线为，所以，解得.

即回归直线为.

所该男身高为.

故选：C

8．已知可导函数的导函数为，，若对任意的，都有，则不等式的解集为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】不等式变形为，引入函数，确定其单调性后可解不等式．

【详解】设，则，所以是增函数，

不等式变形为，即，所以．

故选：D．

【点睛】本题考查用导数解函数不等式，解题关键是引入新函数，由导数确定函数的单调性后解不等式．

二、多选题

9．定义在上的可导函数的导函数的图象如图所示，以下结论正确的是（       ）

A．-3是的一个极小值点；

B．-2和-1都是的极大值点；

C．的单调递增区间是；

D．的单调递减区间是．

【答案】ACD

【解析】由导函数与单调性、极值的关系判断．

【详解】当时，，时，

∴是极小值点，无极大值点，增区间是，减区间是．

故选：ACD.

【点睛】本题考查导数与函数单调性、极值的关系，一定要注意极值点两侧导数的符号相反．

10．如图，标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量，现从结点 向结点 传递消息，信息可以分开沿不同的路线同时传递，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示他们有网线相连，则单位时间内传递的信息量可以为（       ）

A． B． C． D．

【答案】AB

【分析】先求出每一条线路单位时间内传递的最大信息量，再由分类加法原理求解即可

【详解】第一条线路单位时间内传递的最大信息量为 ；

第二条线路单位时间内传递的最大信息量为 ；

第三条线路单位时间内传递的最大信息量为 ；

第四条线路单位时间内传递的最大信息量为 ．

因此该段网线单位时间内可以通过的最大信息量为 ，

故选：AB

11．离散型随机变量的分布列如下表，若离散型随机变量满足，则下列结果正确的有（　　）

A． B．，

C．， D．，

【答案】ACD

【分析】首先根据分布列的性质，求，以及计算，，再根据期望和方差的性质，计算和.

【详解】因为，所以，故A正确；

又，

，故C正确；

因为，所以，，故D正确，

故选：ACD.

12．已知函数，对于满足的任意，，下列结论中正确的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】CD

【分析】由函数的单调性判断A；取特值计算判断B；构造函数探讨单调性判断C；利用均值不等式推理判断D作答.

【详解】函数在上单调递增，，则，，A不正确；

取，，，B不正确；

令，，，在上单调递增，

，则，即，有，C正确；

，，D正确.

故选：CD

【点睛】思路点睛：涉及不同变量的两个式子大小比较，探求问题的内在联系，构造函数，分析并运用函数的单调性求解作答.

三、填空题

13．高三某位同学参加物理、化学科目的等级考，已知这位同学在物理、化学科目考试中达A的概率分别为、，这两门科目考试成绩的结果互不影响，则这位考生至少得1个A的概率为__________.

【答案】

【分析】事件“至少得1个A”的对立事件是“1个A都没得”，因此根据独立事件的乘法公式求出这位考生1个A没得的概率，进而可求出结果.

【详解】这位考生1个A没得的概率为，所以这位考生至少得1个A的概率为，

故答案为：.

14．已知 ，则 ____．

【答案】

【分析】根据给定条件，利用多项式乘法法则将，分别与的展开式中项相乘即可计算作答.

【详解】因为 ，

则是中的一次项，常数项分别与的展开式中的项相乘积的和的系数，

所以.

故答案为：16

15．已知函数，，现有下列结论：

①至多有三个零点；

②，使得，；

③当时，在上单调递增.

其中正确的结论序号是____________.

【答案】①③

【分析】①0不是方程的解，所以方程的解的个数等价于方程的解的个数，结合导数知识作出函数数的大致图象，方程的解的个数即直线与图象交点的个数，再数形结合可判断①；

②，，等价于，结合①求的最值即可判断②；

③当时，判断在上是否恒成立可判断③．

【详解】解：①函数的零点个数，即方程的解的个数，

因为当时，，所以0不是方程的解，

所以方程的解的个数等价于方程的解的个数，

令，则，

当或时，，所以在和上单调递增，

当时，，所以在上单调递减，

当时，，当时，，当时，，

又，作出函数的大致图象，

因为方程的解的个数等价于直线与图象交点的个数，

所以数形结合直线与图象最多3个交点，

故函数至多由3个零点．①正确．

②，，等价于，

由①的分析可知，当时，，所以，

由，

所以不存在，，使得，，②错误．

③，

当时，在上恒成立，所以在上单调递增；

当时，令，，令，解得，

当时，，在上单调递减；

当时，，在上单调递增，

所以，

所以在上恒成立，所以在上单调递增．故③正确．

故答案为：①③．

四、双空题

16．离散型随机变量 的分布列，且，则 ____； ____．

【答案】     0.25     0.5

【分析】利用分布列的性质及期望的定义列出方程组求出，作答.

【详解】依题意：，解得：，

所以.

故答案为：；

五、解答题

17．已知的二项展开式中二项式系数之和为256.

（1）求的值；

（2）求该展开式中项的系数.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）根据题意，由二项式定理可得，解可得，

（2）先求得展开式的通项，可得，将的值代入通项计算可得答案；

【详解】解：（1），解得；

（2），令

可得时，，

即项的系数为．

【点睛】本题考查二项式定理的应用，关键是掌握二项式定理的形式，属于基础题．

18．已知函数．

(1)求的单调区间；

(2)求在区间上的最大值和最小值．

【答案】(1)递减区间为，递增区间为和；

(2)最大值为，最小值为.

【分析】（1）求出函数的导数，判断导函数大于0或小于0的x取值集合即可作答.

（2）利用（1）的结论，借助单调性即可求解的最大值和最小值.

【详解】(1)函数定义域为R，，

当或时，，当时，，即在，上递增，在上递减，

所以的递减区间为，递增区间为和.

(2)由（1）知，在上单调递增，在上单调递减,

因此，在区间上的最大值为，而，，即有，

 所以在区间上的最大值为，最小值为.

19．某书店刚刚上市了《中国古代数学史》，销售前该书店拟定了种单价进行试销，每种单价（元）试销天，得到如表单价（元）与销量（册）数据：

附：，，，．

(1)根据表中数据，请建立关于的回归直线方程：

(2)预计今后的销售中，销量（册）与单价（元）服从（）中的回归方程，已知每册书的成本是元，书店为了获得最大利润，该册书的单价应定为多少元？

【答案】(1)

(2)元

【分析】（1）利用最小二乘法直接计算即可；

（2）设获得的利润为，则，结合（1）的结论可化为二次函数的形式，根据二次函数性质可确定结果.

【详解】(1)由表格数据知：，，

，；

关于的回归直线方程为：.

(2)设获得的利润为，则，

当元时，取得最大值，

即为了获得最大利润，该册书的单价应定为元.

20．2020年开始，国家逐步推行全新的高考制度．新高考不再分文理科，采用3+3模式，其中语文、数学、外语三科为必考科目，满分各150分，另外考生还要依据想考取的高校及专业的要求，结合自己的兴趣爱好等因素，在政治、历史、地理、物理、化学、生物6门科目中自选3门参加考试（6选3），每科目满分100分．为了应对新高考，某高中从高一年级1000名学生（其中男生550人，女生450人）中，根据性别采用分层抽样的方法从中抽取100名学生进行调查．

（1）学校计划在高二上学期开设选修中的“物理”和“政治”两个科目，为了了解学生对这两个科目的选课情况，对抽取到的100名学生进行问卷调查（假定每名学生在这两个科目中必须选择一个科目且只能选择一个科目），下表是根据调查结果得到的2×2列联表．请将列联表补充完整，并判断是否有95%的把握认为选择科目与性别有关？说明你的理由；

（2）在（1）的条件下，从选择“政治”的学生中抽取5人，再从这5人中随机抽取2 人，设这2人中男生的人数为，求的分布列及数学期望．

附参考公式及数据：，其中

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.

【分析】（1）根据分层抽样男女比例是，再根据抽取的人数和提供的数据完成2×2列联表，然后利用2×2列联表的数据代入求解，根据临界表下结论.

（2）这5人中有男生2人，女生3人，随机抽取2人中男生的人数可能取值为0，1，2，分别求得相应的概率，写出分布列，再求期望

【详解】（1）2×2列联表如下：

所以没有95%的把握认为选择科目与性别有关.

（2）这5人中有男生2人，女生3人，随机抽取2人中男生的人数可能取值为0，1，2，

则，

，

则的分布列如下：

.

【点睛】本题主要考查独立性检验以及离散型随机变量的分布列与期望，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

21．流行性感冒多由病毒引起，据调查，空气月平均相对湿度过大或过小时，都有利于一些病毒繁殖和传播．科学测定，当空气月平均相对湿度大于或小于时，有利于病毒繁殖和传播．下表记录了某年甲、乙两个城市12个月的空气月平均相对湿度．

(1)从上表12个月中，随机取出1个月，求该月甲地空气月平均相对湿度有利于病毒繁殖和传播的概率；

(2)从上表第一季度和第二季度的6个月中随机取出2个月，记这2个月中甲、乙两地空气月平均相对湿度都有利于病毒繁殖和传播的月份的个数为X，求X的分布列；

(3)若，设乙地上表12个月的空气月平均相对湿度的中位数为M，求M的最大值和最小值．（只需写出结论）

【答案】(1)；

(2)分布列见解析；

(3)的最大值为，最小值为．

【分析】（1）设事件：从上表12个月中，随机取出1个月，该月甲地空气月平均相对湿度有利于病毒繁殖和传播．用表示事件抽取的月份为第月，利用列举法能求出该月甲地空气月平均相对湿度有利于病毒繁殖和传播的概率．

（2）在第一季度和第二季度的6个月中，甲、乙两地空气月平均相对湿度都有利于病毒繁殖和传播的月份只有2月和6月，所有可能的取值为0，1，2．分别求出相应的概率，由此能求出随机变量的分布列．

（3）由，设乙地上表12个月的空气月平均相对湿度的中位数为，应用中位数的定义结合分类讨论求出的最大值，最小值．

【详解】(1)设事件：从上表12个月中，随机取出1个月，该月甲地空气月平均相对湿度有利于病毒繁殖和传播．

用表示事件抽取的月份为第月，

∴，，，，，，，，，，，共12个基本事件，

且，，，，，共6个基本事件，

所以，该月甲地空气月平均相对湿度有利于病毒繁殖和传播的概率；

(2)在第一季度和第二季度的6个月中，甲、乙两地空气月平均相对湿度都有利于病毒繁殖和传播的月份只有2月和6月，

∴所有可能的取值为0，1，2．

，，，

随机变量的分布列为：

(3)由表格已知数据：乙地数据从小到大为，

又，不妨假设，设乙地上表12个月的空气月平均相对湿度的中位数为，

当时，则；

当，即时，若有，若有，

∴的最大值为，最小值为．

22．设函数.

（1）当时，求的单调区间；

（2）当时， 恒成立，求的取值范围；

（3）求证：当时， .

【答案】（1）的单调递减区间为； 的单调递增区间为；（2）；（3）见解析．

【详解】试题分析：（1）直接对函数求导得，借助导函数值的符号与函数单调性之间的关系求出其单调区间；（2）先将不等式中参数分离分离出来可得： ，再构造函数， ，求导得，借助，推得，从而在上单调递减， ，进而求得；（3）先将不等式等价转化为，再构造函数，求导可得，由（2）知时， 恒成立，所以，即恒成立，故在上单调递增，所以，因此时，有：

试题解析：（1））当时，则，令得，所以有

即时， 的单调递减区间为； 的单调递增区间为.

（2）由，分离参数可得： ，

设， ，

∴，又∵，

∴，则在上单调递减，

∴，∴

即的取值范围为.

（3）证明： 等价于

设，

∴，由（2）知时， 恒成立，

所以，

∴恒成立

∴在上单调递增，

∴，因此时，有.

点睛：解答本题的第一问时，先对函数求导得，借助导函数值的符号与函数单调性之间的关系求出其单调区间；求解第二问时，先将不等式中参数分离出来可得，再构造函数， ，求导得，借助，推得，从而在上单调递减， ，进而求得；第三问的证明过程中，先将不等式等价转化为，再构造函数，求导可得，由（2）知时， 恒成立，所以，即恒成立，故在上单调递增，所以，因此证得当时，不等式成立．